概率論與數(shù)理統(tǒng)計-22隨機變量函數(shù)的分布

1、2.3 隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布 1. X是離散型隨機變量是離散型隨機變量 2. X是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量 在許多實際問題中，常常需要研究隨機變量的函數(shù)。例如：測量圓軸截面的直徑d，而關(guān)心的卻是截面積由于測量的誤差，d為隨機變量，S就是隨機變量d的函數(shù) 在統(tǒng)計物理中，已知分子的運動速度X的分布，求其動能的分布。241dS221mXS 一般地，設(shè)y =f (x)是一元實函數(shù)，X是一個隨機變量，若X的取值在函數(shù)y =f (x)的定義域內(nèi)，則Y=f (X)也為一隨機變量。1. X是離散型隨機變是離散型隨機變量量設(shè)隨機變量X的分布列為Xx1x2xkPp1p2pk則函數(shù)Y=g(X)

2、 是離散型隨機變量，可能的取值是g(x1), g(x2), g(xk),(k=1,2,n,). 則Y=g(X) 的概率分布為：(1) 若g(xk)互不相同，則事件Y=yi=g(xi)等價于事件X=xi，從而Y=g(X) 的概率分布為：Yg(x1)g(x2)g(xk)P(Y=yi)p1p2pk(2) 若某些g(xi) 相同，比如g(xi1) g(xi2)= g(xil) = yi , (i=1,2,)則事件Y=yi=g(xi)等價于事件X=xi1 X=xi2 X=xil 從而有：lkikiliiixXPxXPxXPxXPyYP121)()(.)()()(步驟：1. 確定Y的取值 y1 , y2

3、, , yi , 2. 求概率 P(Y=yi)=pj 3. 列出概率分布表X01234P1/121/61/31/121/3Y-11357P(Y=yi)1/121/61/31/121/3例例2.3.1 設(shè)隨機變量X的分布列如下表，試求Y=2X-1和 Y=(X-1)2的分布列.解解 (1) 因為 y =2x-1嚴格單調(diào)，所以yi (i=1,2,5)互不相同，Y所有可能取的值為-1,1,3,5,7. 故Y的分布列為：Y0149P(Y=yi)1/61/12+1/31/121/3(2) 因為 Y=(X-1)2的取值分別為1,0,1,4,9. 故Y的分布列為：例例 設(shè)XB(2,0.3)，求下列隨機變量的分

4、布列 1. Y1=X2 2. Y2= X2-2X 3. Y3=3X- X2解解 X的概率分布為. 2 , 1 , 0,7 . 03 . 0)(22kCkXPkkkX012Y1=X2014Y2=X2-2X0-10Y3=3X-X2022P0.490.420.09Y1 0 1 4P0.49 0.42 0.09Y2 -1 0P0.42 0.58Y3 0 2P0.49 0.51則Y1 ，Y2 ，Y3的分布列分別為為奇數(shù)為偶數(shù)xxxxf, 10, 0, 1)(0120)!12() 12() 1(kkkekkXPYP121)!2()2() 1(kkkekkXPYP-eXPYP) 0() 0(例例 設(shè)X服從參

5、數(shù)為的泊松分布，試求Y=f (X)的分布列. 其中解解 易知Y的可能取值為-1,0,1，且有2. X是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，已知其分布函數(shù)FX(x)和密度函數(shù)fX(x)，隨機變量Y=g(X)，要求Y的分布函數(shù)FY(y)和密度函數(shù)fY(y).步驟：(1) 由Y=g(X)的分布函數(shù)這里G=x|g(x) y (2) 求導(dǎo)數(shù)得Y=g(X)的概率密度為 fY(y)=FY(y)GYdxxf GXPy XgPyYPyF)()()()()(注：解 g(x)y 時要考慮y的不同取值范圍例例 設(shè)隨機變量 ，求X的線性函數(shù) 的密度函數(shù)),(2NX是常數(shù)）（babaXY,0解解 先根據(jù)Y

6、與X的函數(shù)關(guān)系式求Y的分布函數(shù):)()()(ybaXPyYPyFY0),(1)(0),()(aabyFabyXPaabyFabyXPXX若若從而，求導(dǎo)數(shù)得：0,1)(0,1)()()(aaabyfaaabyfdyydFyfXXYY若若)(1abyfaXyeaeaabayaby 21212222)(2)(2)(由此得到服從正態(tài)分布的隨機變量的一個重要性質(zhì)：若隨機變量),(2NX則),(22abaNbaX定理定理2.3.1 設(shè)連續(xù)型隨機變量X具有概率密度函數(shù)fX(x)，又設(shè)函數(shù)y=g(x)是x的單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)g1 (y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為:其它0|)(

7、 |)()(11yygygfyfXY其中 )(),(max(,)(),(min(gggg證證(1) g(x)嚴格單調(diào)增加時，此時其反函數(shù)g1 (y)在(,)也嚴格單調(diào)增加，則)()(1ygXyXgyY故)()()()()(11ygFygXPyXgPyYPyFyXY時，; 0)()(yYPyFyY時，. 1)()(yYPyFyY時，于是得Y的概率密度：其它0|)( |)()(11yygygfyfXY(2) g(x)嚴格單調(diào)減小時，此時其反函數(shù)g1 (y)在(,)也嚴格單調(diào)減小，則)()(1ygXyXgyY故)()()(yXgPyYPyFyY時，; 0)()(yYPyFyY時，. 1)()(yYP

8、yFyY時，注意，此時0)(1yg)(1)(11ygXPygXP)(1)(111ygFygXPX于是得Y的概率密度：其它0|)( |)()(11yygygfyfXY綜合上述兩種情況，定理成立.例例 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為000)(xxexfx求隨機變量Y=X2的概率密度函數(shù)。解解 先求Y的分布函數(shù)FY(y)=P(Y y)=P(X2 y), 當(dāng)y=0時，F(xiàn)Y(y)=0當(dāng)y0時， )() X()(2yXyPy PyFYyyyxdxedxxf0)(ye 1所以Y的概率密度函數(shù)為00021)(yyeyxfy例例 設(shè)隨機變量求的密度函數(shù).) 1 , 0(UX122XY解解 X的取值范圍為(0,1)

9、，從而Y的取值范圍為(1,3) 當(dāng)1y 3時，Y的分布函數(shù)為)12()()(2yXPyYPyFY)2121(yXyP)21()21(yFyFXX由于x0時0)(xFX從而0)21(yFX因此當(dāng)1y3時，)21()(yFyFXY而Y3是不可能事件，從而有其他，其他，0311420311221)21()(yyyyyfyfXY例例 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為)1 (1)(2xxfX求 的概率密度.解解 y = ex 單調(diào)可導(dǎo)，, 0 xey且其值域為 y0反函數(shù)為 x = g(y) = lny所以，y0時)ln1 (1|1|ln| )( |)()(2yyyyfygygfyfXXYyyg1)( 故其它00)ln1 (1)(2yyyyfYXeY 例例 設(shè)隨機變量X具有概率密度求隨機變量Y=2X+8的概率密度解解 先求Y=2X+8的分布函數(shù)FY(y)40,8,0)(xxXxf其他)82()()(yXPyYPyFY28)()28(yXdxxfyXP于是得Y=2X+8的概率密度為：)28)(28()()(yyfyFyfXYY其它，其它0168,040,32828212881yyyy例例2.3.4 設(shè)隨機變量X具有概率密度求Y=X2的概率密度由于故當(dāng) y0 時有于是得Y的概