高一數(shù)學(xué)(人教新課標(biāo)A版)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教師版

1、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握對數(shù)的概念、常用對數(shù)、對數(shù)式與指數(shù)式互化，對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式與自然對數(shù)；2掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).重點對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)運算的性質(zhì)與對數(shù)知識的應(yīng)用；理解對數(shù)函數(shù)的定義，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).難點正確使用對數(shù)的運算性質(zhì)；底數(shù)a對圖象的影響及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的作用.二、知識要點梳理知識點一、對數(shù)及其運算我們在學(xué)習(xí)過程遇到2x=4的問題時，可憑經(jīng)驗得到x=2的解，而一旦出現(xiàn)2x=3時，我們就無法用已學(xué)過的知識來解決，從而引入出一種新的運算對數(shù)運算.(一)對數(shù)概念：1如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：logaN=b.其中

2、a叫做對數(shù)的底 數(shù)，N叫做真數(shù).2對數(shù)恒等式：3對數(shù)具有下列性質(zhì)： (1)0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即； (2)1的對數(shù)為0，即； (3)底的對數(shù)等于1，即.(二)常用對數(shù)與自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)， .(三)對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知:對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)系可由下圖表示.由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.(四)積、商、冪的對數(shù)已知(1)； 推廣：(2)；(3).(五)換底公式同底對數(shù)才能運算，底數(shù)不同時可考慮進行換底，在a0， a1， M0的前提下有:(1) 令 log

3、aM=b， 則有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即：.(2) ，令logaM=b， 則有ab=M， 則有 即， 即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結(jié)論：.知識點二、對數(shù)函數(shù)1函數(shù)y=logax(a0，a1)叫做對數(shù)函數(shù).2在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)0a0，a1)的定義域為(0，+)，值域為R(2)對數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1)的圖像過點(1，0)(3)當(dāng)a1時，三、規(guī)律方法指導(dǎo)容易產(chǎn)生的錯誤(1)對數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍(a0 且a1，

4、N0， bR)容易記錯.(2)關(guān)于對數(shù)的運算法則，要注意以下兩點：一是利用對數(shù)的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.二是不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(MN)=logaMlogaN，loga.(3)解決對數(shù)函數(shù)y=logax (a0且a1)的單調(diào)性問題時，忽視對底數(shù)a的討論.(4)關(guān)

5、于對數(shù)式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時經(jīng)常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.以1為分界點，當(dāng)a， N同側(cè)時，logaN0；當(dāng)a，N異側(cè)時，logaN0)思路點撥：將冪指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為冪的冪，再進行運算.解：.類型三、積、商、冪的對數(shù)3已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式

6、=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a舉一反三：【變式1】求值(1) (2)lg2lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2lg50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【變式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【變式3】設(shè)a、b、c為

7、正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證：.證明：.【變式4】已知：a2+b2=7ab，a0，b0. 求證：.證明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a0，b0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .類型四、換底公式的運用4(1)已知logxy=a， 用a表示；(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路點撥：將條件和結(jié)論中的底化為同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x， ；方法二：.舉一反三：

8、【變式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1) (2)；(3)法一： 法二：.總結(jié)升華：運用換底公式時，理論上換成以大于0不為1任意數(shù)為底均可，但具體到每一個題，一般以題中某個對數(shù)的底為標(biāo)準(zhǔn)，或都換成以10為底的常用對數(shù)也可.類型五、對數(shù)運算法則的應(yīng)用5求值(1) log89log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 舉一反三：【變式1】求值：解：另解：設(shè) =m (m0).

9、 ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【變式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?解： ，類型六、函數(shù)的定義域、值域求含有對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類似，但要注意對數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)（如定義域、值域及單調(diào)性）在解題中的重要作用.6. 求下列函數(shù)的定義域：(1)； (2).思路點撥：由對數(shù)函數(shù)的定義知：x20，4-x0，解出不等式就可求出定義域.解：(1)因為x20，即x0，所以函數(shù)；(2)因為4-x0，即x0且a1，kR).解：(1)因為， 所以， 所以函數(shù)的定義域為(1，)(，2).(2)因為 ax-k2x0， 所以

10、()xk. 1當(dāng)k0時，定義域為R； 2當(dāng)k0時， (i)若a2，則函數(shù)定義域為(k，+)； (ii)若0a2，且a1，則函數(shù)定義域為(-，k)； (iii)若a=2，則當(dāng)0k0且a1)思路點撥：由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來完成.(1)解法1：畫出對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象，橫坐標(biāo)為3.4的點在橫坐標(biāo)為8.5的點的下方，所以，log23.4log28.5； 解法2：由函數(shù)y=log2x在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.48.5，所以log23.4log28.5； 解法3：直接用計算器計算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4log28.5；(2)與第(1)小題類

11、似，log0.3x在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.8log0.32.7；(3)注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小. 解法1：當(dāng)a1時，y=logax在(0，+)上是增函數(shù)，且5.15.9，所以，loga5.1loga5.9當(dāng)0a1時，y=logax在(0，+)上是減函數(shù)，且5.1loga5.9 解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，令b1=loga5.1，則，令b2=loga5.9，則當(dāng)a1時，y=ax在R上是增函數(shù)，且5.15.9所以，b1b2，即當(dāng)0a1時，y=ax在R上是減函數(shù)，且5.1b2，即.舉一反三：【變式1】（2011 天津理 7）已知則（

12、）A B C D解析：另，在同一坐標(biāo)系下作出三個函數(shù)圖像，由圖像可得 又為單調(diào)遞增函數(shù)， 故選C.9. 證明函數(shù)上是增函數(shù).思路點撥：此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法，同時熟悉利用對函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法.證明：設(shè)，且x1x2則又y=log2x在上是增函數(shù)即f(x1)0且a1)，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解：設(shè)t=logax(xR+， tR).當(dāng)a1時，t=logax為增函數(shù)，若t1t2，則0x1x2， f(t1)-f(t2)=， 0x11， f(t1)f(t2)， f(t)在R上為增函數(shù)，當(dāng)0a1或0a1， f(x)在R上總是增函數(shù).10求函數(shù)y=(-x2+2x+3)的

13、值域和單調(diào)區(qū)間.解：設(shè)t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4. y=t為減函數(shù)，且00，即-1x0的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問題.f(x)的值域為R與ax2+2x+1恒為正值是不等價的，因為這里要求f(x)取遍一切實數(shù)，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會發(fā)現(xiàn)，使u能取遍一切正數(shù)的條件是. 解：(1)f(x)的定義域為R，即：關(guān)于x的不等式ax2+2x+10的解集為R， 當(dāng)a=0時，此不等式變?yōu)?x+10，其解集不是R； 當(dāng)a0時，有 a1. a的取值范圍為a1.(2)f(x)的值域為R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù) a=0或0a

14、1， a的取值范圍為0a1.13已知函數(shù)h(x)=2x(xR)，它的反函數(shù)記作g(x)，A、B、C三點在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8(a1)，記ABC的面積為S.(1)求S=f(a)的表達(dá)式； (2)求函數(shù)f(a)的值域；(3) 判斷函數(shù)S=f(a)的單調(diào)性，并予以證明；(4)若S2，求a的取值范圍.解：(1)依題意有g(shù)(x)=log2x(x0). 并且 A、B、C三點的坐標(biāo)分別為A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a1)，如圖. A，C中點D的縱坐標(biāo)為log2a+log2(a+8) S=|BD|42=

15、4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2 =2log2(1+). 由于a1時，a2+8a9， 11+，又函數(shù)y=log2x在(0，+)上是增函數(shù)， 02log2(1+)2log2，即0S2log2.(3)S=f(a)在定義域(1，+)上是減函數(shù)，證明如下：任取a1，a2，使1a1a21，a21，且a2a1， a1+a2+80， +8a20， +8a10， a1-a20， 11+f(a2) S=f(a)在(1，+)上是減函數(shù).(4)由S2，即得，解之可得：1a

16、13.圖中曲線是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象，已知a值取，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a值依次為( )A. B.C. D.4.（2011 重慶理5）下列區(qū)間中，函數(shù)在其上為增函數(shù)的是 A. B. C. D. 5.設(shè)偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在(-，0)上是增函數(shù)，則f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系是( )A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)f(b+2)C.f(a+1)1時，由知，故a1；當(dāng)0a1時，由知0a1.3.在第一象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸增大，；在第四象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸增大，；所以相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a值依次為.選A.4.用圖象

17、法解決，將的圖象關(guān)于軸對稱得到，再向右平移兩個單位，得到，將得到的圖象在x軸下方的部分翻折上來，即得到的圖象.由圖象，選項中是增函數(shù)的顯然只有D.5.由f(x)是偶函數(shù)，得b=0；又因為f(x)在(-，0)上是增函數(shù)，得0a1.所以0a+1f(b+2)6.將方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如圖所示，可知是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=-x+3的交點A的橫坐標(biāo)；是對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與直線y=-x+3的交點B的橫坐標(biāo).由于函數(shù)y=2x與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以A，B兩點也關(guān)于直線y=x對稱，所以，.注意到在直線y=-x+3上，所以

18、有，即.二、填空題7.要使函數(shù)的定義域為R，只需對一切實數(shù)x， kx2+4kx+30恒成立，其充要條件是k=0或解得k=0或，故k的取值范圍是.要使函數(shù)的值域為R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正數(shù)，則，解得. 故k的取值范圍是.8. 1log234，.又當(dāng)xadc， 0.30，30， a=0.330， b=30.30.31， 00.31， c=log30.30， d=log0.331， a=0.33a而， ， dc.三、解答題10.依題意得： 即 ， 即 . . 故.11.1)由 得-1x1. 所以f(x)的定義域為(-1，1). 設(shè)-1x1x20， (1-x1)(1+x2)0， (1+x1)(1-x2)0， 所以 所以，又易知， f(x1)-f(x2)0 ， 即f(x1)f(x2). 故f(x)在(-1，1)上是減函數(shù). 2)因為，所以， 即f-1(x)=0有一個根. 假設(shè)f-1(x)=0還有一個根，則f-1(x0)=0， 即，這與f(x)在