空間向量點(diǎn)坐標(biāo)求法

1、廣西玉林高中廣西玉林高中 高中數(shù)學(xué)教材中引入了空間向量坐標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材中引入了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算這一內(nèi)容，使得在解決立體幾何平行、運(yùn)算這一內(nèi)容，使得在解決立體幾何平行、垂直、夾角、距離等問題時更加程序化，垂直、夾角、距離等問題時更加程序化，只需代入公式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算即可，這里常只需代入公式進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算即可，這里常常需要首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出所常需要首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)需點(diǎn)的坐標(biāo)。 廣西高考數(shù)學(xué)卷中立體幾何大題都是廣西高考數(shù)學(xué)卷中立體幾何大題都是同時能用幾何法與向量法這兩種方法解同時能用幾何法與向量法這兩種方法解題的，在用向量法方面，找點(diǎn)坐標(biāo)的難題的，在用向量法方面，找點(diǎn)坐

2、標(biāo)的難度在逐年增大，很多學(xué)生因為求不出點(diǎn)度在逐年增大，很多學(xué)生因為求不出點(diǎn)坐標(biāo)又不會用幾何法解題而丟坐標(biāo)又不會用幾何法解題而丟分 為解決求點(diǎn)坐標(biāo)難的問題，現(xiàn)將在空為解決求點(diǎn)坐標(biāo)難的問題，現(xiàn)將在空間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)的方法整理總結(jié)，間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)的方法整理總結(jié)，以求能突破在空間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)以求能突破在空間直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)難的問題。如何寫出或求出空間直角坐標(biāo)難的問題。如何寫出或求出空間直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)？系下點(diǎn)的坐標(biāo)？例例 在平行六面體在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4, AD=2, 平行六面體高為平行六面體高為 ，頂點(diǎn)頂點(diǎn)

3、D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)，設(shè)AB1D1的重心的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。 (1) A1 、 B1 、A、 D1； (2) G; (3) B; (4)若若N為為DD1上點(diǎn)，且上點(diǎn)，且ON DD1寫出寫出N坐標(biāo)。坐標(biāo)。32ABCDB1C1D1A1O例例 在平行六面體在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為平行六面體高為 ，頂點(diǎn)頂點(diǎn)D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)，設(shè)AB1D1的重心的

4、重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。(1) A1 、 B1 、A、 D1； (2) G;32（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A(2,0, )、 D1 (0, -2, 0 ) 32(2) 332, 0,34G射影法射影法公式法公式法yzxABCDB1C1D1A1O例例 在平行六面體在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為平行六面體高為 ，頂點(diǎn)頂點(diǎn)D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)，設(shè)AB1D1的重心

5、的重心G，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系并寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。出下列點(diǎn)的坐標(biāo)。 (3) B;32(3)設(shè)設(shè)B B ( ( x x, , y y, , z z ) ), , 則則 又又 , ,比較得比較得 點(diǎn)點(diǎn)B B坐標(biāo)為坐標(biāo)為 32, 2, 0, 2, 211DDzyxBBDDBB1132, 4, 2zyx32, 4, 2ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法向量法例例 在平行六面體在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4,AD=2,平行六面體高為平行六面體高為 ，頂點(diǎn)頂點(diǎn)D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中點(diǎn)

6、中點(diǎn).(4)若若N為為DD1上點(diǎn)，且上點(diǎn)，且ON DD1寫出寫出N坐標(biāo)。坐標(biāo)。32ABCDB1C1D1A1OyzxN解解: : (4)(4) 三點(diǎn)共線，可設(shè)三點(diǎn)共線，可設(shè)即即 , , 故故11DDND 32,2, 032, 2, 01ND32, 22, 011NDODONDND,132, 22, 0N01DDON41, 01214023,23, 0N向量法向量法一、投影法一、投影法 將空間點(diǎn)將空間點(diǎn)P P分別投影到分別投影到 x x軸、軸、 y y軸、軸、z z 軸軸所得投影點(diǎn)為所得投影點(diǎn)為A(a,0,0) ,B(0,b,0),C(0,0,c)則點(diǎn)則點(diǎn) P P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(a,b,c) 。二、

7、公式法二、公式法 利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式三角形公式三角形的重心的重心坐標(biāo)公式、距離公式、坐標(biāo)公式、距離公式、夾夾角公式等求出點(diǎn)的角公式等求出點(diǎn)的坐標(biāo)。坐標(biāo)。三、向量法三、向量法利用向量相等、利用向量相等、垂直垂直、共線、共線等等運(yùn)算求出運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo)。點(diǎn)坐標(biāo)。zxy例例1 1. (2011. (2011廣西高考題廣西高考題) )如圖，四棱錐如圖，四棱錐SABCD中中，ABCDCD，BCCD，側(cè)面?zhèn)让鍿AB為等邊三角為等邊三角形形, ,AB= =BC=2=2，CD= =SD=1.=1.（I I）證明證明： SD平面平面SAB ；（IIII）求求AB與平面與平面SBC所成的角的大

8、所成的角的大小小 解析：解析：（I I）設(shè)設(shè)S S（x, y, z )(x 0, y 0, z 0) 由由得得又又 得得 解得解得y= ,z=S S（1, , )（IIII） arcsinB例例2 2 如圖，一張平行四邊形的硬紙如圖，一張平行四邊形的硬紙ABC0D中，中，AD=BD=1,AB= .沿它的對角線沿它的對角線BD折起，使折起，使點(diǎn)點(diǎn)C0到達(dá)平面外到達(dá)平面外C點(diǎn)的位置。若點(diǎn)的位置。若求二面角求二面角A BD C的大小。的大小。2 z zyx， 解析：解析：如圖如圖A(1, 0, 0) B(0, 1, 0) CB DB 可設(shè)可設(shè) C C（x, 1, z )（ z 0)，x=z =，解得

9、解得C C（ , ,1, )6060 如圖，四面體如圖，四面體ABCD中，中，CA=BC=CD= BD=2， AB=AD= ，試在試在 BC 上找一點(diǎn)上找一點(diǎn)E，使點(diǎn)，使點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離為的距離為 . .2O. .zxyO是是 BD中點(diǎn)，中點(diǎn)，AO平面平面SAB E 如圖，四面體如圖，四面體ABCD中，中，CA=BC=CD=BD= 2， AB=AD= ，試在試在 BC 上找一點(diǎn)上找一點(diǎn)E，使點(diǎn)，使點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離為的距離為 . .2Ozxy 解析解析一一：x=y=，解得解得E（ , , ,1 ) 故故E為為BC中點(diǎn)中點(diǎn)Ed=E 如圖，四面體如圖，四面體ABCD中，中，CA=BC=CD= 2， AB=AD= ，試在試在 BC 上找一點(diǎn)上找一點(diǎn)E，使點(diǎn)，使點(diǎn)E到平面到平面ACD的距離為的距離為 . .2E. .zxyE 解析解析二二：平面平面ACD的的平面方程為為即即到平面到平面的距離的距離=x=y=，解得解得E（ , , ,1 ) 故故E為為BC中點(diǎn)中點(diǎn)O如圖，已知如圖，已知AB , BC , CDBC, CD與平與平面面成成30 角，角， AB=BC= CD=2.（1）求線段）求線段AD的長；的長；（2）求二面角）求二面角D-AC-B的正弦