極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限6

1、1極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限兩個重要極限小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限21. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則證證,ayn, 0 準(zhǔn)則準(zhǔn)則滿足下列條件滿足下列條件:),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim)2(aynn ,limaznn nx.limaxnn ,azn, 01 N, 02 N使得使得一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限如果數(shù)列如果數(shù)列那末數(shù)列那末數(shù)列的極限存在的極限存在,且且,nnnzyx及及3,1 ayNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng)

2、,max21NNN 取取恒有恒有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時恒有時恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立,nnnzxy ,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)函數(shù)的極限的極限., a annnzxy )1(極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限4稱為稱為準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果如果)()()(xhxfxg ,)(lim)2(0Axgxx ,)(lim0Axhxx 那末那末)(lim0 xfxx存在存在,且等于且等于A.極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則. .)

3、,()1(0orxUx 當(dāng)當(dāng)),|(Mx 或或有有)( x)( x)( x準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則和和5例例).12111(lim222nnnnn 求求解解nnn 22111nnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由由夾逼定理夾逼定理得得. 1)12111(lim222 nnnnn,12 nn nnn2極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限6 注注利用夾逼準(zhǔn)則是求極限的一個重要手段利用夾逼準(zhǔn)則是求極限的一個重要手段,將復(fù)雜的函數(shù)將復(fù)雜的函數(shù) f (x)做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小化簡做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小化簡,找出有共同極限值又容易求極限的函數(shù)找出有共同

4、極限值又容易求極限的函數(shù) g(x)和和h(x)即可即可.極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限7x1x2x3x1 nxnx2. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 幾何解釋幾何解釋:AM單調(diào)有界單調(diào)有界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限.:nx對數(shù)列對數(shù)列單調(diào)有界單調(diào)有界有極限有極限有界有界極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限8例例的的重根式重根式證明數(shù)列證明數(shù)列)(333nxn 證證,1nnxx nx31 x, 3 kx假定假定kkxx 3133 ,

5、3 nxnnx lim極限存在極限存在.顯然顯然(1)是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的;(2)極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限, 3 是有界的是有界的;存在存在.9,31nnxx ,321nnxx 21limnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131lim nnx(3)的的重根式重根式證明數(shù)列證明數(shù)列)(333nxn 極限存在極限存在.),3(limnnx Axnn lim設(shè)設(shè)2131 A解得解得極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限10極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限 準(zhǔn)則準(zhǔn)則單調(diào)并且有界單調(diào)并且有界,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0

6、的某個的某個右鄰域右鄰域內(nèi)內(nèi)則則f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0右極限右極限)(0 xf必定存在必定存在.準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單調(diào)有界單調(diào)有界數(shù)列數(shù)列必有極限必有極限.函數(shù)極限也有類似的準(zhǔn)則函數(shù)極限也有類似的準(zhǔn)則. 對于自變量的對于自變量的不同變化過程不同變化過程),(00 xxxxxx準(zhǔn)則有不同的形式準(zhǔn)則有不同的形式.11(1)1sinlim0 xxx,O設(shè)單位圓設(shè)單位圓,sinBDx 于是有于是有,作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形的的高高為為OAB 作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則 的應(yīng)用的應(yīng)用的面積的面積圓扇形圓扇形AOB)20(, xxAOB圓心角圓心角.ACO 得得,ABx弧弧 ,t

7、anACx 的面積的面積AOC 的面積的面積AOB,BD極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限二、兩個重要極限二、兩個重要極限xOABDC12,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又1sinlim0 xxxxxxtan2121sin21 即即夾逼定理夾逼定理該極限的特點(diǎn)該極限的特點(diǎn):;00)1(型未定式型未定式.sin)2(形式一致形式一致與分?jǐn)?shù)線另一側(cè)的變量與分?jǐn)?shù)線另一側(cè)的變量1sinlim0 xxx極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限131sinlim xxx.)0

8、0(型未定式型未定式非非極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限 一般有一般有)(x )(x 0)(x 0 正確正確 xxxsinlim sinlim114xxxtanlim0 xxxxcossinlim0 1 20cos1limxxx xxx3sinlim3303330sinlim31 xxx31 2202sin2limxxx 21 nnn2sinlim nnn22sin2lim 2 2022sinlim21 xxx例例例例例例例例極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限15 2cos1lim)1(xxx 求求解解, xt 令令,時時則則 x, 0t故故 2cos1lim

9、xxx 20cos1limttt 20cos1limttt 21 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限20cos1limxxx 21 16解解 由于由于 以及以及,limaan 夾逼定理夾逼定理.limaxnn a13lim1 aann極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限n3 an 3limann.lim, 0)2(nnnnnnxcbaxcba 求求設(shè)設(shè)nx17(2)exxx )11(lim,)11(nnnx 設(shè)設(shè) 1 1nnnnnnn1!)1()1( 作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則 的應(yīng)用的應(yīng)用現(xiàn)證明數(shù)列現(xiàn)證明數(shù)列xn單調(diào)增加單調(diào)增加按按牛頓二項公式牛頓二項公式,有有nnnx)

10、11( nn 1! 1 21! 2)1(nnn 1 )11(! 21n).11()21)(11(!1nnnnn 且且有界有界.極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限18 111nx類似地類似地,)111()121)(111(!1 nnnnn).11()121)(111()!1(1 nnnnn 1nnnx)11( 1 )11(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn )111(! 21 n nx,1nnxx 顯然顯然極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限是是單調(diào)增加的單調(diào)增加的;19 nx1212111 n1213 n, 3 nx.lim存在存在nnx ennn

11、)11(lim記為記為)045459828281718. 2( e無理數(shù)無理數(shù) 1nnnx)11( 1 )11(! 21n)11()21)(11(!1nnnnn !1! 2111n 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限是是有界的有界的;20exxx )11(lim. e當(dāng)當(dāng)x實數(shù)趨向?qū)崝?shù)趨向 或或 時時, xx)11( 因此因此中的底就是這個常數(shù)中的底就是這個常數(shù) xey xyln . ext1 令令xxx10)1(lim . e exxx 10)1(lim或或的極限都存在且等于的極限都存在且等于函數(shù)函數(shù)可證明可證明,指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)以及自

12、然對數(shù)以及自然對數(shù)ttt)11(lim 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限21 “以以1加非零無窮小為底加非零無窮小為底,指數(shù)是無窮小的指數(shù)是無窮小的倒數(shù)倒數(shù),其極限為數(shù)其極限為數(shù)e”.exxx )11(lim該極限的特點(diǎn)該極限的特點(diǎn):;1)1(型未定式型未定式 exxx 10)1(lim(2) 括號中括號中1后的變量后的變量(包括符號包括符號)與冪互為倒數(shù)與冪互為倒數(shù). 注注若極限呈若極限呈,1 型型 但第二個特點(diǎn)不具備但第二個特點(diǎn)不具備,通常通常湊湊指數(shù)冪使指數(shù)冪使(2) 成立成立.這個重要極限應(yīng)靈活的記為這個重要極限應(yīng)靈活的記為:則則極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限

13、兩個重要極限一般有一般有exxx )()(1)()1(lim 22xxx111lim 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限e .)1(型未定式型未定式非非 正確解法正確解法 ,111xxy 令令 則則,)11ln(lnxxy 由于當(dāng)由于當(dāng),時時 x, 011ln x 故故 xxyxx11lnlimlnlim 從而原式從而原式. 10 e. 023nnn211lim 2 exxx 321lim xx321lim32e 例例2 例例n nn11limx2332 xxx20sin1lim 2e 例例 xxxsin10sin1limxxsin2例例xxxx 21lim xlim2 eex

14、x 11xx 213e )1( )1( )1( )1( 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限24nnnnn 121lim22 12221lim2nnnn2 e例例nnn22122 12)22(2 nnnn例例222)1(coslimxxx 解解 原式原式=222)1sin1(limxxx 21 e)1( )1( 21sinlim22xxx 211sinlim21 xxx21 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限251. 選擇題選擇題).(sin1sinlim)1(20的值為的值為xxxx. 0)(;)(;)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2

15、( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限26).(11lim)3(2 xxx.21)(; 0)(;)(;)(2DCBeA Axxxx2)23(lim. 2 求求解解222)211(lim xxxxx原式原式2e xxxx22131lim 或或xxxxx222131lim 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限272. 兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限三、小結(jié)三、小結(jié)1. 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則)(x )(x 0)(x

16、 e 1 lim)(x 0)(x )(1x sinlim128思考題思考題1. 求極限求極限xxxx1)93(lim 2. 求極限求極限xxxx 1sin1coslim極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限), 2 , 1( )3(, 3011 nxxxxnnn設(shè)設(shè).,并求此極限并求此極限的極限存在的極限存在證明數(shù)列證明數(shù)列nx 23:答案答案3. 2002年考研數(shù)學(xué)二年考研數(shù)學(xué)二, 8分分29思考題解答思考題解答xxxx1)93(lim. 1 xxxxx11131)9(lim xxxxx 313311lim9990 e2. 原式原式=221sin1coslimxxxx 22sin

17、1limxxx 122sinlim22sinlim xxxxxxe 原極限原極限極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限30解解極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限), 2 , 1( )3(, 3011 nxxxxnnn設(shè)設(shè).,并求此極限并求此極限的極限存在的極限存在證明數(shù)列證明數(shù)列nx13x 均為正數(shù)均為正數(shù),故故)3(0112xxx 23)3(2111 xx設(shè)設(shè))3(01kkkxxx ),1(230 kxk則則,23)3(21 kkxx由數(shù)學(xué)歸納法知由數(shù)學(xué)歸納法知, 對任意正整數(shù)對任意正整數(shù)1 n均有均有.230 nx因而數(shù)列因而數(shù)列nx有界有界. 3. 2002年考研數(shù)學(xué)二年考研數(shù)學(xué)二, 8分分31極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限兩個重要極限又當(dāng)又當(dāng),1時時 nnnnnnxxxxx )3(1)3(