自考04184線性代數(shù)(經(jīng)管類)講義第二章 矩 陣

1、第二章 矩陣2.1矩陣的概念定義2.1.1由m×n個數(shù)aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一個m行n列的數(shù)表 用大小括號表示稱為一個m行n列矩陣。矩陣的含義是：這m×n個數(shù)排成一個矩形陣列。其中aij稱為矩陣的第i行第j列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而i稱為行標，j稱為列標。第i行與第j列的變叉位置記為（i，j）。通常用大寫字母A，B，C等表示矩陣。有時為了標明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n，也可記為A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n當m=n時，稱A=（aij）n×n為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n

2、2個數(shù)排成一個正方形表，它不是一個數(shù)（行列式是一個數(shù)），它與n階行列式是兩個完全不同的概念。只有一階方陣才是一個數(shù)。一個n階方陣A中從左上角到右下角的這條對角線稱為A的主對角線。n階方陣的主對角線上的元素a11，a22，ann，稱為此方陣的對角元。在本課程中，對于不是方陣的矩陣，我們不定義對角元。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用Om×n或者O（大寫字）表示。特別，當m=1時，稱=（a1，a2，an）為n維行向量。它是1×n矩陣。當n=1時，稱為m維列向量。它是m×1矩陣。向量是特殊的矩陣，而且它們是非常重要的特殊矩陣。例如，（a，b，c）是3維行向量，是3維列向量。

3、幾種常用的特殊矩陣：1.n階對角矩陣形如或簡寫為（那不是A，念“尖”） 的矩陣，稱為對角矩陣，例如，是一個三階對角矩陣，也可簡寫為。2.數(shù)量矩陣 當對角矩陣的主對角線上的元素都相同時，稱它為數(shù)量矩陣。n階數(shù)量矩陣有如下形式：或。（標了角標的就是N階矩陣，沒標就不知是多少的） 特別，當a=1時，稱它為n階單位矩陣。n階單位矩陣記為En或In，即或在不會引起混淆時，也可以用E或I表示單位矩陣。n階數(shù)量矩陣常用aEn或aIn表示。其含義見2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運算。3.n階上三角矩陣與n階下三角矩陣的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣。 對角矩陣必須是方陣。一個

4、方陣是對角矩陣當且僅當它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣。4.零矩陣 （可以是方陣也可以不是方陣）2.2矩陣運算本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉置等基本運算。只有在對矩陣定義了一些有理論意義和實際意義的運算后，才能使它成為進行理論研究和解決實際問題的有力工具。2.2.1矩陣的相等（同）設A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。由矩陣相等的定義可知，兩個矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，而且兩個矩陣中處于相同位置（i，j）上的一對數(shù)都必須對應相等。特別，A

5、=（aij）m×n=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意行列式相等與矩陣相等有本質區(qū)別，例如因為兩個矩陣中（1，2）位置上的元素分別為0和2。但是卻有行列式等式 （因為行列式是數(shù)，矩陣是表，表要求表里的每一個都一樣）2.2.2矩陣的加、減法定義2.2.2設A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是兩個m×n矩陣。由A與B的對應元素相加所得到的一個m×n矩陣，稱為A與B的和，記為A+B，即A+B=（aij+ bij）m×n。即若則當兩個矩陣A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等時，稱它們是同型矩陣。只有當兩個矩陣是同型矩陣時，它們

6、才可相加。例如注意：（1）矩陣的加法與行列式的加法有重大區(qū)別例如 （階數(shù)相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一樣才可以相加，方法是除了這兩個不同的行（列）相加外，其它的不變。）（2）階數(shù)大于1的方陣與數(shù)不能相加。（階數(shù)大于1它就是一個表，不是一個數(shù)了）若A=（aij）為n階方陣，n>1，a為一個數(shù)，則A+a無意義！但是n階方陣A=（aij）m×n與數(shù)量矩陣aEn可以相加： （把數(shù)轉化為數(shù)量矩陣aEn就可以想加了）矩陣的加法滿足下列運算律： 設A，B，C都是m×n矩陣，O是m×n零矩陣，則（1）交換律A+B=B+A.（乘法沒有交換

7、律）（2）結合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+CA=B.2.2.3數(shù)乘運算（矩陣與數(shù)不能相加，但是可能想乘）定義2.2.3對于任意一個矩陣A=（aij）m×n和任意一個數(shù)k，規(guī)定k與A的乘積為kA=（kaij）m×n.（矩陣里的第個原數(shù)都乘以數(shù)K）即若 則由定義2.2.3可知，數(shù)k與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以k，而數(shù)k與行列式Dn的乘積只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，這兩種數(shù)乘運算是截然不同的。根據(jù)數(shù)乘矩陣運算的定義可以知道，數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積。

8、60;數(shù)乘運算律（1）結合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l為任意實數(shù)。（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l為任意實數(shù)。例1已知求2A-3B。解例2已知且A+2X=B，求X。解：（注意是乘以矩陣里的每個元素）2.2.4乘法運算設矩陣A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面的m×n個元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n） 構成的m行n列矩陣，稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB。由此定義可以知道，兩個矩陣A=（aij）

9、和B=（bij）可以相乘當且僅當A的列數(shù)與B的行數(shù)相等。當C=AB時，C的行數(shù)=A的行數(shù)，C的列數(shù)=B的列數(shù)。C的第i行第j列元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應元素的乘積之和。例3若且，AB=C，求矩陣C中第二行第一列中的元素C21解：C21等于左矩陣A中的第二行元素與右矩陣B中第一列元素對應乘積之和C21=2×1+ 1×3+ 0×0=5 例4設矩陣求AB解：=這里矩陣A是3×3矩陣，而B是3×2矩陣，由于B的列數(shù)與A的行數(shù)不相等，所以BA沒有意義。例5求（1）A3E3（2）E3A3解：（1） （2）由本例可見A3E3=E3A3=A

10、3，并且可以推廣有它與代數(shù)中的1·a=a·1=a比較可見單位矩陣En在乘法中起單位的作用。例6設矩陣求AB和BA解：現(xiàn)在，我們對矩陣乘法與數(shù)的乘法作一比較。數(shù)的乘法有交換律，矩陣乘法沒有普遍交換律。（差別）例7設 求（1）AB（2）AC解（1）（2）可見AB=AC眾所周知，兩個數(shù)的乘積是可交換的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.兩個非零數(shù)的乘積不可能為零。因此，當ab=0時，必有a=0或b=0。當ab=ac成立時，只要a0，就可把a消去得到b=c。（這條只滿足數(shù)，不滿足矩陣） 

11、;由矩陣乘法及上述例6、例7可知：（1）單位矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可交換：EnA=AEn=A（2）數(shù)量矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可交換：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩陣的乘法不滿足交換律，即一般ABBA。（4）當AB=O時，一般不能推出A=O或B=O。這說明矩陣乘法不滿足消去律。（5）當AB=AC時，一般不能推出B=C。（消去律）若矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B可交換。此時，A與B必為同階方陣。矩陣乘法不滿足消去律，并不是說任意兩個方陣相乘時，每一個方陣都不能從矩陣等式的同側消去。在下一節(jié)中我們將會看到，被稱為可逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式的同側消去。例

12、8設矩陣，求出所有與A可交換的矩陣。（即AB=BA）解因為與A可交換的矩陣必為二階矩陣，所以可設為與A可交換的矩陣，則由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。（對角線必須一樣）例9解矩陣方程，X為二階矩陣。解 設。由題設條件可得矩陣等式：由矩陣相等的定義得 （列出兩組方程式）解這兩個方程組可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。  乘法運算律（1）矩陣乘法結合律（AB）C=A（BC）。 （不改變順序）（2）矩陣乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）兩種乘法的結合律k（AB）=（kA）B=A（

13、kB），k為任意實數(shù)。（4）EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n（其中Em，En分別為m階和n階單位矩陣）。矩陣乘法的結合律要用定義直接驗證（證略），其他三條運算律的正確性是顯然的。方陣的方冪設A為n階方陣，由于矩陣乘法滿足結合律，所以可以不加括號而有完全確定的意義。 我們定義A的冪（或稱方冪）為由定義可知，n階方陣的方冪滿足下述規(guī)則：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l為任意正整數(shù)。例10用數(shù)學歸納法證明以下矩陣等式：（1）（2）。證（1）當n=1時，矩陣等式顯然成立。假設當n=k時，矩陣等式成立，即 知道，當n=k+1時

14、，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n，此矩陣等式成立。 （2）當n=1時，矩陣等式顯然成立。假設當n=k時，矩陣等式成立，即則知道，當n=k+1時，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n，此矩陣等式都成立。例11設n階方陣A和B滿足，證明： 。證：由可推出B=2A-En。再由B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En 證得 因為矩陣乘法不滿足交換律，所以對于n階方陣A和B，有以下重要結論：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。（3）當AB=BA

15、時必有（AB）k=AkBk.（只有兩者兩等時成立）例如AB=BA時，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2但ABBA時，則上面結果不成立。例13設，則有因為矩陣乘法不滿足消去律，所以對于n階方陣A和B，有以下重要結論： （1）AB=O，AO不能推出B=O。例如時（兩個不等于零的方陣相乘或是一個數(shù)平方也可能等于零） （2）由A2=O不能推出A=O。例如則 （3）由AB=AC，AO不能推出B=C。例如時（同系數(shù)兩個數(shù)或是兩個數(shù)的平方相等）即AB=AC，但BC （4）由A2=B2不能推出A=±B。例

16、如，取則2.2.5矩陣的轉置設矩陣 把矩陣的行與列互換得到的n×m矩陣，稱為矩陣A的轉置矩陣，記作AT或A，即 易見A與AT互為轉置矩陣。特別，n維行（列）向量的轉置矩陣為n維列（行）向量。例如，則若A=（a1，a2，an）則若則BT=（b1，b2，bn）例15求（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT解：（1）（2）（3）（4）由本例可見（AB）T=BTAT，這一結果有普遍性（不證） 轉置運算律（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k為實數(shù)。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n

17、-1TA1T.設A=（aij）為n階實方陣。若A滿足AT=A，也就是說A中元素滿足： aij=aji，i，j=1，2，n，則稱A為實對稱矩陣。若A滿足AT=-A，也就是說A中元素滿足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此時必有aii=0，i=1，2，n，則稱A為實反對稱矩陣。實矩陣指的是元素全為實數(shù)的矩陣，在本課程中，我們只討論實對稱矩陣和實反對稱矩陣，因此，往往省略一個“實”字。例如，都是對稱矩陣；都是反對稱矩陣。例17：（1）設A為n階對稱矩陣，證明：對于任意n階方陣P，PTAP必為對稱矩陣。（2）如果已知PTAP為n階對稱矩陣，問A是否必為對稱矩陣？證（1）因為A是對稱矩陣

18、，必有AT=A（滿足這個條件），于是必有（PTAP）T=PTATP=PTAP 這說明PTAP必為對稱矩陣。（2）反之，如果PTAP為n階對稱矩陣：（PTAP）T=PTAP，則有PTATP=PTAP，但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是對稱矩陣。2.2.6方陣的行列式 由n階方陣A的元素按原來的順序構成的行列式稱為方陣A的行列式，記作或det（A）。即，如果，則。例如，的行列式為。 注意（1）矩陣是一個數(shù)表，行列式是一個數(shù)，二者不能混淆，而且行列式記號“”與矩陣記號“（*）”也不同，不能用錯。（2）矩陣的行數(shù)與列數(shù)未必相等，但行列式的行數(shù)

19、與列數(shù)必須相等。（3）當且僅當為n階方陣時，才可取行列式。對于不是方陣的矩陣是不可以取行列式的。易見，上、下三角矩陣的行列式等于它的所有對角線元素的乘積。特別，。，例18 設且有。求解：所以由本例可見一般地應有 方陣的行列式有如下性質：設A，B為n階方陣，k為數(shù)，則（1）；（2）；（3）。（行列式乘法規(guī)則）（1），（2）的證明可由方陣行列式的定義及行列式性質直接得到。（3）的證明從略。例19 設，則，。于是得，。例20 設A，B同為n階方陣。如果AB=O，則由知道，必有或。但未必有A=O或B=O。例21 證明：任意奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為零。證：設A為2n-1階反對稱矩陣，則有。

20、于是根據(jù)行列式性質1和性質2，得到，因為是數(shù)，所以必有。2.2.7方陣多項式 任意給定一個多項式和任意給定一個n階方陣A，都可以定義一個n階方陣，稱f（A）為A的方陣多項式。注意：在方陣多項式中，末項必須是數(shù)量矩陣而不是常數(shù)。方陣多項式是以多項式形式表示的方陣。例22：設，求f（A）。解：例23：若A=B-C，其中，。證明證：由 2.3方陣的逆矩陣我們知道，對于任意一個數(shù)a0，一定存在惟一的數(shù)b，使ab=ba=1，這個b就是a的倒數(shù)，常記為。而且a與b互為倒數(shù)。對于方陣A，我們可類似地定義它的逆矩陣。 設A是一個n階方陣。若存在一個n階方陣B，使得（其中是n階單位陣）則稱A是可逆矩陣（或非奇異

21、矩陣），并稱方陣B為A的逆矩陣。A的逆矩陣記為，即。若滿足（2.5）式的方陣B不存在，則稱A為不可逆矩陣（或奇異矩陣）。由逆矩陣的定義可見若B是A的逆矩陣。則反過來A也是B的逆矩陣。即若，則有  可逆矩陣的基本性質設A，B為同階的可逆方陣，常數(shù)k0，則（1）為可逆矩陣，且（2）（3）證推廣有  （4）證  （5）證  （6）（7）若A可逆且AB=AC，則有消去律B=C證：如何判定一個給定方陣是否可逆呢？為了回答這個問題，我們先給出下面的概念。定義2.3.2設，為的元素的代數(shù)余子式（i,j=1,2,n），則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為。 由伴隨矩陣的定義可以

22、看出，在構造A的伴隨矩陣時，必須放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是說，的第i行元素的代數(shù)余子式，構成的第i列元素。由1.4節(jié)中的定理1.4.1可得 ，即（2.7）類似可得（2.8）現(xiàn)在我們來證明下面的重要定理。這個定理給出了判定一個n階方陣是否可逆的一個充要條件，以及方陣可逆時，求出其逆矩陣的一個方法。 n階方陣A為可逆矩陣。  推論：設A，B均為n階矩陣，并且滿足，則A，B都可逆，且，。例1 若，求解：例如：解：例2 設，當a，b，c，d滿足什么條件時，矩陣A是可逆矩陣？當A是可逆矩陣時，求出。解：A可逆。當A可逆時，例1，例2的結果可以作為求二階方陣的逆矩陣或伴隨矩陣的公式

23、例如，例3 判斷矩陣是否可逆，求出它的逆矩陣。解（1）由于故矩陣A可逆。（2）逐個求出代數(shù)余子式和伴隨矩陣：，；。于是。由上例可以看出，當n3時，用伴隨矩陣求逆矩陣計算量是很大的，特別是當n4時不宜用伴隨矩陣來求逆矩陣。例4 設A為n階方陣，則。證：由知道。當時，顯然有。例5 若。求A的逆矩陣和A+E的逆矩陣。解：（1） （2）例6 設A是3階方陣且，求（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）2.4分塊矩陣分塊矩陣理論是矩陣理論中的重要組成部分，在理論研究和實際應用中，有時會遇到行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運算簡潔，常對矩陣采用分塊的方法，即用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩

24、陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊（子矩陣），以子塊為元素的形式的的矩陣叫分塊矩陣。例如，設，令，則A的一個分塊矩陣為這樣A可以看成由4個子矩陣（子塊）為元素組成的矩陣，它是一個分塊矩陣。分塊矩陣的每一行稱為一個塊行，每一列稱為一個塊列。上述分塊矩陣中有兩個塊行、兩個塊列。  m×n矩陣的分塊矩陣的一般形式為對于同一個矩陣可有不同的分塊法。采用不同的分塊方法得到的是不同的分塊矩陣。對于任意一個m×n矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法：行向量表示法，其中，i=1，2，m；列向量表示法，其中，j=1，2，n。前者也稱為將A按行分塊，后者也稱為將A按列分塊。例如，令，以及，可分別得到A的行分塊矩陣和列分塊矩陣：，。下面我們介紹4種最常用的分塊矩陣的運算。需要特別指出的是，分塊矩陣的所有運算僅僅是前面所講的矩陣運算換了一種形式的表述方法，而并不是另外定義一種新的矩陣運算。2.4.1分塊矩陣的加法把m×n矩陣A和B作同樣的分塊：，其中，的行數(shù)的行數(shù)；的列數(shù)的列數(shù)，1ir，1js，則例1 設，都是四階方陣的列向量分塊矩陣。已知和，求出行列式的值。解：根據(jù)分塊矩陣加法的定義知道，A+B的前三列都有公因數(shù)2，利用行列式性質2，提出公因數(shù)后可以求出再利用行列式的性質5