（精心整理）歐拉積分及其應(yīng)用

1、歐拉積分及其簡單應(yīng)用 引言：我們知道無窮級數(shù)是構(gòu)造新函數(shù)的一種重要工具，利用它我們可以構(gòu)造出處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)，還可以構(gòu)造出能填滿正方形的連續(xù)曲線（參見常庚哲、史濟懷著數(shù)學(xué)分析教程第三冊第17章17.8）含參量積分是構(gòu)造新函數(shù)的另一重要工具，歐拉積分就是在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)的含參量積分表示的函數(shù)。它雖身為含參量積分的一種特例，被教科書編用于加深對含參量積分所表示的函數(shù)的分析方法的理解。但本身也是許多積分的抽象概括，能為相關(guān)積分的計算帶來方便。歐拉積分包括：伽馬（Gamma）函數(shù)：(s)=, s0.-（1） 貝塔（Beta）函數(shù)：B(p，q)= ， p0, q0-（2）下面我們分別討論這兩個

2、函數(shù)的性質(zhì)：一、B函數(shù)Euler第一積分1、 定義域：B(p，q)=+= + 對 = 當(dāng)x0時. = 其收斂須p0對=. 當(dāng)x1時 ， =,令.1-x=t= 其收斂須.q0. B(p，q) 定義域為p0,q0.2、 連續(xù)性因為對p。0，q。0有pp。,qq。而收斂，故由魏爾斯特拉斯M判別法知B(p，q)在p。p+,q。q0,q0內(nèi)連續(xù)。3、 對稱性B(p，q)=B(p，q)作變換 x=1-y, 得B(p，q)= = B(q，p)4、 遞推公式B(p，q)=B(p，q-1)(p0,q1)(1)B(p，q)=B(p-1 ，q)(p1,q0).(2)B(p，q)= B(p-1，q-1)(p1,q1)

3、(3)B(p ，q)=B(p+1，q)+ B(p，q+1)(p-1,q-1).(4)下面只證明(1)；(2)可由對稱性及公式(1)推出；(3 )、(4)可由公式(1).、(2.推得；當(dāng)P0,q1時，有B(p，q)=+= B(p，q1) B(p，q)移項并整理得(1)5、 B(p，q)的其他形式a,令x=則B(p，q)=2特別的當(dāng)p=q=, B(p，q) =B(，)=b.令x= 當(dāng) x:01 有 t :+0B(p，q)= =+考察,令t=,則有=.B(p，q) =二、函數(shù)Euler第二積分1、定義域(s)=+= + 其中 = ,當(dāng)s1時是正常積分；當(dāng)0s0時是收斂的無窮限反常積分（也可用柯西判別

4、法推得）；所以，函數(shù)在s0時收斂，即定義域為s0.2、連續(xù)性在任何閉區(qū)間a，b(a0)上，對 ，當(dāng)0x1時有由于收斂，從而 在a，b上一致收斂;對于 ，當(dāng)1x0上連續(xù)3、可微性=（利用狄利克雷判別法）它在任何閉區(qū)間a，b(a0)上一致收斂.(s)在a，b上可導(dǎo).由a，b的任意性，(s)在s0上可導(dǎo)，且(s)= s0.依照上面的方法，還可推得(s) 在s0上存在任意階導(dǎo)數(shù)： (s)=.s0.4、遞推公式 (s+1)=s(s) 證：分部積分法=+=+設(shè)A+，就得到(s)的遞推公式：(s+1)=s(s)設(shè)nsn+1，即0sn1，應(yīng)用遞推公式n次可得到(s+1)=s(s)=s(s-1)(s-1)=.=

5、s(s-1)(s-2)(s-n)(s-n)因（1）=1 若s為正整數(shù)n+1，則(n+2)=(n+1)n.2(1)=(n+1)！從上可以看出：（2） . 函數(shù)是階乘的推廣（x）！（2）如果已知（s）在0s1上的值，那么在其他范圍內(nèi)的函數(shù)值可由它計算出來，即可做出一個函數(shù)值表三、函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)m，n為正整數(shù)時，反復(fù)應(yīng)用函數(shù)的遞推公式可得：(m,n)=(m,n-1)=(m,1)又由于(m,1)=，所以(m,n)= =即(m，n)= 一般地，對于任何正實數(shù)p、q也有相同的關(guān)系：(p,q)= 證：對于函數(shù)，令x=，則，于是，從而4=4令，由二重積分化為累次積分計算公式有=, 所以4=4.(4)這

6、里D為平面上第一象限部分。下面討論（4）式右邊的反常二重積分。記于是有4=4，對上式右邊積分應(yīng)用極坐標(biāo)變換，則可得4=2=2(p+q)再由函數(shù)其他形式（a）就得到(p,q)(p+q)四、在計算積分之中的應(yīng)用1、積分值計算：例1、解：原式=參考文獻：【1】、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析M， (上，下冊)北京：高等教育出版社2007【2】、李鐵木 編著分析提綱與命題證明M，（第二冊）北京：宇航出版社，1986 【3】、費定輝，周學(xué)圣等，吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（五）M，濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1999 【4】裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M . 北京: 高等教育出版社, 1993.【5

7、】. 菲赫金哥爾茨. 微積分學(xué)教程M . 北京:高等教育出版社,1986. Solving definite integral calculation by using Euler integral Wang QingGuo Abstract : In this paper, aiming at solving some very difficult definite integral calculation problems ,these problems are transformed into Euler integral through certain transformation at first ,then these problems are solved easily by using some of properties of Euler integral,so it provides an effective metho