（精心整理）歐拉積分及其應用

1、歐拉積分及其簡單應用 引言：我們知道無窮級數是構造新函數的一種重要工具，利用它我們可以構造出處處連續(xù)而處處不可微的函數，還可以構造出能填滿正方形的連續(xù)曲線（參見常庚哲、史濟懷著數學分析教程第三冊第17章17.8）含參量積分是構造新函數的另一重要工具，歐拉積分就是在應用中經常出現(xiàn)的含參量積分表示的函數。它雖身為含參量積分的一種特例，被教科書編用于加深對含參量積分所表示的函數的分析方法的理解。但本身也是許多積分的抽象概括，能為相關積分的計算帶來方便。歐拉積分包括：伽馬（Gamma）函數：(s)=, s0.-（1） 貝塔（Beta）函數：B(p，q)= ， p0, q0-（2）下面我們分別討論這兩個

2、函數的性質：一、B函數Euler第一積分1、 定義域：B(p，q)=+= + 對 = 當x0時. = 其收斂須p0對=. 當x1時 ， =,令.1-x=t= 其收斂須.q0. B(p，q) 定義域為p0,q0.2、 連續(xù)性因為對p。0，q。0有pp。,qq。而收斂，故由魏爾斯特拉斯M判別法知B(p，q)在p。p+,q。q0,q0內連續(xù)。3、 對稱性B(p，q)=B(p，q)作變換 x=1-y, 得B(p，q)= = B(q，p)4、 遞推公式B(p，q)=B(p，q-1)(p0,q1)(1)B(p，q)=B(p-1 ，q)(p1,q0).(2)B(p，q)= B(p-1，q-1)(p1,q1)

3、(3)B(p ，q)=B(p+1，q)+ B(p，q+1)(p-1,q-1).(4)下面只證明(1)；(2)可由對稱性及公式(1)推出；(3 )、(4)可由公式(1).、(2.推得；當P0,q1時，有B(p，q)=+= B(p，q1) B(p，q)移項并整理得(1)5、 B(p，q)的其他形式a,令x=則B(p，q)=2特別的當p=q=, B(p，q) =B(，)=b.令x= 當 x:01 有 t :+0B(p，q)= =+考察,令t=,則有=.B(p，q) =二、函數Euler第二積分1、定義域(s)=+= + 其中 = ,當s1時是正常積分；當0s0時是收斂的無窮限反常積分（也可用柯西判別

4、法推得）；所以，函數在s0時收斂，即定義域為s0.2、連續(xù)性在任何閉區(qū)間a，b(a0)上，對 ，當0x1時有由于收斂，從而 在a，b上一致收斂;對于 ，當1x0上連續(xù)3、可微性=（利用狄利克雷判別法）它在任何閉區(qū)間a，b(a0)上一致收斂.(s)在a，b上可導.由a，b的任意性，(s)在s0上可導，且(s)= s0.依照上面的方法，還可推得(s) 在s0上存在任意階導數： (s)=.s0.4、遞推公式 (s+1)=s(s) 證：分部積分法=+=+設A+，就得到(s)的遞推公式：(s+1)=s(s)設nsn+1，即0sn1，應用遞推公式n次可得到(s+1)=s(s)=s(s-1)(s-1)=.=

5、s(s-1)(s-2)(s-n)(s-n)因（1）=1 若s為正整數n+1，則(n+2)=(n+1)n.2(1)=(n+1)！從上可以看出：（2） . 函數是階乘的推廣（x）?。?）如果已知（s）在0s1上的值，那么在其他范圍內的函數值可由它計算出來，即可做出一個函數值表三、函數與函數之間的關系當m，n為正整數時，反復應用函數的遞推公式可得：(m,n)=(m,n-1)=(m,1)又由于(m,1)=，所以(m,n)= =即(m，n)= 一般地，對于任何正實數p、q也有相同的關系：(p,q)= 證：對于函數，令x=，則，于是，從而4=4令，由二重積分化為累次積分計算公式有=, 所以4=4.(4)這

6、里D為平面上第一象限部分。下面討論（4）式右邊的反常二重積分。記于是有4=4，對上式右邊積分應用極坐標變換，則可得4=2=2(p+q)再由函數其他形式（a）就得到(p,q)(p+q)四、在計算積分之中的應用1、積分值計算：例1、解：原式=參考文獻：【1】、華東師范大學數學系，數學分析M， (上，下冊)北京：高等教育出版社2007【2】、李鐵木 編著分析提綱與命題證明M，（第二冊）北京：宇航出版社，1986 【3】、費定輝，周學圣等，吉米多維奇數學分析習題集題解（五）M，濟南：山東科學技術出版社，1999 【4】裴禮文. 數學分析中的典型問題與方法M . 北京: 高等教育出版社, 1993.【5

7、】. 菲赫金哥爾茨. 微積分學教程M . 北京:高等教育出版社,1986. Solving definite integral calculation by using Euler integral Wang QingGuo Abstract : In this paper, aiming at solving some very difficult definite integral calculation problems ,these problems are transformed into Euler integral through certain transformation at first ,then these problems are solved easily by using some of properties of Euler integral,so it provides an effective metho