計算方法課件10月17日數(shù)據(jù)擬合多變量擬合,

1、上節(jié)課上節(jié)課(2011-10-13)重點(diǎn)回顧重點(diǎn)回顧謝謝劉洋琳同學(xué)謝謝劉洋琳同學(xué)帶領(lǐng)大家做回顧總結(jié)！帶領(lǐng)大家做回顧總結(jié)！設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在n個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為 求一個簡單的近似函數(shù)求一個簡單的近似函數(shù)(x)，使之使之 “最好最好”地逼近地逼近f(x)， 而而。稱函數(shù)。稱函數(shù)y=(x)為為擬合函數(shù)擬合函數(shù)。 通常選擇函數(shù)類型的做法：描出散點(diǎn)圖，通常選擇函數(shù)類型的做法：描出散點(diǎn)圖， 再根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)來選擇再根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)來選擇(x)的類型。的類型。 設(shè)設(shè)表示按擬合直線表示按擬合直線 y=a+bx求得的近似值，兩者之差求得的近似值，兩者之差稱為稱為只能只能地從

2、所給數(shù)據(jù)點(diǎn)地從所給數(shù)據(jù)點(diǎn)( xi ,yi )通過，通過，就是說，就是說，地成立地成立yabx1 2, ,.,iiyabx iN擬合直線擬合直線12, ,.,iiya bx iN iiiyye按最小二乘法按最小二乘法, 作直線擬合應(yīng)使作直線擬合應(yīng)使(3): NiiixybabaQ12)(),(為最小，為最小，得方程組得方程組0, 0 bQaQ）2min,()iieeya bxiii (1) 數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖, 大致呈直線關(guān)系大致呈直線關(guān)系, 可以用直線進(jìn)行擬合可以用直線進(jìn)行擬合;(2) 計算計算20000,NNNNiiiiiiiiiyyxxx和(3)寫出正規(guī)方程組，求出寫出正規(guī)方程組，求出

3、a，b;(4) 寫出擬合直線方程寫出擬合直線方程 y*=ax+b.2iiiiiiaNbxyaxbxx y很多實(shí)際問題中很多實(shí)際問題中，如，如k個因素個因素x1，x2，xk. 做做N次試驗(yàn)得數(shù)據(jù)表次試驗(yàn)得數(shù)據(jù)表, Nk.很多實(shí)際問題中很多實(shí)際問題中，如，如k個因素個因素x1，x2，xk. 做做N次試驗(yàn)得數(shù)據(jù)表次試驗(yàn)得數(shù)據(jù)表, Nk.，選近似方程，選近似方程*01 122.kkyaa xa xa x通常實(shí)驗(yàn)次數(shù)大于因素個數(shù)通常實(shí)驗(yàn)次數(shù)大于因素個數(shù)Nk, N個條件，個條件，k個待定量，個待定量，條件個數(shù)大于未知量個數(shù)，得到矛盾方程組，條件個數(shù)大于未知量個數(shù)，得到矛盾方程組，。iiiyye*2mini

4、ie按最小二乘法按最小二乘法, 作直線擬合應(yīng)使作直線擬合應(yīng)使為最小，為最小， 得方程組得方程組0100.0kQaQaQa*01 122(.)iiiiiikkieyyyaa xa xa x201,01 1221(,.)(.)NkiiikkiiQ a aayaa xa xa x每次試驗(yàn)的誤差每次試驗(yàn)的誤差0112210011221110112212(.)02(.)0.2(.)0NiiikkiiNiiikkiiiNiiikkikiikQyaa xa xa xaQyaa xa xa xxaQyaa xa xa xxa 201,011221(,.)(.)NkiiikkiiQ aaayaa xa xa x

5、求導(dǎo)：求導(dǎo)：01122111121011122111111120112211111.NNNNiikikiiiiiNNNNNiiiiikikiiiiiiiNNNNNkikiikiikikkiiiiiiiN ax axax ayx axax xax x axyx axx axxax axy整理得：整理得：01122111121011122111111120112211111.NNNNiikikiiiiiNNNNNiiiiikikiiiiiiiNNNNNkikiikiikikkiiiiiiiNax ax ax ayx axax x ax x ax yx ax x ax x ax ax y解出解出a0

6、,a1,ak，則可得多變量擬合函數(shù)則可得多變量擬合函數(shù)*01 122.kkyaa xa xa x當(dāng)當(dāng)任一因素不能用其它因素線性表出時任一因素不能用其它因素線性表出時，正規(guī)方程總有唯一解。，正規(guī)方程總有唯一解?？苫喺頌榱硪恍问娇苫喺頌榱硪恍问?先解出先解出a1,a2,ak, 然后解然后解a0.其中：其中：01122111121011122111111120112211111.NNNNiikikiiiiiNNNNNiiiiikikiiiiiiiNNNNNkikiikiikikkiiiiiiiNax ax ax ayx ax ax x ax x ax yx ax x ax x ax ax y

7、0112211121011122111112202112221111NNNiiiiiiNNNNiiiiiiiiiiNNNNiiiiiiiiiiNax ax ayx axax x ax yx ax x ax axy若只有若只有a0, a1, a2正規(guī)方程：正規(guī)方程： x1i x2i yi x21i x22i x1ix2i x1iyi x2iyi x12 x22 x1x2 x1y x2y 0112211121011122111112202112221111NNNiiiiiiNNNNiiiiiiiiiiNNNNiiiiiiiiiiNax ax ayx axax x ax yx axx ax axy或

8、：或：若只有若只有a0,a1,a2:Q擬合方程為擬合方程為 *120.0740.09990.0245yxx兩個因素兩個因素x1，x2 x1i x2i yi x21i x22i x1ix2i x1iyi x2iyi x12 x22 x1x2 x1y x2y 0112211121011122111112202112221111NNNiiiiiiNNNNiiiiiiiiiiNNNNiiiiiiiiiiNax ax ayx axax x ax yx axx ax axy*120.0740.09990.0245yxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在n個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為y*=n(x)=a

9、nxn+an-1xn-1+a1x+a0用用n次多項式擬合次多項式擬合對每個點(diǎn)或每次實(shí)驗(yàn)的誤差：對每個點(diǎn)或每次實(shí)驗(yàn)的誤差：*()iniiiiyxyye21NiniiQyx()n(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,用用n次多項式擬合次多項式擬合使誤差平方和最小使誤差平方和最小21NiniiQyx()212211122110102101001222NiniiNNNiininiiiiNNnNnjjijiijiiijijNnNnnNjjkijiijkiijijkiQyxyyxxya xya xyaxya ax ()()()()()()()0jQa得：得：101022NnNjj kiikii

10、kijQy xaxa 從而推出從而推出n+1個正規(guī)方程以求解個正規(guī)方程以求解n+1個未知量個未知量aj0110 1(), ,.,nNNj kjkiiikiiaxy xjn2121010012()()()NiniiNnNnnNjjkijiijkiijijkiQyxyaxya ax 0110 1(), ,.,nNNj kjkiiikiiaxy xjn可展開為：可展開為：012001211111123110121111112201211111.NNNNNniiiniiiiiiiiNNNNNniiiniiiiiiiiNNNNNnnnnniiiniiiiiiiiaxaxaxaxy xaxaxaxaxy

11、xaxaxaxaxy x正規(guī)方程存在唯一解的條件：點(diǎn)正規(guī)方程存在唯一解的條件：點(diǎn)xi互異?；ギ?。012001211111123110121111112201211111.NNNNNniiinii iiiiiiNNNNNniiinii iiiiiiNNNNNnnnnniiinii iiiiiiaxaxaxaxyxaxaxaxaxyxaxaxaxaxyx若只有若只有a0,a1,a2:0120012111112310121111120121111NNNNiiii iiiiiNNNNiiii iiiiiNNNNnnnniiii iiiiiaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxaxyxi 1 2 3

12、4 5 xi 0 0.25 0.50 0.75 1.00yi 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183Solution：n=2， N=5，three normal equations are01201201252 51 8758 76802 551 8751 56255 45141 8751 56251 38284 4015.aaaaaaaaaWhich givesa0=1.0051, a1=0.86468, a2=0.843160120012111112310121111120121111NNNNiiiiiiiiiNNNNiiiiiiiiiNNNNnnnniiii

13、iiiiiaxaxaxy xaxaxaxy xaxaxaxy xy*=2(x)=a2x2+a1x+a0The least squares polynomial of degree 2 fitting the dada in Table is2(x)=1.0051+0.86468x+0.84316x2The total error,524212 7410iiiQyx().is the least that can be obtained by using a polynomial of degree 2.i 1 2 3 4 5 xi 0 0.25 0.50 0.75 1.00yi 1.0000

14、1.2840 1.6487 2.1170 2.71832(xi) 1.0051 1.2740 1.6482 2.1279 2.7129 -0.0051 0.0100 0.0004 -0.0109 0.00540.250.500.751.0012每點(diǎn)誤差每點(diǎn)誤差擬合圖：擬合圖：: 變量之間的關(guān)系不呈線性關(guān)系變量之間的關(guān)系不呈線性關(guān)系.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在n個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為如:根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)來確定經(jīng)驗(yàn)曲線根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)來確定經(jīng)驗(yàn)曲線 的近似公式的近似公式.畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖的分布形狀及根據(jù)散點(diǎn)圖的分布形狀及 特點(diǎn)來選擇適當(dāng)?shù)那€特點(diǎn)來選擇適當(dāng)?shù)那€

15、.常見非多項式的非線性關(guān)系常見非多項式的非線性關(guān)系:冪函數(shù)冪函數(shù): (x)= a+bxc指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：(x)= a+becx對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：(x)=a+blnx通過通過將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程, 轉(zhuǎn)為直線數(shù)據(jù)擬合問題轉(zhuǎn)為直線數(shù)據(jù)擬合問題.方程兩邊方程兩邊，轉(zhuǎn)換為線性擬合問題。，轉(zhuǎn)換為線性擬合問題。A. 通過通過將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程將非線性方程轉(zhuǎn)換為線性方程, 轉(zhuǎn)為直線數(shù)據(jù)擬合問題轉(zhuǎn)為直線數(shù)據(jù)擬合問題.冪函數(shù)冪函數(shù): (x)= a+bxc指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：(x)= a+becx對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：(x)=a+blnx指數(shù)上無未知變量，指數(shù)上無未知變量

16、，c為已知常數(shù)為已知常數(shù):冪函數(shù)冪函數(shù): (x) = a + b xc指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：(x) = a + b ecx對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：(x) = a + b lnx冪函數(shù)冪函數(shù)：令令 x=xc，則則 (x) = a + b xc =a + bx 指數(shù)函數(shù)：令指數(shù)函數(shù)：令x= ecx ，則，則 (x) = a + b ecx =a + bx對數(shù)函數(shù)：令對數(shù)函數(shù)：令x= lnx ，則，則 (x) = a + b lnx =a + bx均可通過均可通過 (x) =a + bx， 然后用直線擬合的最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。然后用直線擬合的最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。此方法可推廣解決其它可化為線性的非線

17、性擬合問題。此方法可推廣解決其它可化為線性的非線性擬合問題。(1) 計算計算20000,NNNNiiiiiiiiiyyxxx和(2)寫出正規(guī)方程組，求出寫出正規(guī)方程組，求出 a，b;(3) 寫出擬合直線方程寫出擬合直線方程 y*=ax+b.2iiiiiiaNbxyaxbxx y例例3散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖：根據(jù)散點(diǎn)圖，選用雙曲線根據(jù)散點(diǎn)圖，選用雙曲線11abyx11abyx做變量替換：做變量替換：11,yxyx得線性關(guān)系：得線性關(guān)系：yabx2iiiiiiaNbxyaxbxx y針對數(shù)據(jù)針對數(shù)據(jù)x，y的正規(guī)方程：的正規(guī)方程：2iiiiiiaNbxyaxbxx y教材表教材表3-6，計算計算x，y，及正

18、規(guī)方程的系數(shù)。，及正規(guī)方程的系數(shù)。寫出正規(guī)方程組：寫出正規(guī)方程組：132 0508830 118266722 0508830 53721800 018835170 0089660 00083020 0089660 0008302110 0089660 00083020 0089660 0008302*.,.*.*.abababyxyxxyx得變量替換回原變量x和y冪函數(shù)冪函數(shù): y= a xb指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：y = a ebx，如，如:則則冪函數(shù)冪函數(shù): lny = lna +b lnx指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：lny= lna +bx然后做然后做：y=ln y，x=ln xA=lnalny =

19、 lna +b lnxy=A+bxlny= lna +bxy=A+bxy=ln y，A=lna例例4 求一經(jīng)驗(yàn)函數(shù)形如求一經(jīng)驗(yàn)函數(shù)形如y=aebx的公式，的公式，a，b為常數(shù)，為常數(shù)，使與表中數(shù)據(jù)相擬合。使與表中數(shù)據(jù)相擬合。x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6解：先對經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取常用對數(shù)解：先對經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取常用對數(shù)lg y = lg a + b x lg e變量替換變量替換 令令y=lg y，A= lg a，B=b lg e得得y = A + B xy 1.1847 1.3118 1.4378 1.5635

20、 1.6911 1.8169 1.9435 2.0704 2iiiiiiANBxyAxBxx y變量替換后正規(guī)方程組為：變量替換后正規(guī)方程組為：2iiiiiiANBxyAxBxx yyxy0 291383613 01973620463 90031 05830 1265ab11 440 291311 44.,.,.xABABABabye解得從而算出 和得出經(jīng)驗(yàn)公式正規(guī)方程正規(guī)方程 求一經(jīng)驗(yàn)函數(shù)形如求一經(jīng)驗(yàn)函數(shù)形如y=aebx的公式，的公式，a，b為常數(shù)，為常數(shù)，使與表中數(shù)據(jù)相擬合。使與表中數(shù)據(jù)相擬合。x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 15.3 20.5 27.4 36.6 49.1 65.6 87.8 117.6解：先對經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取自然對數(shù)解：先對經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取自然對數(shù)ln y = ln a + b x 變量替換變量替換 令令y=ln y，A= ln a得得y = A + bxy 1.1847 1.3118 1.4378 1.5635 1.6911 1.8169 1.9435 2.0704 2iiiiiiANbxyAxbxx y變量替換后正規(guī)方程組為：變量替換后正規(guī)方程組為：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在n個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為用用n次多項式擬合次多項式擬合做變量替換：做變量替換：z1=x, z2=x2, z3=x3, , zn=xn然后用多變量