數(shù)值分析習(xí)題課

1、數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法（數(shù)值分析）（數(shù)值分析）課程復(fù)習(xí)與習(xí)題講解課程復(fù)習(xí)與習(xí)題講解課程考察范圍n1、引論n2、插值法n3、數(shù)值積分n4、解線性方程組直接法n5、解線性方程組迭代法n6、非線性方程組數(shù)值解法n7、常微分方程初值問(wèn)題數(shù)值解法（注：每個(gè)章節(jié)均有重點(diǎn)內(nèi)容）試題構(gòu)成n填空題5小題，共計(jì)10分。n計(jì)算題6小題，每題15分，共計(jì)90分。n各章均占15%左右權(quán)重。n各章重點(diǎn)方法和公式要求掌握。n（注1：試題總體難度等級(jí)簡(jiǎn)單）n（注2：試題有一定的計(jì)算量，希望復(fù)習(xí)作業(yè)熟練掌握本課程重點(diǎn)方法計(jì)算過(guò)程）n（注3：考試需攜帶計(jì)算器）1、引論n誤差與有效數(shù)字（重）p6：例1,2n數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)n算

2、法穩(wěn)定性與病態(tài)條件數(shù) p11：例6-8作業(yè)作業(yè)1、課本（清華版）、課本（清華版）p19，習(xí)題，習(xí)題3、4.2、知近似值、知近似值x1=1.42，x2=-0.0184，x3=184*10-4的絕對(duì)誤差限均為的絕對(duì)誤差限均為0.5*10-2，問(wèn)他們各有幾位有效，問(wèn)他們各有幾位有效數(shù)字。數(shù)字。（參見(jiàn)書后答案和課件例題！自己對(duì)照?。┯涀。簻?zhǔn)確到某位記住：準(zhǔn)確到某位-誤差限是該位的半個(gè)單位！誤差限是該位的半個(gè)單位！n是圓周率真實(shí)值的近似值 ，其有 3 位有效數(shù)字。n根據(jù)誤差穩(wěn)定性原則 ，在計(jì)算等 式時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)變成 計(jì)算。3.14159265xxy1xxy11歷年試題分析2、插值法n線性插值（重）p28：例2

3、n拋物線插值n拉格朗日插值多項(xiàng)式n均差（重）p31：均差表，p32：例題4n均差與牛頓插值（重）n誒爾米特插值n分段線性插值n三次樣條插值（重）p44：例：例7與課件中例題的區(qū)別與課件中例題的區(qū)別復(fù)習(xí)題n1、已知 ，求f(x)的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式，并利用該多項(xiàng)式計(jì)算的值。（保留三位有效數(shù)字）n2、已知函數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)為如下表： x 123 y0-53 求Lagrange插值多項(xiàng)式為：1.構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式構(gòu)造拉格朗日多項(xiàng)式p(x)逼近逼近f(x)=x3，要求：，要求：（1）節(jié)點(diǎn)）節(jié)點(diǎn)x為為-1,1，做線性插值。，做線性插值。（2）節(jié)點(diǎn)）節(jié)點(diǎn)x為為-1,0,1，做拋物插值。，做拋物插值。（3）

4、節(jié)點(diǎn)）節(jié)點(diǎn)x為為-1,0,1,2，做三次插值。，做三次插值。歷年考題( 1)2,(1)1,(2)1fff復(fù)習(xí)題2.給定函數(shù)f(x)=x3-4x，試建立關(guān)于xi=i+1（i=1.5）的差商表,并列出關(guān)于x0,x1,x2,x3的插值多項(xiàng)式p(x)。歷年考題n1、設(shè)，取x0=4,x1=9,x2=6.25,則差商 -0.0080808 。（結(jié)果保留5位有效數(shù)字）n2、給定如下數(shù)據(jù)：n 試列出三階差商表，求出f(x)的三次牛頓插值多項(xiàng)式，并利用該多項(xiàng)式計(jì)算f(0)的值。（保留三位有效數(shù)字） 12340563iixf x112123,10255361243951kkkkkkkkkkkxfxf xxf xx

5、xf xxxx 332351 +21 (2)1234+303NxxxxxxxxxN 復(fù)習(xí)題作業(yè)題9、構(gòu)造適合系列數(shù)據(jù)的三次樣條S(x)。 x -1 0 1 3 y -1 1 3 5 y 6課件例4 已知的函數(shù)值如下： x 1 2 4 5 f (x) 1 3 4 2在區(qū)間1,5上求三次樣條插值函數(shù)S(x),使它滿足邊界條件 0)5(, 0) 1 ( SS3、數(shù)值積分n數(shù)值積分基本思想n代數(shù)精度（重）p100：例1n插值型求積公式n牛頓-科特斯公式（重：辛普森公式。p104）n復(fù)合求積公式（重：復(fù)合辛普森。p108：例3）n龍貝格求積公式（重：p110，例5-p112，例6）n高斯求積公式（重：p

6、120，例9）歷年考題n1、求積公式 的代數(shù)精度為 3 次。n2、使用梯形公式 計(jì)算積分時(shí)截?cái)嗾`差為 n 0.6796 。（結(jié)果保留4位有效數(shù)字）n3、所有牛頓柯特斯求積公式的系數(shù)和均為1。 （）11 -) 1 ()0(4)-1(31)(fffdxxf211dxex 例例 依次用依次用n=8n=8的復(fù)合梯形公式、的復(fù)合梯形公式、n=4n=4的復(fù)合的復(fù)合 辛卜生公式計(jì)算定積分辛卜生公式計(jì)算定積分 10dsinxxxI解解: :首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,n=8,n=8時(shí)，時(shí)， 125. 081h由復(fù)合梯形公式可得如下計(jì)算公式：由復(fù)合梯形公式可得如下計(jì)算公式： 945

7、6909. 0) 1 ()875. 0(2)75. 0(2)625. 0(2) 5 . 0(2)375. 0(2)25. 0(2)125. 0(2) 0(1618fffffffffT由復(fù)合辛卜生公式可得如下計(jì)算公式由復(fù)合辛卜生公式可得如下計(jì)算公式9460832.0)875.0()625.0()375.0()125.0(4) )75.0()5 .0()25.0(2)1 ()0(2414fffffffffS（積分準(zhǔn)確值（積分準(zhǔn)確值I=0.9460831I=0.9460831） 這兩種方法都需要提供這兩種方法都需要提供9 9個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分

8、的準(zhǔn)算量基本相同，然而精度卻差別較大，同積分的準(zhǔn)確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比確值（是指每一位數(shù)字都是有效數(shù)字的積分值）比較，復(fù)合梯形法只有兩位有效數(shù)字較，復(fù)合梯形法只有兩位有效數(shù)字(T(T8 8=0.9456909),=0.9456909),而復(fù)合辛卜生法卻有六位有效數(shù)而復(fù)合辛卜生法卻有六位有效數(shù)字。字。龍貝格求積計(jì)算步驟 解決用梯形公式計(jì)算積分近似值解決用梯形公式計(jì)算積分近似值 按變步長(zhǎng)梯形公式計(jì)算積分近似值按變步長(zhǎng)梯形公式計(jì)算積分近似值 將區(qū)間逐次分半將區(qū)間逐次分半, ,令區(qū)間長(zhǎng)度令區(qū)間長(zhǎng)度 )()(21bfafabT), 2 , 1 , 0(2kabhk102)(2221

9、nkknnxfhTT計(jì)算計(jì)算)2(kn 按加速公式求加速值按加速公式求加速值 322nnnnTTTS1522nnnnSSSC6322nnnnCCCR梯形加速公式：梯形加速公式： 辛卜生加速公式：辛卜生加速公式： 龍貝格求積公式：龍貝格求積公式： 精度控制；直到相鄰兩次積分值精度控制；直到相鄰兩次積分值 nnRR2（其中（其中為允許的誤差限）則終止計(jì)算并取為允許的誤差限）則終止計(jì)算并取R Rn n請(qǐng)參見(jiàn)請(qǐng)參見(jiàn)P112P112教材說(shuō)明，加深理解！教材說(shuō)明，加深理解！T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2例例 用龍貝格算法計(jì)算定積分用龍貝格算法計(jì)算定積分 要求相鄰兩次龍貝格值的偏

10、差不超過(guò)要求相鄰兩次龍貝格值的偏差不超過(guò)解解: :由題意由題意 102d14xxI510214)(, 1, 0 xxfba3)24(21) 1 ()0(211ffT1 . 351621321)(21212112fTT13118. 3)56. 2764. 3(411 . 321)()(4121434124ffTT13899. 3)()()()(81218785838148ffffTT14094. 3)()()()()()()()(16121161516131611169167165163161816ffffffffTT1333.33134121TTS14157. 33134242TTS14159

11、.33134484TTS14159.331348168TTS14212. 31511516121SSC14159. 31511516242SSC14159. 31511516484SSC14158. 36316364121CCR14159. 36316364242CCR由于由于 ，于是有，于是有 00001. 012RR14159. 3d14102xxI4、解線性方程組直接法n高斯消去法（重：p143，例2）n列主消元法（重：p148，例4）nLU分解n平方根法n追趕法n向量和矩陣范數(shù)（重）n矩陣的條件數(shù)（重）歷年考題n1、 給定下述線性方程組nnn用列主元高斯消去法求解該方程組（保留3位有效數(shù)字）。（10分）n2、123246349251134xxx n3、給定下述線性方程組nn試分別用（1）選列主元高斯消去法 （保留3位有效數(shù)字）（7分）n （2）采用Doolittle（杜利特爾）法進(jìn)行LU分解，（保留3位有效數(shù)字）（7分）n求解該方程組。歷年考題123223347712457xxx5、解線性方程組迭代法n迭代法思想n迭代法收斂性（迭代矩陣譜范數(shù)r)xt=(a+b)/2;k=k+1;if fx(a)*fx(xt)r)x0=x1;x1=fx(x0);