第三章隨機(jī)過程的功率譜密度

1、第三章 隨機(jī)過程的功率譜密度 主要內(nèi)容：隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜密度函數(shù)的性質(zhì)功率譜密度函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)時(shí)間和等效功率譜帶寬聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互功率譜密度白噪聲與色噪聲3.1 功率譜密度函數(shù)3.1.1 確定信號(hào)的頻譜和能量譜密度 3.1 功率譜密度函數(shù)3.1.1 確定信號(hào)的頻譜和能量譜密度 確定信號(hào) 是在 的非周期實(shí)函數(shù)， 的傅立葉變換存在的充要條件是：(1). 滿足狄利赫利條件(2). 總能量有限，即 txt tx dttx dttx2則信號(hào) 的傅立葉變換為傅立葉反變換為根據(jù)巴塞伐(Parseval)定理(總能量的譜表達(dá)式) 稱為信號(hào)的能量譜密度。

2、 tx dtetxjwFjwtx dwjwFdttxx22212jwFx dtejwFtxjwtx213.1.2 隨機(jī)過程的功率譜密度 隨機(jī)過程的樣本函數(shù) 不滿足傅立葉存在的絕對(duì)可積和能量可積條件，傅立葉不存在。 tx txt0圖 3-1 樣本函數(shù) 采取截?cái)嗪瘮?shù) 規(guī)范化隨機(jī)信號(hào)，使之滿足傅立葉變換條件。截?cái)嗪瘮?shù)定義為： othersTttxtxT, 0, txT0 txtTT圖 3-2 及截?cái)嗪瘮?shù) tx 保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0 當(dāng)T為有限值時(shí)，截?cái)嗪瘮?shù)滿足傅立葉變換條件，傅立葉變換為 傅立葉反變換為 由巴塞伐定理得 對(duì)上式兩邊除2T TTjwtjwtTxdtetxdtetxTjwF,

3、 dteTjwFtxjwtxT,21 dwTjwFdttxdttxxTTTT222,21 dwTTjwFdttxdttxTxTTTT2,2121222 樣本函數(shù)在時(shí)間區(qū)間 的平均功率。 由于樣本函數(shù)是隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)，取決于隨機(jī)試驗(yàn)，平均功率具有隨機(jī)性。 可采用集合平均消除樣本函數(shù)的隨機(jī)性，即兩邊取極限 dwTTjwFdttxdttxTxTTTT2,2121222TT, dwTTjwFEdttXTExTT2,212122 dwTTjwFEdttXETxTT2,lim2121lim22若設(shè)上式表示為 稱為隨機(jī)過程 的功率譜密度。如隨機(jī)過程是寬平穩(wěn)過程時(shí)，則 TTjwFEwSXTX2,l

4、im2 XS tX dwwSPdttXETXXT2121lim2 dwwStXEdttXETXT2121lim223.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系及其性質(zhì) 自相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間域上描述隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的重要特征。 功率譜密度是從頻率域上描述隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的重要特征。 自相關(guān)函數(shù) 功率譜密度？自相關(guān)函數(shù)功率譜密度隨機(jī)過程?timefrequency圖3-3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)3.2.1 維納辛欽定理 平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程 的自相關(guān)函數(shù) 和功率譜密度 有如下關(guān)系： 證明：由功率譜密度函數(shù)定義 tX XB XS deSBjXX21 deBSjXX TdtetXtXEdtTdtetXtXd

5、tETdtetXdtetXETTjFTjFETTjFESTTttjTTTTTttjTTTTTtjTTtjTXXTXTX2lim2lim2lim2,lim2,lim1122112222112121221功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是傅立葉變換對(duì)在區(qū)間 定義則有令 則 得證。 otherstXtXETttttBtXtXEX0,21212121TT, TdtdtettBTdtdtettBSTTttjTTXTTTttjTTXTX2,lim2,lim212121211212 12tt ddt 2 各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程令1111111111,21lim2,limdeBdeBdettBttdtdettBTTdd

6、tettBSjXjXjXjTTXTtTtTjTTXTX功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)時(shí)間平均值是傅立葉變換對(duì) deSBjXX213.2.2 功率譜密度的性質(zhì)1. 功率譜密度為非負(fù)實(shí)函數(shù)，即證明: 根據(jù)功率譜密度定義2. 功率譜密度函數(shù)為 的偶函數(shù),即 0XS TTjFESXTX2,lim2 XXSS 證明 : 由功率譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系同理 dttBdttBdjttBdettBSXXXjXXsin,cos,sincos,sinsincoscos,ttBttBXXdttBSXXcos, dttBSXXcos, XXSS3. 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度是可積函數(shù),即證明: 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程有 平穩(wěn)隨機(jī)過程的

7、均方值有限 平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度可積,即 dSX dStXEX212 dSX4. 功率譜與相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)各經(jīng)歷態(tài)過程 ,ttBSXX XXBS XXBSttX0圖3-4 隨機(jī)過程及其功率譜密度函數(shù)0 wSX非負(fù)實(shí)數(shù)可積偶函數(shù)3.2.3 功率譜 與 平均功率1. 平均功率是功率譜在頻率空間的積分證明： XSXP dSPXX21 dSdeStXEtxAPXtjXX2121022平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)2.特定頻率 上平均功率3.單邊譜密度 與雙邊譜密度 21,212,X dSXX2121,112 XS XS 0002XXSS物理譜密度函數(shù) dSPXX021 dSXX2121,2124.

8、 函數(shù)功率譜密度指單位帶寬上平均功率；直流與周期平穩(wěn)隨機(jī)過程在頻率軸有離散譜線；ttX0圖3-5 周期平穩(wěn)隨機(jī)過程及其功率譜密度0 wSX零帶寬上有限功率 無限的功率譜密度 隨機(jī)過程的功率譜密度不一定可積，即 函數(shù) dSX othersxx00 1dxx 0fdxxfx 10jjede 2121210jjede jxexfxif, xjexfxif , 21 21x0圖3-6 函數(shù) 利用 函數(shù)，含有直流分量或周期分量的平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度可表示為 2_0tXBBXX 2_02tXSSXX _0tXtXtX ttXtX00cos 00cos21XXBB 00021XXSS XS0圖 3-7

9、直流分量 XS0圖 3-8 周期分量 若功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)為 函數(shù)。 0nSX 0nBX0 XS圖3-9 常功率譜函數(shù)0 XB圖3-10 自相關(guān)函數(shù)例3-1 平穩(wěn)隨機(jī)過程 的自相關(guān)函數(shù)為求該隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。解：由維納辛欽定理，有 tX 0,eBX 220021100jjjejedeedeedeedeBSjwjwjwjwjwjwXX0 XB XS0圖 3-11 例3-13.2.4 幾種常見的 與 XB XS XB XS0 XB0 XB XB XB XS XS XS XS0000000,e222TT0cos1222sin4TT00例3-2 已知平穩(wěn)隨機(jī)過程 ，具有功率譜密

10、度為求該過程的自相關(guān)函數(shù)。解：由上例可知，若自相關(guān)函數(shù)具有 的形式，則功率譜密度為 ，本題中則自相關(guān)函數(shù)具有如下形式 tX 36131624XS 0,AeBX 222ASX 951645169416361316222224XS 2121eAeABX顯然因此所以自相關(guān)函數(shù)為915832951645422451622223,158; 2,542211AA 3215854eeBX3.3 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)時(shí)間和等效功率譜帶寬 自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)程度。 功率譜密度函數(shù)描述隨機(jī)過程的平均功率沿頻率軸的分布。自相關(guān)時(shí)間從數(shù)量上直觀描述隨機(jī)過程的在時(shí)間上關(guān)聯(lián)范圍。等效功率帶寬從數(shù)量

11、上直觀描述隨機(jī)過程在頻率上分布范圍。3.3.1 自相關(guān)時(shí)間 tXEtXE21相同的數(shù)學(xué)期望相同的方差(a)0t tX1(b)0t tX2 tXDtXD21圖3-12 和 的樣本函數(shù)曲線 tX1 tX2(b)圖 3-13 和 的自相關(guān)函數(shù) tX2 tX1(a)0 1XB0 2XB因?yàn)?，有由于 擴(kuò)展比 要大一些，因此 dBBXXk11021 dBBXXk22022 02111XXkBdB 02222XXkBdB tXEtXE21 tXDtXD21 tXEtXDBX12101 tXEtXDBX22202 0021XXBB 1XB 2XB dBdBXX2121kk 能描述相關(guān)程度1k(b)2k2k0

12、 2XB(a)1k1k0 1XB圖 3-14 自相關(guān)時(shí)間自相關(guān)時(shí)間定義：通常，當(dāng) 時(shí)，可認(rèn)為 與 的相關(guān)性已經(jīng)很弱，實(shí)際上已經(jīng)不相關(guān)了。 02002XXXXkBSBdBk tXtX3.3.2 等效功率譜帶寬(a)(b)t0 tX10t tX2 tXEtXE21圖3-15 和 的樣本函數(shù)曲線相同的數(shù)學(xué)期望 tXDtXD21相同的方差 tX1 tX2 2XS0 1XS0(a)(b)圖3-15 功率譜110 1XS220 2XS因?yàn)?，且所以 dSSXX11021 dSSXX22022 02200220211111101XXXjXXXSBSdeSSdS 02200222222XXXXSBSdS 00

13、21XXBB 0021XXSS21 能描述出隨機(jī)過程起伏程度圖3-15 等效功率帶寬等效功率帶寬定義：通常， 說明了 中起伏的最高頻率。 02XXSdS 022XXSdSff tX3.3.3 時(shí)間帶寬乘積 變化緩慢， 變化快， ； 起伏頻繁程度低， 變化起伏頻繁程度高， 。 時(shí)間帶寬乘積： tX1(a)(b)0t tX10t tX2 tXEtXE21圖3-16 和 的樣本函數(shù)曲線相同的數(shù)學(xué)期望 tXDtXD21相同的方差 tX1 tX2 tX221kk21ff 41020020XXXXkSBBSf常數(shù) tX1 tX2例3-3 設(shè)隨機(jī)過程 的自相關(guān)函數(shù)為試求該隨機(jī)過程的自相關(guān)時(shí)間和等效功率譜帶寬

14、。解：由自相關(guān)函數(shù)定義 tX 0,0TeBBTXX TdeBdeBBSBdBTXTXXXXXk22020020020等效功率譜帶寬 TTBBSBSSfXXXXXX4104002002 TBSXX020 例3-4 已知平穩(wěn)過程 的譜密度為求 的自相關(guān)函數(shù)，自相關(guān)時(shí)間和等效帶寬。解：由自相關(guān)函數(shù)與功率譜關(guān)系有 tX othersSX, 010,101208 tX 10101010101010101010sincos2sincos20821101208211012082121djdjdedededeSBjjjjXX 22222100210010010010055sin10045sin22410cos

15、124010cos24sin210sin2010sin2404sin2010sin210sin2404sin2010sin2404cos2cos2404dddddBX _20tXBBXX 20_255sin1004XBtX 10000XB othersSX010101200 2000XS 102002002000XXkBS 254010002000XXSBf0 0XS10100 0XB555252圖 3-17 例3-43.4 聯(lián)合平穩(wěn)過程的互功率譜密度 自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)程度。 互相關(guān)函數(shù)反映多個(gè)隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)程度。功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)3.4.1 互功率

16、譜 隨機(jī)過程的樣本函數(shù)不滿足傅立葉存在的絕對(duì)可積和能量可積條件。 采取截?cái)嗪瘮?shù)規(guī)范化隨機(jī)信號(hào)，使之滿足傅立葉變換條件。0 txtTT a 保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為00 tytTT圖 3-18 樣本函數(shù)及截?cái)嗪瘮?shù) 保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0 b othersTttytyT0othersTttxtxT0 截?cái)嗪瘮?shù) 和 滿足傅立葉變換的絕對(duì)可積和能量有限條件，即 傅立葉變換分別為 txT tyT dttxdttxTT2 dttydttyTT2 TTtjtjTxdtetxdtetxTjF, TTtjtjTydtetydtetyTjF,在時(shí)間范圍 內(nèi)， 和 的互功率為據(jù)巴塞伐定理用 代換 ，

17、則有互功率也可表示為TT, tx ty dttytxTdttytxTTPTTTTTTxy2121 dTjFTjFdttxtxxxTT,21 tyT txT dTjFTjFdttytxyxTT,21 dTTjFTjFdttytxTTPyxTTxy2,2121 由于 和 具有隨機(jī)性， 、 和 也具有隨機(jī)性； 為消除單一樣本的隨機(jī)性，采取樣本的統(tǒng)計(jì)平均來得到隨機(jī)過程 和 的互功率。 將時(shí)間范圍擴(kuò)展至 ，即 設(shè) 則 tx tyTjFx,TjFy, TPxy tX tY dTTjFTjFEdttYtXTETPYXTTXY2,2121,T dTTjFTjFEdttYtXETPYXTTTTXY2,lim21

18、21lim TTjFTjFESYXTXY2,lim dSPXYXY21 互功率譜密度 XYS3.4.2 互功率譜的物理意義設(shè)實(shí)隨機(jī)過程 ，它由兩隨機(jī)過程 和相加：自相關(guān)函數(shù)為 TTjFTjFESYXTYX2,lim XYYXYXPdSP21 tW tX tY tYtXtW ttBttBttBttBtYtYEtXtYEtYtXEtXtXEtYtXtYtXEtWtWEttRYYXXYXW, 對(duì)自相關(guān)函數(shù)取時(shí)間平均 則 的功率譜密度為 是 和 絞聯(lián)、耦合部分在頻率空間上的表現(xiàn)。,ttBttBttBttBttRYYXXYXW tW YYXXYXWSSSSS YXXYSS和 tY tX3.4.3 互功率

19、譜與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系1.兩個(gè)隨機(jī)過程 和 的互相關(guān)函數(shù) 和互功率譜 之間滿足其中 tX tYttBXY, XYS dettBSjXYXY, deSttBjXYXY21,TTXYTXYdtttRTttB_,21lim,證明：根據(jù)互功率譜定義有由傅立葉變換 deBttttdedtTttBdtdteTttBTdtdtetYtXETdtetYdtetXETTjFTjFESjTTXYTjTTTTXYTttjTTTTXYTTTttjTTTtjTTtjTTTYXTXY 21212121212211lim,2,lim2,lim2lim2lim2,lim121221 deSttBjXYXY21,2. 若隨機(jī)過程

20、 和 聯(lián)合平穩(wěn)，互相關(guān)函數(shù) 和互功率譜 之間滿足證明：據(jù)聯(lián)合平穩(wěn)過程的性質(zhì)，有將其帶入一般關(guān)系式，就可得此關(guān)系。 tX tY XYS deBSjXYXY deSBjXYXY21 XYTTXYTTTXYTXYBdtBTdtttBTttB21lim,21lim, XYXYBttB,3.4.4 互功率譜性質(zhì)1.2.3.若隨機(jī)過程 和 正交，則4.若隨機(jī)過程 和 不相關(guān)，且的均值為常數(shù) ，則 YXXYSS YXYXXYXYSSSSReReReRe YXYXXYXYSSSSImImImIm 0, 0YXXYSS tX tX tY tYYXmm , YXYXXYmmSS20,21ttBXY YXXYmmtXEtXEttB2121,3.5 白噪聲和色噪聲 按功率譜密度函數(shù)的形狀，可分為白噪聲和有色噪聲； 白噪聲可分為理想白噪聲和帶限白噪聲。功率譜函數(shù)形狀理想白噪聲帶限白噪聲0 XS(a)0 XS(b)圖 3-19 色噪聲(a)和白噪聲(b)0 XS(a)0 XS(b)圖 3-20 理想白噪聲(a)和帶限白噪聲(b)3.5.1 理想白噪聲 定義： 若 為一個(gè)具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度均勻分布在 的整個(gè)區(qū)間，即 其中 為一正