第九講 全等三角形的判定.

1、 春季同步課程 第九講 全等三角形的判定教學(xué)目標(biāo)掌握全等三角形的判定掌握判定兩個直角三角形全等的特殊方法能夠構(gòu)造全等三角形的添加方法教學(xué)重點掌握全等三角形的判定掌握判定兩個直角三角形全等的特殊方法能夠構(gòu)造全等三角形的添線方法教學(xué)難點全等三角形的判定與性質(zhì)的靈活運用能夠構(gòu)造全等三角形的添線方法教學(xué)方法建議用圖形的運動的觀點來添加輔助線歸納總結(jié)第一部分 知識梳理一 、 全等三角形的判定1、全等三角形判定方法1在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，記作S.A.S.2.在兩個三角形中，如果有兩條邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形不一定全等.2、全等三角形判定

2、方法2在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，記作A.S.A.3、全等三角形判定方法3在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，記作A.A.S.4、全等三角形判定方法41.全等三角形判定方法4在兩個三角形中，如果有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，記作S.S.S.2.三角形的穩(wěn)定性如果三角形的三條邊長固定，那么這個三角形的形狀和大小就完全確定了.三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.二、構(gòu)造全等三角形的添線方法：1.截長補(bǔ)短截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。截長就是在一條線上

3、截取成兩段，補(bǔ)短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊。（右圖為截長法，即把BC截成BE和EC兩段）2.倍倍中線所謂“倍長中線”，就是加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）,如下圖：圖中AD為ABC的中線，延長AD使DE=AD，聯(lián)結(jié)BE,即可。第二部分 例題精講例 1已知：如圖AC=BD，CAB=DBA。求證：CAD=DBC.出題意圖：全等形判定1的考查解析：由已知，再加上一組公共邊等，可以得到ABC與BAD全等，由

4、性質(zhì)得對應(yīng)角相等，再由等量公理可得證.答案：證明：在ABC和BAD中，ABCBAD（SAS）CBA=DAB（全等三角形對應(yīng)角相等）又CAB=DBA（已知）CAB-DAB=DBA-CBA（等量減等量差相等）CAD=DBC.針對訓(xùn)練 1如圖1,已知AD=AE，BE=DC，證ABEACD.例 2已知：如圖，1=2，ABC=DCB。求證：AB=DC.出題意圖：全等三角形判定2的考查.解析：證明線段或角相等時，常歸結(jié)到線段或角所在的三角形的全等上，這是三角形全等判斷的一種應(yīng)用。本例要證明AB=DC，以它們所在的三角形全等為證明的手段，就是這種應(yīng)用的一個例子.答案：證明：1= 2，ABC= DCB，ABC

5、1=DCB2DBC= ACB在ABC和DCB中：ABC DCB（ASA）AB=DC針對訓(xùn)練 2如圖，已知B=C，AB=AC，試說明ABEACD的理由. 例 3已知：在ABC中，AD為BC邊上的中線，CEAD，BFAD.求證：CE=BF出題意圖：全等三角形判定3的考查解析：將CE與BF放在CED與BFD中，證明這兩個三角形全等，問題便可解決，而全等條件經(jīng)過已知的轉(zhuǎn)化是可以得到的.答案：證明：CEAD，BFADCED=BFD=90（垂直定義）D為BC中點BD=DC（線段中點定義）在DEC與DFB中DECDFB（AAS）CE=BF（全等三角形對應(yīng)邊相等） 針對訓(xùn)練 3如圖，線段AD、BC交于點O，且

6、A=D，AB=CD，試說明ABODCO的理由.例 4已知：如圖，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求證：AF=DE. 出題意圖：全等三角形判定4的考查.解析：要證AF=DE，可證AFB與DEC全等，但還缺少相關(guān)角相等的條件，所以先證AEB與DFC全等; 本例是一個通過兩次全等才能得到結(jié)論的題目，第一次全等的證明為第二次全等的證明創(chuàng)造必要的條件.答案：證明：CE=FBCE+EF=FB+EF，即：CF=BE在AEB和DFC中：AEB DFC（SSS）B= C在AFB和DEC中：AFB DEC（SAS）AF=DE針對訓(xùn)練 4如圖，點B、E、C、F在同一直線上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。求

7、證：ABCDEF.例 5.如圖，ABC中，AB=AC,A=108,BD平分ABC交AC于D。求證：BC=AB+CD.出題意圖：全等三角形常見添線的考查.解析：本題采用了截長補(bǔ)短的方法進(jìn)行解答，而從圖形運動的角度理解則是翻折，進(jìn)而用宏觀的角度來考慮此題，加深了題目內(nèi)在的聯(lián)系。答案：證：在BC上截取BE=BA，連結(jié)DE.BD平分ABC1=2在ABD和EBD中 AB=BE 1=2 BD=BDABDEBDDEB=AA=108DEB=108DEC=72AB=ACABC=C=36CDE=72=DECCD=CEBC=BE+EC=AB+CD針對訓(xùn)練 5已知，如圖，AD是ABC的邊BC上的中線，BE交AC于點E

8、,交AD于點F，AC=BF.求證:AE=EF. 第三部分 優(yōu)化作業(yè)基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A）1、指出下圖中的全等三角形各有幾對，分別是哪些三角.ABC中，AB=AC，D為BC中點，DEAB，DFAC2、指出下圖中的全等三角形各有幾對，分別是哪些三角形.OA=OB，OC=OD3、指出下圖中的全等三角形各有幾對，分別是哪些三角形.ABC中，AB=AC，AE=AF，ADBC于D4、判斷1.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等. ( )2.頂角及腰上的高相等的兩個等腰三角形全等. ( )3.全等三角形對應(yīng)的中線相等. ( )4.有一邊相等的兩個等腰直角三角形全等. ( )5、ABC和ABC中，已知A=B，AB=BC，

9、增加條件 可使ABCBCA(ASA).6、ABC中C=90,BCAC，E在BC上，且BE=EA. CAEB=47,則CEA=_.7、ABC中，C=90，BE為角平分線，EDAB于D，若AE+ED=5cm,則AC=_.8、四邊形ABCD中，邊AB=DC，AD=BC，B=40,則C= .9、ABC中，AB=AC，兩中線BE，CF交于O，則按條件所作圖形中共有 對全等三角形.10、如圖，ACBE,AC=CE,CB=CF，把EFC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90,E落在_點上，F(xiàn)落在 點上.11.已知：如圖AC=BD，CAB=DBA.求證：CAD=DBC.12、如圖，AB=CD，AEBC，DFBC，垂足分別為E，

10、F，CE=BF.求證：ABCD13、如圖，AEBC，DFBC，E，F(xiàn)是垂足，且AE=DF，AB=DC，求證：ABC=DCB.14、已知以ABC的邊AB、AC為邊長，各作正方形ABDE和ACFG.求證:BCEG.提高訓(xùn)練題（B）1、判斷1.全等三角形的對應(yīng)角相等，反之也成立. ( )2.周長為16,一邊長為5的兩個等腰三角形全等. ( )3.有兩個角及一條邊相等的兩個三角形全等. ( )4.有銳角及斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等. ( )2、BP為ABC平分線，D在BP上，PABA于A，PCBC于C，若ADP=35，則BDC= 。3、若ABCABC,且AB=10cm，BC=6cm,則AC的取值

11、范圍為 .4、在ABC和DEF中，C=D，B=E，要使兩三角形全等，需增加條件( )A.AB=ED B.AB=FD C,AC=FD D. A=F5、下列條件能判斷ABCDEF的是( )A. A=D, C=F, B=E B. A=D,AB+AC=DE+DFB. A=D, B=E,AC=DF D. A=D,AC=DF,BC=EF6、ABC中，C=90，AD為角平分線，BC=32，BDDC=97,則點D到AB的距離為( )A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm7、MON的邊OM上有兩點A、C，ON上有兩點B、D，且OA=OB，OC=OD，AD，BC交于E，則OADOBC，ACEBDE

12、，連OE.則OE平分AOB，以上結(jié)論( )A.只有一個正確 B.只有一個不正確C.都正確 D.都不正確8、ABC中，C=90,AC=BC，AD為角平分線，DEAB于E，且AB=6cm，則DEB的周長為( )A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm9、B為AC上一點，在AC同側(cè)作等邊EAB及等邊DBC,那么下列式子錯誤的是( )A.ABDEBC B. BDA=BCEC.ABEBCD D.若BE交AD于M，CE交BD于N，那么NBCMBD10、線段OD=DC，A在OC上，B在OD上，且OA=OB，OC=OD，COD=60，C=，AC，BC交于E，則BED的度數(shù)是( )A.60 B.70 C

13、.80 D.5011、已知：ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC上的點，連結(jié)DE、EF，ADE=EFC，AED=ACB，DE=FC.求證：ADEEFC.12、已知：ABC是等邊三角形，GAB=HBC=DCA，GBA=HCB=DAC.求證：ABGBCHCAD.13、已知：如圖1=2，3=4，求證：ABCABD.14、已知：AB=CD，ABDC。求證：ABCCDA.15、已知：DAAB，CAAE，AB=AE，AC=AD。求證：DE=BC.16、已知：ABC中，AB=AC，D、E分別為AB、AC的中點.求證：ABE=ACD.綜合遷移題（C） 1、如圖，已知C是線段AB上的一點，分別以AC、BC

14、為邊在AB同側(cè)作等邊ACD和BCE，AE交BC于點G，BD交CE于點H.求證：GHAB.2、如圖，在ABC中，CD是ABC的角平分線，BC=AC+AD.求證：A=2B.3、ABC中，AC=BC,ACB=90.D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線，垂足為E，又.求證：BD平分ABC. 4、我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等？1 讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證明它們?nèi)?證明略)對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：已知：ABC、均為銳角三角形，AB=，BC

15、=，C=.證明：ABC .(請你將下列證明過程補(bǔ)充完整)證明：分別過點B、，作BDCA于D，于，則BDC=90.BC=，C=. BCD，BD=.2 納與敘述：由可得到一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論.5.如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五邊形ABCDE的面積6、邊數(shù)演變?nèi)鐖D（1），在正三角形ABC中，N為BC邊上任一點（不含B、C兩點），CM為正三角形外角ACK的角平分線，若ANM=60，則AN=NM。如圖（2），在正方形ABCD中，N為BC邊上任一點（不含B、C兩點），CM為正方形外角DCK的角平分線，若ANM=90，則AN=NM。請你從、兩個命題中任選擇一

16、個進(jìn)行證明：請你繼續(xù)完成下面的探索：如圖（3），在正n(n3)邊形ABCDEF中，N為BC邊上任一點（不含B、C兩點），M為正n邊形外角DCK的角平分線，當(dāng)ANM等于_ 時，結(jié)論AN=AM成立（不要求證明）;如圖（4），在梯形ABCD中，ADBC ，AB=BC=CD,N為BC延長線上一點，CM為DCN的角平分線，若ANM=ABC，請問AN=NM是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理. 圖1 圖2 圖3 圖4參考答案：針對訓(xùn)練1、 答案：AD=DE1=2 在ABE和ACD中AD=DE1=2BE=DCABEACD(S.A.S) 2、答案：通過A.S.A易證明得到ABEACD.3、答案

17、：通過A.A.S易證明得到ABODCO.4、答案：已知中給的條件均為線段，由此可以考慮從邊邊邊公理證明，這里又需用到等量公理, 從而再通過 S.S.S易證明得到ABCDEF.5、答案：利用中線倍長，將ACD旋轉(zhuǎn)至GBD的位置AC=BG=BF可得G=BFG=AFE又G=FAE，AE=EF基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A）1答案：3對，ADEADF，DBEDCF，BDACDA2答案：3對，OECOED，ECAEDB，OEAOEB3答案：3對，ABDACD，AEDAFD，ABEACF4答案：1.） 2.） 3.） 4.）5答案：B=C 6答案：707答案：5cm8答案：1409答案：310答案：A、B11答案：證明：

18、在ABC和BAD中，ABCBAD（SAS）CBA=DAB（全等三角形對應(yīng)角相等）又CAB=DBA（已知）CAB-DAB=DBA-CBA（等量減等量差相等）CAD=DBC。12答案：因為CE=BF，所以CE+EF=BF+EF，即BE=CF，在RtAEB和RtDCF中， 所以ABEDCF， 所以B=C，所以ABCD13答案：因為AEBC，DFBC，所以在RtABE和RtDCF中，所以RtABERtDCF，所以ABC=DCB14答案：先證AEG與ABC全等，得AEG=ABC.再利用圖形中的“蝴蝶”得BCEG.提高訓(xùn)練題（B）1答案：1.） 2.） 3.） 4.）2答案：7.1453答案：4AC164答案：C 5答案：C6答案：C7答案：C8答案：B9答案：C10答案：B11答案：在ADE與EFC中ADEEFC（ASA）12答案：ABC是等邊三角形AB=BC=CA在ABG與BCH中ABGBCH（ASA）同理可證：BCHCADABGBCHCAD13答案：ABC與3互補(bǔ)，ABD與4互補(bǔ)，又3=4，ABC=ABD在ABC與ABD中ABCABD（ASA）14答案：ABCD1=2在ABC與CDA中ABCCDA（SAS）15答案：DAAB，CAAEDAB=EACCAB=DAE在CAB與EAD中CABEAD（SAS）D