數(shù)學(xué)物理方法 第8章 分離變數(shù)法

1、第八章分離變數(shù)法第八章分離變數(shù)法分離變數(shù)法在數(shù)學(xué)物理方程中的地位分離變數(shù)法在數(shù)學(xué)物理方程中的地位: 分離變數(shù)法是求解數(shù)學(xué)物理定解問題的基分離變數(shù)法是求解數(shù)學(xué)物理定解問題的基本方法，是貫穿數(shù)學(xué)物理方程內(nèi)容的主要本方法，是貫穿數(shù)學(xué)物理方程內(nèi)容的主要線索，本章以分離變數(shù)法為主線，結(jié)合傅線索，本章以分離變數(shù)法為主線，結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)法研究求解一維自由波動(dòng)方程、里葉級(jí)數(shù)法研究求解一維自由波動(dòng)方程、一維無源輸運(yùn)方程、直角坐標(biāo)系中二維無一維無源輸運(yùn)方程、直角坐標(biāo)系中二維無源穩(wěn)定場方程的方法。源穩(wěn)定場方程的方法。引言引言8.1分離變數(shù)法詳析分離變數(shù)法詳析一、分離變數(shù)法介紹一、分離變數(shù)法介紹長為 、兩端固定的均勻

2、弦的自由微小橫振動(dòng)的定解問題 l02xxttuaulx 00t00lxxuu0t)(0 xut)(0 xuttlx 0,即令： )()(),(tTxXtxu代入定解問題中試解0)()()()(2 xXtTaxXtT兩邊同除于 )()(2tTxXa)()()()(2tTatTxXxX 把偏微分方程轉(zhuǎn)化為易以求解的常微分方程，從而找出滿足邊界條件與初始條件的解。 思路：2( )( )( )( )XxTtX xa T t為常數(shù)0)()()()0(tTlXtTX又由邊界條件：2( )( )0TtaT tT(t)：0)()( xXxXX(x)：0)()0(lXX( )( )0(0)( )0XxX xXX

3、 lX(x)：2( )( )0TtaT tT(t)：討論：討論：（1）0 xxececxX21)(考慮邊界條件得：021 cc0)(xX不存滿足邊界條件的、非零的可分離變數(shù)形式的特解 0(2)21)(cxcxX考慮邊界條件得：021 cc0)(xX不存滿足邊界條件的、非零的可分離變數(shù)形式的特解 (3)0 xcxcxXcossin)(210)()0(lXX由02c0sin1lc要有非零解，必須：01c0sinl222ln, 3, 2, 1nlxncxXsin)(1latnBlatnAtTsincos)(lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(, 3, 2, 1n滿足給定

4、邊界條件的可分離變數(shù)形式的特解為： lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(1由于泛定方程是線性齊次方程，因此這些由于泛定方程是線性齊次方程，因此這些特解的線性疊加，仍然是泛定方程滿足給特解的線性疊加，仍然是泛定方程滿足給定的邊界條件的解。定的邊界條件的解。 一般解一般解nAnB取決于初始狀態(tài)nAnB的確定：)(sin10 xlxnAunnt10)(sinnnttxlxnBlanulx 0lndxlxnxlA0sin)(2lndxlxnxanB0sin)(2綜上，長為綜上，長為 、兩端固定、均勻弦的自、兩端固定、均勻弦的自由微小橫振動(dòng)問題的解：由微小橫振動(dòng)問題的解：

5、llxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(1lndxlxnxlA0sin)(2lndxlxnxanB0sin)(2二、兩端固定的弦振動(dòng)解的物理意義二、兩端固定的弦振動(dòng)解的物理意義1. 本征解、本征振動(dòng)本征解、本征振動(dòng)lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(, 3, 2, 1n本征解本征解本征振動(dòng)：本征解描述兩端固定的弦固本征振動(dòng)：本征解描述兩端固定的弦固有的振動(dòng)方式。有的振動(dòng)方式。 2 .行波的一般表示行波的一般表示 )(atxf)(atxf 時(shí)刻1t 時(shí)刻2tP1P2 x2x1x表示以速率表示以速率 沿沿 正向傳播的行波正向傳播的行波 ax

6、3 .本征解是駐波解本征解是駐波解lxnlatnBlatnAtxunnnsin)sincos(),(lxnlatnBAnnnsin)cos(222)(sin2)(sin222nnnnatxlnatxlnBAnnnAB1tan其中其中4 .駐波形成條件駐波形成條件駐波的波長只能取特定值 。nl 2nl 2駐波的波長只能取某些特定值a駐波的相位傳播速率lanlna22駐波的角頻率基波 1n高次諧波 1n三、分離變數(shù)法的適用范圍三、分離變數(shù)法的適用范圍分離變數(shù)法僅適用于求解具有齊次泛定分離變數(shù)法僅適用于求解具有齊次泛定方程和齊次邊界條件的定解問題。方程和齊次邊界條件的定解問題。 若定解問題的泛定方程

7、非齊次，或邊界條若定解問題的泛定方程非齊次，或邊界條件非齊次，必須用其它辦法將邊界條件和件非齊次，必須用其它辦法將邊界條件和泛定方程轉(zhuǎn)換成齊次的，然后應(yīng)用分離變泛定方程轉(zhuǎn)換成齊次的，然后應(yīng)用分離變數(shù)法求解。數(shù)法求解。四、分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟四、分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟線性齊次的偏微分方程分離變數(shù)常微分方程1常微分方程2齊次邊界條件分離變數(shù)條件解1解2 本征解（解1解2）本征值本征解定解問題的解本征值本征函數(shù)初始條件確定疊加系數(shù)五、付里葉級(jí)數(shù)法五、付里葉級(jí)數(shù)法02xxttuau代入方程 1222120sin)(sin)(nnnnlxnlntTalxntT1sin)(),(nn

8、lxntTtxulx 0令0sin)()(22221 lxntTlantTnnnlx 00)()(2222 tTlantTnn1nlatnBlatnAtTnnnsincos)(1sinsincos),(nnnlxnlatnBlatnAtxulx 0與采用分離變數(shù)法所得結(jié)果一致。與采用分離變數(shù)法所得結(jié)果一致。 8.2直角坐標(biāo)系中有界空間上直角坐標(biāo)系中有界空間上的齊次泛定方程的齊次泛定方程例例1：兩端自由的均勻桿的縱振動(dòng)問題：兩端自由的均勻桿的縱振動(dòng)問題02xxttuaulx 00t00lxxxxuu0t)(0 xut)(0 xuttlx 000lxxxxuu),(txu解：解：由邊界條件由邊界條

9、件，把展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)可滿足此條件，展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)可滿足此條件，010cos)(cos)()(),(nnnnlxntTlxntTtTtxu代入代入 02xxttuaulx 00t 022220cos)()(nnnlxntTlantT得得lx 00)()(2222 tTlantTnn0n 0sincos0)(00nlatnBlatnAntBAtTnnn100cossincos),(nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu由初始條件由初始條件 100)(cosnntxlxnAAulx 0100)(cosnnttxlxnlanBBulx 0ldxxlA00)(1lndxlxnxlA0c

10、os)(2ldxxlB00)(1lndxlxnxanB0cos)(2， 【討論】本征解與泛定方程、邊界條件類型的關(guān)系【討論】本征解與泛定方程、邊界條件類型的關(guān)系 的解本征值問題的解本征值問題 的微分方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程兩端自由的桿的縱振動(dòng)兩端自由的桿的縱振動(dòng)兩端固定的弦的橫振動(dòng)兩端固定的弦的橫振動(dòng))(tT02xxttuau02xxttuau00lxxuu00lxxxxuu)()(),(tTxXtxu)(tT0)()(2 tTatT0)()(2 tTatT0)()( xXxX0)()0(lXX0)()( xXxX0)()0(lXXlxnxXsin)(222ln, 2, 1n1)(xXlx

11、ncos222ln, 2, 1 , 0nlatnBlatnAtTnnsincos)(tBAtT00)(latnBlatnAnnsincos0n1n例例2：研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題，初始時(shí)刻桿的一端：研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題，初始時(shí)刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為溫度為零度，另一端溫度為 ，桿上溫度梯，桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟外界絕熱。試求細(xì)桿上溫度的變化。跟外界絕熱。試求細(xì)桿上溫度的變化。0u解解: 不妨設(shè)不妨設(shè) 端為溫度保持零度的端，即端為溫度保持零度的端，即 端與外界絕熱，即端與外界絕熱，即 0 x00 xu0lxxu本導(dǎo)熱問題可表示為本導(dǎo)

12、熱問題可表示為: xluut00lx 002xxtuaulx 00t00lxxxuu0t【解法一】分離變數(shù)法【解法一】分離變數(shù)法)()(),(tTxXtxu令令 )()()()(2xXxXtTatT0)()()()0(tTlXtTX0)()(2tTatT0)()( xXxX0)()0(lXX0當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)xxececxX21)(0)()0(lXX021cc021llecec齊次方程組只有零解齊次方程組只有零解 0)(xX12(0)cc無意義。無意義。 0當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)21)(cxcxX0)()0(lXX02c01c0)(xX無意義無意義 0當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)xcxcxXsincos)(210)()0(lXX

13、01c0cos2lc齊次方程組齊次方程組有非零解有非零解 02c0cos l22221)(ln, 2, 1, 0nlxncxX)(sin)(212222221)()(ltanAetT021)()(sin),(222221nltannlxneAtxuxluut00 xlulxnAunnt00210)(sin100222102()2( 1)2sin()nlnnxuuAxdxllln021)(22120)(sin)() 1(2),(222221nltannlxnenutxu【解法二】付里葉級(jí)數(shù)法【解法二】付里葉級(jí)數(shù)法把x), 0(l)(xf0)()0(lff限制在上得滿足邊界條件的傅里葉級(jí)數(shù)021)

14、(sin)(nnlxnbxflndxlxnxflb021)(sin)(2),(txu展開為傅里葉級(jí)數(shù) 021)(sin)(),(nnlxntTtxu代入一維無源熱傳導(dǎo)方程得： 021)(sin)(),(nnlxntTtxu0212222210)(sin)()()(nnnlxntTlantT222221)()(ltannneAtT解得021)()(sin),(222221nltannlxneAtxu則與分離變數(shù)法相同與分離變數(shù)法相同 【討論【討論】， 的解本征值問題的解本征值問題 的微分方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程本例（熱傳導(dǎo)問題）兩端固定的弦的橫振動(dòng)02xxttuau02xxtuau00lxx

15、uu00lxxxuu)()(),(tTxXtxu0)()(2 tTatT)(tT)(tT0)()(2tTatTlxnxXsin)(0)()( xXxX0)()0(lXX0)()( xXxX0)()0(lXX222ln, 2, 1nlxnxX)(sin)(2122221)(ln, 2, 1 , 0nlatnBlatnAtTnnsincos)(tlanneAtT222221)()(例例3：細(xì)桿導(dǎo)熱問題。桿的初始溫度：細(xì)桿導(dǎo)熱問題。桿的初始溫度 是均是均勻的，保持桿的一端的溫度為不的勻的，保持桿的一端的溫度為不的 ，至于另一端則有強(qiáng)度恒定的熱流至于另一端則有強(qiáng)度恒定的熱流 流入。流入。0u0u0q解

16、：解： ， 0t00uuxkqulxx002xxtuaulx 00t00uutlx 0因邊界條件非齊次，必須將其轉(zhuǎn)換為齊次邊界因邊界條件非齊次，必須將其轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件，才能應(yīng)用分離變數(shù)法。條件，才能應(yīng)用分離變數(shù)法。 ),(txv設(shè)是滿足 02xxtvavlx 00t00uvxkqvlxx00t的特解 ),(),(),(txwtxvtxu令此時(shí)泛定方程是此時(shí)泛定方程是齊次的、邊界條齊次的、邊界條件也是齊次的件也是齊次的 ),(),(00txwxkqutxu令 的定解問題轉(zhuǎn)換為 的定解問題),(txu),(txw02xxtwawlx 00t00 xw0lxxw0txkqwt00lx 0021)

17、()(sin),(222221nltannlxneAtxw00210)(sinnntxkqlxnAw100222102()2( 1)2()sin()nlnnxqq lAxdxlklk n021)(22120)(sin)() 1(2),(222221nltannlxnenklqtxw021)(2212000)(sin)() 1(2),(222221nltannlxnenklqxkqutxu例例4：如圖所示，散熱片的橫截面為矩形，：如圖所示，散熱片的橫截面為矩形，它的一邊它的一邊 處于較高溫度處于較高溫度 ，其他邊，其他邊 , 和和 則處于冷卻介質(zhì)中因而則處于冷卻介質(zhì)中因而保持較低的溫度保持較低的

18、溫度 。試求解這橫截面上的。試求解這橫截面上的穩(wěn)定溫度分布穩(wěn)定溫度分布 。 by U0y0 xax 0u),(yxuxyOaUbu0u0解：本問題是二維無源穩(wěn)定溫度分布，其定解：本問題是二維無源穩(wěn)定溫度分布，其定解問題可表為解問題可表為0yyxxuubyax0,0000,uuuuaxxby 0Uuuubyy,00ax 0【方法一】疊加法【方法一】疊加法 ),(),(),(yxwyxvyxu令令0yyxxvv0yyxxwwbyax0,0000,uvuvaxx00axxwwby 000byyvvUwuwbyy,00ax 0 和和 的定解問題均是齊次的泛的定解問題均是齊次的泛定方程，且一個(gè)變量的邊界

19、條件是齊次邊界定方程，且一個(gè)變量的邊界條件是齊次邊界條件，均可用分離變數(shù)法求解。條件，均可用分離變數(shù)法求解。),(yxv),(yxw【方法二】溫標(biāo)移動(dòng)法【方法二】溫標(biāo)移動(dòng)法),(),(0yxvuyxu令令（ 為新溫標(biāo)的零點(diǎn)） 0u0yyxxvvbyax0,000axxvvby 000, 0uUvvbyyax 0根據(jù)邊界條件：根據(jù)邊界條件： 00 xv0axv),(yxv把把 展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù)，即展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù)，即 1sin)(),(nnaxnyYtxv代入 1sin)(),(nnaxnyYtxv0yyxxvv得： 12220sin)()(nnnaxnyYyYanax 0aynBayn

20、AyYnnnsinhcosh)(1sinsinhcosh),(nnnaxnaynBaynAyxv求疊加系數(shù) 0nAabnnnnuUBsinh) 1(1)(2010sinsinhsinh) 1(1)(2),(nabnnaxnaynnuUyxvaxkaykkuUkabk) 12(sin) 12(sinhsinh) 12()(40)12(0因此散熱片內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布為因此散熱片內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布為axkaykkuUuyxukabk) 12(sin) 12(sinhsinh) 12()(4),(0)12(00【討論】 的解本征值問題的解本征值問題 方程分離變數(shù)邊界條件泛定方程本例（矩形域穩(wěn)定場問題）兩端

21、固定的弦的橫振動(dòng)02xxttuau0yyxxvv00lxxuu00axxvv)()(),(tTxXtxu)()(),(yYxXyxv)(tT)(yY0)()(2 tTatT0)()( yYyY0)()( xXxX0)()0(lXX0)()( xXxX0)()0(aXXlxnxXsin)(222ln, 2, 1naxnxXsin)(222an, 2, 1nlatnBlatnAtTnnsincos)()(tT)(yYaynBaynAyYnnnsinhcosh)(本章小結(jié)本章小結(jié) 本章研究當(dāng)邊界條件是齊次邊界條件時(shí)，一本章研究當(dāng)邊界條件是齊次邊界條件時(shí)，一維自由波動(dòng)方程、一維無源輸運(yùn)方程、矩形維自由波動(dòng)方程、一維無源輸運(yùn)方程、矩形域無源穩(wěn)定場方程的求解。分離變數(shù)法是基域無源穩(wěn)定場方程的求解。分離變數(shù)法是基本方法，傅里葉級(jí)數(shù)法是輔助方法。本方法，傅里葉級(jí)數(shù)法是輔助方法。1. 直角坐標(biāo)系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）直角坐標(biāo)系中有限區(qū)間上（或矩形區(qū)域內(nèi)）分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟，本征分離變數(shù)法求解定解問題的基本步驟，本征值問題的求解方法。值問題的求解方法。2. 駐波解的物理意義。駐波