第2章比例與設(shè)計1

1、L/O/G/O數(shù)學(xué)與設(shè)計數(shù)學(xué)與設(shè)計廣東工業(yè)大學(xué)華立學(xué)院廣東工業(yè)大學(xué)華立學(xué)院主講人：張文彬主講人：張文彬章節(jié)內(nèi)容章節(jié)內(nèi)容 第一章 數(shù)學(xué)與設(shè)計概述 第二章第二章 比例與設(shè)計比例與設(shè)計 第三章 幾何與設(shè)計 第四章 透視與設(shè)計 第五章 代數(shù)與設(shè)計 第六章 其他數(shù)學(xué)形式與設(shè)計第二章第二章 比例與設(shè)計比例與設(shè)計 第一節(jié)、比例簡述 第二節(jié)、比例在設(shè)計中的應(yīng)用 第三節(jié)、黃金分割與設(shè)計 第四節(jié)、 比例與設(shè)計2第一節(jié)第一節(jié) 比例簡述比例簡述 一、比例的概念 二、數(shù)列與斐波那契數(shù)列 三、比例在設(shè)計中的應(yīng)用比例的概念比例的概念 比例： 數(shù)學(xué)中，是指兩個數(shù)值之間的對比關(guān)系，反映的是事物結(jié)構(gòu)的總體與部分之間的關(guān)系，是事物

2、總體中各個部分的數(shù)量占總體數(shù)量的比重。比例的概念比例的概念 在對兩個數(shù)進行比較時，需要有一個用于比較的標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)稱為基數(shù)。 基數(shù)的特點是能夠被兩個比例數(shù)值整除。比例的概念比例的概念 自然界中，比例的形式主要表現(xiàn)為事物的整體與部分之間，部分與部分之間以及事物與事物之間的比例關(guān)系。數(shù)列與斐波那契數(shù)列數(shù)列與斐波那契數(shù)列 一、數(shù)列的概念 二、斐波那契數(shù)列數(shù)列與斐波那契數(shù)列數(shù)列與斐波那契數(shù)列 一、數(shù)列的概念 數(shù)列是指相互之間具有一定的聯(lián)系，并且按照某種順序排列的數(shù)字集合。 常見的數(shù)列有等差數(shù)列和等比數(shù)列。數(shù)列數(shù)列（1）等差數(shù)列: A，A + d，A + 2d， ，A + (n-1)d。（式中d為公差

3、）等差數(shù)列，在坐標(biāo)軸上，其形態(tài)是一條直線，傾斜的角度隨數(shù)列的公差的大小變化。在造形上，其跳動的特點較為平緩。（2）等比數(shù)列: A，Aq，Aq2， ，Aq（n-1）。（式中q為公比）等比數(shù)列，在坐標(biāo)軸上呈一條曲線，在造形上，其跳動幅度就比等差數(shù)列大得多。數(shù)列數(shù)列 （3）調(diào)和數(shù)列: 1，1/2，1/3，1/4，1/n 。 調(diào)和數(shù)列是分?jǐn)?shù)，如果覺得使用不方便的話，可以作這樣的處理：先把分?jǐn)?shù)換算成小數(shù)，便是：1，0.5，0.33，0.25，0.2，0.17，0.14，0.13，0.11，0.1，。然后把這個順序顛倒后，各數(shù)擴大10倍，得到一個數(shù)列：1，1.1，1.3，1.4，1.7，2，2.5，3.3

4、，5，10。這樣一來，就比較便于使用了。數(shù)列數(shù)列 調(diào)和數(shù)列在坐標(biāo)軸上的形態(tài)呈雙曲線狀。在造形上，若按整理成分?jǐn)?shù)的數(shù)列形式，其跳動的幅度也較為平緩，若與公差為1的等差數(shù)列相比時，其幅度的跳動也較小些。斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列 二、斐波那契數(shù)列 1、斐波那契數(shù)列介紹 2、斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列 意大利的數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契在1202年研究兔子產(chǎn)崽問題時發(fā)現(xiàn)了此數(shù)列 設(shè)一對大兔子每月生一對小兔子，每對新生兔在出生一個月后又下崽，假若兔子都不死亡 問：一對兔子，一年能繁殖成多少對兔子？ （取自斐波那契的算盤書（1202年）斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列1 1 月月 1 1 對對斐波那契

5、數(shù)列斐波那契數(shù)列1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對5 5 月月 5 5 對對1 1 月月 1 1 對對斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列201 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對5 5 月月 5

6、 5 對對6 6 月月 8 8 對對斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列1 1 月月 1 1 對對2 2 月月 1 1 對對3 3 月月 2 2 對對4 4 月月 3 3 對對5 5 月月 5 5 對對6 6 月月 8 8 對對7 7 月月13 13 對對22題中本質(zhì)上有兩類兔子：一類是能生殖的兔子，簡稱為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡稱為小兔子；小兔子一個月就長成大兔子求的是大兔子與小兔子的總和 列表考察兔子的逐月繁殖情況月 份 大兔對數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔對數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89到十二月時有大兔子144對，小兔子89對

7、，共有兔子 144+89=233對斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列23月 份 大兔對數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔對數(shù) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 從上表看出： 每月小兔對數(shù)=上月大兔對數(shù)。 每月大兔對數(shù)等于上個月大兔對數(shù)與小兔對數(shù)之和綜合兩點，我們就有：每月大兔對數(shù)等于前兩個月大兔對數(shù)之和 如果用 un 表示第 n 月的大兔對數(shù)，則有u un n = u = un-1n-1 + u + un-2n-2 , n 2 , n 2每月大兔對數(shù) un 排成數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 此數(shù)列稱為斐波

8、那契數(shù)列斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列24此數(shù)列有下述遞推公式： u1 = 1， u2 = 1，un = un-1 + un-2 ，n 2 斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 上述數(shù)列中的每一個數(shù)稱為斐波那契數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法，可推得斐波那契數(shù)列的通項公式：,25125151nnun, 3, 2, 1n斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列與黃金比例斐波那契數(shù)列與黃金比例序號序號斐波那契數(shù)列值斐波那契數(shù)列值相鄰數(shù)值的比例相鄰數(shù)值的比例黃金比例黃金比例110.618211/1=1.000000321/2=0.500000432/3=0.666667553

9、/5=0.600000685/8=0.6250007138/13=0.61538582113/21=0.61904893421/34=0.617647105534/55=0.618182118955/89=0.6179781214489/144=0.61805613233144/233=0.61802614377233/377=0.61803726斐波那契數(shù)列前一項與后面一項的比的極限：618. 0215lim1nnnuu這個數(shù)正是有名的黃金分割數(shù)斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用 斐波那契在算盤書中提出該數(shù)列后，到19世紀(jì)初之前的幾百年里，都

10、沒有人認(rèn)真地研究過它。19世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問題派生出很多廣泛的應(yīng)用，突然活躍起來。 斐波那契數(shù)列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應(yīng)用，它就不會有強大的生命 發(fā)人深省的是，斐波那契數(shù)列確實在許多問題中出現(xiàn)斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用 1 1、斐波那契數(shù)與植物花瓣、斐波那契數(shù)與植物花瓣 3百合和蝴蝶蘭花 5藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草 8翠雀花 13金盞 21紫宛 34、55、89雛菊斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用海棠（2）鐵蘭（3）斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用雛雛菊（菊（1313）雛雛菊

11、（菊（1313）斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用2 2、斐波那契螺旋線、斐波那契螺旋線葵花上的按照螺旋形狀排列的小花。這些小花的排列和外側(cè)花瓣的排列方式完全符合斐波納契數(shù)列的要求，讓人不得不驚嘆自然的神奇造化。 回想向日葵，全部種子緊湊地排列于花盤之中，保證每個種子都按照適當(dāng)?shù)慕嵌壬L且大小基本一致，卻又疏密得當(dāng)。葵花籽的神奇螺旋排列斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用 按照斐波納契螺旋排列的洋甘菊 黃色的洋甘菊(實質(zhì)也是菊科的一種)花頭的小花排列布局也遵循斐波納契螺旋要求。21個深藍(lán)色螺旋和13個寶石綠螺旋。想起什么了？13和21也屬于斐波納契數(shù)列。有趣吧。斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列

12、的應(yīng)用 紫色金光菊(又稱紫錐花)紫錐花斐波那契數(shù)列的應(yīng)用斐波那契數(shù)列的應(yīng)用像牙齒一樣潔白的白菊花花瓣美麗的桔黃色麥稈菊三、比例在設(shè)計中的應(yīng)用三、比例在設(shè)計中的應(yīng)用 （一）、單一比例形式的應(yīng)用 （二）、混合比例形式的應(yīng)用（一）、單一比例形式的應(yīng)用（一）、單一比例形式的應(yīng)用 單一比例形式的應(yīng)用是指在設(shè)計中只采用某一類型的比例應(yīng)用。分為簡單應(yīng)用和重復(fù)應(yīng)用 1、簡單應(yīng)用 是指在設(shè)計過程中，針對某一特定區(qū)域進行一次性的比例應(yīng)用。 通常用于某些平面類的設(shè)計構(gòu)圖中。如影像設(shè)計中的三分法。（一）、單一比例形式的應(yīng)用（一）、單一比例形式的應(yīng)用（一）、單一比例形式的應(yīng)用（一）、單一比例形式的應(yīng)用 2、重復(fù)應(yīng)用 是

13、指在設(shè)計過程中，為進一步細(xì)化設(shè)計過程，利用同類型的比例關(guān)系進行多層次反復(fù)分化的應(yīng)用形式。這種形式通常用于細(xì)化布局的設(shè)計。（一）、單一比例形式的應(yīng)用（一）、單一比例形式的應(yīng)用（二）、混合比例形式的應(yīng)用（二）、混合比例形式的應(yīng)用 是指在整個設(shè)計過程中，根據(jù)不同的設(shè)計需求，利用多種類型的比例關(guān)系來輔助設(shè)計。 例如，在人物繪畫或人體雕塑設(shè)計時，常用整數(shù)比例關(guān)系來控制人體的整體形態(tài)，利用黃金分割比例來進一步細(xì)化人體各部分之間的關(guān)系。（二）、混合比例形式的應(yīng)用（二）、混合比例形式的應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié) 比例在設(shè)計中的作用比例在設(shè)計中的作用 一、分割作用 二、評定作用 三、應(yīng)用的基本原則一、分割作用一、分割作用

14、 1、線性分割作用 2、平面分割作用 3、立體分割作用線性分割作用線性分割作用 線性分割是指對事物進行線段式劃分，使其形成具有一定比例關(guān)系的子部分的過程。 在設(shè)計中，為了準(zhǔn)確描述和控制事物整體與部分之間或部分與部分之間的高低、長短等關(guān)系，常常利用比例關(guān)系對事物進行線性分割處理。線性分割作用線性分割作用 人體的比例是以頭長為單位的。在我國人體長度通常為七到七個半頭長。即頭頂?shù)侥_跟的長度為七個半頭長，在古代曾有“立七坐五盤三半”的說法。：人體二分之一處在恥骨聯(lián)合上下。 ：下頦底至乳頭連線=乳頭連線至臍孔=一個頭長 ：肩寬=兩個頭長 ：髖關(guān)節(jié)至膝關(guān)節(jié)=膝關(guān)節(jié)至腳跟 上臂的長度為頭長的1.5倍 前臂+

15、手=兩個頭長線性分割作用線性分割作用線性分割作用線性分割作用線性分割作用線性分割作用平面分割作用平面分割作用 是指在設(shè)計過程中，對具有一個或多個面的事物進行一定區(qū)域的劃分，并使整體與區(qū)域之間、區(qū)域與區(qū)域之間具有一定的比例關(guān)系。平面分割作用平面分割作用 在平面上進行有效的比例分割，可以突出設(shè)計事物的一些局部特征，從而使設(shè)計的事物更具美觀性。 例如，在平面設(shè)計中，利用一定的比例關(guān)系，對事物進行一定區(qū)域劃分，以突顯創(chuàng)意。第十二屆白金創(chuàng)意全國大學(xué)生平面設(shè)計大賽金獎熱詞立體分割作用立體分割作用 是指在設(shè)計過程中，對特定事物從三維空間角度出發(fā)，將其分割成多個具有一定比例關(guān)系的子個體。 它是線性分割和平面分割的綜合，不但需要考慮整體與局部之間的關(guān)系，而且還需要對整體和局部中存在的各個面進行劃分。立體分割作用立體分割作用二、評定作用二、評定作用 對于一個設(shè)計作品來說，利用單純的主觀意識去判定其好壞、美丑是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。需要運用一定的理性思維，運用一定的自然科學(xué)規(guī)律來審視設(shè)計事物所存在的美。 如，黃金分割比