matlab2曲線擬合

1、MATLAB曲線擬合工具箱1曲線擬合定義 在實(shí)際工程應(yīng)用和科學(xué)實(shí)踐中，經(jīng)常需要尋求 兩個(gè)（或多個(gè)）變量間的關(guān)系，而實(shí)際去只能 通過(guò)觀測(cè)得到一些離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)。針對(duì)這些分 散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，運(yùn)用某種你和方法生成一條連續(xù) 的曲線，這個(gè)過(guò)程稱為曲線擬合。 曲線擬合可分為： （1）參數(shù)擬合 - 最小二乘法 （2）非參數(shù)擬合 - 插值法2一、數(shù)據(jù)預(yù)處理 在曲線擬合之前必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行與處理，去 除界外值、不定值和重復(fù)值，以減少認(rèn)為誤 差，提高擬合的精度。 數(shù)據(jù)預(yù)處理包括： （1）數(shù)據(jù)輸入與查看 （2）數(shù)據(jù)的預(yù)處理 傳輸數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)GUI來(lái)實(shí)現(xiàn)，查看數(shù)據(jù)點(diǎn) 通過(guò)曲線擬合工具的散點(diǎn)圖來(lái)實(shí)現(xiàn)。31.輸入和查看數(shù)據(jù)集 （

2、1）打開(kāi)曲線擬合工具界面 通過(guò)cftool命令打開(kāi)曲線擬合工具界面45個(gè)命令按鈕 Data按鈕：可輸出、查看和平滑數(shù)據(jù)； Fitting按鈕：可擬合數(shù)據(jù)、比較擬合曲線和數(shù)據(jù)集； Exclude按鈕：可以從擬合曲線中排除特殊的數(shù)據(jù)點(diǎn)； Ploting按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕，可以顯示擬合曲線和數(shù)據(jù)集； Analysis按鈕：可以做內(nèi)插法、外推法、微分或積分?jǐn)M合。5（2）輸入數(shù)據(jù)集 在輸入數(shù)據(jù)之前，數(shù)據(jù)變量必須存在于 matlab的工作區(qū)間?？梢酝ㄟ^(guò)load命令輸 入變量。單擊曲線擬合工具界面中的Data 按鈕，打開(kāi)Data對(duì)話框，在對(duì)話框中進(jìn)行設(shè) 置，可以輸入數(shù)據(jù)。6Data對(duì)話框 包括兩個(gè)

3、選項(xiàng)卡：Data Sets 和 Smooth. Data Sets選項(xiàng)卡： .Import workspace vectors 把向量輸 入工作區(qū)，主要以變量必須具有相同的維數(shù) ，無(wú)窮大的值和不定值被忽略。 X data 用于選擇觀測(cè)數(shù)據(jù) Y data 用于選擇X的響應(yīng)數(shù)據(jù) Weight 用于選擇權(quán)重，與響應(yīng)數(shù)據(jù)相聯(lián)系的向量，如果沒(méi)選擇，默認(rèn)值為1.7 .Preview 對(duì)所選向量進(jìn)行圖形化預(yù)覽 .Data set name 設(shè)置數(shù)據(jù)集的名稱。工具箱可以隨即產(chǎn)生唯一的文件名，但用戶可以重命名。 .Data sets 選項(xiàng)以列表的形式顯示所有擬合的數(shù)據(jù)集。當(dāng)選擇一個(gè)數(shù)據(jù)集時(shí)，可以對(duì)它做如下操作：

4、 .View 查看數(shù)據(jù)集，以圖標(biāo)形式和列表形式，可以選擇方法排除異常值； .Rename 重命名 .Delete 刪去數(shù)據(jù)組8例：輸入數(shù)據(jù)，采用matlab自帶的文件census census 有兩個(gè)變量：cdate和pop。 cdate是一個(gè)年向量，包括1790-1990 年，間隔為10年； pop是對(duì)應(yīng)年份的美國(guó)人口。 whos -file census Name Size Bytes Class Attributes cdate 21x1 168 double pop 21x1 168 double load census cftool(cdate,pop)9散點(diǎn)圖10 單擊Data按鈕

5、11 在X data和Y data兩個(gè)下拉式列表框中選 擇變量名，將在Data對(duì)話框中顯示散點(diǎn)圖的 預(yù)覽效果：12 當(dāng)選擇Data sets列表框中的數(shù)據(jù)集時(shí)，單 擊View按鈕，打開(kāi)View Data Set對(duì)話框工作表方式132.數(shù)據(jù)的預(yù)處理 在曲線擬合工具箱中，數(shù)據(jù)的預(yù)處理主要包 括平滑法、排除法和區(qū)間排除法等。 (1)平滑數(shù)據(jù) 打開(kāi)擬合工具箱，單擊Data按鈕，打開(kāi) Data對(duì)話框，選擇Smooth選項(xiàng)卡1415Smooth選項(xiàng)卡各選項(xiàng)的功能： .Original data set 用于挑選需要擬合的數(shù)據(jù)集； .Smoothed data set平滑數(shù)據(jù)的名稱； .Method用于選擇

6、平滑數(shù)據(jù)的方法，每一個(gè)相應(yīng)數(shù)據(jù)用通過(guò)特殊的曲線平滑方法所計(jì)算的結(jié)果來(lái)取代。平滑數(shù)據(jù)的方法包括： （）Moving average 用移動(dòng)平均值進(jìn)行替換； （）Lowess局部加權(quán)散點(diǎn)圖平滑數(shù)據(jù)，采用線性最小二乘法和一階多項(xiàng)式擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換；16 （）Loess局部加權(quán)散點(diǎn)圖平滑數(shù)據(jù)，采用線性最小二乘法和二階多項(xiàng)式擬合得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行交換； （）Savitzky-Golay 采用未加權(quán)的線性最小二乘法過(guò)濾數(shù)據(jù)，利用指定階數(shù)的多項(xiàng)式得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行替換； （）Span用于進(jìn)行平滑計(jì)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目； （）Degree 用于Savitzky-Golay方法擬合多項(xiàng)式的階數(shù)。17 .Smoothe

7、d data sets 對(duì)于所有平滑數(shù)據(jù)集進(jìn)行列表?？梢栽黾悠交瑪?shù)據(jù)集，通過(guò)單擊Create smoothed data set按鈕，可以創(chuàng)建經(jīng)過(guò)平滑的數(shù)據(jù)集。 .View按鈕 打開(kāi)查看數(shù)據(jù)集的GUI，以散點(diǎn)圖方式和工作表方式查看數(shù)據(jù)，可以選擇排除異常值的方法。 .Rename用于重命名。 .Delete可刪去數(shù)據(jù)組。 .Save to workspace保存數(shù)據(jù)集。18（2）排除法和區(qū)間排除法 排除法是對(duì)數(shù)據(jù)中的異常值進(jìn)行排除。 區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用 于系統(tǒng)誤差導(dǎo)致偏離正常值的異常值。 在曲線擬合工具中單擊Exclude按鈕，可以 打開(kāi)Exclude對(duì)話框1920 Excl

8、usion rule name指定分離規(guī)則的名稱 Existing exclusion rules列表產(chǎn)生的文件 名，當(dāng)你選擇一個(gè)文件名時(shí)，可以進(jìn)行如下操 作： Copy 復(fù)制分離規(guī)則的文件； Rename重命名；delete 刪去一個(gè)文件； View以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。 Select data set 挑選需要操作的數(shù)據(jù)集； Exclude graphically允許你以圖形的形式去除異常值，排除個(gè)別的點(diǎn)用“”標(biāo)記。21 Check to exclude point 挑選個(gè)別的點(diǎn)進(jìn)行排除，可以通過(guò)在數(shù)據(jù)表中打勾來(lái)選擇要排除的數(shù)據(jù)。 Exclude Sections 選定區(qū)域排除數(shù)

9、據(jù)： Exclude X選擇預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)X要排除的數(shù)據(jù)范圍； Exclude Y選擇響應(yīng)數(shù)據(jù)Y要排除的數(shù)據(jù)范圍。22（3）其他數(shù)據(jù)預(yù)處理方法 其他的預(yù)處理方法不便通過(guò)曲線擬合工具箱 來(lái)完成，主要包括兩部分： 響應(yīng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換和去除無(wú)窮大、缺失值和異 常值。 響應(yīng)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換一般包括對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換、指數(shù)轉(zhuǎn) 換，用這些轉(zhuǎn)換可以使非線性的模型線性 化，便于曲線擬合。變量的轉(zhuǎn)換一般在命令 行里實(shí)現(xiàn)，然后把轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)輸入曲線擬 合工具箱，進(jìn)行擬合。23 無(wú)窮大、不定值在曲線擬合中可以忽略，如 果想把他們從數(shù)據(jù)集中刪除，可以用isinf和 isnan置換無(wú)窮大值和缺失值。24二、曲線擬合 Matlab提供兩種曲線擬合

10、方法： （1）以函數(shù)的形式，使用命令對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。這種方法比較繁瑣，需要對(duì)擬合函數(shù)有比較好的了解。 （2）用圖形窗口進(jìn)行操作，具有簡(jiǎn)便、快速，可操作性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。251.多項(xiàng)式擬合函數(shù)(1)Polyfit函數(shù)P=polyfit(x,y,n)用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，返回n次多項(xiàng)式的系數(shù)，并用降序排列的向量表示，長(zhǎng)度為n+1.1121)(nnnnpxpxpxpxp p,s=polyfit(x,y,n) 返回多項(xiàng)式系數(shù)向量p和矩陣s。s與 polyval函數(shù)一起用時(shí)，可以得到預(yù)測(cè)值的 誤差估計(jì)。如數(shù)據(jù)y的誤差服從方差為常數(shù)的 獨(dú)立正態(tài)分布，polyval函數(shù)將生成一個(gè)誤 差范圍，其中包含至少50

11、%的預(yù)測(cè)值.27p,s,mu=polyfit(x,y,n)返回多項(xiàng)式的系數(shù)，mu是一個(gè)二維向量u1,u2,u1=mean(x),u2=std(x),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理 x=(x-u1)/u2(2)Polyval函數(shù) 利用該函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合評(píng)價(jià) y=polyval(p,x) 返回n階多項(xiàng)式在x處的值，x可以是一個(gè)矩 陣或者是一個(gè)向量，向量p是n+1個(gè)以降序 排列的多項(xiàng)式的系數(shù)。29 .y=polyval(p,x,mu) 用x=(x-u1)/u2代替x，其中mu是一個(gè) 二維向量u1,u2, u1=mean(x),u2=std(x),通過(guò)這 樣處理數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)合理化。30 y,delta=pol

12、yval(p,x,s) y,delta=polyval(p,x,s,mu) 產(chǎn)生置信區(qū)間ydelta。如果誤差結(jié)果服從 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)落在ydelta區(qū) 間內(nèi)的概率至少為50%。31 例 x=0 0.0385 0.0963 0.1925 0.2888 0.385; y=0.042 0.104 0.186 0.338 0.479 0.612; p,s,mu=polyfit(x,y,5)32輸出結(jié)果為：p = Columns 1 through 5 0.0193 -0.0110 -0.0430 0.0073 0.2449 Column 6 0.2961說(shuō)明擬合的多項(xiàng)式為：2961. 02

13、449. 00073. 0043. 00110. 00193. 02345 xxxxxs = R: 6x6 double df: 0 normr: 2.3684e-016mu = 0.1669 0.1499自由度為 0 標(biāo)準(zhǔn)偏差為 2.3684e-016例:根據(jù)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行4階多項(xiàng)式擬合X1345678910F(x) 10 54211234 x=1 3 4 5 6 7 8 9 10; y=10 5 4 2 1 1 2 3 4; p,s=polyfit(x,y,4); y1=polyval(p,x); plot(x,y,go,x,y1,b-)1234567891012345678910 poly

14、2str(p,t)ans = -0.0049945 t4 + 0.11461 t3 - 0.61143 t2 - 1.1005 t + 11.549936例：電阻和溫度的關(guān)系數(shù)據(jù)如下 求60度時(shí)的電阻. 溫度 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 電阻 765 826 873 942 1032 T=20.5 32.7 51 73 95.7; R=765 826 873 942 1032; a=polyfit(T,R,1); y=poly2str(a,t) y = 3.3987 t + 702.096837 y=polyval(a,T) %計(jì)算多項(xiàng)式在某一點(diǎn)處的值 y = 1.0e+

15、003 * 0.7718 0.8132 0.8754 0.9502 1.0274 plot(T,R,k+,T,y,r*) hold on plot(T,y,b) polyval(a,60) ans = 906.02123820304050607080901007508008509009501000105039 例：已知年齡和運(yùn)動(dòng)能力的一組數(shù)據(jù)，試確定二者的關(guān)系(根據(jù)圖形指定次數(shù)) x1=17:2:29; x=x1 x1; y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3; plot(x,

16、y,r+)年齡17192123252729第一人20.4825.1326.153026.120.319.35第二人24.3528.1126.331.426.9225.721.3401618202224262830182022242628303241 a=polyfit(x,y,2) a = -0.2003 8.9782 -72.2150 poly2str(a,x) ans = -0.20031 x2 + 8.9782 x - 72.215 x1=17:0.1:29; y1=-0.20031*x1.2+8.9782*x1-72.215; hold on;plot(x1,y1,b)42161820

17、2224262830182022242628303243數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表cfit產(chǎn)生擬合的目標(biāo)產(chǎn)生擬合的目標(biāo)fit用庫(kù)模型、自定義模型、平滑樣條或用庫(kù)模型、自定義模型、平滑樣條或內(nèi)插方法來(lái)擬合數(shù)據(jù)內(nèi)插方法來(lái)擬合數(shù)據(jù)fitoptions產(chǎn)生或修改擬合選項(xiàng)產(chǎn)生或修改擬合選項(xiàng)fittype產(chǎn)生目標(biāo)的擬合形式產(chǎn)生目標(biāo)的擬合形式cflibhelp顯示一些信息，包括庫(kù)模型、三次樣顯示一些信息，包括庫(kù)模型、三次樣條和內(nèi)插方法等。條和內(nèi)插方法等。disp顯示曲線擬合工具的信息顯示曲線擬合工具的信息get返回?cái)M合曲線的屬性返回?cái)M合曲線的屬性set對(duì)于擬合曲線顯示屬性值對(duì)于擬合曲線顯示屬性值數(shù)據(jù)擬合函數(shù)表exclu

18、dedata指定不參與擬合的數(shù)據(jù)指定不參與擬合的數(shù)據(jù)smooth平滑響應(yīng)數(shù)據(jù)平滑響應(yīng)數(shù)據(jù)confint計(jì)算擬合系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間邊界計(jì)算擬合系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間邊界differentiate對(duì)于擬合結(jié)果求微分對(duì)于擬合結(jié)果求微分integrate對(duì)于擬合結(jié)果求積分對(duì)于擬合結(jié)果求積分predint對(duì)于新的觀察量計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間的邊界對(duì)于新的觀察量計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間的邊界datastates返回?cái)?shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)量返回?cái)?shù)據(jù)的描述統(tǒng)計(jì)量feval估計(jì)一個(gè)擬合結(jié)果結(jié)果或擬合類型估計(jì)一個(gè)擬合結(jié)果結(jié)果或擬合類型plot畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)、擬合線、預(yù)測(cè)區(qū)間、異畫(huà)出數(shù)據(jù)點(diǎn)、擬合線、預(yù)測(cè)區(qū)間、異常值點(diǎn)和殘差常值點(diǎn)和殘差2.曲線的參數(shù)

19、擬合 第一步：在命令行鍵入Cftool打開(kāi) curve fitting tool對(duì)話框； 第二步： 在curve fitting tool對(duì)話框中 單擊Data按鈕打開(kāi)data對(duì)話框指 定要分析的（預(yù)先存在工作區(qū)間） 數(shù)據(jù)； 第三步：在curve fitting tool對(duì)話框中 單擊fitting按鈕打開(kāi)fitting對(duì)話 框，進(jìn)行設(shè)置，實(shí)現(xiàn)曲線擬合。4647Fitting對(duì)話框 包括兩個(gè)面板：“Fit Editor”面板和“Tabe of Fits”面板。 （1）Fit editor 選擇擬合的文件名、數(shù)據(jù)集，選擇排除數(shù)據(jù)的文件，比較數(shù)據(jù)擬合的各種方法，包括庫(kù)函數(shù)、自定義的擬合模型和擬合參

20、數(shù)的選擇。 （2）Table of Fits 同時(shí)列出所有的擬合結(jié)果。48兩個(gè)面板的詳細(xì)描述： New fit 和 Copy fit 按鈕：開(kāi)始進(jìn)行曲線擬合是，單擊New fit按鈕，它采用默認(rèn)的線性多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)。在原有的擬合形式上，選擇不同的曲線擬合方法，可以用Copy fit 按鈕。 Fit name 選項(xiàng)為當(dāng)前擬合曲線的名字。單擊New fit 按鈕時(shí)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生默認(rèn)的文件名。 Data set 選項(xiàng)為當(dāng)前的數(shù)據(jù)集。 Exclusion rule 排除異常值的文件名，在數(shù)據(jù)與處理前建立的文件名。49 Center and scale X data 可對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化和離散化處理。 T

21、ype of fit 擬合的類型，包括參數(shù)擬合和非參數(shù)擬合兩種。具體包括： （1）Custom Equations 自定義擬合的線性或非線性方程； （2）New equation 使用Custom Equations 按鈕錢，必須單擊New equation 按鈕選擇合適的方程；50（3）Exponential指數(shù)擬合包括兩種形式： y=a*exp(b*x) y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x)（4）Fourier傅立葉擬合，正弦和余弦之和（共8個(gè)多項(xiàng)式） )*8sin()*8cos()*sin()*cos()*2sin()*2cos()*sin()*cos()*sin()*cos(

22、8811022110110wxbwxawxbwxaawxbwxawxbwxaawxbwxaa （5）Gaussian 高斯法，包括8個(gè)公式：)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*)2)/ )(exp(*888111111cbxacbxacbxa （6）Interpolant 內(nèi)插法，包括線性內(nèi)插、最近鄰內(nèi)插、三次樣條內(nèi)插和shape-preserving內(nèi)插；（7）Polynomial多項(xiàng)式，從一次到九次； （8）Rational有理擬合，兩個(gè)多項(xiàng)式之比，分子與分母都是多項(xiàng)式； （9）Power指數(shù)擬合，包括兩種形式： y=a*xb y=a*xb+c （10）Smoothing sp

23、line 平滑樣條擬合，默認(rèn)的平滑參數(shù)由擬合的數(shù)據(jù)集來(lái)決定，參數(shù)是0產(chǎn)生一個(gè)分段的線性多項(xiàng)式擬合，參數(shù)是1產(chǎn)生一個(gè)分段三次多項(xiàng)式擬合；53 （11）Sum of Sin Functions 正弦函數(shù)的和，采用以下8個(gè)公式： a1*sin(b1*x+c1) a1*sin(b1*x+c1)+ a8*sin(b8*x+c8) （12）Weibull 兩個(gè)參數(shù)的Weibull分布，表達(dá)式如下： Y=a*b*x(b-1)*exp(-a*xb)54 （3）Degree of Freedom Adjusted R-Square 調(diào)整自由度以后的殘差的平方，數(shù)值越接近1，曲線的擬合效果越好 （4）Root M

24、ean Square Error 根的均方誤差 Table of fits 擬合曲線的列表，可以對(duì)每個(gè)列表做如下操作： Delete fit 刪除所選的擬合曲線； Save to workspace 儲(chǔ)存所有的擬合信息； Table options 選擇與擬合相聯(lián)系的信息。55 Fit options 包括一些擬合方法，如線性擬合、非線性擬合，以及其他選項(xiàng)； 單擊Apply按鈕：采用上述所選各種方法進(jìn)行擬合； 單擊Immediate apply按鈕，在選擇一個(gè)擬合形式后立即輸出結(jié)果并存儲(chǔ)； Results羅列進(jìn)行擬合的各種參數(shù)： （1）SSE-sum of squares due to err

25、or 誤差平方和，越接近0曲線的擬合效果越好 （2）R-square 越接近1，曲線的擬合效果越好56例：用三次和五次多項(xiàng)式擬合下列數(shù)據(jù) rand(state,0) x=1:0.1:3 9:0.1:10; c=2.5 -0.5 1.3 -0.1; y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.2+c(4)*x.3+(rand(size(x)-0.5); cftool(x,y); 建立一個(gè)M文件，并運(yùn)行上述文件，打開(kāi)曲線擬合工具5758 點(diǎn)擊fitting按鈕new fitcubic polynomial-apply59resultsLinear model Poly3: f(x) = p1*x3

26、+ p2*x2 + p3*x + p4Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = -0.09837 (-0.1095, -0.08729) p2 = 1.275 (1.113, 1.437) p3 = -0.4351 (-1.092, 0.2222) p4 = 2.56 (1.787, 3.332)Goodness of fit: SSE: 2.587 R-square: 0.9993 Adjusted R-square: 0.9993 RMSE: 0.303960Results：Linear model Poly5: f(x) = p1*x

27、5 + p2*x4 + p3*x3 + p4*x2 + p5*x + p6Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 0.001389 (-0.003589, 0.006367) p2 = -0.03441 (-0.1601, 0.09125) p3 = 0.1934 (-0.9131, 1.3) p4 = 0.2733 (-3.856, 4.402) p5 = 1.013 (-5.785, 7.811) p6 = 1.835 (-2.167, 5.837)Goodness of fit: SSE: 2.552 R-square: 0.999

28、3 Adjusted R-square: 0.9992 RMSE: 0.313361擬合圖形：62例：用有理擬合方法擬合數(shù)據(jù)hahn1.m hahn1.m是matlab自帶，描述銅的熱膨脹與熱力學(xué)溫度的相關(guān)性，包括兩個(gè)向量temp與thermex。 load hahn1 cftool(temp,thermex) 6364分子分母均為2次65分子分母均為3次66分子三次、分母二次67 分子三次、分母二次的有理多項(xiàng)式擬合鮮果很好，擬合曲線充分體現(xiàn)了整個(gè)數(shù)據(jù)，殘差隨機(jī)分布在0附近。683.非參數(shù)擬合 有時(shí)我們對(duì)擬合參數(shù)的提取或解釋不感 興趣，只想得到一個(gè)平滑的通過(guò)各數(shù)據(jù)點(diǎn)的 曲線，這種擬合曲線的形式稱之為非參數(shù)擬 合。 非參數(shù)擬合的方法包括 （1）插值法Interpoants （2）平滑樣條內(nèi)插法Smoothing spline 69內(nèi)插法： 在已知數(shù)據(jù)點(diǎn)之間估計(jì)數(shù)值的過(guò)程，包括 Linear 線性內(nèi)差，在每一隊(duì)數(shù)據(jù)之間用不同的線性多項(xiàng)式擬合； Nearest neighbor 最近鄰內(nèi)插，內(nèi)差點(diǎn)在最相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間； Cubic spline 三次樣條內(nèi)插，在每一隊(duì)數(shù)據(jù)之間用不同的三次多項(xiàng)式擬合； Shape-preserving