微積分的應(yīng)用

1、 第第5章章 微積分的應(yīng)用微積分的應(yīng)用 微積分在實際問題中應(yīng)用非常廣泛，特別是微分方程可以解決許多實際問題。 對于動態(tài)問題，通?？梢耘c變化率、進而與微分方程聯(lián)系起來。可以考慮建立微分方程模型。 1. 1. 雨中行走問題雨中行走問題 人在雨中沿直線從一處向另一處行走,當雨的速度已知時,問人行走的速度多大時才能使淋雨量最小?假設(shè)1.人行走的路線為直線，行走距離為L。2.雨的速度不變。3.人體為長方體。 分析： 走的越快淋雨量越少嗎？ 降雨速度變化嗎？ 人身體的表面？ 行走的路線如何？淋雨量：通量！選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼?使人行走速度為： v1=(u,0,0)記雨的速度為： v2=(vx,vy,vz)

2、,相對速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz) 人身體的表面非常復(fù)雜,為了使問題簡化,將人體表面投影到三個坐標面，故可視為長方體，設(shè)其前、側(cè)、頂?shù)拿娣e之比為1:b:c 。 單位時間內(nèi)的淋雨量正比于 | vx | vy | vz | 從而總淋雨量正比于 R(u)=(| vx | vy | vz |)T, (行走的時間為 L/u.) =(| vx | +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c 0)= )()()()()(xxxxvuLuvaLvuLuvaLuR即問題化為)(min0uRu1. vx a; 當 vx a時, u= vx , R(u)達到最小值.2. vx = a

3、; 當 vx =a時, 在 u大于等于 vx 處 , R(u)都取到最小值.xvaLu/xvaL/3. vx a; 當 vx a時,行走速度為 ,淋雨量最小, 當 vx =a時,行走速度不小于 ,淋雨量最小. 當 vx a時,走的越快,淋雨量越小.xvaL/2.2.服藥問題服藥問題 醫(yī)生給病人開處方時必須注明兩點：服藥的劑量和服藥的時間間隔。超劑量的藥品會對身體產(chǎn)生嚴重不良后果,甚至死亡,而劑量不足,則不能達到治病的目的。已知患者服藥后,隨時間推移,藥品在體內(nèi)逐漸被吸收,發(fā)生生化反應(yīng),也就是體內(nèi)藥品的濃度逐漸降低。藥品濃度降低的速率與體內(nèi)當時藥品的濃度成正比。 在等間隔服藥 ， 一次服藥量為A

4、的情況下，試分析體內(nèi)藥的濃度隨時間的變化規(guī)律.假設(shè) 當一次服藥量為A時，體內(nèi)藥品的濃度瞬間增加a。記 T服藥間隔 x(t) t 時刻體內(nèi)藥品的濃度axtkxdttdx)0(),()(單次服藥單次服藥 由藥品濃度降低的速率與體內(nèi)當時藥品的濃度成正比,得：等間隔多次服藥(服藥的脈沖性)：,.2 , 1),()(,)0(),()(nnTxanTxaxnTttkxdttdx在區(qū)間nT, (n+1)T)上求解方程得 x(t)=x(nT)e-k(t-nT) t nT, (n+1)T),n=0,1,2,在區(qū)間0, T)上解為： x(t)=ae-kt t nT, (n+1)T),n=0,1,2,在區(qū)間T, 2

5、T)上解為： x(t)= (a+e-kT)e-k(t-T)在區(qū)間2T, 3T)上解為： x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT)e-k(t-2T) 在區(qū)間nT, (n+1)T)上解為： x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT + ae-nkT )e-k(t-nT) =a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT) =a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT) 由此看出，藥的濃度在人體中呈上升趨勢，且最后穩(wěn)定在一定的水平。當T=8,k=0.1, a=0.1 時，數(shù)值計算的結(jié)果如下圖所示：3.3.交通管理中的黃燈時間交通管

6、理中的黃燈時間 在十字路口的交通管理中,亮紅燈之前,要亮一段時間黃燈,這是為了讓那些正行駛在十字路口上或距十字路口太近以致無法停下的車輛通過路口.那么,黃燈應(yīng)該亮多長時間呢? 1) 1) 問題分析問題分析 在十字路口行駛的車輛中,主要因素是機動車輛。駛近交叉路口的駕駛員,在看到黃色信號后要做出決定:是停還是要通過路口。 假設(shè)他按法定速度(或低于法定速度)行駛。 當決定停車時,他必須有足夠的停車距離。少于此距離時不能停車,大于此距離時必須停車。等于此距離時可以停車,也可以通過路口。 當決定通過路口時,他必須有足夠的時間使他完全通過路口,這包括作出決定的時間、通過十字路口的時間以及通過停車所需的最

7、短距離的駕駛時間。 于是,黃燈狀態(tài)應(yīng)該持續(xù)的時間包括駕駛員的決定時間(反應(yīng)時間)、通過十字路口的時間和停車距離的駕駛時間。(2) (2) 建模與求解建模與求解記T1駕駛員反應(yīng)時間, T2汽車通過十字路口的時間, T3停車距離的駕駛時間,則 黃燈應(yīng)亮的時間為： T= T1 + T2 + T3下面計算T2 、T3設(shè) 法定行駛速度為v0,十字路口的長度為 I,典型的車身長度為L,則汽車通過十字路口的時間為: T2 =(I+L)/v0 00|)(, 0)0()(22vdttdxxfmgdttxdt 停車過程是通過駕駛員踩動剎車踏板產(chǎn)生一種摩擦力,使汽車減速直到停止。設(shè) m 為汽車質(zhì)量,f為剎車摩擦系數(shù)

8、,x(t)為行駛距離。 由牛頓第二定律,剎車過程滿足下述運動方程對方程積分一次,并代入初始條件得0)(vfgtdttdx令末速為零,得剎車時間為： t1 = fg/ v0再積分一次,并代入條件x(0)=0得tvfgttx0221)(故停車距離為：fgvfgvvfgvfgtx200020121)(21)(所以 T3 = x(t1 )/v0 = v0 /(2fg)駕駛員的反應(yīng)時間T1,可根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)或經(jīng)驗得到,通?？杉俣椋?T1=1 （秒）。所以,黃燈應(yīng)亮的時間為： T=(I+L)/v0 + v0 /(2fg) + T14.4.新產(chǎn)品銷售量新產(chǎn)品銷售量 一種耐用新產(chǎn)品進入市場后,一般會經(jīng)過一個銷

9、售量先不斷增加,然后逐漸下降的過程,稱為產(chǎn)品的生命周期(Product Life Cycle),簡記為PLC。 PLC曲線可能有若干種情況,其中有一種為鐘型，試建立數(shù)學(xué)模型分析此現(xiàn)象。1 1）問題分析）問題分析 當一個新產(chǎn)品進入市場時,其有關(guān)信息的傳播一般有兩個途徑: 經(jīng)營者或廠家提供的廣告；人們?nèi)ド痰暧H眼看到商品等，這是來自消費者以外的信息. 當一部分人購買之后經(jīng)過使用而對產(chǎn)品有所評價并傳播開來, 使其周圍的人們得到了有關(guān)產(chǎn)品的信息,這是來自消費者內(nèi)部的信息. 這兩方面的信息引起消費者去購買該產(chǎn)品. 由于是耐用產(chǎn)品(如電視機、洗衣機),所以一般不會重復(fù)購買.故產(chǎn)品的累積銷售量可以認為是購買者

10、人數(shù). 2 2）建模與求解）建模與求解 設(shè) K為潛在的消費者總數(shù), n(t)為t時刻購買了該產(chǎn)品的人數(shù)(累積銷售量)。 在時間段t,t+t 中,購買者增量n(t)由兩部分組成: 其一是由來自消費者外部的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量: n1(t) 其二是由消費者內(nèi)部傳播的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量: n2(t) 因外部信息導(dǎo)致的購買者增量應(yīng)與未購買者人數(shù)成正比。即: n n1 1(t)=aK- n(t)(t)=aK- n(t)t t (a0為比例系數(shù)) 因內(nèi)部信息導(dǎo)致的購買者增量應(yīng)與已購買者人數(shù)、未購買者人數(shù)之積成正比。即： n n2 2(t)(t)= b n(t)= b n(t)K- n(t)K-

11、n(t)t t (b0為比例系數(shù)) 故在時間段t,t+t 中,購買者總的增量為: n(t)n(t) = aK- n(t)aK- n(t)t t + b n(t)b n(t)K- n(t)K- n(t)t t 式兩端同除以t,并令t 0得0)0()()()(ntbnatnkdttdn 這就是該產(chǎn)品銷售量的數(shù)學(xué)模型.解此微分方程得 銷售量為其導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)曲線即為PLC曲線,它的圖形為鐘型.tbkatbkaeabkektn)()(11)(為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用

12、多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？ 1 1、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星? ? （1 1）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度 假設(shè)：假設(shè)：（i i） 衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星 在此軌道上作勻速圓周運動。在此軌道上作勻速圓周運動。 （iiii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi) 星的引力忽略不計。星的引力忽略不計。 分析：分析：根據(jù)萬有引力定律，地球?qū)?/p>

13、衛(wèi)星的引力為根據(jù)萬有引力定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R為地球半徑，為地球半徑，約為約為64006400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假設(shè)(ii)假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力故又有故又有: :2mFr從而從而: :gRr設(shè)設(shè)g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : 衛(wèi)星離地面高度衛(wèi)星離地面高度 ( (公里公里) )衛(wèi)星速度衛(wèi)星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )1001002002004004006006008008001

14、00010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86dmm-dmvu-v（2 2）火箭推進力及速度的分析）火箭推進力及速度的分析 假設(shè)：假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計火箭重力及空氣阻力均不計 分析：分析：記火箭在時刻記火箭在時刻t 的質(zhì)量和速度分別為的質(zhì)量和速度分別為m(t)和和(t) 2()( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數(shù)），（常數(shù)）， 由動量守恒定理：由動量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttu

15、dt 0 0和和m m0 0一定的情況下，一定的情況下，火箭速度火箭速度(t)(t)由噴發(fā)由噴發(fā)速度速度u u及質(zhì)量比決定。及質(zhì)量比決定。 ddmmudtdt 故：故：由此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t（2 2）火箭推進力及速度的分析）火箭推進力及速度的分析 現(xiàn)將火箭現(xiàn)將火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分： （i）mP（有效負載，如衛(wèi)星）（有效負載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量（結(jié)構(gòu)質(zhì)量如外殼、燃料容器及推進器）。如外殼、燃料容器及推進器）。 最終質(zhì)量為最終質(zhì)量為mP + mS ，初始速度為，初始速度為0，所以末速度

16、：所以末速度：lnOPSmumm根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，能，u只能達到只能達到3公里公里/秒，即使秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過超過6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假設(shè)：假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設(shè)火，假設(shè)火箭能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以箭能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以與與（1-）的比例同時減少。）的比例同時減少。 建模建模: : 由由 2( ) (

17、)()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dmdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP， 所以最終速度為：所以最終速度為： 0(1)lnPmum只要只要m0足夠大，我們可以足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度。有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估考慮到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估

18、計）發(fā)射衛(wèi)星計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使要使=10.5公里公里/秒才行，則可推秒才行，則可推算出算出m0/ mp約為約為51,即發(fā)射一噸重的即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 3 3、理想過程的實際逼近、理想過程的實際逼近多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級數(shù)為記火箭級數(shù)為n，當?shù)?，當?shù)趇級火箭的燃料燒盡時，第級火箭的燃料燒盡時，第i+1級火級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級火箭。用級火箭。用mi表示第表示第i級火箭的質(zhì)量，級火箭的質(zhì)量，mP表示有效負載。表示有效負載。 先作如下假設(shè)：先作如下假設(shè)： （i

19、）設(shè)各級火箭具有相同的）設(shè)各級火箭具有相同的 ,即即i級火箭中級火箭中mi為結(jié)構(gòu)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（質(zhì)量，（1-）mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。 （ii）設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變，設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為并記比值為k k。 考慮二級火箭：考慮二級火箭： 當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為：當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為： 12212lnPPmmmummm當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為：當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為： 2122222122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm該假設(shè)有點強加該假設(shè)有點強加的味道，先權(quán)作的味道，先權(quán)作討論的方便吧討論的

20、方便吧又由假設(shè)（又由假設(shè)（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍設(shè)仍設(shè)u=3公里公里/秒，且為了計算方便，近似取秒，且為了計算方便，近似取=0.1，則可，則可得：得： 1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，則應(yīng)使秒，則應(yīng)使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm類似地，可以推算出三級火箭：類似地，可以推算出三級火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同樣假設(shè)下在

21、同樣假設(shè)下: : 33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5公里公里/秒，則秒，則(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三級火箭比二級火箭三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半幾乎節(jié)省了一半 是否三級火箭就是最省是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進對四級、五級等火箭進行討論。行討論?？紤]考慮N N級火箭：級火箭： 記記n級火箭的總質(zhì)量（包含有效負載級火箭的總質(zhì)量（包含有效負載mP）為）為m0 ，在，在相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的m0/ mP的值，見表的值，見表3-2n（級數(shù)）（級數(shù)）1 2 3 4 5 （理想）（理想） 火箭質(zhì)量（噸）火箭質(zhì)量（噸）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合用四級或四級以上火箭是不