高中物理競賽的數(shù)學基礎(自用)

1、普通物理的數(shù)學基礎選自趙凱華老師新概念力學一、微積分初步  物理學研究的是物質(zhì)的運動規(guī)律，因此我們經(jīng)常遇到的物理量大多數(shù)是變量，而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯(lián)系。這樣，微積分這個數(shù)學工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學習基礎物理課時若能較早地掌握一些微積分的初步知識，對于物理學的一些基本概念和規(guī)律的深入理解是很有好處的。所以我們在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方法，在講述方法上不求嚴格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結(jié)合物理課的需要。至于更系統(tǒng)和更深入地掌握微積分的知識和方法，讀者將通過高等數(shù)學課程的學習去完成。§1函數(shù)及其圖形 

2、; 11函數(shù)  自變量和因變量  絕對常量和任意常量 12函數(shù)的圖象  13物理學中函數(shù)的實例 §2導數(shù)  21極限  如果當自變量x無限趨近某一數(shù)值x0（記作xx0）時，函數(shù)f（x）的數(shù)值無限趨近某一確定的數(shù)值a，則a叫做xx0時函數(shù)f（x）的極限值，并記作（A17）式中的“l(fā)im”是英語“l(fā)imit（極限）”一詞的縮寫，（A17）式讀作“當x趨近x0時，f（x）的極限值等于a”。極限是微積分中的一個最基本的概念，它涉及的問題面很廣。這里我們不企圖給“極限”這個概念下一個普遍而嚴格的定義，只通過一個特例來說明它的

3、意義?？紤]下面這個函數(shù)：這里除x1外，計算任何其它地方的函數(shù)值都是沒有困難的。例如當?shù)侨魡杧1時函數(shù)值f（1）？我們就會發(fā)現(xiàn)，這時（A18）式的說是沒有意義的。所以表達式（A18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時的函數(shù)值來。下表列出了當x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時f（x）值的變化情況：表A-1 x與f（x）的變化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.0

4、31.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003 從上表可以看出，x值無論從哪邊趨近1時，分子分母的比值都趨于一個確定的數(shù)值5，這便是x1時f（x）的極限值。其實計算f（x）值的極限無需這樣麻煩，我們只要將（A18）式的分子作因式分解：3x2-x-2（3x2）（x-1），并在x1的情況下從分子和分母中將因式（x1）消去：即可看出，x趨于1時函數(shù)f（x）的數(shù)值趨于3×125。所以根據(jù)函數(shù)極限的定義，求極限公式（2）（3）（4） 等價無窮小量代換sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;   22

5、極限的物理意義  （1）瞬時速度對于勻變速直線運動來說，這就是我們熟悉的勻變速直線運動的速率公式（A5）。（2）瞬時加速度時的極限，這就是物體在tt0時刻的瞬時加速度a：（3）水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才能使水流動。為簡單起見，我們假設水渠是直的，這時可以把x坐標軸取為逆水渠走向的方向（見圖A-5），于是各處渠底的高度h便是x的函數(shù)：h=h（x）知道了這個函數(shù)，我們就可以計算任意兩點之間的高度差。 就愈能精確地反映出x=x0這一點的坡度。所以在x=x0這一點的坡度k應是  23函數(shù)的變化率導數(shù)  前面我們舉了三個例子，在前兩個例子

6、中自變量都是t，第三個例子中自變量是x這三個例子都表明，在我們研究變量與變量之間的函數(shù)關系時，除了它們數(shù)值上“靜態(tài)的”對應關系外，我們往往還需要有“運動”或“變化”的觀點，著眼于研究函數(shù)變化的趨勢、增減的快慢，亦即，函數(shù)的“變化率”概念。當變量由一個數(shù)值變到另一個數(shù)值時，后者減去前者，叫做這個變量的增量。增量，通常用代表變量的字母前面加個“”來表示。例如，當自變量x的數(shù)值由x0變到x1時，其增量就是xx1-x0 （A25）與此對應。因變量y的數(shù)值將由y0f（x0）變到y(tǒng)1=f（x1），于是它的增量為yy1-y0=f（x1）f（x0）f（x0+x）f（x0）（A26）應當指出，增量是可

7、正可負的，負增量代表變量減少。增量比可以叫做函數(shù)在xx0到xx0+x這一區(qū)間內(nèi)的平均變化率，它在x0時的極限值叫做函數(shù)yf（x）對x的導數(shù)或微商，記作y或f（x），f（x）等其它形式。導數(shù)與增量不同，它代表函數(shù)在一點的性質(zhì)，即在該點的變化率。應當指出，函數(shù)f（x）的導數(shù)f（x）本身也是x的一個函數(shù)，因此我們可以再取它對x的導數(shù)，這叫做函數(shù)yf（x）據(jù)此類推，我們不難定義出高階的導數(shù)來。有了導數(shù)的概念，前面的幾個實例中的物理量就可表示為：  24導數(shù)的幾何意義  在幾何中切線的概念也是建立在極限的基礎上的。如圖A-6所示，為了確定曲線在P0點的切線，我們先在曲線上P0附近選另

8、一點P1，并設想P1點沿著曲線向P0點靠攏。P0P1的聯(lián)線是曲線的一條割線，它的方向可用這直線與橫坐標軸的夾角來描述。從圖上不難看出，P1點愈靠近P0點，角就愈接近一個確定的值0，當P1點完全和P0點重合的時候，割線P0P1變成切線P0T，的極限值0就是切線與橫軸的夾角。  在解析幾何中，我們把一條直線與橫坐標軸夾角的正切tan叫做這條直線的斜率。斜率為正時表示是銳角，從左到右直線是上坡的（見圖A-7a）；斜率為負時表示是鈍角，從左到右直線是下坡的（見圖A-7b）?，F(xiàn)在我們來研究圖A-6中割線P0P1和切線P0T的斜率。設P0和P1的坐標分別為（x0，y0）和（x0+x，y

9、0+y），以割線P0P1為斜邊作一直角三角形P0P1M，它的水平邊P0M的長度為x，豎直邊MP1的長度為y，因此這條割線的斜率為如果圖A-6中的曲線代表函數(shù)y=f（x），則割線P0P1的斜率就等于函數(shù)在 線P0P1斜率的極限值，即所以導數(shù)的幾何意義是切線的斜率。§3導數(shù)的運算  在上節(jié)里我們只給出了導數(shù)的定義，本節(jié)將給出以下一些公式和定理，利用它們可以把常見函數(shù)的導數(shù)求出來。  31基本函數(shù)的導數(shù)公式  （1）yf（x）C（常量）（2）y=f（x）x（3）yf（x）=x2（4）yf（x）x3 上面推導的結(jié)果可以歸納成一個普遍公式：當y=xn時，

10、等等。利用（A33）式我們還可以計算其它冪函數(shù)的導數(shù)（見表A-2）。除了冪函數(shù)xn外，物理學中常見的基本函數(shù)還有三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。我們只給出這些函數(shù)的導數(shù)公式（見表A-2）而不推導，讀者可以直接引用。  32有關導數(shù)運算的幾個定理  定理一證：定理二表A-2基本導數(shù)公式函數(shù)y=f(x)導數(shù)y=f(x)c(任意常量)0xn(n為任意常量)nxn-1n=1,x1n=2,x22xn=3,x33x2sinxcosxcosx-sinxlnxexex定理三定理四例題1求y=x2±a2（a為常量）的導數(shù)。例題3求y=ax2（a為常量）的導數(shù)。例題4求y=x2ex的導

11、數(shù)。例題6求ytanx的導數(shù)。 例題7求ycos（axb）（a、b為常量）的導數(shù)。解：令vaxb，yu（v）cosv，則例題9求y=x2eax2（a為常量）的導數(shù)。解：令uev，vax2，則§4微分和函數(shù)的冪級數(shù)展開  41微分  自變量的微分，就是它的任意一個無限小的增量x用dx代表x的微分，則dx=x（A38）一個函數(shù)y=f（x）的導數(shù)f（x）乘以自變量的微分dx，叫做這個函數(shù)的微分，用dy或df（x）表示，即dydf（x）f（x）dx，   （A39）一個整體引入的。當時它雖然表面上具有分數(shù)的形式，但在運算時并不象普通分數(shù)那樣可

12、以拆成“分子”和“分母”兩部分。在引入微分的概念之后，我們就可把導數(shù)看成微分dy與dx之商（所謂“微商”），即一個真正的分數(shù)了。把導數(shù)寫成分數(shù)形式，常常是很方便的，例如，把上節(jié)定理四（A37）此公式從形式上看就和分數(shù)運算法則一致了，很便于記憶。下面看微分的幾何意義。圖A-8是任一函數(shù)yf（x）的圖形，P0（x0，y0）和P1（x0+x，y0+y）是曲線上兩個鄰近的點，P0T是通過P0的切線。直角三角形P0MP1的水平邊的交點為N，則 但tanNP0M為切線P0T的斜率，它等于x=x0處的導數(shù)f（x0），因此所以微分dy在幾何圖形上相當于線段MN的長度，它和增量是正比于（x）2以及x更

13、高冪次的各項之和例如對于函數(shù)y=f（x）x3，y3x2x3x（x）2（x）3，而dy=f（x）x=3x2x當x很小時，（x）2、（x）3、比x小得多，中的線性主部。這就是說，如果函數(shù)在x=x0的地方象線性函數(shù)那樣增長，則它的增量就是dy   §5.積分  5.1幾個物理中的實例  (1)變速直線運動的路程我們都熟悉勻速直線運動的路程公式。如果物體的速率是v，則它在ta到tb一段時間間隔內(nèi)走過的路程是sv(tbta).  (A.45)對于變速直線運動來說，物體的速率v是時間的函數(shù)：vv(t)，函數(shù)的圖形是一條曲線(見圖A-10a)，只有

14、在勻速直線運動的特殊情況下，它才是一條直線(參見圖A-4b)。對于變速直線運動，(A.45)式已不適用。但是，我們可以把tta到ttb這段時間間隔分割成許多小段，當小段足夠短時，在每小段時間內(nèi)的速率都可以近似地看成是不變的。這樣一來，物體在每小段時間里走過的路程都可以按照勻速直線運動的公式來計算，然后把各小段時間里走過的路程都加起來，就得到ta到tb這段時間里走過的總路程。  設時間間隔(tbta)被tt1(=ta)、t2、t3、tn、tb分割成n小段，每小段時間間隔都是t，則在t1、t2、t3、tn各時刻速率分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)。如果我們把

15、各小段時間的速率v看成是不變的，則按照勻速直線運動的公式，物體在這些小段時間走過的路程分等于v(t1)t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t.于是，在整個(tb-ta)這段時間里的總路程是現(xiàn)在我們來看看上式的幾何意義。在函數(shù)vv(t)的圖形中，通過t=t1、t2、t3、tn各點垂線的高度分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)(見圖A-10b)，所以v(t1 )t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t就分這些矩形面積的總和，即圖中畫了斜線的階梯狀圖形的面積。在上面的計算中，我們把各小段時間t里的速率v看做是不變的，實際上在每小段時間里v多少還是有些變化的，所以上面的計算并

16、不精確。要使計算精確，就需要把小段的數(shù)目n加大，同時所有小段的t縮短(見圖A-10c)。t愈短，在各小段里v就改變得愈少，把各小段里的運動看成勻速運動也就愈接近實際情況。所以要嚴格地計算變速運動的路程s，我們就應對(A.46)式取n、t0的極限，即當n愈來愈大，t愈來愈小的時候，圖A-10中的階梯狀圖形的面積就愈來愈接近v(t)曲線下面的面積(圖A-10d)。所以(A.47)式中的極限值等于(tbta)區(qū)間內(nèi)v(t)曲線下的面積?？傊谧兯僦本€運動中，物體在任一段時間間隔(tbta)里走過的路程要用(A.47)式來計算，這個極限值的幾何意義相當于這區(qū)間內(nèi)v(t)曲線下的面積。  (

17、2)變力的功當力與物體移動的方向一致時，在物體由位置ssa移到ssb的過程中，恒力F對它所作的功為AF(sbsa)     A.48)如果力F是隨位置變化的，即F是s的函數(shù)：FF(s)，則不能運用(A.48)式來計算力F的功了。這時，我們也需要象計算變速運動的路程那樣，把(sbsa)這段距離分割成n個長度為s的小段(見圖A-11) 并把各小段內(nèi)力F的數(shù)值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式計算出每小段路程s上的功，然后加起來取n、s0的極限值。具體地說，設力F在各小段路程內(nèi)的數(shù)值分別為F(s1)、F(s2)、F(s3)、F(sn)，則在各小段路程

18、上力F所作的功分別為F(s1)s、F(s2)s、F(s3)s、F(sn)s.在(sbsa)整段路程上力F的總功A就都是變化的，所以嚴格地計算，還應取n、s0的極限值，即同上例，這極限值應是(sbsa)區(qū)間內(nèi)F(s)下面的面積(見圖A-12)。  5 2定積分  以上兩個例子表明，許多物理問題中需要計算象(A.47)和(A.49)式中給出的那類極限值。概括起來說，就是要解決如下的數(shù)學問題：給定一個函數(shù)f(x)，用xx1(=a)、x2、x3、xn、b把自變量x在(ba)區(qū)間內(nèi)的數(shù)值分成n小段，設每小段的大小為x，求n、x0時函數(shù)，b和a分別叫做定積分的上限和下限。用定

19、積分的符號來表示，(A.47)和(A.49)式可分別寫為 在變速直線運動的路程公式(A.51)里，自變量是t，被積函數(shù)是v(t)，積分的上、下限分別是tb和ta；在變力作功的公式(A.52)里，自變量是s，被積函數(shù)是F(s)，積分的上、下限分別是sb和sa.求任意函數(shù)定積分的辦法有賴于下面關于定積分的基本定理：如果被積函數(shù)f(x)是某個函數(shù)(x)的導數(shù)，即f(x)=(x)，則在xa到xb區(qū)間內(nèi)f(x)對x的定積分等于(x)在這區(qū)間內(nèi)的增量，即現(xiàn)在我們來證明上述定理。在axb區(qū)間內(nèi)任選一點xi，首先考慮(x)在x=xi到x=xi+xxi+1區(qū)間的增量(xi)=(xi+1)-(xi)：但

20、按照定理的前提，(x)=f(x)，故(xi)(xi)x=f(xi)x.式中表示“近似等于”，若取x0的極限，上式就是嚴格的等式。把axb區(qū)間分成n1小段，每段長x.上式適用于每小段。根據(jù)積分的定義和上式，我們有因x1a，xnb，于是得(A.53)式，至此定理證訖。下面看看函數(shù)(x)在f-x圖(見圖A-13)中所表現(xiàn)的幾何意義。如前所述，(xi)=(xi+1)-(xi)=f(xi)x，正是寬為x、高為積。它和曲線段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面積只是相差一小三角形PiNPi1的面積。當x0時，可認為(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面積。既然當x由xi變到xi+1時，

21、(x)的增量的幾何意義是相應區(qū)間f-x曲線下的面積，則(x)本身的幾何意義就是從原點O到x區(qū)間f-x曲線下面的面積加上一個常量C(0).例如(xi)的幾何意義是圖形OxiPiP0的面積加C，(xi1)的幾何意義是圖形Oxi+1Pi+1P0的面積加C，等等。這樣，(xi)=(xi+1)-(xi)就是：(Oxi+1Pi+1P0的面積+C)-(OxiPiP0的面積+C)=xixi+1Pi+1Pi的面積，而(b)-(a)的幾何意義是：(ObPbP0的面積+C)(OaPaP0的面積+C)abPbPa的面積。   5.3不定積分及其運算  在證明了上述定積分的基本定理之后，我

22、們就可以著手解決積分的運算問題了。根據(jù)上述定理，只要我們求得函數(shù)(x)的表達式，利用(A.53)式立即可以算出定積分去求(x)的表達式呢？上述定理告訴我們，(x)=f(x)，所以這就相當于問f(x)是什么函數(shù)的導數(shù)。由此可見，積分運算是求導的逆運算。如果f(x)是(x)的導數(shù)，我們可以稱(x)是f(x)的逆導數(shù)或原函數(shù)。求f(x)的定積分就可以歸結(jié)為求它的逆導數(shù)或原函數(shù)。在上節(jié)里我們講了一些求導數(shù)的公式和定理，常見的函數(shù)我們都可以按照一定的法則把它們的導數(shù)求出來。然而求逆導數(shù)的問題卻不像求導數(shù)那樣容易，而需要靠判斷和試探。例如，我們知道了(x)x3的導數(shù)(x)3x2，也就知道了F(x)3x2的

23、逆導數(shù)是(x)x3.這時，如果要問函數(shù)f(x)x2的逆導數(shù)是什么，那么我們就不難想到，它的逆導數(shù)應該是x3/3.這里要指出一點，即對于一個給定的函數(shù)f(x)來說，它的逆導數(shù)并不是唯一的。1(x)x3/3是f(x)x2的逆導數(shù)，2(x)x3/31和3(x)=x3/35也都是它的逆導數(shù)，因為1(x)、2(x)、3(x)都等于x2.一般說來，在函數(shù)f(x)的某個逆導數(shù)(x)上加一任意常量C，仍舊是f(x)的逆導數(shù)。通常把一個函數(shù)f(x)的逆導數(shù)的通式(x)C叫做它的不定積分，并記作f(x)dx，于是因在不定積分中包含任意常量，它代表的不是個別函數(shù)，而是一組函數(shù)。表A-4基本不定積分公式函數(shù)f(xxn

24、(n-1)n=1時，x1=xn=2時，x2n=3時，x3sinx-cosx+Ccosxsinx+Cln|x|+Cexex+C上面所給的例子太簡單了，我們一眼就能猜到逆導數(shù)是什么。在一般的情況下求逆導數(shù)，首先要求我們對各種函數(shù)的導數(shù)掌握得很熟練，才能確定選用那一種形式的函數(shù)去試探。此外，掌握表A-4中給出的基本不定積分公式和其后的幾個有關積分運算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通過求導運算倒過來驗證，望讀者自己去完成)下面是幾個有關積分運算的定理。定理一  如果f(x)au(x)(a是常量)，則定理二  如果f(x)=u(x)±v(x)，則這兩個定理的證明是顯

25、而易見的，下面我們利用這兩個定理和表A4中的公式計算兩個例題。定理三  如果f(x)=u(v)v(x)，則此定理表明，當f(x)具有這種形式時，我們就可以用v來代替x作自變量，這叫做換元法。經(jīng)過換元往往可以把比較復雜的積分化成表A-4中給出的現(xiàn)成結(jié)果。下面看幾個例題。解：令u(v)sinv，v(x)axb， dvv(x)dxadx，經(jīng)換元得解：令v(x)=sinx，則dvv(x)dxcosx dx，于是于是  5.4通過不定積分計算定積分  當我們求得不定積分之后，將上、下限的數(shù)值代入相減，就得到定積分的值：作定積分運算時，任意常量就被消掉了。圖A14是

26、f(x)=sin2x的曲線，它在x0到1/2一段是正的，在x1/2到1一段是負的。從x0到1的定積分為0，是因為橫軸上下兩塊面積大小相等，一正一負，相互抵消了。  例題17  推導勻變速直線運動的路程公式。解：v(t)=v0+at，例題18 若在(A.52)式中力F(s)與距離平方成反比：F(s)a/s2，求功A(見圖A-15).習  題  A-1.(1)若f(x)=x2，寫出f(0)、f(1)、f(2)、f(3)之值。(3)若f(x)abx，f(0)？x0為多少時f(x0)=0？  A-2.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y3x42x28， 

27、;                               (2)y=53x4x3，  (11)yx tanx，