激光原理第二章習(xí)題解答

1、激光原理習(xí)題解答第二章習(xí)題解答1 試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無(wú)限次，而且兩次往返即自行閉合.證明如下：（共焦腔的定義兩個(gè)反射鏡的焦點(diǎn)重合的共軸球面腔為共焦腔。共焦腔分為實(shí)共焦腔和虛共焦腔。公共焦點(diǎn)在腔內(nèi)的共焦腔是實(shí)共焦腔，反之是虛共焦腔。兩個(gè)反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對(duì)稱共焦腔，可以證明，對(duì)稱共焦腔是實(shí)雙凹腔。）根據(jù)以上一系列定義，我們?nèi)【邔?duì)稱共焦腔為例來(lái)證明。設(shè)兩個(gè)凹鏡的曲率半徑分別是和，腔長(zhǎng)為，根據(jù)對(duì)稱共焦腔特點(diǎn)可知：因此，一次往返轉(zhuǎn)換矩陣為把條件帶入到轉(zhuǎn)換矩陣T，得到：共軸球面腔的穩(wěn)定判別式子如果或者，則諧振腔是臨界腔，是否是穩(wěn)定腔要根據(jù)情況來(lái)定。本題

2、中 ，因此可以斷定是介穩(wěn)腔（臨界腔），下面證明對(duì)稱共焦腔在近軸光線條件下屬于穩(wěn)定腔。經(jīng)過(guò)兩個(gè)往返的轉(zhuǎn)換矩陣式，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：其中等式左邊的坐標(biāo)和角度為經(jīng)過(guò)兩次往返后的坐標(biāo)，通過(guò)上邊的式子可以看出，光線經(jīng)過(guò)兩次往返后回到光線的出發(fā)點(diǎn)，即形成了封閉，因此得到近軸光線經(jīng)過(guò)兩次往返形成閉合，對(duì)稱共焦腔是穩(wěn)定腔。2 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔的穩(wěn)定條件。解答如下：共軸球面腔的，如果滿足，則腔是穩(wěn)定腔，反之為非穩(wěn)腔,兩者之間存在臨界腔，臨界腔是否是穩(wěn)定腔，要具體分析。下面我們就根據(jù)以上的內(nèi)容來(lái)分別求穩(wěn)定條件。對(duì)于平凹共軸球面腔， ()所以，如果，則是穩(wěn)定腔。因?yàn)楹途笥诹悖圆坏仁降暮蟀氩糠忠欢ǔ?/p>

3、立，因此，只要滿足，就能滿足穩(wěn)定腔的條件，因此，就是平凹腔的穩(wěn)定條件。類似的分析可以知道，凸凹腔的穩(wěn)定條件是：,且。 雙凹腔的穩(wěn)定條件是：， （第一種情況） ，且（第二種情況） （對(duì)稱雙凹腔）求解完畢。3 激光腔的諧振腔由一曲率半徑為1M的凸和曲率半徑為2M的凹面鏡構(gòu)成，工作物質(zhì)長(zhǎng)度為0.5M，其折射率為1.52，求腔長(zhǎng)在什么范圍內(nèi)諧振腔是穩(wěn)定的。解答如下：設(shè)腔長(zhǎng)為，腔的光學(xué)長(zhǎng)度為，已知，根據(jù)，代入已知的凸凹鏡的曲率半徑，得到：因?yàn)楹泄ぷ魑镔|(zhì)，已經(jīng)不是無(wú)源腔，因此，這里L(fēng)應(yīng)該是光程的大小（或者說(shuō)是利用光線在均勻介質(zhì)里傳播矩陣）。即，代入上式，得到：要達(dá)到穩(wěn)定腔的條件，必須是，按照這個(gè)條件，得

4、到腔的幾何長(zhǎng)度為：，單位是米。解答完畢。5 有一方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長(zhǎng)L=30CM，方形孔徑邊長(zhǎng)為d=2a=0.12CM，=632.8nm，鏡的反射率為r1=1，r2=0.96，其他損耗以每程0.003估計(jì)。此激光器能否做單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個(gè)方形小孔光闌來(lái)選擇TEM00模，小孔的邊長(zhǎng)應(yīng)為多大？試根據(jù)圖2.5.5作一大略的估計(jì)。氦氖激光器增益由公式估算，其中的l是放電管長(zhǎng)度。分析：如果其他損耗包括了衍射損耗，則只考慮反射損耗及其他損耗的和是否小于激光器的增益系數(shù)，增益大于損耗，則可產(chǎn)生激光振蕩。 如果其他損耗不包括衍射損耗，并且菲涅爾數(shù)小于一，則還要考慮衍射損耗，衍射損耗

5、的大小可以根據(jù)書中的公式00=10.9*10-4.94N來(lái)確定，其中的N是菲涅爾數(shù)。解答：根據(jù)，可以知道單程增益g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723由于反射不完全引起的損耗可以用公式2.1.24或者2.1.25來(lái)衡量根據(jù)2.1.24得到：r-0.5lnr1r2=0.0204根據(jù)題意，總的損耗為反射損+其他損耗，因此單程總損耗系數(shù)為=0.0204+0.0003g0L如果考慮到衍射損耗，則還要根據(jù)菲涅爾數(shù)來(lái)確定衍射損系數(shù)：此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅爾數(shù)為：N=a2/(L)=7.6，菲涅爾數(shù)大于一很多倍，因此可以不考慮衍射損耗的影響。通過(guò)以上分析可以斷定，此諧振腔可以產(chǎn)生激光振蕩。

6、又根據(jù)氦氖激光器的多普勒展寬達(dá)到1.6GHZ，而縱模及橫模間隔根據(jù)計(jì)算可知很小，在一個(gè)大的展寬范圍內(nèi)可以后很多具有不同模式的光波振蕩，因此不采取技術(shù)措施不可能得到基模振蕩。為了得到基模振蕩，可以在腔內(nèi)加入光闌，達(dá)到基模振蕩的作用。在腔鏡上，基模光斑半徑為：因此，可以在鏡面上放置邊長(zhǎng)為20s的光闌。解答完畢。6 試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布嗎？解答如下：方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程式為經(jīng)過(guò)博伊德戈登變換，在通過(guò)厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函數(shù)表示鏡面上場(chǎng)的函數(shù)使就可以求出節(jié)線的位置。由上式得到：，這些節(jié)線是等距的。解答完畢。7 求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的

7、節(jié)線位置。解答如下：圓形鏡共焦腔場(chǎng)函數(shù)在拉蓋爾高斯近似下，可以寫成如下的形式 （這個(gè)場(chǎng)對(duì)應(yīng)于，兩個(gè)三角函數(shù)因子可以任意選擇，但是當(dāng)m為零時(shí)，只能選余弦，否則整個(gè)式子將為零）對(duì)于：并且，代入上式，得到，我們?nèi)∮嘞翼?xiàng)，根據(jù)題中所要求的結(jié)果，我們?nèi)。湍芮蟪鲧R面上節(jié)線的位置。既對(duì)于，可以做類似的分析。，代入上式并使光波場(chǎng)為零，得到顯然，只要即滿足上式最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為：解答完畢。8 今有一球面腔，兩個(gè)曲率半徑分別是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，試證明該腔是穩(wěn)定腔，求出它的等價(jià)共焦腔的參數(shù)，在圖中畫出等價(jià)共焦腔的具體位置。解：共軸球面腔穩(wěn)定判別的公式是，這個(gè)公式具有普適性（教材

8、36頁(yè)中間文字部分），對(duì)于簡(jiǎn)單共軸球面腔，可以利用上邊式子的變換形式判斷穩(wěn)定性，其中。題中，在穩(wěn)定腔的判別范圍內(nèi)，所以是穩(wěn)定腔。任意一個(gè)共焦腔與無(wú)窮多個(gè)穩(wěn)定球面腔等價(jià)，一個(gè)一般穩(wěn)定球面腔唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)共焦腔，他們的行波場(chǎng)是相同的。等價(jià)共焦腔的參數(shù)包括：以等價(jià)共焦腔的腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，從坐標(biāo)原點(diǎn)到一般穩(wěn)定球面兩個(gè)腔鏡面的坐標(biāo)和，再加上它的共焦腔的鏡面焦距，這三個(gè)參數(shù)就能完全確定等價(jià)共焦腔。根據(jù)公式（激光原理p66-2.8.4）得到：因此等價(jià)共焦腔示意圖略。9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波長(zhǎng)=10.6m，試計(jì)算鏡面上的光斑半徑、束腰半徑及兩個(gè)鏡面上的損耗。解

9、：此二氧化碳激光器是穩(wěn)定腔，其中平面鏡的曲率半徑可以看作是無(wú)窮大。根據(jù)公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：其中第一個(gè)腰斑半徑對(duì)應(yīng)平面鏡。上式中是這個(gè)平凹腔的等價(jià)共焦腔鏡面上的腰斑半徑，并且根據(jù)一般穩(wěn)定球面腔與等價(jià)共焦腔的性質(zhì)，他們具有同一個(gè)束腰。根據(jù)共焦腔束腰光斑半徑與鏡面上光斑半徑的關(guān)系可知：作為穩(wěn)定腔，損耗主要是衍射損，衍射損耗與鏡面上的菲涅爾數(shù)有關(guān)，在損耗不大的情況下，是倒數(shù)關(guān)系。即：根據(jù)公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分別求出兩個(gè)鏡面的菲涅爾數(shù)根據(jù)衍射損耗定義，可以分別求出：，解答完畢。10 證明在所有菲涅爾數(shù)相同而曲率半徑R不同的對(duì)稱穩(wěn)定球面腔中，共

10、焦腔的衍射損耗最低。這里L(fēng)表示腔長(zhǎng)，a是鏡面的半徑。證明：在對(duì)稱共焦腔中，11 今有一平面鏡和一個(gè)曲率半徑為R=1M的凹面鏡，問：應(yīng)該如何構(gòu)成一個(gè)平凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角，畫出光束發(fā)散角與腔長(zhǎng)的關(guān)系。解答：我們知道，遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角不僅和模式（頻率）有關(guān)，還和腔的結(jié)構(gòu)有關(guān)。根據(jù)公式2.6.14得到：，如果平面鏡和凹面鏡構(gòu)成的諧振腔所對(duì)應(yīng)的等價(jià)共焦腔焦距最大，則可以獲得最小的基模光束發(fā)散角。代入發(fā)散角公式，就得到最小發(fā)散角為：發(fā)散角與腔長(zhǎng)的關(guān)系式：解答完畢。13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面鏡的R=2M，腔長(zhǎng)L=1M，試給出它所產(chǎn)生的高斯光束的束腰腰斑半徑的大小和位置，該高斯光束的焦參

11、數(shù)和基模發(fā)散角。解答：解答完畢。14 某高斯光束束腰光斑半徑為1.14MM，波長(zhǎng)=10.6M。求與束腰相距30厘米、100厘米、1000米遠(yuǎn)處的光斑半徑及相應(yīng)的曲率半徑。解答：根據(jù)公式（激光原理p71-2.9.4, 2.9.6）把不同距離的數(shù)據(jù)代入，得到：，曲率半徑與不同距離對(duì)應(yīng)的曲率半徑為：，解答完畢。15 若已知某高斯光束的束腰半徑為0.3毫米，波長(zhǎng)為632.8納米。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰距離30厘米處的q參數(shù)值，與束腰相距無(wú)限遠(yuǎn)處的q值。解答：束腰處的q參數(shù)值實(shí)際上就是書中的公交參量（激光原理p73-2.9.12）：根據(jù)公式（激光原理p75-2.10.8），可以得到30厘米和無(wú)窮遠(yuǎn)處

12、的q參數(shù)值分別為無(wú)窮遠(yuǎn)處的參數(shù)值為無(wú)窮大。解答完畢。16 某高斯光束束腰半徑為1.2毫米，波長(zhǎng)為10.6微米?，F(xiàn)在用焦距F=2cm的鍺透鏡聚焦，當(dāng)束腰與透鏡距離分別為10米，1米，10厘米和0時(shí)，求焦斑大小和位置，并分析結(jié)果。解答：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18）當(dāng)束腰與透鏡距離10米時(shí)同理可得到：解答完畢17 二氧化碳激光器輸出波長(zhǎng)為10.6微米的激光，束腰半徑為3毫米，用一個(gè)焦距為2厘米的凸透鏡聚焦，求欲得到焦斑半徑為20微米及2.5微米時(shí)，透鏡應(yīng)該放在什么位置。解答：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.18）上式中束腰到透鏡的距離l就是我們要求的參數(shù)，其他各個(gè)參

13、數(shù)都為已知，代入題中給出的數(shù)據(jù)，并對(duì)上式進(jìn)行變換，得到當(dāng)焦斑等于20微米時(shí)，（透鏡距束腰的距離）當(dāng)焦斑等于2.5微米時(shí)，此提要驗(yàn)證18 如圖2.2所示，入射光波廠為10.6微米，求及。解答：經(jīng)過(guò)第一個(gè)透鏡后的焦斑參數(shù)為：經(jīng)過(guò)第二個(gè)透鏡后的焦參數(shù)為：解方程可以求出題中所求。19 某高斯光束束腰腰斑半徑為1.2毫米，波長(zhǎng)為10.6微米?，F(xiàn)在用一個(gè)望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用曲率半徑為1米的鍍金反射鏡，口徑為20厘米；副鏡為一個(gè)焦距為2.5厘米，口徑為1.5厘米的鍺透鏡；高斯光束束腰與透鏡相距1米，如圖所示。求該望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)高斯光束的準(zhǔn)直倍率。解答：根據(jù)公式（激光原理p84-2.11.19），其中，為望遠(yuǎn)

14、鏡主鏡與副鏡的焦距比。題中的反射鏡，相當(dāng)于透鏡，且曲率半徑的一半就是透鏡的焦距。已知：，（經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，光斑在第一個(gè)透鏡表面形成的光斑半徑小于透鏡鏡面尺寸，衍射效應(yīng)很小，因此可以用準(zhǔn)直倍率公式）代入準(zhǔn)直倍率公式得到：解答完畢。20 激光器的諧振腔有兩個(gè)相同的凹面鏡組成，它出射波長(zhǎng)為的基模高斯光束，今給定功率計(jì)，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測(cè)量該高斯光束焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。設(shè)計(jì)如下：首先明確焦參數(shù)的構(gòu)成元素為腰斑半徑，波長(zhǎng)及參數(shù)，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，激光器的波長(zhǎng)為已知，我們不可能直接測(cè)量腔內(nèi)的腰斑半徑（因?yàn)槭菍?duì)稱腔，束腰在腔內(nèi)），只能通過(guò)技術(shù)手段測(cè)量發(fā)射出來(lái)的光波場(chǎng)的腰斑半徑，然后利用這里的

15、z是由激光器腔中心到光功率計(jì)的距離，用卷尺可以測(cè)量。光功率計(jì)放置在緊貼小孔光闌的后面，沿著光場(chǎng)橫向移動(dòng)，測(cè)量出。把測(cè)量的和z代入公式，可以求出焦參數(shù)。設(shè)計(jì)完畢（以上只是在理論上的分析，實(shí)際中的測(cè)量要復(fù)雜得多，實(shí)驗(yàn)室測(cè)量中會(huì)用透鏡擴(kuò)束及平面鏡反射出射光，增加距離進(jìn)而增加測(cè)量精度）21 二氧化碳激光諧振腔由兩個(gè)凹面鏡構(gòu)成，兩個(gè)鏡面的曲率半徑分別是1米和兩米，光腔長(zhǎng)度為0.5米。問：如何選擇高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它構(gòu)成該諧振腔的自再現(xiàn)光束。解答：高斯光束的自再現(xiàn)條件是（激光原理p84-2.12.1及2.12.2）：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.17及2.10.18）經(jīng)過(guò)曲率半徑為1米

16、的反射鏡后，為了保證自再現(xiàn)條件成立，腔內(nèi)的束腰半徑應(yīng)該與經(jīng)過(guò)反射鏡的高斯光束的束腰相同，因此得到： 1同理，經(jīng)過(guò)第二個(gè)反射鏡面也可以得到： 2 3根據(jù)以上三個(gè)式子可以求出，解答完畢。22 （1）用焦距為F的薄透鏡對(duì)波長(zhǎng)為、束腰半徑為的高斯光束進(jìn)行變換，并使變換后的高斯光束的束腰半徑（此稱為高斯光束的聚焦），在和兩種情況下，如何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離？（2）在聚焦過(guò)程中，如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離不變，如何選擇透鏡的焦距F？解答：（1） 根據(jù)可知，即通過(guò)運(yùn)算可得到：或者（舍去）（2） 參考激光原理p81-2. 一定時(shí)，隨焦距變化的情況。23 試用自變換公式的定義式（激光原理p84-

17、2.12.2），利用q參數(shù)來(lái)推導(dǎo)出自變換條件式證明：設(shè)高斯光束腰斑的q參數(shù)為，腰斑到透鏡的距離為，透鏡前表面和后表面的q參數(shù)分別為、，經(jīng)過(guò)透鏡后的焦斑處q參數(shù)用表示，焦斑到透鏡的距離是=，透鏡的焦距為F。根據(jù)q參數(shù)變換，可以求出前表面、后表面、及焦斑處的q參數(shù)，分別是：透鏡前表面： 透鏡后表面：焦斑的位置：把經(jīng)過(guò)變換的代入到焦斑位置的q參數(shù)公式，并根據(jù)自再現(xiàn)的條件，得到：由此可以推導(dǎo)出證明完畢。24 試證明在一般穩(wěn)定腔中，其高斯模在腔鏡面處的兩個(gè)等相位面的曲率半徑必分別等于各鏡面的曲率半徑。證明：設(shè)一般穩(wěn)定腔的曲率半徑分別是、，腔長(zhǎng)為，坐標(biāo)取在這個(gè)穩(wěn)定腔的等價(jià)共焦腔中心上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到鏡面的距離分別是和，等價(jià)共焦腔的焦距為。根據(jù)25 試從式和導(dǎo)出，其中的，并證明對(duì)雙凸腔解答：略26 試計(jì)算，的虛共焦腔的和.若想保持不變并從凹面鏡端單端輸出，應(yīng)如何選擇？反之，若想保持不變并從凸面鏡輸出，如何選擇？在這兩種情況下，和各為多大？解答：虛共焦腔的特點(diǎn)：激光原理p91,96激光原理p97-2.1511,2.15.12根據(jù)，同理： 單端輸出：如果要從虛共焦非穩(wěn)定腔的凸面鏡單端