平面向量專題復(fù)習知識梳理

1、高中復(fù)習知識梳理之八平面向量一、重點知識（一）基本概念：向量的有關(guān)概念有：向量、自由向量、有向線段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共線向量）、數(shù)乘向量；基線、單位向量、基向量、基底、正交基底： ；向量在軸上的正射影、向量在軸方向上的數(shù)量： ；向量的模（或向量的長度）： ；（二）向量的基本運算：1. 向量的線性運算：加法、減法及數(shù)乘向量的綜合運算： （1）向量求和的三角形法則： ； （2）向量求和的平行四邊形法則： ； （3）向量求和的多邊形法則： ； （4）向量減法法則： ；結(jié)論 在中（加）或（減）稱為向量三角形；推廣可有，稱為封閉折線（5）數(shù)乘向量的定義：實數(shù)和向量的乘積是

2、一個向量，記作 ；其長為 ；其方向為： ；數(shù)乘向量的幾何意義是： ；向量加法滿足下列運算律：（1）加法交換律： ;(2)加法結(jié)合律： ；數(shù)乘向量滿足下列運算律：（1） （2） （3） 。如：在平行四邊形ABCD中,已知,試用表示 .如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，則的值為2. 向量共線的條件：結(jié)論2 （平行向量基本定理）向量與平行（即共線）的充要條件是存在唯一實數(shù)使特別地，三點共線3. 軸上向量的坐標及其運算：已知軸，取單位向量，對于軸上任意向量總是存在唯一實數(shù)x使得，我們稱x為向量在軸上的坐標（或數(shù)量）。設(shè)是軸的一個基向量，向量的坐標為AB，則；若軸為x軸，可

3、設(shè)點A、B的坐標分別為x1，x2，則向量的坐標AB=。4. 向量的分解：結(jié)論3（平面向量基本定理） 設(shè)是平面上兩個不共線向量（稱為一組基底），則對平面上任一向量，存在唯一實數(shù)使這里 稱為向量關(guān)于基底 的分解式。特別地若，則有稱為定比分點向量式，也稱為直線AB的向量參數(shù)方程式；稱為中點向量式（為中點）上述結(jié)論提供了證明諸線共點與諸點共線的方法，如：證明三角形的三條中線交于一點，且這點把三條中線都分成的兩條線段。求證三條高相交于一點5.平面向量的坐標運算：對于結(jié)論3，若是一組單位正交基底，則稱是向量在基底下的坐標，記作。（在平面直角坐標系下）用坐標表示下列結(jié)論：設(shè)，則有： ； ； ； ；6.向量的

4、數(shù)量積：結(jié)論4 兩個向量的數(shù)量積為，其中為兩個向量的夾角，其范圍為 數(shù)量積有如下性質(zhì)： ；是點到直線（甚至到平面）距離公式推導的根據(jù)； 夾角公式 ；（坐標形式） 即 （用于求模）； ；（坐標形式） （某些不等式放縮證明的根據(jù)）數(shù)量積的運算律：（1）交換律： ；（2）數(shù)乘律： ；（3）分配律： 。（請給出證明）注意：不滿足消去律：推不出結(jié)論，舉例： 。如：已知平面上直線l的方向向量=(-)，點O(0,0)和點A(1, -2)在l上的射影分別為和，且，其中=（ ）A B- C 2 D-2模公式的應(yīng)用舉例：（1）求證: ，其幾何意義是 。（2）若,則 （3）已知,則與的夾角為 （4）已知中每兩個向量

5、夾角都為且,求值.7. 直線的方向向量 ，法向量 ，若再已知定點，而且點，是單位法向量，則點P到直線的距離公式為： 。（向量形式）8. 結(jié)論： ，稱為向量三角形不等式（三）三角形的“四心”與向量1. 關(guān)于重心G，有重心公式：坐標，并有性質(zhì)；2. 關(guān)于垂心H，有性質(zhì)；3. 關(guān)于外心O，有性質(zhì)；結(jié)論：O、H、G三點共線且；此線稱為歐拉（）線。（如何證明？）4. 關(guān)于內(nèi)心I，經(jīng)常涉及內(nèi)角平分線的研究，如。 如： 已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內(nèi)心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內(nèi)心在四邊形ABCD中，=（1，1），則

6、四邊形ABCD的面積是 設(shè)斜的外接圓圓心為，兩條邊上的高的交點為，則實數(shù)= 。 O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心（四）向量與解析幾何在解析幾何中，熟練掌握下列結(jié)論，有助于更好地運用向量：（1）A、B、C三點共線等價于存在實數(shù)，使得（）；（2）的重心G的坐標公式為（3）直線的方向向量是什么？ 給定兩點：，那么，這也就是方向向量，橫坐標單位化，得：，也就是說：直線的方向向量是，直線的法向量是例如：已知為坐標原點，點的坐標分別為,點運動時，滿足，（1）求動點的軌跡的方程 （2）設(shè)、是軌跡上的兩點，若，求直

7、線的方程體驗練習題一：一、選擇題1已知平面向量a= ，b=， 則向量( )A平行于軸 B平行于第一、三象限的角平分線 C平行于軸 D平行于第二、四象限的角平分線 2一質(zhì)點受到平面上的三個力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為( )( A 6 B 2 C D 3設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點，則（）A B C D4設(shè)向量，滿足：，以，的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點個數(shù)最多為 ( ) . A B C D5已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為（ ） （A） （B） （C） （D）6 8在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則

8、（ ）ABCD7 3已知平面向量，且/，則（ ）A、 B、 C、 D、8 5已知平面向量，與垂直，則是( )A 1 B 1 C 2 D 29 4若向量滿足，與的夾角為，則( ) A B C D210已知平面向量，則向量( ) 11在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是( )（A） （B） （C） （D） 12已知向量，若與垂直，則( )A B C D4二、填空題1若平面向量，滿足，平行于軸，則 2已知向量和向量的夾角為，則向量和向量的數(shù)量積= 3已知向量和的夾角為，則 4已知向量，且，則= 5設(shè)O、A、B、C為平面上四個點，且，則_6在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點

9、若，則_（用表示）7. 設(shè)向量，（1）若與垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求證：.8已知向量和，且求的值.體驗練習題二：一、選擇題：1若向量a =（1，2），b =（1，-3），則向量a與b的夾角等于（ ） A B C D 2在平面直角坐標系中作矩形,已知,則·的值為（ ）A 0 B 7 C 25 D3向量,的夾角為120°，2，則·（）等于（ ）A B 2 C D 64已知向量，|1，對任意實數(shù)t，恒有|t|，則（ ）A B() C() D()()5已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為（） （A） （B） （C） （D）6已知向量，如果，那么( ) A且與同向

10、 B且與反向 C且與同向 D且與反向7已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向二填空題：8已知向量若向量，則實數(shù)的值是 ； 9設(shè)O為坐標原點，向量 將繞著點 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標為_10設(shè)集合平面向量，定義在上的映射，滿足對任意x，均有(x) =x（R且）若a= b 且a、b不共線，則( a) (b)（a+b）=_；若，且，則_11若把函數(shù)的圖象按向量平移，得到函數(shù)的圖象，則向量的坐標為 12設(shè)向量則的最大值為 _13已知向量，如果，那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向14已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向三、解答題：15四邊形中， （1）若，試求與滿足的關(guān)系式；（2）滿足（1）的同時又有，求的值及四邊形的面積。16 在直角坐標平面中，已知點，其中是正整數(shù)，對平面上任一點，記為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點，為關(guān)于點的對稱點.（1）求向量的坐標；（2）當點在曲線C上移動時，點的軌跡是函數(shù)的圖象，其中是以3為周期的周期函數(shù)，且當時，.求以曲線C為圖象的函數(shù)在上的解析式；（3）對任意偶數(shù)，用表示向量的坐標.解析：因為=（1，1）,所以四邊