不等式知識點及常見題型精講

1、 不等式知識點及常見題型精講部分1：基礎知識點1. 實數的性質：；2. 不等式的性質：性 質內 容對稱性，傳遞性且加法性質；且乘法性質；，且乘方、開方性質；倒數性質3. 常用基本不等式：條 件結 論等號成立的條件，基本不等式： 常見變式： ； 4.利用重要不等式求最值的兩個命題：命題1：已知a，b都是正數，若ab是實值P，則當a=b=時，和ab有最小值2.命題2：已知a，b都是正數，若ab是實值S，則當a=b=時，積ab有最大值.注意：運用重要不等式求值時，要注意三個條件：一“正”二“定”三“等”，即各項均為正數，和或積為定值，取最值時等號能成立，以上三個條件缺一不可.5.一元二次不等式的解法

2、：設a>0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的兩個實根，且x1x2，則有>0=0<0圖象ax2+bx+c=0的解x=x1或x=x2x=x1=x2=-b/2a無實數解ax2+bx+c>0解集xx<x1或x>x2xxx1 Rax2+bx+c<0解集xx1<x<x2結論：ax2+bx+c>0；ax2+bx+c<06. 絕對值不等式（1）xa（a0）的解集為：xaxa；xa（a0）的解集為：xxa或xa。（2）7. 不等式證明方法：基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法輔助方法：換元法（三角換元、均值換元等）、放縮法、構造法、判別式

3、法特別提醒：不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，最常用的思路是用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以敘述。我們在利用不等式的性質或基本不等式時要注意等號、不等號成立的條件。例：解下列不等式：(1) ； 練習. （1）解不等式；（若改為呢？）8、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線（線性目標函數看作斜率確定的一族平行直線）與平面區(qū)域（可行域）有交點時，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。它的步驟如下：（1）設出未知數，確定目標函數。（2）確定線性約束條件，并在直角坐標系中畫出對應的平面區(qū)域，即可行域。（3

4、）由目標函數zaxby變形為yx，所以，求z的最值可看成是求直線yx在y軸上截距的最值（其中a、b是常數，z隨x，y的變化而變化）。（4）作平行線：將直線axby0平移（即作axby0的平行線），使直線與可行域有交點，且觀察在可行域中使最大（或最?。r所經過的點，求出該點的坐標。（5）求出最優(yōu)解：將（4）中求出的坐標代入目標函數，從而求出z的最大（或最?。┲?。9、在平面直角坐標系中，已知直線，坐標平面內的點若 ，則點在直線的上方若 ，則點在直線的下方10、在平面直角坐標系中，已知直線若 ，則表示直線上方的區(qū)域；表示直線下方的區(qū)域若 ，則表示直線下方的區(qū)域；表示直線上方的區(qū)域11、最值定理設、都

5、為正數，則有 若（和為定值），則當時，積取得最大值 若（積為定值），則當時，和取得最小值即：“積定，和有最小值；和定，積有最大值”注意：一正、二定、三相等部分2：幾種常見解不等式的解法重難點歸納 解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題 (1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法 (2)掌握用零點分段法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法 (3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本類型的解法 (4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類

6、型的解法 (5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式 (6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論 典型題例示范講解 例1：如果多項式可分解為個一次式的積，則一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況當分式不等式化為時，要注意它的等價變形用“穿根法”解不等式時應注意：各一次項中的系數必為正；對于偶次或奇次重根可轉化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下圖不等式左右兩邊都是含有的代數式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解解不等式：（1）解：（1）原不等式可化為把方程的三個根

7、順次標上數軸然后從右上開始畫線順次經過三個根，其解集如下圖的陰影部分原不等式解集為類2：絕對值不等式，解此題的關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據絕對值的意義二是根據絕對值的性質：或，因此本題有如下兩種解法例：解不等式解：原不等式等價于 即 例3：已知f(x)是定義在1，1上的奇函數，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0時0 (1)用定義證明f(x)在1，1上是增函數；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，求實數t的取值范圍 命題意圖 本題是一道函數與不等式相結合的題目，考查學生的分析能力與化歸能力 知識依托 本題

8、主要涉及函數的單調性與奇偶性，而單調性貫穿始終，把所求問題分解轉化，是函數中的熱點問題；問題的要求的都是變量的取值范圍，不等式的思想起到了關鍵作用 錯解分析 (2)問中利用單調性轉化為不等式時，x+1，1，1，1必不可少，這恰好是容易忽略的地方 技巧與方法 (1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵，(3)問利用單調性把f(x)轉化成“1”是點睛之筆 (1)證明 任取x1x2，且x1，x21，1，則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=·(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上為增

9、函數 (2)解 f(x)在1，1上為增函數， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上為增函數，且f(1)=1，故對x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，記g(a)=t22at，對a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范圍是 t|t2或t=0或t2 例4：設不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實數a的取值范圍。命題意圖 考查二次不等式的解與系數的關系及集合與集合之間的關系 知識依托 本

10、題主要涉及一元二次不等式根與系數的關系及集合與集合之間的關系，以及分類討論的數學思想 錯解分析 M=是符合題設條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面，易遺漏；構造關于a的不等式要全面、合理，易出錯 技巧與方法 該題實質上是二次函數的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數之間的內在聯(lián)系是關鍵所在；數形結合的思想使題目更加明朗 解 M1，4有兩種情況 其一是M=，此時0；其二是M，此時=0或0，分三種情況計算a的取值范圍 設f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)當0時，1a2，M=1，4(2)當=0時，a=1或2 當a=1時M=11

11、，4；當a=2時，m=21，4 (3)當0時，a1或a2 設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得 2a，M1，4時，a的取值范圍是(1，) 例5：解關于x的不等式1(a1) 解 原不等式可化為 0，當a1時，原不等式與(x)(x2)0同解 由于原不等式的解為(，)(2，+) 當a1時，原不等式與(x)(x2) 0同解 由于,若a0，,解集為(，2)；若a=0時，解集為；若0a1，,解集為(2，)綜上所述 當a1時解集為(，)(2，+)；當0a1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a0時，解集為(，2） 例6 設，解關于的不等式分析

12、：進行分類討論求解解：當時，因一定成立，故原不等式的解集為當時，原不等式化為；當時，解得；當時，解得當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為說明：解不等式時，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因為當時，原不等式化為，此時不等式的解集為，所以解題時應分與兩種情況來討論在解出的兩根為，后，認為，這也是易出現的錯誤之處這時也應分情況來討論：當時，；當時，例7 解關于的不等式分析：先按無理不等式的解法化為兩個不等式組，然后分類討論求解解：原不等式或由，得：由判別式，故不等式的解是當時，不等式組(1)的解是，不等式組(2)的解是當時，不等式組(1)無解，(2)的解是綜上可知，當時，原不等

13、式的解集是；當時，原不等式的解集是說明：本題分類討論標準“，”是依據“已知及(1)中，(2)中，”確定的解含有參數的不等式是不等式問題中的難點，也是近幾年高考的熱點一般地，分類討論標準（解不等式）大多數情況下依“不等式組中的各不等式的解所對應的區(qū)間的端點”去確定本題易誤把原不等式等價于不等式糾正錯誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本類型的解法例8 解關于的不等式分析：不等式中含有字母，故需分類討論但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論解：原不等式可化為(1)當（即或）時，不等式的解集為：；(2)當（

14、即）時，不等式的解集為：；(3)當（即或1）時，不等式的解集為：說明：對參數進行的討論，是根據解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數加以分類、討論比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，因此不等式的解就是小于小根或大于大根但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，三種情況例9 不等式的解集為，求與的值分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，的兩根為，解法一：設的兩根為，由韋達定理得：由題意：，此時滿足，解法二：構造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故需滿足：，說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關系，同時還考查逆向思維的

15、能力對有關字母抽象問題，同學往往掌握得不好例10 解關于的不等式分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母系數，所以還考查分類思想解：分以下情況討論(1)當時，原不等式變?yōu)椋海?2)當時，原不等式變?yōu)椋寒敃r，式變?yōu)?，不等式的解為或當時，式變?yōu)?，當時，此時的解為當時，此時的解為說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有三級分類：分類應做到使所給參數的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項系數變?yōu)檎龜翟偾蠼饫?1解不等式分析：無理不等式轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉化為或，而等價于：或解：原不等式等價于下面兩個不等式組：由得，由得，所以原不等式的解集為，即為說明：本