橢圓雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、橢圓知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】橢圓的概念: 橢圓的第一定義 在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集 注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形。橢圓的第二定義:在平面內(nèi)，滿足到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比是等于一個(gè)常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。其中這個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，這條定直線叫做相應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線。注：定義中的定點(diǎn)不在定直線上。如果將橢圓的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)放在X軸上，準(zhǔn)線方程是： 焦點(diǎn)放在Y軸上，準(zhǔn)線方程是：【知識(shí)點(diǎn)2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

2、，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0)，（-c，0)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c，）(o，-c)【知識(shí)點(diǎn)3】橢圓的幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)范圍對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)， A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距F1F2 |=2c離心率e=(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2規(guī)律:(1)橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系：焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上.(2)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大

3、距離為ac，最小距離為ac.(3)在橢圓中，離心率(4)橢圓的離心率e越接近橢圓越扁；e越接近于，橢圓就接近于圓；橢圓典型例題一、已知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1：已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0，1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF22F1F2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由PF1PF22F1F22×24，得2a4.又c1，所以b23.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1. 2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且2a10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：由橢圓定義知c1，b.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.二、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：1. 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸

4、長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例求過點(diǎn)(3,2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：因?yàn)閏2945，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由點(diǎn)(3,2)在橢圓上知1，所以a215.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.四、求橢圓的離心率問題。例1 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，例2 已知橢圓的離心率，求的值 解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即滿足條件的或雙曲線知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)1】雙曲線的概念: 在平面內(nèi)到兩定

5、點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集 注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為兩條射線；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形。【知識(shí)點(diǎn)2】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0)，（-c，0)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c，）(o，-c)【知識(shí)點(diǎn)3】雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，

6、a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)規(guī)律:1.雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)2.區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.(2)雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e(0,1)(3)在雙曲線中，離心率(4)雙曲線的離心率e越大,開口越闊.雙曲

7、線典型例題一、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例已知兩點(diǎn)、，求與它們的距離差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線，所求方程為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，且軌跡是雙曲線例是雙曲線上一點(diǎn)，、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，求的值解：在雙曲線中，故由是雙曲線上一點(diǎn)，得或又，得二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上（2），經(jīng)過點(diǎn)（5，2），焦點(diǎn)在軸上（3）與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)解：（1）設(shè)雙曲線方程為 、兩點(diǎn)在雙曲線上，解得所求雙曲線方程為說明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的（2）焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求

8、雙曲線方程為：（其中）雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（5，2），或（舍去）所求雙曲線方程是說明：以上簡(jiǎn)單易行的方法給我們以明快、簡(jiǎn)捷的感覺（3）設(shè)所求雙曲線方程為：雙曲線過點(diǎn)，或（舍）所求雙曲線方程為拋物線拋物線xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。=點(diǎn)M到直線的距離范圍對(duì)稱性關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱焦點(diǎn)(,0)(,0)(0,)(0,)焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)離心率=1準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦半徑拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1 指出拋物線的焦點(diǎn)

9、坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（1） （2）解：（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），準(zhǔn)線方程是：（2）原拋物線方程為：，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：當(dāng)時(shí)，拋物線開口向左，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：綜合上述，當(dāng)時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是：二、求直線與拋物線相結(jié)合的問題例2 若直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程解法一：設(shè)、，則由：可得：直線與拋物線相交，且，則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，解得：或（舍去）故所求直線方程為：解法二：設(shè)、，則有兩式作差解：，即，故或（舍去）則所求直線方程為：橢圓、雙曲線、拋物線基礎(chǔ)測(cè)試題時(shí)間：100分鐘 滿分：100分 班級(jí) 姓名 成績(jī) 一.選擇

10、題（下列各題中只有一個(gè)正確答案，每小題4分共24分）1. 到兩點(diǎn)F1 (0, 3 )、F2 (0, -3 ) 的距離之和等于10的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 ( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2. 雙曲線4x2 - 3y2 = 12的共軛雙曲線是 ( )( A ) 4y2 - 3x2 = 12 ( B ) 3x2 - 4y2 = 12 ( C ) 3y2 - 4x2 = 12 ( D ) 4x2 - 3y2 = 123. 頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過點(diǎn)P( 1, -2 )的拋物線方程是 ( )( A ) y2 = 4x ( B ) x2 =y ( C ) y2 = 4x, x2

11、 = 4y ( D ) y2 = 4x, x2 =y4. 若橢圓，則9等于 ( )( A ) 兩焦點(diǎn)間的距離 ( B ) 一焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸一端點(diǎn)的距離 ( C ) 兩準(zhǔn)線間的距離 ( D ) 橢圓上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離5. 當(dāng)曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，則 ( )( A ) k > 0 ( B ) k > 4 ( C ) 0 < k < 4 ( D ) k > 4或k < 06. 雙曲線的兩條準(zhǔn)線把連接兩焦點(diǎn)的線段三等分，則雙曲線的離心率是 ( ) ( A ) ( B ) 3 ( C ) ( D ) 二.填空題（每空4分，共24分）1. 拋物線x2 = 4y + 8的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .2. 離心率為的雙曲線的漸近線的夾角等于 . 3. 經(jīng)過兩點(diǎn)M(3, 0 )、N( 0, -2 )的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .4. 若橢圓的一焦點(diǎn)到短軸兩端點(diǎn)的連線垂直，則橢圓的離心率是 .5. AB是過橢圓x2 + 2y2 = 4焦點(diǎn)F1的弦，它與另一焦點(diǎn)F2所連成三角形的周長(zhǎng)等于 .6. 當(dāng)拋物線y2 = 4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F和點(diǎn)A( 2, 2 )的距離之和最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 三.解答題（5道題，共52分）1、已知雙曲線的一漸近線方程是x +y = 0,