高等數(shù)學2.3反函數(shù)、復合函數(shù)的求導法則

1、上頁下頁結束返回首頁一、反函數(shù)的導數(shù)一、反函數(shù)的導數(shù)二、復合函數(shù)的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則基本初等函數(shù)的導數(shù)公式小結三、求導法則小結三、求導法則小結2. 3 反函數(shù)、復合函數(shù)的求導法則反函數(shù)、復合函數(shù)的求導法則上頁下頁結束返回首頁上頁下頁結束返回首頁一、反函數(shù)的導數(shù)一、反函數(shù)的導數(shù) 如果函數(shù)x=j(y)在某區(qū)間Iy內單調、可導且j (y)0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應區(qū)間Ix內也可導，并且 )(1)(yxfj=。 簡要證明：簡要證明： 因為y=f(x)連續(xù)，所發(fā)當Dx0時，Dy0。 )(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD即 )(1)(yxfj=。 )(1

2、1limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD)(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD， 下頁上頁下頁結束返回首頁 例例1求(arcsin x)及(arccos x)。 類似地有：211)(arccosxx=。 一、反函數(shù)的導數(shù)一、反函數(shù)的導數(shù) 如果函數(shù)x=j(y)在某區(qū)間Iy內單調、可導且j (y)0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應區(qū)間Ix內也可導，并且 )(1)(yxfj=。 (arcsin x) 解：解：因為y=arcsin x是x=sin y的反函數(shù)，所以 (arcsin x)yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(s

3、in1=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=。 下頁上頁下頁結束返回首頁 例例2求(arctan x)及(arccot x)。 一、反函數(shù)的導數(shù)一、反函數(shù)的導數(shù) 如果函數(shù)x=j(y)在某區(qū)間Iy內單調、可導且j (y)0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對應區(qū)間Ix內也可導，并且 )(1)(yxfj=。 解：解：因為y=arctan x是x=tan y的反函數(shù)，所以 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx= 類似地有：211)cotarc(xx=。 22211tan11sec1)(t

4、an1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=。 下頁上頁下頁結束返回首頁 (16) (arctan x)211x=。(1) (C)=0，(2) (xm)=m xm1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x)=sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (csc x)=csc x cot x，

5、(9) (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，基本初等函數(shù)的導數(shù)公式小結：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式小結：(12) (ln x)=x1， (13) (arcsin x)=211x， (14) (arccos x)=211x， (15) (arctan x)=211x， (11) (log a x)=axln1(a0, a1)， ，上頁上頁下頁結束返回首頁二、復合函數(shù)的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則 如果u=j(x)在點x0可導，函數(shù)y=f(u)在點u0=j(x0)可導，則復合函數(shù)y=fj(x)在點x 0可導，且其導數(shù)為 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 假定u=j(x

6、)在x0的某鄰域內不等于常數(shù)，則Du0，此時有 簡要證明：簡要證明： 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim = f (u 0)j (x 0)。 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim 下頁上頁下頁結束返回首頁二、復合函數(shù)的求導法則二、復合函數(shù)的求導法則 如果u=j(x)在點x0可導，函數(shù)y=f(u)在點u0=j(x0)可導，則復合函數(shù)y

7、=fj(x)在點x 0可導，且其導數(shù)為 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 如果 u=j(x)在開區(qū)間 Ix內可導，y=f(u)在開區(qū)間 Iu內可導，且當xIx時，對應的uIu，那么復合函數(shù)y=fj(x)在區(qū)間Ix內可導，且下式成立： dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 下頁上頁下頁結束返回首頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則： 例例 3y=lntan x ，求dxdy。 解：解：函數(shù)y=lntan x是由y=ln u，u=tan x復合而成， dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1= xx

8、cossin1=。 dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1=dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1= 下頁上頁下頁結束返回首頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則： 例例 4y=3xe，求dxdy。 dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=。 解解：函數(shù)3xey =是由 y=eu ，u=x3 復合而成， 下頁上頁下頁結束返回首頁 例例 5212sinxxy=，求dxdy。 dxdududydxdy=

9、，或 y=yuux 。 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則： dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 222212cos)1 ()1 (2xxxx=。 解解：212sinxxy=是由 y=sin u，212xxu=復合而成， dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 下頁上頁下頁結束返回首頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則： 對復合函數(shù)求導法則比較熟練以后，就不必再寫出中間變量。 例例 6lnsin x，求dxdy。 解解：)(sinsin1)sin(ln=xxx

10、dxdy xxxcotcossin1=。 )(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy)(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy 下頁上頁下頁結束返回首頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則： 例例 73221xy=，求dxdy。 解解：)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 322)21 (34xx=。 )21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 下頁上頁下頁結束返回首頁 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復

11、合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則： 例例 8y=lncos(e x)，求dxdy。 解解： )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee= )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=。 復合函數(shù)求導法則可以推廣到多個函數(shù)的復合。下頁上頁下頁結束返回首頁 dxdudu

12、dydxdy=，或 y=yuux 。 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則： 例例 9xey1sin=，求dxdy。 解：解：)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx xexx1cos11sin2=。 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx 下頁上頁下頁結束返回首頁 例例 10y=sin nx sin n x (n 為常數(shù))， 求dxdy。 解：解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x ) = ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x。 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)的求導法則：上頁上頁下頁結束返回首頁函數(shù)的和、差、積、商的求導法則：函數(shù)的和、