神奇的數(shù)學(xué)獻(xiàn)給我的學(xué)生

1、范曾老子出關(guān)圖美麗的曇花圓是最漂亮的圖形欣賞我的作品的人，沒(méi)有一個(gè)不是數(shù)學(xué)家。萊昂納多達(dá)芬奇是意大利文藝復(fù)興時(shí)期的畫家，也是整個(gè)歐洲文藝復(fù)興時(shí)期最杰出的代表人物之一。他是一位思想深邃、學(xué)識(shí)淵博、多才多藝的藝術(shù)大師、科學(xué)巨匠、文藝?yán)碚摷?、大哲學(xué)家、詩(shī)人、音樂(lè)家、工程師和發(fā)明家。他在幾乎每個(gè)領(lǐng)域都做出了巨大的貢獻(xiàn)。后代的學(xué)者稱他是“文藝復(fù)興時(shí)代最完美的代表”，是“第一流的學(xué)者”，是一位“曠世奇才”。所有的，以及更多的贊譽(yù)他都當(dāng)之無(wú)愧。達(dá)芬奇他一生完成的繪畫作品并不多，但件件都是不朽之作。他曾結(jié)合繪畫研究過(guò)光影、明暗、色彩和各種透視現(xiàn)象。蒙娜麗莎和圣母子與圣安娜是他兩幅極為珍愛(ài)的作品，鄭板橋平行投影

2、畫墨竹鄭板橋故居鄭板橋故居分形幾何與分形藝術(shù)我們?nèi)祟惿畹氖澜缡且粋€(gè)極其復(fù)雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測(cè)的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界特別豐富的現(xiàn)象?；趥鹘y(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門自然科學(xué)總是把研究對(duì)象想象成一個(gè)個(gè)規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法。什么是分形幾何？u什么是分形幾何？通俗一點(diǎn)說(shuō)就是研究無(wú)限復(fù)雜但具有一定什么是分形幾何？通俗一點(diǎn)說(shuō)就是研究無(wú)限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。什

3、么是自相似呢？例意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。什么是自相似呢？例如一棵蒼天大樹(shù)與它自身上的樹(shù)枝及樹(shù)枝上的枝杈，在形狀如一棵蒼天大樹(shù)與它自身上的樹(shù)枝及樹(shù)枝上的枝杈，在形狀上沒(méi)什么大的區(qū)別，大樹(shù)與樹(shù)枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之上沒(méi)什么大的區(qū)別，大樹(shù)與樹(shù)枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系；我們?cè)倌脕?lái)一片樹(shù)葉，仔細(xì)觀察一下葉脈，為自相似關(guān)系；我們?cè)倌脕?lái)一片樹(shù)葉，仔細(xì)觀察一下葉脈，它們也具備這種性質(zhì)；動(dòng)物也不例外，一頭牛身體中的一個(gè)它們也具備這種性質(zhì)；動(dòng)物也不例外，一頭牛身體中的一個(gè)細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長(zhǎng)信息；還有高山的表細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長(zhǎng)信息；還有高山的表面，您無(wú)論怎

4、樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些面，您無(wú)論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊到處可見(jiàn)。分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，例子在我們的身邊到處可見(jiàn)。分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。u用數(shù)學(xué)方法對(duì)放大區(qū)域進(jìn)行著色處理，這些區(qū)域就變成用數(shù)學(xué)方法對(duì)放大區(qū)域進(jìn)行著色處理，這些區(qū)域就變成一幅幅精美的藝術(shù)圖案，這些藝術(shù)圖案人們稱之為一幅幅精美的藝術(shù)圖案，這些藝術(shù)圖案人們稱之為 分形藝分形藝術(shù)術(shù) 。 分形藝術(shù)分形藝術(shù) 以一種全新的藝術(shù)風(fēng)格展示給人們，使人以一種全新的藝術(shù)風(fēng)格展示給人們，使人們認(rèn)識(shí)到該藝術(shù)和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣具有和諧

5、、對(duì)稱等特征的美們認(rèn)識(shí)到該藝術(shù)和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣具有和諧、對(duì)稱等特征的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。分形一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德?tīng)柌剂_特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語(yǔ)Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有破碎、不規(guī)則等含義。Mandelbrot發(fā)現(xiàn)整個(gè)宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)（見(jiàn)圖1）。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無(wú)限復(fù)雜和精細(xì)的結(jié)構(gòu)。如果計(jì)算機(jī)的精度是不受限制的話，您可以無(wú)限地放大她的邊界。圖2、圖3 就是將圖1中兩個(gè)矩形框區(qū)域放大后的圖形。當(dāng)你放大某個(gè)區(qū)域，它的結(jié)構(gòu)就在變化，展現(xiàn)出新的結(jié)構(gòu)元素。這正如前面提到的蜿蜒曲折的一段

6、海岸線，無(wú)論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。分形時(shí)裝設(shè)計(jì)Newton分形象樹(shù)枝狀象塵埃一樣的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的固態(tài)型漢書(shū)律歷志上有言：“數(shù)者，一十百千萬(wàn)也?！睌?shù)的觀念是人類在生產(chǎn)和生活實(shí)踐中逐漸形成和發(fā)展的。假如沒(méi)有數(shù)，世界必定混亂不堪。觀念和符號(hào)相結(jié)合，便有了數(shù)字，有了數(shù)字，便能實(shí)現(xiàn)數(shù)的基本功能計(jì)算。然而，除此基本功能外，數(shù)還有其他許多用處。數(shù)，極大地豐富了祖國(guó)語(yǔ)言。拿成語(yǔ)來(lái)說(shuō)，以“一”打頭的就有幾百個(gè)，帶二、三、四、五、六、七、八、九、十的也為數(shù)甚多。如：一干二凈、二滿三平、三從四德、四分五裂、五顏六色等等。俗話說(shuō)，物以類聚，人以群分。在聚類、分群方面，數(shù)也起著特殊作用。有些

7、植物以數(shù)命名，如半支蓮、一品紅、二葉 、三角楓、四照花、五味子、六月雪、七星草、八仙花、九重蒿、十大功勞、百歲蘭、千金榆、萬(wàn)壽菊。有些事物以數(shù)概括，如世界三大宗教、四大謎、七大奇跡；中國(guó)九大名關(guān)、十大名茶、十三大名酒。有些名人以數(shù)歸類，如二喬、三蘇、四杰、五霸、六君子；竹林七賢、飲中八仙、香山九老、大歷十才子。作家秦牧說(shuō)：“詩(shī)歌中適當(dāng)引用數(shù)字，有時(shí)的確情趣橫溢，詩(shī)意盎然?！痹谶@方面，杜甫的絕句頗為后人稱奇：“兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬(wàn)里船?！毕鄠鲹P(yáng)州八怪之一的鄭板橋，風(fēng)雪天偶遇一群讀書(shū)人，觸景生情，隨口吟道：“一片二片三四片，五六七八九十片。千片萬(wàn)片無(wú)數(shù)片，飛入

8、蘆花總不見(jiàn)?！庇謧髑』实巯陆?，見(jiàn)江中駛過(guò)一條漁船，即命大臣紀(jì)曉嵐以十個(gè)“一”字作詩(shī)。紀(jì)曉嵐脫口而出：“一帆一漿一漁舟，一個(gè)漁翁一釣鉤。一俯一仰一頓笑，一江明月一江秋?！痹谖鞣剑瑥漠呥_(dá)哥拉斯時(shí)代開(kāi)始，人們就認(rèn)為，對(duì)音樂(lè)的研究本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的.就音樂(lè)的出現(xiàn)而言，是直覺(jué)的，但它的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué).音樂(lè)必須有美的音調(diào)，美的音調(diào)必然是和諧的，希臘人發(fā)現(xiàn)，最和諧的音調(diào)是由比1：2：3：4確定的.是的，哪里有數(shù)，哪里就有美。人類對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)最早是從自然數(shù)開(kāi)始的。這看似極普通的自然數(shù)里面，其實(shí)就埋藏著數(shù)不盡的奇珍異寶。古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)自然數(shù)很有研究，當(dāng)他們將這數(shù)不盡的奇珍異寶的一部分挖掘出來(lái)并呈現(xiàn)于人類面

9、前時(shí)，人們就為這數(shù)的美震顫了。畢達(dá)哥拉斯將自然界和和諧統(tǒng)一于數(shù)。他認(rèn)為，數(shù)本身就是世界的秩序。他的名言是：凡物皆數(shù)。但在一次集會(huì)上，一位學(xué)者提出了他的疑問(wèn)：在我結(jié)交朋友時(shí)，也存在著數(shù)的作用嗎？“朋友是你靈魂的倩影，要象220與284一樣親密?！蓖Щ蟛唤獾娜藗?，畢達(dá)哥拉斯解釋道：神暗示我們，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和為284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰為220。這就是親密無(wú)間的親和數(shù)。真正的朋友也象它們那樣。畢達(dá)哥拉斯學(xué)者們?yōu)楫呥_(dá)哥拉斯的妙喻折服了，更為這“你中有我，我中有你”的美妙的親和數(shù)驚呆了，震撼了。人們驚

10、嘆道：親和數(shù)的關(guān)系太微妙了。在數(shù)之中存在著讓人嘆為觀止的景象。就拿最簡(jiǎn)單的6來(lái)說(shuō)吧，古代意大利曾把它作為“美滿婚姻”的象征。因?yàn)樗『玫扔谄渌姓嬉蜃?、2、3之和。人們稱這類數(shù)為完數(shù)，而6正是其中最小的一個(gè)。這樣的關(guān)系足以讓人驚嘆，驚嘆之余，我們不禁對(duì)隱在宇宙深處的和諧統(tǒng)一之?dāng)?shù)學(xué)美肅然起敬。自然數(shù)所具有的美妙性質(zhì)組成的數(shù)論學(xué)，曾引無(wú)數(shù)天才競(jìng)折腰。33332226543543許多人為探尋費(fèi)爾馬大定理、哥德巴赫猜想的奧妙而“三月不知肉味”。費(fèi)爾馬華羅庚與陳景潤(rùn)633835103712571477165111871120713哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想不定方程不定方程 沒(méi)有正整數(shù)解沒(méi)有正整數(shù)解nnn

11、zyxnnnzyxnnnzyx), 2zyxnnnNnn（費(fèi)爾馬大定理?yè)?jù)說(shuō)很早以前，夏禹治水時(shí)，河南洛陽(yáng)附近的大河里浮出了一只烏龜，背上有一個(gè)很奇怪的圖形，古人認(rèn)為是一種祥瑞，預(yù)示著洪水將被夏禹王徹底制服。后人稱之為洛書(shū)或河圖。111 1111121 11111112321 111111111234321 1111111111123454321 11111111111112345654321 111111111111111234567654321 1111111111111111123456787654321 11111111111111111112345678987654321 9981 9

12、9999801 999999998001 9999999999980001 99999999999999800001 999999999999999998000001 9999999999999999999980000001 這些，就是普通的自然數(shù)所體現(xiàn)的無(wú)窮花樣中的一部分。而無(wú)窮盡的數(shù)正象遼闊的海洋，那大海深處蘊(yùn)含著一個(gè)五彩繽紛的世界。當(dāng)你暢游其中時(shí)，你會(huì)為這無(wú)垠海洋中數(shù)不盡的奇珍的美而陶醉，甚而你也許會(huì)有幸步入龍宮，見(jiàn)到更加奇?zhèn)ス蛀?、五彩斑斕的景象，進(jìn)入數(shù)學(xué)海洋深處的殿堂，一窺數(shù)學(xué)的美境。這時(shí)，你肯定會(huì)與普洛克拉斯產(chǎn)生共鳴，而由衷贊嘆一聲：啊，哪里有數(shù)，哪里就有美。審美實(shí)踐告訴我們，人們對(duì)

13、美的感受都是直接由形式引起的。但數(shù)學(xué)的形式美還不單純表現(xiàn)在自然數(shù)所表現(xiàn)的這些許花樣上，和諧的比例與優(yōu)美的曲線或圖形都能給人以強(qiáng)烈的形式美的享受。和諧的比例中最負(fù)盛名的是為開(kāi)普勒稱為歐氏幾何學(xué)兩顆明珠之一的黃金分割。它成為人們普遍喜愛(ài)的美的比例，并為廣泛應(yīng)用。藝術(shù)家利用它塑造了令人贊嘆的藝術(shù)珍品，科學(xué)家利用它創(chuàng)造了豐碩的科技成果。象征黃金分割的五角星在歐洲也成為一種巫術(shù)的標(biāo)志。這神圣的比例值也被抬高了身價(jià)，而被稱為黃金數(shù)了，成了宇宙的美神。人體最優(yōu)美的身段遵循著這個(gè)黃金分割比；令人心曠神怡的花憑借的也是這個(gè)美的密碼，就連芭蕾舞藝術(shù)的的魅力也離不開(kāi)它。哪里有黃金數(shù)，哪里就有美的閃光。優(yōu)美的曲線同樣

14、帶給人們美的享受。如得之于自然界的四葉玫瑰線、對(duì)數(shù)螺線及應(yīng)用于建筑中人為設(shè)計(jì)的超橢圓曲線等。更有那久負(fù)盛名的墨比烏斯曲線。華盛頓一座博物館的門口，有一座奇特的數(shù)學(xué)紀(jì)念碑，碑上是一個(gè)八英尺高的不銹鋼制的墨比烏斯圈。它日夜不停緩緩地旋轉(zhuǎn)著，帶給人們美感享受的同時(shí)，又昭示出人類正如它一樣永無(wú)休止地前進(jìn)著。四葉玫瑰線對(duì)數(shù)螺線墨比烏斯帶在數(shù)學(xué)的園地里，完全正方形作為一朵沁人心脾的奇花，曾陶醉過(guò)多少觀賞者！五種正多面體以其形式美帶來(lái)的神秘感，使古代人曾把它們分別作為火、風(fēng)、水、土、空氣的象征，而這五種圖形總名之為宇宙的圖形。由宇宙美神得到的黃金矩形是最令人心醉的優(yōu)美圖形之一。它在形式比例上具有相當(dāng)高的美學(xué)

15、價(jià)值。因而，日常生活中的許多物品，諸如像柜、圖書(shū)、雜志、火柴盒及至國(guó)旗都采用了這一優(yōu)美的圖形，以帶給人們更多的美感的享受。對(duì)稱均衡是數(shù)學(xué)形式美的主要特征。各種對(duì)稱或均衡圖形如等邊三角形、圓、雙曲線及著名的楊輝三角形等，都會(huì)帶給人們美的享受。然而數(shù)學(xué)帶給人們的美遠(yuǎn)不止這直觀的形式美。正如人的美不單在外表，更在內(nèi)心一樣，數(shù)學(xué)的深刻的本質(zhì)的更加誘惑人的離奇古怪寬廣無(wú)際的美卻在于它內(nèi)在奇妙結(jié)構(gòu)的完美的和諧統(tǒng)一性。完全正方形黃金矩形數(shù)學(xué)中的美，不是以藝術(shù)家所用的色彩、線條、旋律等形象語(yǔ)言表現(xiàn)出來(lái)，而是把自然規(guī)律抽象成一些概念、定理或公式，并通過(guò)演繹而構(gòu)成一幅現(xiàn)實(shí)世界與理想空間的完美圖象。只有數(shù)學(xué)內(nèi)在結(jié)構(gòu)

16、的美，才更令人心馳神往與陶醉。它的博大精深與簡(jiǎn)明透徹都給觀賞者以巨大的美的感染。數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)在于它的真實(shí)、準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔、和諧與普遍。真中見(jiàn)美，是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的重要特征之一。真與美總是緊密相連的，而數(shù)學(xué)堪稱真的楷模。正確性是數(shù)學(xué)中絕對(duì)的準(zhǔn)則。但這種真，卻是源于生活，而高于生活。如從實(shí)踐中得到的點(diǎn)、線、面就是高于生活的完美的、理想化的圖形理想直線只具有長(zhǎng)度，兩條理想的、完美的，準(zhǔn)直的理想直線，相交于一個(gè)理想的、完美的點(diǎn)，而這個(gè)點(diǎn)除了位置以外竟壓根兒就沒(méi)有大?。粩?shù)學(xué)中所定義的圓，比任何畫家和文學(xué)家所能描繪的都更加完美無(wú)缺。正是這種真實(shí)與正確，使數(shù)學(xué)顯示出它特有的美的魅力，使它能延續(xù)幾千年乃至永久。2mcE 簡(jiǎn)潔性、和諧性與普遍性三者的統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的另一重要特征。簡(jiǎn)潔是數(shù)學(xué)中引人注目的美感之一。通行世界的符號(hào)可算是最簡(jiǎn)潔的文字，精煉準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念和定理的表述，可算是最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言。數(shù)學(xué)以其簡(jiǎn)潔的形式，從一組簡(jiǎn)潔明了的公理、概念出發(fā)而推證出各種令人驚嘆的定理和公式，使人們