信號(hào)與系統(tǒng)第5章

1、第5章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：p了解模擬濾波器的設(shè)計(jì)過程p了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程p掌握沖激響應(yīng)不變法p掌握雙線性變換法p了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法35.1 引言引言 濾波器濾波器，顧名思義，是，顧名思義，是指能夠使輸入信號(hào)中某些頻率分指能夠使輸入信號(hào)中某些頻率分量充分地衰減，同時(shí)保留那些需要的頻率分量的一類系統(tǒng)。量充分地衰減，同時(shí)保留那些需要的頻率分量的一類系統(tǒng)。 根據(jù)對(duì)不同信號(hào)的處理，濾波器可分為：根據(jù)對(duì)不同信號(hào)的處理，濾波器可分為：p模擬濾波器模擬濾波器由硬件電路來實(shí)現(xiàn)；由硬件電路來實(shí)現(xiàn)；RCRR1RFC+-+p數(shù)字濾波器數(shù)

2、字濾波器把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成所要求把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成所要求的輸出序列，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)。的輸出序列，實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)。 45.1.1 數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器的分類1.經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器p經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器 信號(hào)中有用和無用成分，各自占有不同的頻帶信號(hào)中有用和無用成分，各自占有不同的頻帶，通過一，通過一個(gè)線性系統(tǒng)可將個(gè)線性系統(tǒng)可將v(n)有效去除有效去除。)()()( jjjeHeXeY 加法性噪聲加法性噪聲)()()(nvnsnx 5p現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器 信號(hào)和噪聲頻譜占據(jù)同一頻段信號(hào)和噪聲頻譜占據(jù)同一頻段，靠經(jīng)典的濾

3、波方法難以，靠經(jīng)典的濾波方法難以去除噪聲。去除噪聲。 目標(biāo)：目標(biāo)：是是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄中估計(jì)出信號(hào)的某些特從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。征或信號(hào)本身。 種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù)測(cè)、自適應(yīng)種類：維納濾波器、卡爾曼濾波器、線性預(yù)測(cè)、自適應(yīng)濾波器。濾波器。乘法性噪聲乘法性噪聲)()()(nvnsnx 卷積性噪聲卷積性噪聲)(*)()(nvnsnx 62.IIR和和FIR濾波器濾波器 線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均為零，則均為零，則其其z反變換反變換 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0

4、rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為M+1的有限長(zhǎng)序列的有限長(zhǎng)序列 7 此時(shí)的系統(tǒng)稱為有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（此時(shí)的系統(tǒng)稱為有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（FIR，F(xiàn)inite Impulse Response）系統(tǒng)。）系統(tǒng)。 反之，反之，h(n)是無限長(zhǎng)序列，系統(tǒng)稱為無限長(zhǎng)單位脈沖響是無限長(zhǎng)序列，系統(tǒng)稱為無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（應(yīng)（IIR，Infinite Impulse Response）系統(tǒng)。）系統(tǒng)。3. .低通、高通、帶通、帶阻濾波器低通、高通、帶通、帶阻濾波器 從功能上，數(shù)字濾波器可分為低通從功能上，數(shù)字濾波器可分為低通（LP，Low Pass）、高通（）、高通（HP

5、，High Pass）、帶通（）、帶通（BP，Band Pass）和帶阻（和帶阻（BS，Band Stop）四種類型。）四種類型。8pAFpDF注意：數(shù)字濾波器與模擬濾波器的區(qū)別注意：數(shù)字濾波器與模擬濾波器的區(qū)別 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2為周期的，濾波器的為周期的，濾波器的低通頻帶處于低通頻帶處于2的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于的奇數(shù)倍的奇數(shù)倍附近。附近。9 95.1.2 性能指標(biāo)描述性能指標(biāo)描述 濾波器的指標(biāo)通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響一般濾波器的指標(biāo)通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻響一般為復(fù)函數(shù)，表示為為復(fù)函數(shù)，表示為其中，其中， 稱為

6、稱為幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)， 稱為稱為相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 通帶通帶（允許的）（允許的）最大衰減最大衰減1.1.低通濾波器的性能指標(biāo)低通濾波器的性能指標(biāo) 通帶截止頻率通帶截止頻率 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 通帶通帶 阻帶阻帶p s 1| )(|1j1eH2j| )(| eH| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|1lg201lg20s2sjeH阻帶阻帶（應(yīng)達(dá)到的）（應(yīng)達(dá)到的）最小衰減最小衰減均勻過渡 （1 1）通帶下限、上限截止頻率）通帶下限、上限截止頻率 、 ；（2 2）阻帶截止頻率（）阻帶截止頻率（ 、 ）；）；（3 3）通

7、帶頻率處的衰減）通帶頻率處的衰減 和阻帶頻率處的衰減和阻帶頻率處的衰減 。112.2.帶通濾波器的性能指標(biāo)帶通濾波器的性能指標(biāo)p1均勻過渡p2s1s2ps125.1.3 設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括三個(gè)基本步驟：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括三個(gè)基本步驟： 1. 確定所設(shè)計(jì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)。確定所設(shè)計(jì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 2.設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)H(z)，使，使 3.用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH滿足給定的滿足給定的技術(shù)要求技術(shù)要求沒有考慮相位沒有考慮相位（

8、1）零極點(diǎn)位置累試）零極點(diǎn)位置累試（2）利用模擬濾波器的理論）利用模擬濾波器的理論（3）最優(yōu)化設(shè)計(jì)）最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)字?jǐn)?shù)字IIR濾波器設(shè)計(jì)的具體步驟：濾波器設(shè)計(jì)的具體步驟：給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）（更多）spsp, 轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) （更多）（更多）spsp, 轉(zhuǎn)換成模擬轉(zhuǎn)換成模擬低通低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo) 得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器得到數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器spsp, 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 )(pG)(sH

9、)z(H歸一化歸一化（原型原型）濾波器濾波器145.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 1. .為何要設(shè)計(jì)模擬低通濾波器？為何要設(shè)計(jì)模擬低通濾波器？ 由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出模設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器的原型，然后進(jìn)行映射（原型變換）。擬低通濾波器的原型，然后進(jìn)行映射（原型變換）。 2.常用的模擬濾波器常用的模擬濾波器 （1）巴特沃斯（）巴特沃斯（Butterworth）濾波器）濾波器 通帶具有最大平坦度，但從通帶到阻帶衰減較慢。通帶

10、具有最大平坦度，但從通帶到阻帶衰減較慢。01234-40-20001234-50515 （2）切比雪夫（）切比雪夫（Chebyshev）濾波器）濾波器 能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。 （3）橢圓（）橢圓（Ellipse）濾波器）濾波器 通帶和阻帶等波紋。通帶和阻帶等波紋。01234-40-20001234-50501234-80-60-40-20001234-50517 （4）貝塞爾（）貝塞爾（Bessel）濾波器）濾波器 著重相頻響應(yīng)，著重相頻響應(yīng)，通帶內(nèi)有較好的線性相位通帶內(nèi)有較好的線性相位。01234-40-30-20-10001234-50518 模擬

11、濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù) 來表來表示，即示，即由于濾波器沖激響應(yīng)由于濾波器沖激響應(yīng) 是實(shí)函數(shù)，因而是實(shí)函數(shù)，因而 具有共軛具有共軛對(duì)稱性對(duì)稱性 ，所以，所以 由于由于Ha(s) 的零、極點(diǎn)共軛成對(duì)出現(xiàn)，的零、極點(diǎn)共軛成對(duì)出現(xiàn)，Ha(s)Ha(-s)的零、極點(diǎn)必成的零、極點(diǎn)必成象限對(duì)稱象限對(duì)稱。5.2.1 由幅度平方函數(shù)來確定傳輸函數(shù)由幅度平方函數(shù)來確定傳輸函數(shù)2| )(| jHa)()(| )(|*aa2a jHjHjH)()(a*a jHjH jssHsHjHjHjH| )()()()(| )(|aaaa2a)(a jH)(tha19 由由 確定確定H

12、a(s) 的方法的方法 1）由）由 得到象限對(duì)稱的得到象限對(duì)稱的s平面函數(shù)；平面函數(shù)； 2）將將 Ha(s)Ha(-s) 因式分解，得到各個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)；因式分解，得到各個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)； 極點(diǎn)選擇極點(diǎn)選擇：為穩(wěn)定，選擇左半平面的極點(diǎn)作為：為穩(wěn)定，選擇左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的的極點(diǎn)，右半平面作為極點(diǎn)，右半平面作為Ha(-s)的極點(diǎn)；的極點(diǎn)； 零點(diǎn)選擇零點(diǎn)選擇：沒有特殊要求，可將對(duì)稱零點(diǎn)的任意一半：沒有特殊要求，可將對(duì)稱零點(diǎn)的任意一半分配給分配給Ha(s)；如果要求最小相位延時(shí)特性，則；如果要求最小相位延時(shí)特性，則Ha(s)的零點(diǎn)的零點(diǎn)取左半平面。取左半平面。 3）按照按照 與與Ha(s)的低頻

13、特性的對(duì)比，或高頻特性的低頻特性的對(duì)比，或高頻特性的對(duì)比，確定出增益常數(shù)的對(duì)比，確定出增益常數(shù)K0； 2| )(| jHa)()(| )(|aa2a22sHsHjHs )( jHa20 4）由）由zeros、poles、K0 得得 例例5-1 給定濾波器的幅度平方函數(shù)給定濾波器的幅度平方函數(shù) 求具有最小相位特性的傳輸函數(shù)求具有最小相位特性的傳輸函數(shù) 。 )()()()()(n10m100pspspszszszsKsHa )9)(4()1(4| )(|22222 jHa)(sHa21 解：解：由于由于 是非負(fù)有理函數(shù)，它在是非負(fù)有理函數(shù)，它在j軸上的零軸上的零點(diǎn)是偶次的，所以滿足幅度平方函數(shù)的條

14、件，將點(diǎn)是偶次的，所以滿足幅度平方函數(shù)的條件，將 代代入入 的表達(dá)式，可得的表達(dá)式，可得其極點(diǎn)為其極點(diǎn)為 ， ；零點(diǎn)為；零點(diǎn)為 （皆為二階，位于虛（皆為二階，位于虛軸上）軸上） 為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇左半平面極點(diǎn)為了系統(tǒng)穩(wěn)定，選擇左半平面極點(diǎn)s=2，s=3及一對(duì)虛及一對(duì)虛軸軸共軛零點(diǎn)共軛零點(diǎn)s=j作為作為 的零極點(diǎn)，并設(shè)增益常數(shù)為的零極點(diǎn)，并設(shè)增益常數(shù)為K0，則則2| )(| jHajs/ 2| )(| jHa)3)(3)(2)(2()1()9)(4()1()()(222222 sssssssssHsHaa2 s3 sjs )(sH22 按照按照 和和 的低頻特性或高頻特性的對(duì)比可以的低頻特性或高

15、頻特性的對(duì)比可以確定增益常數(shù)。在這里我們采用低頻特性，即由確定增益常數(shù)。在這里我們采用低頻特性，即由 的條件可得增益常數(shù)的條件可得增益常數(shù) ，因此，因此)3)(2(1)(20 sssKsHa)(sHa)( jHa00| )(| )( jHsHasa20 K)3)(2(22)(2 ssssHa235.2.2 巴特沃斯低通濾波器巴特沃斯低通濾波器 1.表達(dá)式表達(dá)式 3dB處的截止頻率處的截止頻率 在在=0=0處有最平響應(yīng)。處有最平響應(yīng)。NNjH2p22c2a)/(11)/(11| )(| c 24 2.求求和和N 1）p，p 2） s，s N)1lg(10)/(11lg10| )(|lg10222

16、2a NppjH1101 . 0 p )/(1lg102ps2sN ps21 . 0/lg2110lgs N（若若p=3dB，=1）25 3. .由由 求求Ha(s) 令令 ，歸一化變量歸一化變量求極點(diǎn)，令求極點(diǎn)，令 k = 0，1，2N-1 2| )(| jHaNNjsNssHsH2p2/2p2aa)/()1(11)/(11)()( jssHsHjH| )()(| )(|aa2ap spNNppHpH22aa)1(11)()( 0)1(122 NNp NkjjNkeep2)12(21 26選取左半平面的極點(diǎn)作為選取左半平面的極點(diǎn)作為Ha(p) 的極點(diǎn)的極點(diǎn) k = 0，1，N-1把把 代入代

17、入Ha(p) 得到實(shí)際的得到實(shí)際的Ha(s) 步驟步驟： 求求；求求N；求求Ha(p) ；NkjjNkeep2)12(21 )()(1)(1N10a pppppppHp sp)()(| )()(p1Np1p0Npaap pspspspHsHspp| )()(aa sppHsH27例例5-2 設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯LPF，kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 2829一般以一般以 為為參考頻率進(jìn)行參考頻率進(jìn)行歸一化歸一化 4.巴特沃思濾波器的圖表法設(shè)計(jì)巴特沃思濾波器的圖表法設(shè)計(jì)（1）將）將 、 進(jìn)行歸一化處理，得到進(jìn)行歸一化處理，得到 、（2）由圖）由圖5-5，得階數(shù)，得

18、階數(shù)Np s p s 1ppp1pss 00.20.40.60.81-3-2.5-2-1.5-1-0.50246810-100-80-60-40-200通通帶帶內(nèi)內(nèi)衰衰減減阻阻帶帶內(nèi)內(nèi)衰衰減減c 30（3）查表，得）查表，得H(p)的分母多項(xiàng)式的分母多項(xiàng)式31（4）去歸一化）去歸一化例例5-3 利用圖表法設(shè)計(jì)例利用圖表法設(shè)計(jì)例5-2所述的巴特沃斯濾波器。所述的巴特沃斯濾波器。csppHsH /| )()(32 5.巴特沃思濾波器的巴特沃思濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 在在MATLAB信號(hào)處理工具箱中，與信號(hào)處理工具箱中，與Butterworth濾波器濾波器相關(guān)的有三個(gè)函數(shù)：相關(guān)的有三個(gè)函數(shù)：

19、（1）n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)，求出給定通帶，求出給定通帶截止頻率截止頻率wp、阻帶截止頻率、阻帶截止頻率ws、通帶最大衰減、通帶最大衰減Rp、阻帶最、阻帶最小衰減小衰減Rs條件下，所需要的最小條件下，所需要的最小Butterworth模擬濾波器階模擬濾波器階數(shù)數(shù)n和和3dB截止頻率截止頻率wn。 （2）模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)）模擬低通原型濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)buttap，調(diào)用格式，調(diào)用格式為為z,p,k=buttap(n)，其中參數(shù)，其中參數(shù)z、p、k分別為濾波器的零分別為濾波器的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。點(diǎn)、極點(diǎn)和增益。33 （3）Butterworth濾波器完全設(shè)計(jì)函

20、數(shù)，調(diào)用格式為濾波器完全設(shè)計(jì)函數(shù)，調(diào)用格式為b,a=butter(n,wn,ftype,s)，其中，其中ftype為濾波器類型，為濾波器類型，缺省時(shí)表示低通或帶通濾波器。缺省時(shí)表示低通或帶通濾波器。b、a分別為濾波器傳輸函數(shù)分別為濾波器傳輸函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。 例例5-4 利用利用MATLAB實(shí)現(xiàn)例實(shí)現(xiàn)例5-2所述巴特沃斯所述巴特沃斯濾波器。濾波器。 解解 MATLAB實(shí)現(xiàn)程序如下：實(shí)現(xiàn)程序如下：wp=2*pi*5000; ws=2*pi*10000; Rp=3; Rs=20;%計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)計(jì)算滿足性能指標(biāo)的濾波器階數(shù)n和和3dB截止頻率截止

21、頻率wnn,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 34%設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器，傳輸函數(shù)為零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器，傳輸函數(shù)為零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益形式形式z,p,k=buttap(n) %采用另一種方法設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，傳輸函數(shù)為分子、采用另一種方法設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，傳輸函數(shù)為分子、分母多項(xiàng)式形式分母多項(xiàng)式形式b,a=butter(n,wn,s)%求模擬濾波器的頻率響應(yīng)求模擬濾波器的頻率響應(yīng)db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,2*ws);%繪圖繪圖plot(w,db,k);axis(0,2*ws/pi,

22、-50,1);grid on;35仿真曲線仿真曲線kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 365.3 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法1.變換原理變換原理 數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)模仿模擬濾波模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)器的沖激響應(yīng)ha(t)，使，使h(n)等于等于ha(t)的采樣值的采樣值，即，即h(n)ha(nT)。 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)，則且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)，則其拉普拉斯反變換其拉普拉斯反變換 NiiiassAsH1)( NitsiatueAthi1)()(37

23、 對(duì)對(duì)ha(t)采樣，得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)采樣，得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)為為 對(duì)對(duì)h(n)取取z變換，即得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換，即得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 可見，可見，s平面的極點(diǎn)平面的極點(diǎn)si映射到映射到z平面的極點(diǎn)平面的極點(diǎn) ，而對(duì)應(yīng)系數(shù)不變。而對(duì)應(yīng)系數(shù)不變。 NinTsianTueAnThnhi1)()()( NiTsizeAzHi111)(Tsie38 例例5-5 利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器利用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器變換為數(shù)字濾波器 ，采樣周期，采樣周期 。 解：模擬濾波器的傳輸函數(shù)解：模擬濾波器的傳輸函數(shù)極點(diǎn)：極點(diǎn)： ， 。 因此，所

24、求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為因此，所求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為2332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH39 1）h(n)的的z變換與變換與ha(t)的拉普拉斯變換之間的的拉普拉斯變換之間的關(guān)系關(guān)系 設(shè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)設(shè)模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)經(jīng)理想采樣經(jīng)理想采樣后的采樣信號(hào)為后的采樣信號(hào)為則則2s平面與平面與z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()(

25、 naanTtthth)()()( )(nh 比較序列比較序列h(n)的的Z變換變換 ,可得可得 nnnhHz )()z()(| )z(azsTsHHe 40 由于由于 ，將，將 代代入，得入，得因此因此 ksaajkjHTjH)(1)( js ksaajksHTsH)(1)( kejksHTHsT)(1| )z(sazs與與z的的關(guān)系關(guān)系或或412）關(guān)于）關(guān)于z=esT的討論的討論 令令 ， 代入上式，得代入上式，得因此因此討論：討論：（1）=0，r=1，表明，表明s平面平面虛軸虛軸映射為映射為z平面的平面的單單位圓位圓。 jre z js TjTjeere Ter T 42討論：討論：（2

26、）0，r0，r1。表明。表明s左半平面左半平面映射映射為為z平面的平面的單位圓內(nèi)部單位圓內(nèi)部，而，而s右半平面右半平面則映射為則映射為z平平面面單位圓外部單位圓外部。Ter T 43討論：討論：（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 Ter T s平面上每一條寬為平面上每一條寬為2/T的橫條，都將重疊的的橫條，都將重疊的映射到整個(gè)映射到整個(gè)z平面上。平面上。脈沖響應(yīng)不變法不是從脈沖響應(yīng)不變法不是從s平面平面到到z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系。平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系。 443頻率混疊效應(yīng)頻率混疊效應(yīng) 根據(jù)時(shí)域采樣理論，采樣序列根據(jù)時(shí)域采樣理論，采樣序列h(n)的的z變換與模變換與模擬信號(hào)擬信號(hào)ha(t

27、)的拉普拉斯變換之間滿足如下關(guān)系的拉普拉斯變換之間滿足如下關(guān)系 將將 和和 代入得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)代入得數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) 數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓。拓。 maaezmTjsHTsHzHsT)2(1)(| )( jsT kajkTjTjHTeH)2(1)( 45圖圖5-11 脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象46 只有當(dāng)模擬濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谥挥挟?dāng)模擬濾波器的頻響是帶限的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)，即折疊頻率以內(nèi)，即有有 此時(shí)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)重現(xiàn)模擬濾波器此時(shí)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)重現(xiàn)模擬濾

28、波器的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真。的頻率響應(yīng)而不產(chǎn)生混疊失真。TjHa | ,0)(TTjHTeHaj | ,)(1)( 47 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，這就不可避免的會(huì)產(chǎn)生混疊不可能是真正帶限的，這就不可避免的會(huì)產(chǎn)生混疊失真。失真。 答：答：當(dāng)模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上處衰當(dāng)模擬濾波器的頻響在折疊頻率以上處衰減越大時(shí)，混疊失真就越小。減越大時(shí)，混疊失真就越小。 問題：?jiǎn)栴}：要求混疊要求混疊失真小，對(duì)模擬濾波失真小，對(duì)模擬濾波器的頻響有何要求？器的頻響有何要求？ 混混疊疊TTfs )(484.優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：

29、1）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，所以濾波器的沖激響應(yīng)，所以時(shí)域逼近良好時(shí)域逼近良好。 2）頻率變化是線性關(guān)系頻率變化是線性關(guān)系=T，頻率特性形，頻率特性形狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴(yán)重）。狀基本上與模擬濾波器相同（如果混疊不嚴(yán)重）。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 會(huì)產(chǎn)生會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象頻率混疊現(xiàn)象。只適合帶限濾波器（如。只適合帶限濾波器（如低通、帶通濾波器）的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾低通、帶通濾波器）的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。波器的設(shè)計(jì)。49 例例5-10 利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特

30、沃思低通濾波器，通帶截止頻率沃思低通濾波器，通帶截止頻率fp=0.1kHz，通帶最，通帶最大衰減大衰減Rp=1dB，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率fs=0.3kHz，阻帶最小，阻帶最小衰減衰減Rs=10dB。研究不同采樣頻率對(duì)所設(shè)計(jì)數(shù)字濾。研究不同采樣頻率對(duì)所設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)的影響。設(shè)采樣頻率波器頻率響應(yīng)的影響。設(shè)采樣頻率fs分別取分別取1kHz，2kHz，4kHz。 解解 MATLAB部分程序如下：部分程序如下：wp=2*pi*100;ws=2*pi*300;Rp=1;Rs=10;n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=butter(n,wn,s)sradp/200書

31、書50%求模擬濾波器的頻率響應(yīng)求模擬濾波器的頻率響應(yīng)db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,500*2*pi);plot(w/(2*pi),db,LineWidth,2,Color,k);axis(0,500,-20,1);hold on%脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法fs=1000;bz,az=impinvar(b,a,fs);%求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)求數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);plot(0.5*fs*w/pi,db, r);axis(0,500,-20,1);hold off51運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行結(jié)果 525.4 雙線性變換法雙線

32、性變換法531.變換原理變換原理 先先將將s平面壓縮成平面壓縮成s1平面上一個(gè)寬度為平面上一個(gè)寬度為2/T的的水平帶狀區(qū)域水平帶狀區(qū)域，然后然后通過通過z=esiT將這個(gè)帶狀區(qū)域映將這個(gè)帶狀區(qū)域映射到整個(gè)射到整個(gè)z平面平面，實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)s平面到平面到z平面的單值映射。平面的單值映射。54引入正切變換引入正切變換 將將s平面的虛軸平面的虛軸變換到變換到s1平面虛軸平面虛軸/T之間之間 延拓到整個(gè)延拓到整個(gè)s平面和平面和s1平面，令平面，令 ， ，則得則得221TtgT 222211111122cos2sin2TjTjTjTjeeeeTTTjTj js11 js222211112TsTsTsTsee

33、eeT TsTseeT11112 s55 再將再將s1平面映射到平面映射到z平面，應(yīng)用平面，應(yīng)用 ，從而實(shí)，從而實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)了s平面到平面到z平面的單值映射。平面的單值映射。 這種這種s平面單值映射為平面單值映射為z平面的映射關(guān)系稱作平面的映射關(guān)系稱作雙雙線性變換法線性變換法。Tsez1 11112 zzTsTsTseeTs11112 sTsTz /2/2簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系 或或56 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，在得到相用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，在得到相應(yīng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)后，后，只要將相應(yīng)的變只要將相應(yīng)的變換關(guān)系代入換關(guān)系代入Ha(s)，即可

34、得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)11z1z12a| )()z( TssHH572.模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系 s平面上平面上與與z平面的平面的成成單值映射單值映射非線性正切非線性正切關(guān)系（關(guān)系（可以避免混疊可以避免混疊），在零頻附近，），在零頻附近，和和變換變換關(guān)系近似于線性，關(guān)系近似于線性，隨著隨著的增加，表現(xiàn)出嚴(yán)重非線的增加，表現(xiàn)出嚴(yán)重非線性性 （頻率失真頻率失真）。）。22221 tgTTtgT 583.優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通、高通、消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通、高通、帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器

35、的設(shè)計(jì)。帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 與與之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率失真。失真。594.4.雙線性變換法中的頻率失真雙線性變換法中的頻率失真 由頻率之間的非線性變換關(guān)系引起。由頻率之間的非線性變換關(guān)系引起。圖圖5-15 理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變 60適用范圍！適用范圍！ 雙線性變換法適合雙線性變換法適合分段常數(shù)分段常數(shù)特性濾波器的設(shè)特性濾波器的設(shè)計(jì)。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)計(jì)。分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生型數(shù)字濾波器，

36、但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變畸變。 這種頻率的畸變，可通過頻率的這種頻率的畸變，可通過頻率的預(yù)畸預(yù)畸加以校正加以校正。61sspp625.5.預(yù)畸變預(yù)畸變 例例5-11：設(shè)計(jì)一個(gè)一階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其通設(shè)計(jì)一個(gè)一階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其通帶截止頻率為帶截止頻率為200Hz，通帶最大衰減為，通帶最大衰減為3dB，采樣頻率為，采樣頻率為1000Hz。 63 例例5-7：巴特沃思數(shù)字低通，通帶截止頻率為巴特沃思數(shù)字低通，通帶截止頻率為200Hz，通，通帶最大衰減為帶最大衰減為3dB，采樣頻率為，采樣頻率為1000Hz。 64 預(yù)畸變就是預(yù)畸變就是將臨界模擬頻率事先加以畸變將臨界模擬頻率事先加以畸

37、變，然，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 65 例例5-12 已知已知fp=0.3kHz，Rp=1dB，fs=0.2kHz，Rs=20dB，T=1ms, 利用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)利用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)Chebyshev I型數(shù)字高通濾波器。型數(shù)字高通濾波器。 解解 MATLAB實(shí)現(xiàn)程序如下：實(shí)現(xiàn)程序如下：Rp=1;Rs=20;T=0.001;fp=300;fs=200;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;%預(yù)畸變預(yù)畸變wp1=(2/T)*tan(wp/2);ws1=(2/T)*tan(ws/2);66%設(shè)計(jì)模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器n,wn=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,s);b,a=cheby1(n,Rp,wn,high,s); %雙線性變換雙線性變換bz,az=bilinear(b,a,1/T); db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az); plot(w/pi,db);axis(0,1,-30,2)6700.20.40.60.81-30-20-100指標(biāo)驗(yàn)證：哪個(gè)正確？指標(biāo)驗(yàn)證：哪個(gè)正確？695.利用