通信原理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、沈忠良沈忠良 講師講師理工大學(xué)通信工程學(xué)院理工大學(xué)通信工程學(xué)院無線通信教研中心聯(lián)合戰(zhàn)術(shù)通信教研室無線通信教研中心聯(lián)合戰(zhàn)術(shù)通信教研室解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)22.1 信號系統(tǒng)基礎(chǔ) 2.2 概率論基礎(chǔ) 2.3 隨機過程的一般表述 2.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征2.5 高斯噪聲 2.6 正弦波加窄帶高斯噪聲 2.7 隨機信號通過線性系統(tǒng) 2.8 周期平穩(wěn)隨機過程 2.9 數(shù)理統(tǒng)計簡介 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)3確知信號與隨機信號周期信號與非周期信號連續(xù)信號與離散信號模擬信號與數(shù)字信號因果信號與非因果信號能量信號和功率信號實信號與復(fù)信號解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)4正弦、余弦信號Sa函數(shù)（抽

2、樣函數(shù)）單位階躍信號單位矩形脈沖信號符號函數(shù)沖激信號解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)5n正弦、余弦信號正弦、余弦信號( )co s(2)ftAft幅度，單位V，A等，反映信號強度。頻率，單位Hz，反映信號變化快慢。f =0 直流信號f0 交流信號相位，單位度或弧度，反映信號初始位置。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)6nSa函數(shù)（抽樣信號）函數(shù)（抽樣信號）SaSa(x x)0 02 23 34 45 51.01.00.80.80.60.60.40.40.20.20.00.0-0.2-0.2-0.4-0.4x x-5-5-4-4-3-3-2-2- -sin( )( )axSxx解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)

3、7n單位階躍信號單位階躍信號0,01,0tt( )u t ( )u tt解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)8n矩形脈沖信號（門函數(shù)）矩形脈沖信號（門函數(shù)）G ( )t At02 2 脈沖幅度脈沖寬度,/ 20,/ 2Att( )G t解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)9n符號函數(shù)符號函數(shù)1,01,0ttsgn( ) t sgn( ) tt解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)10n單位沖激信號單位沖激信號( )1( )0 (0)t dttt“t0點，強度為E的沖激函數(shù)”：00,0,( )0 ()( )E tE ttttt dtE0,0( )()E ttEtt對稱性：()( )tt時域壓擴性：1()( )atta抽樣

4、特性：00000( ) ()( ) ()( ) ()( )x tttx tttx ttt dtx t解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)11反褶運算時域平移（時移）運算時域壓擴運算卷積運算相關(guān)運算解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)12n卷積運算卷積運算121221( )*( )( )()( )()x tx txx tdxx td( )* ( )?x tt0( )* ()?x ttt( )x t0()x tt解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)130001( )cos2sin2 nnnx tAAnf tBnf t式中式中 001Tf 0202001( )TTAx t dtT直流分量直流分量交流分量，交流分量，n=1:

5、 n=1: 基波分量基波分量n1: n1: 諧波分量諧波分量0202020200002( )cos22( )sin 2TTTTnnAx tnf tdtTBx tnf tdtT，解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)14)2cos()(010nnntnfCCtx0022arctannnnnnnCACABBA式中式中0001( )cos2sin2 nnnx tAAnf tBnf t解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)15 )(02ntnfjneVtx00022201( )Tjnf tnTVx t edtT 指數(shù)函數(shù)表示式指數(shù)函數(shù)表示式是由余弦表示式經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得來的，這種是由余弦表示式經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得來的，這種表示式?jīng)]有

6、什么物理意義，純屬數(shù)學(xué)上的表示式，但它能給分表示式?jīng)]有什么物理意義，純屬數(shù)學(xué)上的表示式，但它能給分析帶來方便，是傅氏變換的基礎(chǔ)，也是本課程最常用的一種表析帶來方便，是傅氏變換的基礎(chǔ)，也是本課程最常用的一種表示式。示式。 0202001( )TTVx t dtTcos( ),sin( )22jjjjeeeej0001( )cos 2sin 2 nnnx tAAnf tBnf t歐拉公式：歐拉公式：解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)16當(dāng)當(dāng) 時，時， ，此時周期信號就變?yōu)榉侵芷谛盘?，此時周期信號就變?yōu)榉侵芷谛盘柫?。令了。?， 經(jīng)推導(dǎo)可得經(jīng)推導(dǎo)可得 22jftjftXfx t edtx tXf edf0

7、T 0010fT00,fdf nfndff 12j tj tXx t edtx tXed或 傅里葉變換傅里葉變換 稱為稱為 的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜。)( fX)(tx)()()(fjefXfXffX)(ff)(振幅譜振幅譜相位譜相位譜解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)17(a) (a) 矩形脈沖波形矩形脈沖波形)(txAt022)(fXf0(b) (b) 矩形脈沖的頻譜矩形脈沖的頻譜1122A)()sin( )()(2222fSAffAdtAedtetxfXaftjftj特點特點: :1 1、譜連續(xù)且無限擴展、譜連續(xù)且無限擴展2 2、有等間隔零點、有等間隔零點3 3、脈沖

8、寬度窄，主瓣寬度增大、脈沖寬度窄，主瓣寬度增大矩形脈沖的頻譜矩形脈沖的頻譜解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)18問題問題: : 信號的頻譜函數(shù)具有矩形特性，那么它的時間波信號的頻譜函數(shù)具有矩形特性，那么它的時間波形又是什么樣的呢？形又是什么樣的呢？)()()(2222tBABSdfAedfefXtxaBBftjftj解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)192211)(2)(ffSAfXa升余弦脈沖的頻譜升余弦脈沖的頻譜特點：特點：1 1、當(dāng)脈沖寬度相同時，、當(dāng)脈沖寬度相同時，升余弦脈沖的帶寬是矩升余弦脈沖的帶寬是矩形脈沖帶寬的形脈沖帶寬的2 2倍。倍。2 2、頻譜的拖尾衰減較快、頻譜的拖尾衰減較快 21co

9、s220Attx tt其它解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)20升余弦頻譜函數(shù)的傅氏反變換升余弦頻譜函數(shù)的傅氏反變換 21cos2202ABffBXfBf(a)( )X fA2/B2/Bf0(b)( )x t2/ABtB3B2B2B30 2 2121ABx tSaBtB t解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)21AAedtetAtAFfjftj022)()(注：更多常用信號傅里葉變換對見教材注：更多常用信號傅里葉變換對見教材P27P27或習(xí)題解答或習(xí)題解答P14P14 1112tf ，沖擊函數(shù)的傅氏反變換沖擊函數(shù)的傅氏反變換解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)221. 1. 時移特性時移特性 020 ()jftF

10、x ttXf e)(txAt022)(tfAt0)()(fSAfXa)2/()(txtf22( )()()jfajfaF fA SfeA Sfe 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)232. 2. 頻移特性頻移特性0j2f t0Fx(t)e = X(f - f )tnfjnneVtx02)()(1 )(020nffVeFVtxFnntnfjnn一般周期信號：一般周期信號： 2jftXfx t edt000022201( )Tjnf tnTTVxt edtT02()01( )jnftx t edtT00()nXnfVT解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)242. 2. 頻移特性頻移特性0j2f t0Fx(t)e

11、 = X(f - f )ntnfjTeTt00201)(nTnffTtF)(1)(000周期脈沖函數(shù)周期脈沖函數(shù)解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)252. 2. 頻移特性頻移特性0j2f t0Fx(t)e = X(f - f )0T0200( )()jnf tanAx tSnfeT 周期為, 寬度為，高度為 A 的矩形脈沖0220T0TA)(txt 周期矩形脈沖周期矩形脈沖 000()anAXfSnffnfT 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)263. 3. 頻率卷積特性頻率卷積特性)()()()(2121fXfXtxtxF)(tx)(txctf02costftxtxc02cos)()( tfFfXtft

12、xFtxFfXcc002cos2cos)()( 00002121ffXffXfffffXfXc解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)273. 3. 頻率卷積特性頻率卷積特性)(tx)(txctf02cos 0021ffXffXfXc)(fXmfmf0f00f0fmff 0mff 0mff 0mff 0f)( fXc)(210ffX)(210ffX解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)28課后作業(yè)nP57P57：1 1、2 2、3 3)(txAt022補充補充1：矩形脈沖寬度：矩形脈沖寬度2ms。求。求x(t)的頻譜表示式并畫出頻譜函數(shù)圖。的頻譜表示式并畫出頻譜函數(shù)圖。 補充補充2：周期矩形脈沖，周期為：周期矩形脈

13、沖，周期為8ms，脈沖寬度，脈沖寬度2ms，幅度為，幅度為1，求，求x(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式。的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式。0220T0TA)(txt解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)29課后作業(yè)tftxtxc02cos)()(補充補充3：已知：已知x(t)的頻譜函數(shù)是下圖所示三角形式，設(shè)的頻譜函數(shù)是下圖所示三角形式，設(shè) ，畫，畫出出 的頻譜函數(shù)圖。的頻譜函數(shù)圖。)(fXmfmf0fmff301解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)30解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)3122( )Ex tdtXfdf意義有兩個方面意義有兩個方面: :（1 1）有兩種方法可求得能量信號的能量；）有兩種方法可求得能量信號的能

14、量；（2 2）信號的總能量等于各個頻率分量單獨貢獻出來的）信號的總能量等于各個頻率分量單獨貢獻出來的能量之和能量之和。|x (t)|2表示作用于單位電阻上表示作用于單位電阻上(1)(1)瞬時功率（歸一化功率）瞬時功率（歸一化功率）解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)32練習(xí)：練習(xí)： 求下面信號的能量。求下面信號的能量。0)(fXf?2/BAdttxE2)(dffX2)(BAdfABB22/2/2解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)33能量譜密度能量譜密度: :單位頻率的能量，用單位頻率的能量，用G(fG(f) )表示，單位為表示，單位為J/HZ J/HZ 。 對能量譜密度求積分可得總能量：對能量譜密度求積分可

15、得總能量： fdfGE)(dffX2)(2)()(fXfG能量譜密度：能量譜密度：對于實信號，由于 ，故 G fGf 02EG f df *XfXf解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)34意義有兩個方面意義有兩個方面; ;（1 1）有兩種方法可求得周期信號的功率；）有兩種方法可求得周期信號的功率；nnTTVdttxTP22/2/2000)(1（2 2）一個周期信號的平均功率值等于信號所有諧波分）一個周期信號的平均功率值等于信號所有諧波分量幅度的平方之和，即信號的平均功率等于各個頻率量幅度的平方之和，即信號的平均功率等于各個頻率分量單獨貢獻的功率之和。分量單獨貢獻的功率之和。 tnfjnneVtx02)

16、(解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)35功率譜密度：功率譜密度：單位頻率的功率，用單位頻率的功率，用 表示。表示。 fdfPP)(dfnffVnn02)( fPnnV2周期信號的功率譜密度：周期信號的功率譜密度：nnnffVfP02)(解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)36 波形相關(guān)波形相關(guān)研究波形間的相關(guān)程度，用相關(guān)函數(shù)、歸一研究波形間的相關(guān)程度，用相關(guān)函數(shù)、歸一化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)來描述。有互相關(guān)和自相關(guān)兩類。化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)來描述。有互相關(guān)和自相關(guān)兩類。1 1、互相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)dttvtvR)()()(2112能量信號能量信號dttvtvTRTT)()(1)(222101200周期功率信號

17、周期功率信號解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)37互相關(guān)函數(shù)的含義：互相關(guān)函數(shù)的含義：dttvtvR)()()(2112“平移平移相乘相乘積分積分”表示兩波形間表示兩波形間相關(guān)程度相關(guān)程度的的參數(shù)。參數(shù)。若對所有若對所有， R R1212()() =0 =0，則說明信號波形間始終差別則說明信號波形間始終差別很大或極不相似，這種信號很大或極不相似，這種信號稱為稱為不相關(guān)信號不相關(guān)信號。若若v v1 1(t)=v(t)=v2 2(t)=v(t(t)=v(t) )，則表，則表示為示為R Rv v() )，是，是v(tv(t) )的的自相自相關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù)。0/2v1(t)t0（a）v2(t)t0（b）0R1

18、2()（c）0/20/20/200解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)382 2、自相關(guān)函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)dttvtvR)()()(能量信號能量信號dttvtvTRTT)()(1)(22000周期功率信號周期功率信號特點：特點：（1 1）能量信號：）能量信號： ，功率信號：，功率信號：(0)RE(0)RS（2）(0)( )RR( )()RR（3）（4 4）周期信號的自相關(guān)函數(shù)是同周期的函數(shù)）周期信號的自相關(guān)函數(shù)是同周期的函數(shù)022( )jnfnnRVe解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)393、歸一化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)、歸一化相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)歸一化自相關(guān)函數(shù)歸一化自相關(guān)函數(shù))0()(RR歸一化互相關(guān)函數(shù)歸一化

19、互相關(guān)函數(shù))0()(1212RR互相關(guān)系數(shù)互相關(guān)系數(shù)12121122(0)(0)(0)RRRdttvtvR)()()(1111能量信號能量信號解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)40例例 兩信號如下圖所示，求兩信號如下圖所示，求1 2解：解：022/2/211200)()()()0(TAdtAAdttftfRTT022/2/2111100)()()0(TAdtAdttftfRTT022/2/2222200)()()0(TAdtAdttftfRTT1)0()0()0(22111212RRR解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)41例：已知例：已知1020( )sin2,( )sin 2v tAf tv tAf t

20、求求12解：解：02020202211221200022200(0)(0)21(0)sin2sin 2sin 22TTTTRRSARAf tAf tdtTAAf tdtT 1)0()0()0(22111212RRR解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)42六、相關(guān)函數(shù)與譜密度六、相關(guān)函數(shù)與譜密度 和和 的關(guān)系的關(guān)系)(fG)(fP( )( )RG fn自相關(guān)函數(shù)與譜密度是傅立葉變換對：自相關(guān)函數(shù)與譜密度是傅立葉變換對：n對能量信號：對能量信號：n對功率信號：對功率信號：( )( )RP f解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)432、傅氏變換的性質(zhì) （1）線性疊加（2）對偶性（3）時移特性 （4）尺度變換 （5）

21、頻移特性 1212( )( )( )( )F Ax tBx tAF x tBF x t( ) ( )( )()( ) ( )( )2()X fF x tF X txfXF x tF X tx 020 ()jftF x ttXf e1 (),0fF x atFaaa020 ( )()jf tF x t eX ff2.1.3 2.1.3 非周期信號的頻譜函數(shù)非周期信號的頻譜函數(shù)- -傅氏變換傅氏變換 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)442 2、傅氏變換的性質(zhì)、傅氏變換的性質(zhì)（6）調(diào)制特性 （7）微分特性 （8）積分特性（9）卷積特性0000001 ( )cos2()()2 ( )sin2()()2F

22、x tf tX ffX ffjF x tf tX ffX ff ( )2,()( )nnnnnnd x td X fFjfXfFjtf tdtdf 0122tXFxdXffjf( ( )( )( ) ( )( ( ) ( )( )( )F x ty tX f Y fF x t y tX fY f2.1.3 2.1.3 非周期信號的頻譜函數(shù)非周期信號的頻譜函數(shù)- -傅氏變換傅氏變換 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)45解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)462.1 信號系統(tǒng)基礎(chǔ) 2.3 隨機過程的一般表述 2.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征2.5 高斯噪聲 2.6 正弦波加窄帶高斯噪聲 2.7 隨機信號通過線

23、性系統(tǒng) 2.8 周期平穩(wěn)隨機過程 2.9 數(shù)理統(tǒng)計簡介 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)47課前回顧課前回顧信號分類、典型信號及信號運算；信號分類、典型信號及信號運算；周期信號傅里葉級數(shù)指數(shù)形式表示式；周期信號傅里葉級數(shù)指數(shù)形式表示式；非周期信號傅里葉變換與反變換表示式；非周期信號傅里葉變換與反變換表示式；幾種典型信號傅里葉變換；幾種典型信號傅里葉變換；傅里葉變換的時移特性和頻移特性；傅里葉變換的時移特性和頻移特性；解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)48課前回顧課前回顧0( )* ()?x ttt0( ) ()?x ttt dt傅里葉級數(shù)指數(shù)表示式？傅里葉級數(shù)指數(shù)表示式？傅里葉變換表示式？傅里葉變換表示

24、式？ 寫出高為寫出高為A寬度為寬度為 的矩形脈沖的頻譜函數(shù)并畫示意圖。的矩形脈沖的頻譜函數(shù)并畫示意圖。0 ()?Ftt時移特性時移特性 020 ()jftF x ttXf e02?jf tF e頻移特性頻移特性0j2f t0Fx(t)e = X(f - f )0cos(2)?Ff t00220cos(2)2jf tjf teef t解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)49n隨機事件：隨機事件：n在隨機試驗中，對一次試驗在隨機試驗中，對一次試驗可能可能出現(xiàn)也可能不出出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中卻具有某種現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中卻具有某種規(guī)律性規(guī)律性的的事事件件，稱為隨機事件。，稱為隨機事件。lim

25、( ), lim( ), lim( )CABNNNnnnP AP BP CNNNn概率：概率：n事件發(fā)生的相對事件發(fā)生的相對“頻率頻率”。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)50n事件積事件積(and)(and)n事件事件A A與與B B同時發(fā)生同時發(fā)生而構(gòu)成的事件，記作而構(gòu)成的事件，記作ABAB。nP(AB)P(AB)n事件和事件和(or)(or)n兩事件兩事件至少發(fā)生至少發(fā)生其中之一而構(gòu)成的事件，記作其中之一而構(gòu)成的事件，記作A+BA+B。nP(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB) 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)51n條件概率條件概率

26、n在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率用P(B|A)表示。即()(|)( )P ABP B AP A(|)( )P B AP B()( ) ( )P ABP A P Bn統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立n事件B的發(fā)生與事件A無關(guān)。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)521. 1. 隨機變量的定義隨機變量的定義定義：一個變量定義：一個變量X X，它隨機地取某些值，而每一可，它隨機地取某些值，而每一可能的取值有一個概率。能的取值有一個概率。 如果隨機變量如果隨機變量X X的取值數(shù)有限或可數(shù)，稱為的取值數(shù)有限或可數(shù)，稱為離離散隨機變量散隨機變量。如拋硬幣的正反面；二進制通信的如拋硬幣的正反面；二進制通信的0 0、1 1；

27、四進制通；四進制通信的信的0 0，1 1，2 2，3 3，都是等概出現(xiàn)的隨機變量。，都是等概出現(xiàn)的隨機變量。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)532 2、概率分布函數(shù)，、概率分布函數(shù)，( )()F xP Xx0)()(XPF1)()(XPF(1)21xx )()(21xFxF(2)如果 ，則 ，單調(diào)不減性質(zhì)：性質(zhì)：Cumulative Distribution Function即累積分布函數(shù)即累積分布函數(shù)(cdf): 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)54例例1 1 設(shè)隨機變量X有四個可能取值0、1、2、3，每個取值出現(xiàn)的概率相同為1/4，求其概率分布函數(shù)并畫出曲線。 1/41/23/410123例 1

28、圖( )F xx解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)553 3、概率密度函數(shù)、概率密度函數(shù) (pdf):( )( )/f xdF xdx( )( )xF xf u du0圖 概率密度函數(shù)x1x2x( )f x12()P xXx( )1f x dx(2)22112112( )( )( )()()()xxxxf x dxf x dxf x dxF xF xP xXx(3)性質(zhì)：性質(zhì)：( )0f x (1)Probability Density Function解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)56例例2 2 某隨機變量X，其概率分布函數(shù)如圖（a）所示。求其概率密度函數(shù)：x0ab1(a)(xF0abx(b)(xf

29、ab 10 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb0 1( ) 0 xaf xaxbbaxb解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)57( , )(,)F x yP Xx Yy二維概率分布函數(shù)：二維概率分布函數(shù)：2( , )( , )F x yf x yx y ( , )( , )xyF x yf u v dudv 二維概率密度函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：( , )0f x y ( , )1f x y dxdy (, )( ,)0FyF x ( , )( )()( ,)( )()FyF yP YyF xF xP Xx ( )( , )( )( , )f xf x y dyf yf x y dx性質(zhì)性質(zhì): :

30、 3 3、概率密度函數(shù)、概率密度函數(shù) (pdf):解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)58( , )( ) ( )f x yf x f y( , )( ) ( )F x yF x F y統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立: : 或或( , )( | ) ( )( | ) ( )f x yf y x f xf x y f y( , )( | ),( )0( )f x yf y xf xf x條件概率密度函數(shù)條件概率密度函數(shù) : :( | )( ),( | )( )f y xf yf x yf x獨立時：獨立時： 3 3、概率密度函數(shù)、概率密度函數(shù) (pdf):解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)59離散RV數(shù)學(xué)期望 :1()ni

31、iiE Xx P x()Yg X11 ()( ) ( )nniiiiiiE Yy P yg x P x( )E Xxf x dx ()( ) ( )E g Xg x f x dx()Yg X4 4、隨機變量的數(shù)字特征、隨機變量的數(shù)字特征對于函數(shù) :連續(xù)RV數(shù)學(xué)期望 :對于函數(shù) :解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)60方差：22() ()( )D XE Xaxaf x dx21()()niiiD XxaP x離散隨機變量方差：4 4、隨機變量的數(shù)字特征、隨機變量的數(shù)字特征反映隨機變量取值的集中程度反映隨機變量取值的集中程度222= D XE Xa, 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)61()()

32、 ( , )XYxayaf x y dxdy (, )()()XYCov X YE XaYaXYE XYa a4 4、隨機變量的數(shù)字特征、隨機變量的數(shù)字特征協(xié)方差協(xié)方差：反映兩個不同隨機變量取值之間的關(guān)系：反映兩個不同隨機變量取值之間的關(guān)系解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)62歸一化協(xié)方差 (相關(guān)系數(shù)):(, )XYCov X Y 1性質(zhì) : 若X、Y的相關(guān)系數(shù)為0，則稱X與Y是線性不相關(guān)的 統(tǒng)計獨立必不相關(guān)，反之未必4 4、隨機變量的數(shù)字特征、隨機變量的數(shù)字特征22()()() () XYXYE XaYaE XaE Ya解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)63abxf1)(0abx)(xfab 1x x在

33、（在（a,b)a,b)均勻分布均勻分布解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)64n隨機變量X服從指數(shù)分布：0,0;( )(0),0 xxf xex1E X21D X解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)65222)(21)(axexfx0a12 a2為數(shù)學(xué)期望；為方差。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)662)(exp21)(22axxfx0a21( )f xxa()()f axf ax（1）對稱于，即( )f xxa12x ( )0f x （2）在處取得最大值，當(dāng)( )1f x dx1( )( )2aaf x dxf x dx（3），且有a（4） 表示隨機變量取值的分布中心，表示取值集中程度。 00(a) 不變圖2-

34、19(b) 不變解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)67課后作業(yè)220/4tt edtnP58P58：1313、1414、1818|bbbaaaudvuvvdu獨立表示取值互不依賴、沒有關(guān)系，而顯然題中彼此取獨立表示取值互不依賴、沒有關(guān)系，而顯然題中彼此取值是相互依賴的；或證：值是相互依賴的；或證：( , )(,)() ()F x yP Xx YyP Xx P Yy如取如取可證。可證。2 /2xy解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)68解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)69解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)70課前回顧課前回顧隨機變量統(tǒng)計獨立的充要條件；隨機變量統(tǒng)計獨立的充要條件；離散與連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望；離散與連續(xù)

35、隨機變量的數(shù)學(xué)期望；離散與連續(xù)隨機變量的方差；離散與連續(xù)隨機變量的方差；兩個隨機變量的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)；兩個隨機變量的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)；統(tǒng)計獨立與相關(guān)的關(guān)系；統(tǒng)計獨立與相關(guān)的關(guān)系；隨機變量的隨機變量的cdf與與pdf；解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)71 通信中傳輸 的 信號信號 是 不可預(yù)測的 ，或者說帶有某種隨機性隨機性 ； 干擾 信號 的 噪聲噪聲 更是 不可預(yù)測的 。 這些 不可預(yù)測不可預(yù)測 的 信號 和 噪聲 都是 隨機過程隨機過程 。2.3 隨機過程的一般表述解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)72 例子：設(shè)有 n n 臺性能完全相同的接收機。在相同的工作環(huán)境和測試條件下記錄各臺接收機的輸出噪

36、聲波形，測試結(jié)果表明，n n 條曲線中找不到兩個完全相同的波形。這就是說，接收機輸出的噪聲電壓隨時間的變化是不可預(yù)知的，因而它是一個隨機過程。 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)73(2)(2)隨機過程是隨時間改變而不斷出現(xiàn)的隨機變量的集合。隨機過程是隨時間改變而不斷出現(xiàn)的隨機變量的集合。(1) (1) 隨機過程是以某一概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)的集合。隨機過程是以某一概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)的集合。 隨機隨機過程過程 (t) 的的 基本特征基本特征 體現(xiàn)在兩個方面：體現(xiàn)在兩個方面：其一，它是一個隨機的其一，它是一個隨機的 時間函時間函數(shù)數(shù)；其二，在固定某一觀察時；其二，在固定某一觀察時刻刻 t1 上，上，全體樣

37、本在全體樣本在 t1 時刻的時刻的取值取值 是是 一個一個隨機變量隨機變量。 p (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) (t1)是隨機變量。是隨機變量。隨機過程定義：隨機過程定義：解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)740若若 是一個離散隨機變量，且只取是一個離散隨機變量，且只取 和和 兩個值，兩個值，則此隨機過程樣本函數(shù)為有限個，即只有兩個樣本函數(shù)則此隨機過程樣本函數(shù)為有限個，即只有兩個樣本函數(shù) 。( )sin(2)cS tAf t,cAf02( )S t如信號如信號 ， 為常數(shù)，為常數(shù)， 是一個是一個隨機變量，它在隨機變量，它在 范圍內(nèi)均勻分布，稱這種信范圍內(nèi)均勻分布，稱這種信號為

38、隨相信號。顯然，號為隨相信號。顯然， 是一個隨機過程。是一個隨機過程。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)75 設(shè)(t) 表示 一 隨機過程，則它在任意時刻 t1的值(t1) 是一個隨機變量。11111;()PtxF x t 一維分布函數(shù)：一維分布函數(shù)：1111111(; )(; )Fxf xx tt 一維概率密度函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)76 任給 兩個時刻 t1, t2 ，則 隨機變量(t1) 和(t2)構(gòu)成 一個 二元二元 隨機變量隨機變量 ，則 121221212(,; ,)( ), ()PtxtxFxxt t 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) ：2212121221122(

39、,; ,(; ,),)F x x tfx x t ttxx 二維概率密度函數(shù)：二維概率密度函數(shù)： 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)77 同理，可定義(t) 的 n 維分布函數(shù)維分布函數(shù) 和 n 維概率密維概率密度函數(shù)度函數(shù) ：1212121212(,.; ,.,)(,.,; ,.,).nnnnnnnFx xt ttfx xxt ttxxx 顯顯然，然，n 越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越充分。充分。但問題的復(fù)雜性也隨之增加。但問題的復(fù)雜性也隨之增加。 在在 一般實際問一般實際問題題 中，中， 掌握掌握 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 就已經(jīng)就已經(jīng)足夠了。足夠了。 12

40、1211(,.,; ,.,) ( ), ()nnnnnFx xxt ttPtxtx 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)781. 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：1( )( ; )( )Etxfx t dxa t1111111()(;)()Etx fxtdxa t由于由于t t1 1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把 t t1 1 直接寫為直接寫為t t， x x1 1改為改為x x，a(t) 是時間是時間 t 的函數(shù)，它的函數(shù)，它 表示表示 隨機過程隨機過程 樣本函數(shù)樣本函數(shù) 曲線曲線 的的 擺動中心擺動中心 。 a (t )解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)792. 方 差： D(t) 常記為 2(t) 。它

41、 刻畫了 隨機過程 在時刻 t 對于均值 a(t) 的 偏離程度偏離程度 。22( )( )( ) ( )DtEta tt 均值和方差 描述了 隨機過程 在 的特征，為 描述 隨機過程 狀態(tài)之間的聯(lián)系，還需 利用 二維概率密度二維概率密度 引入 新的數(shù)字特征 .解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)803. 相關(guān)函數(shù)： 衡量 隨機過程 獲得的 隨機變量之間 的 關(guān)聯(lián)程度關(guān)聯(lián)程度 時 ，常用 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) R (t1 , t2) 來表示。相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 定義為 :1212122121212(,)() ()(,;,)R ttEttx x fxxttdx dx 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)812.4 2

42、.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征n如果對于任意的正整數(shù)n和任意實數(shù)t1，t2，tn，t，隨機過程(t)的n維概率密度函數(shù)滿足1212( ,; , ,)nnnfx xx t tt1212(,;,)nnnfxxxtt tttt 則稱(t)嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機過程嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱簡稱 嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機過程 。統(tǒng)計特性平穩(wěn)，不隨時間改變。 統(tǒng)計特性統(tǒng)計特性與起與起 始時始時間無關(guān)間無關(guān)一、嚴(yán)格平穩(wěn)隨機過程一、嚴(yán)格平穩(wěn)隨機過程解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)82一、嚴(yán)格平穩(wěn)隨機過程一、嚴(yán)格平穩(wěn)隨機過程 12121212( ,.,; , ,. )( ,.,;,.)n

43、nnnnnfx xx t ttfx xx tt tttt111( ; )( ;)( )f x tf x ttf x2121221212212(,; ,)(,;,)(,; )fx x t tfx x tt ttfx x1 ( )( )Etxf x dxa1221212( ,) ( ) ()(,; )( )R t tEttx x fx xdx dxR 從而：從而：故：故：一維分布與時間無關(guān)，二維只與時間差有關(guān)。一維分布與時間無關(guān)，二維只與時間差有關(guān)。2.4 2.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)83 如果一個隨機過程(t) ，它的 數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相

44、關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱它為 廣義平穩(wěn)隨機過程廣義平穩(wěn)隨機過程 。2.4 2.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征n在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)均可視為平穩(wěn)的隨機過程。二、廣義平穩(wěn)隨機過程二、廣義平穩(wěn)隨機過程 ( )Eta( ,)( )R t tR解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)84 假設(shè) x(t) 是 平穩(wěn)隨機過程(t) 的任意一個實現(xiàn)（樣本），它的 時間均值時間均值 和 時間相關(guān)函數(shù)時間相關(guān)函數(shù) 分別為： 221TTTax tx t dtT/( )lim( ) 221TTTRx t x tx t x tdtT/( )( ) ()lim( ) () 三、各態(tài)歷經(jīng)性三、各態(tài)

45、歷經(jīng)性如果 平穩(wěn) 隨機過程 使 下式成立 aa RR( )( ) 則稱 該 平穩(wěn) 隨機過程 具有 各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性）。2.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)85 “各態(tài)歷經(jīng)”的含義含義：隨機過程中任一實現(xiàn)（樣本）都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。 因此，只需從任意從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均”化為“時間平均時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。 注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程機過程，但平穩(wěn)隨

46、機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。2.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征三、各態(tài)歷經(jīng)性三、各態(tài)歷經(jīng)性解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)86( )0E X t2( ,)cos2AR t t所以，該過程滿足平穩(wěn)性條件，并具備各態(tài)歷經(jīng)性。所以，該過程滿足平穩(wěn)性條件，并具備各態(tài)歷經(jīng)性。2211limcos()0TTTaAtdtT2221( )lim( ) ()cos2TTTARx t x tdtT例題：例題： 討論隨機過程討論隨機過程X(t)=Acos(t+X(t)=Acos(t+) ) 的各態(tài)歷經(jīng)性。式的各態(tài)歷經(jīng)性。式中振幅中振幅A A為常量，初相為常量，初

47、相為在（為在（0 0，2 2 ）均勻分布的隨機）均勻分布的隨機變量。變量。平穩(wěn)平穩(wěn)RPRP2.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征三、各態(tài)歷經(jīng)性三、各態(tài)歷經(jīng)性解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)872.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征(1)(1)( )()RR|( )|(0)RR2(0)( )REtS22( ) ( ) () ( )REttEta 22222 ( )( )(0)EtaEtaRa四、自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)四、自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5) ( (t t) )的平均功率的平均功率 ( (t t) )的直流功率的直流功率 ( (t t) )的交流功率的交流功率解放軍理工大學(xué)解放軍

48、理工大學(xué)882.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征n定義：確定（知）功率信號定義：確定（知）功率信號f f(t(t) )，其功率譜密度，其功率譜密度P P( (f f) )定義為定義為2( )( )limTTFfP fT四、功率譜密度四、功率譜密度功率在頻率上的分布情況：功率在頻率上的分布情況：( )SP f df解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)892.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征2( ) ( )limTTEfPfT隨機過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)隨機過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的功率譜的統(tǒng)計平均，故計平均，故 ( (t t) )的功率譜密度可以定義為：的功率譜密度可以定義為：四

49、、功率譜密度四、功率譜密度n (t)(t)的平均功率的平均功率()SPfdf解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)902.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征平穩(wěn)隨機過程的維納辛欽定理平穩(wěn)隨機過程的維納辛欽定理四、功率譜密度四、功率譜密度2( )( )jfPfRed 2( )( )jfRPf edf ( )0Pf( )()PfPf性質(zhì)：性質(zhì)：)0()(RdffPS對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的平均功率：對功率譜密度進行積分，可得平穩(wěn)過程的平均功率：解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)912.4 平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征四、功率譜密度四、功率譜密度例例 隨機過程隨機過程 ，A A為常數(shù)，為常數(shù)，初相初相在（在（0

50、0，2 2 ）均勻分布。）均勻分布。其自相關(guān)函數(shù)為其自相關(guān)函數(shù)為 ，求此，求此隨機過程的隨機過程的psdpsd及其平均功率。及其平均功率。)2cos()(tfAtXc2A( )cos22cRf解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)92課后作業(yè)nP59P59：1919、2020、2424解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)93解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)94課前回顧課前回顧n隨機過程n平穩(wěn)隨機過程n平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性n平穩(wěn)RP自相關(guān)函數(shù)n平穩(wěn)RP的功率譜密度解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)95 高斯過程高斯過程是通信領(lǐng)域中最重要的一種過是通信領(lǐng)域中最重要的一種過程，例如通信中的噪聲（程，例如通信中的噪聲（天體輻

51、射等引起的天體輻射等引起的宇宙噪聲以及通信設(shè)備內(nèi)部電路產(chǎn)生的熱噪宇宙噪聲以及通信設(shè)備內(nèi)部電路產(chǎn)生的熱噪聲和散彈噪聲等聲和散彈噪聲等）, ,其其瞬時值通常服從高斯瞬時值通常服從高斯分布，分布，是一種高斯過程。是一種高斯過程。2.5 高斯噪聲(隨機過程)解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)962.5.1 高斯隨機過程定義：任意定義：任意n n維分布服從高斯（正態(tài)）分布的過程維分布服從高斯（正態(tài)）分布的過程1212/21/21112(,.,;, ,.,)11exp|2|(2 )|nnnnnjjkkjknjkjknfx xxt ttxaxa 1212121211|1nnnn ( )kkaEt22 ( )kkk

52、Eta( )kt|式中, , 分別是RV 的數(shù)學(xué)期望和方差。 是歸一化協(xié)方差（相關(guān)系數(shù)）矩陣的行列式( ( )( ( )jjkkjkjkEtata 其中： 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)971 1） 高斯隨機過程如果是高斯隨機過程如果是廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)的，則也是的，則也是嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)的。的。 ( (廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)) )2 2） 高斯隨機過程高斯隨機過程在任意兩個時刻的取值在任意兩個時刻的取值如果是如果是不相不相關(guān)關(guān)的，則也是統(tǒng)計的，則也是統(tǒng)計獨立獨立的。的。( (不相關(guān)不相關(guān)獨立獨立) )3 3） 若隨機過程任意時刻取值為高斯隨機變量，則為若隨機過程任意時刻取值為高斯隨機變量，則為

53、高斯隨機過程高斯隨機過程4 4） 高斯過程經(jīng)過線性變換后的過程仍是高斯型。高斯過程經(jīng)過線性變換后的過程仍是高斯型。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)98高斯過程 在 任一時刻 上 的 樣值樣值 是一個 一維一維 高斯隨高斯隨機變量機變量 ，其 一維概率密度函數(shù)一維概率密度函數(shù) 可表示為：22122()( )expxaf x 式中，a 為 高斯隨機變量 的 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，2 為 方差方差 。一維一維pdfpdf: :f (x)12Oax解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)9922122()( )()expxzaF xP Xxdz 這個積分 難于計算難于計算 ，我們要 設(shè)法 把 這個積分式 化成可在數(shù)學(xué)手冊

54、上查出積分值的 特殊函數(shù)特殊函數(shù). 一般 常用 Q函數(shù) 和 互補誤差函數(shù) ：一維一維cdfcdf: :解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)100(),( )1(),axQxaF xxaQxa0axx21)(xfx0 xa x21)(xfQ 函數(shù)：函數(shù)：22102/( ),txQ xedtx Q函數(shù)的性質(zhì)：1002( ),( )QQ 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)10111(),22( )1(),22xaerfcxaF xaxerfcxa從而從而2x 工程上只要，即可近似有工程上只要，即可近似有互補誤差函數(shù)互補誤差函數(shù) ：22( )txerfc xedt 互補誤差函數(shù)的性質(zhì)：010( ),( )erfce

55、rfc 21xerfc xex() 122xQ xerfc( ) 22( )erfc xQx 解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)102 窄帶隨機過程窄帶隨機過程:隨機過程的譜密度集中在中心頻率 f c附近相對窄的頻帶范圍f 內(nèi)，且滿足f f c ，并遠離 零頻率，則稱 該 隨機過程 為窄帶隨機過程。f0（a）功率譜cfcff解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)103（b）時間波形緩慢變化的包絡(luò)緩慢變化的包絡(luò)( )a t頻率近似為頻率近似為cff0（a）功率譜cfcff 實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的通過窄帶系統(tǒng)的噪聲必是窄帶隨機過程噪聲必是窄帶隨機過程。如用示波器觀察其波形，它是一個頻率

56、近似為 f f c c 、包絡(luò)和相位隨機緩變的正弦波。 窄帶隨機過程窄帶隨機過程:解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)104窄帶高斯噪聲：窄帶高斯噪聲：這里，只討論零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程，即這里，只討論零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程，即：( )( )cos( ),( )0cta ttta t隨機包絡(luò)包絡(luò)函數(shù)隨機相位相位函數(shù)慢速變化窄帶隨機過程的窄帶隨機過程的瞬時取值服從高斯分布瞬時取值服從高斯分布。0 ( )Et 2 ( )Dt ( ,)( )R t tR數(shù)學(xué)表示式：數(shù)學(xué)表示式：解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)105包絡(luò)包絡(luò) 的瞬時取值服從瑞利分布的瞬時取值服從瑞利分布 222()exp , 02aaf a a(

57、)1/2 , 02f(,)() ()f af af( )a t)(t相位相位 的瞬時取值服從均勻分布的瞬時取值服從均勻分布且二者的瞬時取值是統(tǒng)計獨立的，即且二者的瞬時取值是統(tǒng)計獨立的，即零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程：零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程：瑞利分布曲線 0()f aa1e解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)106零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程：零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程：( )cos( )sinccsctttt( )( )sin( )sta tt正交分量正交分量( )( )cos( )cta tt同相分量同相分量(1) (1) C C(t(t) )和和 S S(t(t) )同樣是同樣是平穩(wěn)高斯隨機過程平穩(wěn)高斯隨機過程，

58、(2) (2) 而且而且均值均值都為零，都為零，方差方差也相同，且等于也相同，且等于 (t)(t)的方差。的方差。(3) (3) 在同一時刻上得到的在同一時刻上得到的 C C、 S S是統(tǒng)計是統(tǒng)計獨立獨立的。的。( )( )cos( )cta ttt解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)107Psd:00( ),2( )nPfPfn雙邊功率譜單邊功率譜，0( )( )2nR (c) 自相關(guān)函數(shù))(R2/0n自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：n功率譜密度在整個頻域內(nèi)都是功率譜密度在整個頻域內(nèi)都是均勻分布均勻分布的噪聲。的噪聲。(a) 雙邊功率譜雙邊功率譜2/0nf( )Pf(b) (b) 單邊功率譜單邊功率譜0nf

59、( )Pf解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)108 白噪聲中白噪聲中“白白”的含義與光學(xué)中的的含義與光學(xué)中的“白白”相同，白光指相同，白光指 在在電磁輻射可見范圍電磁輻射可見范圍內(nèi)所有頻率分量的數(shù)值都內(nèi)所有頻率分量的數(shù)值都相等相等。 實際中，元器件熱噪聲頻率范圍為實際中，元器件熱噪聲頻率范圍為 0 1012 Hz，功率譜密度，功率譜密度在在該頻帶內(nèi)該頻帶內(nèi)基本均勻分布，近似為白噪聲。基本均勻分布，近似為白噪聲。 真正真正“白白”的噪聲是的噪聲是不存在不存在的，它只是構(gòu)造的一種理的，它只是構(gòu)造的一種理 想化的噪聲形式。想化的噪聲形式。 實際系統(tǒng)中，只要噪聲的實際系統(tǒng)中，只要噪聲的 功率譜功率譜 均勻分

60、布均勻分布 的的 頻率頻率 范圍范圍 遠遠大于遠遠大于 通信系統(tǒng)通信系統(tǒng) 的的 工作頻帶工作頻帶，就可以把它，就可以把它 視為視為 白噪聲。白噪聲。解放軍理工大學(xué)解放軍理工大學(xué)109Psd:02( )0n fBPf fB(a) 功率譜BB0( )P f2/0nf0(b) 自相關(guān)函數(shù)( )RBn0B21B21B22B22B23B23200( )(2)2BjfBnRedfn BSaB 自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：n功率譜在（功率譜在（- -B B, ,B B）之內(nèi)）之內(nèi)均勻分布均勻分布的噪聲。的噪聲。白噪聲通過理想白噪聲通過理想低通濾波器低通濾波器或理想或理想低通信道低通信道. .解放軍理工大學(xué)解放軍