概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)21隨機(jī)變量及其分布

1、 為了進(jìn)一步深入研究隨機(jī)現(xiàn)象, 在這一章里我們將引入隨機(jī)變量的概念. 由于隨機(jī)變量概念的引入，我們可利用微積分知識，更全面更深刻地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。在第一章里，我們討論了隨機(jī)事件及其概率，其中隨機(jī)事件都是用定性的語言描述的，與數(shù)學(xué)最基本的研究對象數(shù)及變量尚未建立直接聯(lián)系。 在許多帶有隨機(jī)因素的實(shí)際問題中，我們往往只關(guān)心某些數(shù)據(jù)，如電子元件的壽命、車站的候車人數(shù)等等. 此外人們還發(fā)現(xiàn)建立數(shù)和人或其他事物的對應(yīng)關(guān)系會(huì)帶來許多便利，比如每一個(gè)學(xué)生可以用一個(gè)學(xué)號與之對應(yīng)，城市的每一間房屋可以用一個(gè)門牌號與之對應(yīng)，工廠生產(chǎn)的同一種型號產(chǎn)品（如計(jì)算機(jī)可以用一個(gè)代碼與之對應(yīng)）. 同樣，建立數(shù)和基本事件

2、的對應(yīng)關(guān)系將有助于我們利用現(xiàn)有的一些數(shù)學(xué)方法對隨機(jī)現(xiàn)象作進(jìn)一步的研究.2.1 離散型離散型隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 1. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量2. 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量3. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布4. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布5. 泊松分布泊松分布6. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量 在許多隨機(jī)試驗(yàn)中，除試驗(yàn)結(jié)果之外，往往有另一個(gè)量與每個(gè)結(jié)果相關(guān)聯(lián)。如賭博時(shí)投擲硬幣，人們總是不加思素地將正面和反面轉(zhuǎn)化成贏和輸了多少錢； 再如，摸球中獎(jiǎng)活動(dòng)，人們摸中紅球、白球、黑球等時(shí)，總是和中幾等獎(jiǎng)、多少獎(jiǎng)金聯(lián)系起來。 這樣，就自然建立了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系。 有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)：有些

3、試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)：（1）擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；（4）七月份濟(jì)南的最高溫度；（2）每天到北京下火車的人數(shù)；（3）昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；盒中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)，考慮取得的白球數(shù)。 抽取的白球數(shù)有三個(gè)可能結(jié)果：0，1或2，對于不同的抽取次數(shù)其結(jié)果可能不同。為此，引入一個(gè)變量，用表示“抽取的白球數(shù)”，該變量的不同取值表達(dá)不同的隨機(jī)事件，如 （=0） 表示“抽取的3個(gè)球中無白球”； （=1） 表示“抽取的3個(gè)球中有1個(gè)白球”； （2）表示“抽取的3個(gè)球中至多有2個(gè)白球”。 在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果. 也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.

4、 例例: 拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面與反面的情況，則其有二個(gè)可能結(jié)果：出現(xiàn)正面H或出現(xiàn)反面T，其樣本空間為=H,T.這樣我們就將試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來了.HTXX10)(若我們在樣本空間上定義一個(gè)函數(shù):通常，我們用大寫字母X、Y、Z等表示隨機(jī)變量.引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量X描述事件定義定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間 ，如果對每一個(gè)樣本點(diǎn) ，都有唯一實(shí)數(shù) 與之對應(yīng)，則稱 為樣本空間 上的隨機(jī)變量.)(XX )(XX 例例在一批燈泡中任意抽取一只，測試其壽命，那么燈泡的壽命 (小時(shí))是一個(gè)隨機(jī)變量，顯然的一切可能取的值是非負(fù)實(shí)數(shù)值，即0, +) 而(=1200)，(5000)，(1500)

5、等都是隨機(jī)事件。由此可知，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用變量來表示，但這種“變量”與微積分中的“變量”是有區(qū)別的. 它有兩個(gè)特點(diǎn)：取值的隨機(jī)性，也就是說取哪一個(gè)值，在抽樣前無法確定；取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，也就是取這些值的概率是確定的。 隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的兩個(gè)主要問題：兩個(gè)主要問題： 研究隨機(jī)變量可能取哪些值； 研究隨機(jī)變量取這些值的概率各是多少。如在擲骰子試驗(yàn)中，用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則 “出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可表示為：X=2 X=4 X=6 “出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于”可表示為：X 4或X3 如“取到次品的個(gè)數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)”等.隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量有有限或可列無窮

6、多個(gè)所有取值，可以逐個(gè)一一列舉如“電視機(jī)的壽命”、實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.2. 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量), 2 , 1(,kxk, 2 , 1,)(kpxXPkkkx 把X可能取的值及相應(yīng)的概率列成表，如表2.1.1所示，稱表為X的概率分布表，或稱為分布列Xx1x2xkPp1p2pk隨機(jī)變量的分布律是指隨機(jī)變量所有可能的取值與取這些值的概率之間的一種對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系可用解析式（2.1.1）和分布列表示，還可用圖示法表示（圖2.1.1） 對于離散型隨機(jī)變量，概率分布中的pk必須滿足下列兩個(gè)性質(zhì)兩個(gè)性質(zhì)：1) 2 (,

7、 2 , 1, 0) 1 (1kkkpkp反過來，滿足上式的數(shù)pk也一定可作為離散型隨機(jī)變量的概率分布。例例2.1.1 設(shè)有10件產(chǎn)品，其中正品6件，次品4件，從中任取3件產(chǎn)品，用X表示從中取出的次品數(shù)，求其分布律.解：解：X表示3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X可能取的值是0,1,2,3，“X=k” (k=0,1,2,3) 表示事件“有k件次品”. 則301) 3(103) 2(21) 1(61) 0(3100634310162431026143103604CCCXPCCCXPCCCXPCCCXP其分布列為X0123P1/61/23/101/30隨機(jī)變量X的分布律可表示為. 3 , 2 , 1 , 0

8、)(310364kCCCkXPkk一般，在總共N件產(chǎn)品中，其中有M件次品，現(xiàn)從中任取n件（不放回地取），則這n件中所含的次品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其概率分布為lkCCCkXPnNknMNkM, 2 , 1 , 0)(其中通常稱這個(gè)概率分布為超幾何分布超幾何分布),min(nMl 例例2.1.2 從次品率為p的一批藥品中，有放回地一個(gè)一個(gè)抽取，直到抽到次品為止. 設(shè)X為所抽取的藥品次數(shù)，求X的概率分布.解解則，次抽取次品第設(shè), 2 , 1iiAiqpAPpAPii1)(,)(于是, 2 , 1,)()()()()()(1121121kpqAPAPAPAPAAAAPkXPkkkkk因?yàn)锳i之間

9、相互獨(dú)立上式是幾何級數(shù)的一般項(xiàng)，因此稱上式為幾何分布幾何分布顯然111)(11111qpqppqkXPkkkkk已知離散型隨機(jī)變量的分布列為求 （1） (-16)； （2） (=1)解解 （1）注意到在-110，p0.1時(shí)，就可用公式近似計(jì)算二項(xiàng)分布的概率（前）例（前）例2.1.4 設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.1，現(xiàn)獨(dú)立地射擊400次，求（1）最可能命中目標(biāo)的次數(shù)及相應(yīng)的概率；（2）至少3次命中目標(biāo)的概率.解解 因?yàn)?01. 0400 np4544!4!4)5()4()4() 1 (ekekXPXPXPkkkk查附表3（泊松分布表）得195367. 0371163. 0566530. 0)4

10、(XP761897. 0!4)3()2(43ekXPkk,2, 1,2iaiXPi求常數(shù)a.2.下面給出的數(shù)列能否成為某一隨機(jī)變量的分布列： 0.1,0.2,0.3,0.4.課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 a求:(1)a的值; (2)P(X1); (3)P(1X0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布)(PX記作 泊松分布是概率論中最重要的離散型隨機(jī)變量的分布之一，許多稀疏現(xiàn)象，如電話交換機(jī)的電話轉(zhuǎn)接次數(shù)、放射性物質(zhì)每分鐘分裂的原子數(shù)、在一寄生動(dòng)物的宿主上寄生物的數(shù)目等都服從泊松分布。所以泊松分布又稱為稀疏現(xiàn)象律 泊松分布是法國數(shù)學(xué)家泊

11、松（Poisson）研究二項(xiàng)分布在一定條件下的極限分布時(shí)而發(fā)現(xiàn)的?？沈?yàn)證泊松分布滿足分布律的兩條性質(zhì)：1)() 2 (, 2 , 1 , 0, 0)() 1 (0kkXPkkXP泊松分布圖的上升、下降情況與二項(xiàng)分布相仿。由kkXPkXP) 1()(可看出，若不是整數(shù)，泊松分布的最可能值為；若是整數(shù)，泊松分布的最可能值為或-1.例例2.1.6 某電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從=5的泊松分布，試求一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過6次的概率。一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)不超過6次的概率為XP(5)，于是解解 設(shè)每分鐘電話交換臺(tái)接到的呼叫次數(shù)為X，則5!5)(ekkXPk7622. 02378. 01!51)()6(5

12、760ekkXPXPkkk查泊松分布表解解（1）保險(xiǎn)公司在該項(xiàng)業(yè)務(wù)中的收入為 1202500300000元 設(shè)在這一年中死亡人數(shù)為x，則保險(xiǎn)公司要支付賠償金20000 x元 ，只要20000 x 300000 即x 15人，保險(xiǎn)公司在辦理該項(xiàng)業(yè)務(wù)上就虧本。例例2.1.7 保險(xiǎn)問題：人群出現(xiàn)意外事故的概率為0.002，現(xiàn)有2500人參加這種保險(xiǎn)，規(guī)定參加該項(xiàng)保險(xiǎn)的人每年交保險(xiǎn)金120元，若在一年內(nèi)被保人出現(xiàn)意外，保險(xiǎn)公司賠償20000元。試問（1）保險(xiǎn)公司在辦理該項(xiàng)業(yè)務(wù)上虧本的概率是多少？（2）該項(xiàng)業(yè)務(wù)獲利不少于10萬元的概率有多大？設(shè)出現(xiàn)事故人數(shù)為X，則)002. 0 ,2500( BX因?yàn)閚

13、較大，p較小，且5np故5525001625001625002500109 . 6!5998. 0002. 0)16()15(ekCXPXPkkkkkk（2）該項(xiàng)業(yè)務(wù)獲利不少于10萬元，即3000020000 x100000，x10人，故9863. 00137. 01)11(1)10(1)10(XPXPXP由此可看出，保險(xiǎn)公司在辦理該項(xiàng)業(yè)務(wù)虧本的風(fēng)險(xiǎn)很小，贏利10萬元以上的可能性接近99稱為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)F(x)是x的一個(gè)普通的函數(shù)！定義域?yàn)椋浚?）；值域?yàn)椋?)()(x X P xF6. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)xxx F(x)是一個(gè)不減函數(shù)，且 F(x+0)=F(x), 即 F(x)是右連續(xù)的。注注：若將分布函數(shù)定義為：F(x) = P X x 性質(zhì)將改為左連續(xù)1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx0（ab對于離散型隨機(jī)變量X), 2 , 1()(kpxX PkkxxkxxkkkpxXPx X P xF)()()(由分布函數(shù)的定義及概率加法公式得（前）例（前）例2.1.1 設(shè)有10件產(chǎn)品，其中正品6件，次品4件，從中任取3件產(chǎn)品，用X表示從中取出的次品數(shù)，求其分布律. 求X的分布函數(shù)并作出圖形.X0123