理論力學(xué)第13章

1、 理論力學(xué) 河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院工程力學(xué)系河南科技大學(xué)土木工程學(xué)院工程力學(xué)系 任課教師：張耀強(qiáng)任課教師：張耀強(qiáng)第第 13 13 章章 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾生平達(dá)朗貝爾生平達(dá)朗貝爾（達(dá)朗貝爾（J.dAlembert，17171783，法國）。達(dá)朗貝爾是法國著名的法國）。達(dá)朗貝爾是法國著名的物理學(xué)家物理學(xué)家、數(shù)數(shù)學(xué)家學(xué)家和和天文學(xué)家天文學(xué)家，他一生研究了大量課題，完，他一生研究了大量課題，完成了涉及多個科學(xué)領(lǐng)域的論文和專著，其中最成了涉及多個科學(xué)領(lǐng)域的論文和專著，其中最著名的有著名的有8卷巨著卷巨著數(shù)學(xué)手冊數(shù)學(xué)手冊、力學(xué)專著、力學(xué)專著動力學(xué)動力學(xué)、23卷的卷的文集文集、百科全書百科全書的序言等

2、等。他的很多研究成果記載于的序言等等。他的很多研究成果記載于宇宙宇宙體系的幾個要點(diǎn)研究體系的幾個要點(diǎn)研究中。達(dá)朗貝爾生前為人中。達(dá)朗貝爾生前為人類的進(jìn)步與文明做出了巨大的貢獻(xiàn)，也得到了類的進(jìn)步與文明做出了巨大的貢獻(xiàn)，也得到了許多榮譽(yù)。但在他臨終時，卻因?yàn)榻虝淖钃显S多榮譽(yù)。但在他臨終時，卻因?yàn)榻虝淖钃隙鴽]有舉行任何形式的葬禮。而沒有舉行任何形式的葬禮。達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理為解決動力學(xué)問為解決動力學(xué)問題提供了題提供了另一種求解的方法另一種求解的方法。這種。這種方法的特點(diǎn)是：方法的特點(diǎn)是：用靜力學(xué)研究平衡用靜力學(xué)研究平衡問題的方法來研究動力學(xué)的不平衡問題的方法來研究動力學(xué)的不平衡問題，問題，

3、因此這種方法也叫因此這種方法也叫動靜法動靜法。由于靜力學(xué)研究平衡問題的方由于靜力學(xué)研究平衡問題的方法比較簡單，也易于掌握，因此動法比較簡單，也易于掌握，因此動靜法在工程中被廣泛使用。靜法在工程中被廣泛使用。引引言言設(shè)一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為設(shè)一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,加速度為加速度為a,作用于質(zhì)點(diǎn)的主作用于質(zhì)點(diǎn)的主動力為動力為F,約束力為約束力為FN。由牛頓第二定律，有。由牛頓第二定律，有將上式改寫成將上式改寫成令令I(lǐng)m Fa13.1.1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理Nm aFFN0mFFaFI具有力的量綱，且與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，稱其具有力的量綱，且與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，稱其為質(zhì)點(diǎn)的為質(zhì)點(diǎn)的慣性力慣性力。它的大小等

4、于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與。它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度方向相反。加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度方向相反。FImFFNa13.1 達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理即：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的任一瞬時，作用在質(zhì)點(diǎn)即：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的任一瞬時，作用在質(zhì)點(diǎn)上的上的主動力主動力、約束力約束力和和假想加在質(zhì)點(diǎn)上的假想加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力慣性力構(gòu)成了構(gòu)成了形式上形式上的平衡力系。這就是的平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。則有則有NI0FFF應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，質(zhì)點(diǎn)并非處于平衡應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，質(zhì)點(diǎn)并非處于平衡狀態(tài)，這樣做的目的是將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)狀態(tài)，這樣做的目的是將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題求解?；癁殪o力學(xué)問

5、題求解。達(dá)朗貝爾原理與達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)虛位移原理構(gòu)成了分析力學(xué)的基礎(chǔ)。球磨機(jī)的滾筒以勻角速度球磨機(jī)的滾筒以勻角速度w w繞水平軸繞水平軸O轉(zhuǎn)動，內(nèi)轉(zhuǎn)動，內(nèi)裝鋼球和需要粉碎的物料，鋼球被筒壁帶到一定高裝鋼球和需要粉碎的物料，鋼球被筒壁帶到一定高度脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊度脫離筒壁，然后沿拋物線軌跡自由落下，從而擊碎物料，如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為碎物料，如圖。設(shè)滾筒內(nèi)壁半徑為r，試求鋼球的脫，試求鋼球的脫離角離角。解：以某一尚未脫離筒壁的鋼球?yàn)檠芯繉ο蠼猓阂阅骋簧形疵撾x筒壁的鋼球?yàn)檠芯繉ο?受力受力如圖。如圖。0a2narw慣性力的大小為慣性力的大小為O

6、Mrw wq qFsFNmgFI2InFmamrw鋼球未脫離筒壁前鋼球未脫離筒壁前,作圓周運(yùn)動，作圓周運(yùn)動，其加速度為其加速度為例例加上慣性力后，由達(dá)朗貝爾原理加上慣性力后，由達(dá)朗貝爾原理nNI0:cos0FFmgFq2N(cos )rFmggwq這就是鋼球在任一位置這就是鋼球在任一位置q q 時所受的法向反力，時所受的法向反力，顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時，顯然當(dāng)鋼球脫離筒壁時，F(xiàn)N0，由此可求出，由此可求出其脫離角其脫離角為為2arccos()rgwqOMrw wq qFsFNmgFI該式表明該式表明:質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)系中每個質(zhì)點(diǎn)每個質(zhì)點(diǎn)上作用的主動力、上作用的主動力、約束力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力

7、系。這就約束力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理(形式形式1)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，對每一個質(zhì)點(diǎn)個質(zhì)點(diǎn)組成，對每一個質(zhì)點(diǎn)i，有，有NI0 ( 1,2,., ) iiiFFFin13.1.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理這樣的方程共有這樣的方程共有n個，代表個，代表n個平衡力系，個平衡力系，相加后仍然為一平衡力系。由靜力學(xué)知，空間相加后仍然為一平衡力系。由靜力學(xué)知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對于任一點(diǎn)的主矩等于零，即對于任一點(diǎn)的主矩等于零，即由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對存在

8、，且等值由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對存在，且等值、反向、共線，因此上式中、反向、共線，因此上式中不包含內(nèi)力不包含內(nèi)力。由此可得：由此可得：NI0 iiiFFFNI()()()0 OiOiOiMFMFMF作用在質(zhì)點(diǎn)系中所有的主動力、約束力和作用在質(zhì)點(diǎn)系中所有的主動力、約束力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理的達(dá)朗貝爾原理(形式形式2)。13.2 剛體慣性力系的簡化剛體慣性力系的簡化對于對于剛體這種特殊的質(zhì)點(diǎn)系剛體這種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，每個質(zhì)，每個質(zhì)點(diǎn)均受到慣性力的作用，這些慣性力形成點(diǎn)均受到慣性力的作用，這些慣性力形成一個力系，如果先利用靜力

9、學(xué)的力系簡化一個力系，如果先利用靜力學(xué)的力系簡化理論，求出慣性力系的主矢和主矩，會給理論，求出慣性力系的主矢和主矩，會給解題帶來方便，這里分別討論解題帶來方便，這里分別討論剛體平移剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動和和平面運(yùn)動平面運(yùn)動時慣性力系的簡化。時慣性力系的簡化。13.2.1 剛體作平移剛體作平移故平移剛體的慣性力系可以簡化為故平移剛體的慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心通過質(zhì)心的合力的合力，其大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘，其大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度方向相反。積，方向與加速度方向相反。剛體作平移時，質(zhì)心的加速度剛體作平移時，質(zhì)心的加速度aC如圖，如圖，CmaIRF IRF13.2.2

10、 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動w wa a工程中繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體工程中繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體常常有質(zhì)量對稱平面常常有質(zhì)量對稱平面且該且該平面與轉(zhuǎn)軸垂直。平面與轉(zhuǎn)軸垂直。w wa aO當(dāng)剛體有質(zhì)量對稱平面且繞垂直于此對稱當(dāng)剛體有質(zhì)量對稱平面且繞垂直于此對稱面的軸作定軸轉(zhuǎn)動面的軸作定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化為時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化為此對稱面內(nèi)的一個力和一個力偶。這個力等于此對稱面內(nèi)的一個力和一個力偶。這個力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸作用線通過轉(zhuǎn)軸。這個力偶的矩等于這個力偶的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛

11、體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。IRCm FaIOOMJa aCOwaCFIRMIO三種特殊情況：三種特殊情況：1.當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時時, aC0, FIR0,MIOJCa a。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。此時慣性力系簡化為一慣性力偶。waCMIO2.當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動時當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動時,a a0，若轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)若轉(zhuǎn)軸不過質(zhì)心，慣性力系簡化為一慣性力心，慣性力系簡化為一慣性力FIR，且，且FIRmaC，同時力的作用線通過轉(zhuǎn)軸，同時力的作用線通過轉(zhuǎn)軸O。aCOwCFIR3.當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動且轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心當(dāng)剛體作勻速轉(zhuǎn)動且

12、轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心C時時,FIR0，MIO0，慣性力系自成平衡力系。，慣性力系自成平衡力系。13.2.3 剛體作平面運(yùn)動剛體作平面運(yùn)動工程中工程中,作平面運(yùn)動的剛體作平面運(yùn)動的剛體常常有質(zhì)量對常常有質(zhì)量對稱平面稱平面,且平行于此平面運(yùn)動且平行于此平面運(yùn)動。當(dāng)剛體作。當(dāng)剛體作平面運(yùn)動時平面運(yùn)動時,其上各質(zhì)點(diǎn)慣性力組成的空其上各質(zhì)點(diǎn)慣性力組成的空間力系間力系,可簡化為可簡化為在質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平在質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平面力系面力系。取質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平面圖形如圖所示取質(zhì)量對稱平面內(nèi)的平面圖形如圖所示,取取質(zhì)質(zhì)心心C為基點(diǎn)，設(shè)質(zhì)心的加速度為為基點(diǎn)，設(shè)質(zhì)心的加速度為aC,繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度為的角速度為

13、w w,角加速度為角加速度為a a,此時慣性力系向此時慣性力系向質(zhì)質(zhì)心心C簡化的簡化的結(jié)果結(jié)果為為ICCMJa FIRMICCaCw wa aIRCm Fa有質(zhì)量對稱平面的剛體，平行于此平面運(yùn)動有質(zhì)量對稱平面的剛體，平行于此平面運(yùn)動時時,剛體的慣性力系簡化為在此平面內(nèi)的一個剛體的慣性力系簡化為在此平面內(nèi)的一個力和一個力偶。力和一個力偶。這個力通過質(zhì)心這個力通過質(zhì)心，其大小等其大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)心加速度的方向相反與質(zhì)心加速度的方向相反;這個力偶的矩等于這個力偶的矩等于剛體對過質(zhì)心且垂直剛體對過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對稱面的軸于質(zhì)量對稱

14、面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。轉(zhuǎn)向與角加速度相反。DBA如圖所示，均質(zhì)桿如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量的質(zhì)量m40kg，長，長l4m，點(diǎn)，點(diǎn)A以鉸鏈連接于小車上。以鉸鏈連接于小車上。不計摩擦不計摩擦，當(dāng)小車以加速度，當(dāng)小車以加速度a15m/s2向左運(yùn)動時，求桿向左運(yùn)動時，求桿AB中點(diǎn)中點(diǎn)D處和鉸鏈處和鉸鏈A處的處的約束力約束力(此時桿此時桿AB與與D處接觸處接觸)。解：以桿為研究對象，受力如解：以桿為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。圖，建立如圖坐標(biāo)。桿作平移桿作平移,慣性力的大小為慣性力的大小為FIRma。假想地加上慣性力。假想地加上慣性力IR

15、()0cos30sin300222ADMlllmgFFFFIRA30DB1maaFDmgFAxFAyxy例例由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理IR0sin300 xAxDFFFF0cos300yAyDFFFmg代入數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù), , 解之得：解之得：617.9N357.82N39.47NAxAyDFFF DBAFIRaFDmgFAxFAyxy于是得于是得( cos30sin30 )DFm gaj jOxyCBA質(zhì)量為質(zhì)量為m,長為長為l的均質(zhì)直桿的均質(zhì)直桿AB的一端的一端A焊接于半徑為焊接于半徑為r的圓盤的圓盤邊緣上邊緣上,如圖。今圓盤以角加速度如圖。今圓盤以角加速度a a繞其中心繞

16、其中心O轉(zhuǎn)動。求圓盤轉(zhuǎn)動。求圓盤剛剛開始轉(zhuǎn)動開始轉(zhuǎn)動時，桿時，桿AB上焊接點(diǎn)上焊接點(diǎn)A處的約束力。處的約束力。解解:以桿為研究對象以桿為研究對象,受力如圖。受力如圖。22( )2CCaaOClraa將慣性力系向?qū)T性力系向轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸O簡簡化，慣性力的大小為化，慣性力的大小為a aOrABla amgaCFIRMIOFAxFAyMA例例圓盤圓盤剛開始轉(zhuǎn)動時，剛開始轉(zhuǎn)動時，=0=0a aOrABl22IR( )2ClFmam ra2I22222()1()1241()3OOCMJJm OClmlm rmlmraaaaj jOxyCBAa amgaCFIRMIOFAxFAyMA由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理由質(zhì)

17、點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理IR0sin0 xAxFFFjIR0cos0yAyFFFmgjIIR()0sin02AAOlMMMmgFrjF22sin4rlrj22cos24llrj將已知數(shù)值代入以上三式，解之得將已知數(shù)值代入以上三式，解之得AxFmra2AylFmgma21123AMmglmlaj jOxyCBAa amgaCFIRMIOFAxFAyMABCABMlC均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB長長l，重，重W，B端與重端與重G、半徑為、半徑為r的均質(zhì)圓輪鉸接。在的均質(zhì)圓輪鉸接。在圓輪上作用一矩為圓輪上作用一矩為M的力偶，借助于細(xì)繩提升重為的力偶，借助于細(xì)繩提升重為P的重物的重物C。試求重物試求重物C的加速度及固定

18、端的加速度及固定端A處的約束力處的約束力。解：先以解：先以輪和重物輪和重物為研究對象為研究對象,受力受力如圖。假想地加上慣性力如圖。假想地加上慣性力2I122BBGaGrMJragrgaIPFag由質(zhì)點(diǎn)系的由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理aMGFBxFByMIBPFIII()0()0BBMMMr PFF2()(2 )MPragr GP代入代入MIB 和和FI得得例例再以整體為研究對象，假想地加上全部慣性力再以整體為研究對象，假想地加上全部慣性力00 xAxFFI00yAyFFWGPFI()0()()02AAIBMlMWGlMMPFlrFBCAaMGFAxFAyMIBPFIWMA A2()(2 )AyMrPFWGPPr GP()2()()2(2 )(2 )AWMrPrGMMlGMGlrPGPr GP代入代入MIB 和和FI解得解得由質(zhì)點(diǎn)系的由質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理達(dá)朗貝爾原理在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為均為均質(zhì)物體，各重為P1和和P2，半徑均為，半徑均為R，繩子不，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角可伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角q q ，如在鼓輪上作用，如在鼓輪上作用一常力偶矩一常力偶矩M，試求：，試求：(1)