深化數(shù)學(xué)課改落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1、深化數(shù)學(xué)課程深化數(shù)學(xué)課程改革改革落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍一、一、課改的背景課改的背景和任務(wù)和任務(wù) 教教育育改改革革是是社會(huì)發(fā)展改革社會(huì)發(fā)展改革整體的整體的有機(jī)組成有機(jī)組成部分部分，以，以國(guó)家社會(huì)發(fā)展改革為背景，要結(jié)國(guó)家社會(huì)發(fā)展改革為背景，要結(jié)合國(guó)家社會(huì)發(fā)展與改革的需要來(lái)思考合國(guó)家社會(huì)發(fā)展與改革的需要來(lái)思考。 進(jìn)入進(jìn)入國(guó)家治理國(guó)家治理階段，與國(guó)家統(tǒng)治、國(guó)家主階段，與國(guó)家統(tǒng)治、國(guó)家主導(dǎo)階段不同，導(dǎo)階段不同，最最根本的著眼點(diǎn)是深化綜合根本的著眼點(diǎn)是深化綜合改革，理順各方面的關(guān)系改革，理順各方面的關(guān)系。教育。教育改革也要改革也要抓住抓住“深化深化”、“

2、綜合綜合”的要求而持續(xù)推的要求而持續(xù)推進(jìn)。進(jìn)。五中全會(huì)精神五中全會(huì)精神 十八屆五中全會(huì)公報(bào)中，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、十八屆五中全會(huì)公報(bào)中，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色、開(kāi)放、共享的發(fā)展理念綠色、開(kāi)放、共享的發(fā)展理念。 堅(jiān)持創(chuàng)新發(fā)展，必須把創(chuàng)新擺在國(guó)家發(fā)展堅(jiān)持創(chuàng)新發(fā)展，必須把創(chuàng)新擺在國(guó)家發(fā)展全局的核心位置，不斷推進(jìn)理論創(chuàng)新、制全局的核心位置，不斷推進(jìn)理論創(chuàng)新、制度創(chuàng)新、科技創(chuàng)新、文化創(chuàng)新等各方面創(chuàng)度創(chuàng)新、科技創(chuàng)新、文化創(chuàng)新等各方面創(chuàng)新，讓創(chuàng)新貫穿黨和國(guó)家一切工作，讓創(chuàng)新，讓創(chuàng)新貫穿黨和國(guó)家一切工作，讓創(chuàng)新在全社會(huì)蔚然成風(fēng)。新在全社會(huì)蔚然成風(fēng)。 推動(dòng)物質(zhì)文明和精神文明協(xié)調(diào)發(fā)展，加快推動(dòng)物質(zhì)文明和精神文明協(xié)調(diào)發(fā)展

3、，加快文化改革發(fā)展，加強(qiáng)社會(huì)主義精神文明建文化改革發(fā)展，加強(qiáng)社會(huì)主義精神文明建設(shè)，建設(shè)社會(huì)主義文化強(qiáng)國(guó)，加強(qiáng)思想道設(shè)，建設(shè)社會(huì)主義文化強(qiáng)國(guó)，加強(qiáng)思想道德建設(shè)和社會(huì)誠(chéng)信建設(shè)，增強(qiáng)國(guó)家意識(shí)、德建設(shè)和社會(huì)誠(chéng)信建設(shè)，增強(qiáng)國(guó)家意識(shí)、法治意識(shí)、社會(huì)責(zé)任意識(shí)，倡導(dǎo)科學(xué)精神，法治意識(shí)、社會(huì)責(zé)任意識(shí)，倡導(dǎo)科學(xué)精神，弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)美德弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)美德。 開(kāi)放發(fā)展，提高教育質(zhì)量，推動(dòng)義務(wù)教育開(kāi)放發(fā)展，提高教育質(zhì)量，推動(dòng)義務(wù)教育均衡發(fā)展，普及高中階段教育，逐步分類(lèi)均衡發(fā)展，普及高中階段教育，逐步分類(lèi)推進(jìn)中等職業(yè)教育免除學(xué)雜費(fèi)，率先從建推進(jìn)中等職業(yè)教育免除學(xué)雜費(fèi)，率先從建檔立卡的家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生實(shí)施普通高中檔立卡的家庭經(jīng)

4、濟(jì)困難學(xué)生實(shí)施普通高中免除學(xué)雜費(fèi)，實(shí)現(xiàn)家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助免除學(xué)雜費(fèi)，實(shí)現(xiàn)家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生資助全覆蓋。全覆蓋。提高教育質(zhì)量提高教育質(zhì)量 “全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人全面貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，加強(qiáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀教育，根本任務(wù)，加強(qiáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀教育，培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人。深化教育改革，把增強(qiáng)學(xué)生社和接班人。深化教育改革，把增強(qiáng)學(xué)生社會(huì)責(zé)任感、創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力作為重點(diǎn)會(huì)責(zé)任感、創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力作為重點(diǎn)任務(wù)貫徹到國(guó)民教育全過(guò)程。任務(wù)貫徹到國(guó)民教育全過(guò)程?！?“推動(dòng)義務(wù)教育均衡發(fā)展，全面提高教育推動(dòng)義務(wù)教

5、育均衡發(fā)展，全面提高教育教學(xué)質(zhì)量教學(xué)質(zhì)量?！?我國(guó)教育的規(guī)模問(wèn)題已經(jīng)解決。我國(guó)教育的規(guī)模問(wèn)題已經(jīng)解決。2010年教年教育發(fā)展與改革的中長(zhǎng)期規(guī)劃綱要中提出，育發(fā)展與改革的中長(zhǎng)期規(guī)劃綱要中提出，我國(guó)教育面臨的主要任務(wù)是解決內(nèi)涵質(zhì)量我國(guó)教育面臨的主要任務(wù)是解決內(nèi)涵質(zhì)量的問(wèn)題，解決育人模式改革的問(wèn)題。這就的問(wèn)題，解決育人模式改革的問(wèn)題。這就需要在已有課改的基礎(chǔ)上深化改革，而我需要在已有課改的基礎(chǔ)上深化改革，而我們面臨的問(wèn)題錯(cuò)綜復(fù)雜，許多都是們面臨的問(wèn)題錯(cuò)綜復(fù)雜，許多都是兩難問(wèn)兩難問(wèn)題，因此改革具有綜合性，需要整體考慮題，因此改革具有綜合性，需要整體考慮。目前高中課程目前高中課程存在存在的的問(wèn)題問(wèn)題 高

6、中高中定位不定位不清清； 課程課程容量偏容量偏大大； 操作性操作性較差較差、保障、保障條件跟條件跟不上不上； 被被高考高考綁架綁架。深化課程改革的原則深化課程改革的原則 堅(jiān)持方向堅(jiān)持方向 總結(jié)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)經(jīng)驗(yàn) 深化改革深化改革 完善方案完善方案 便于便于實(shí)施實(shí)施核心任務(wù)：立德樹(shù)人核心任務(wù)：立德樹(shù)人 以核心素養(yǎng)為綱以核心素養(yǎng)為綱 中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)：學(xué)生學(xué)生發(fā)展核心素發(fā)展核心素養(yǎng)，是指學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和養(yǎng)，是指學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力能力。 三三大領(lǐng)域的大領(lǐng)域的9 9大大素養(yǎng)素養(yǎng)：社會(huì)社會(huì)參與領(lǐng)域

7、的社會(huì)責(zé)參與領(lǐng)域的社會(huì)責(zé)任、國(guó)家認(rèn)同、國(guó)際任、國(guó)家認(rèn)同、國(guó)際理解理解；文化文化修養(yǎng)領(lǐng)域的人修養(yǎng)領(lǐng)域的人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、審美文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、審美情趣情趣；自主自主發(fā)展領(lǐng)域發(fā)展領(lǐng)域的身心健康、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、實(shí)踐創(chuàng)新。的身心健康、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、實(shí)踐創(chuàng)新。 學(xué)科學(xué)科核心核心素養(yǎng)素養(yǎng)學(xué)科為學(xué)生提供什么、學(xué)科為學(xué)生提供什么、知識(shí)忘記了剩下的是知識(shí)忘記了剩下的是什么什么。 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分?jǐn)?shù)據(jù)分析析。 不是去學(xué)科化，而是學(xué)科本質(zhì)化，學(xué)科要不是去學(xué)科化，而是學(xué)科本質(zhì)化，學(xué)科要做出哪些獨(dú)特做

8、出哪些獨(dú)特貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)； 不是不是為了考試的為了考試的功功利利性性目標(biāo)。目標(biāo)。高中定位高中定位 是基礎(chǔ)教育的最后階段，是基礎(chǔ)教育的特是基礎(chǔ)教育的最后階段，是基礎(chǔ)教育的特殊階段殊階段。 是是學(xué)生學(xué)生成長(zhǎng)成長(zhǎng)的關(guān)鍵階段，是少年到成人的的關(guān)鍵階段，是少年到成人的轉(zhuǎn)折期轉(zhuǎn)折期。 人生觀人生觀、價(jià)值觀、世界觀的形成、價(jià)值觀、世界觀的形成階段。階段。 是是人人的的徹底分化徹底分化階段階段（性向形成性向形成），完成完成啟蒙啟蒙。高中課程高中課程 為適應(yīng)社會(huì)生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展做為適應(yīng)社會(huì)生活、高等教育和職業(yè)發(fā)展做好準(zhǔn)備好準(zhǔn)備 與高中與高中普及普及一致：一致：基礎(chǔ)性基礎(chǔ)性、多樣性、選擇、多樣性、選擇性性 與新

9、與新高考高考一致：一致：分類(lèi)分類(lèi)考試、綜合評(píng)價(jià)、多考試、綜合評(píng)價(jià)、多元元錄取錄取，由由考學(xué)生的考學(xué)生的短短轉(zhuǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)變?yōu)榭紝W(xué)考學(xué)生的長(zhǎng)生的長(zhǎng)新一輪教材編寫(xiě)（修訂）新一輪教材編寫(xiě)（修訂） 內(nèi)容選擇，既關(guān)注學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，又內(nèi)容選擇，既關(guān)注學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，又以培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)為綱以培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)為綱。 內(nèi)容呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的內(nèi)容呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)觀觀，凸顯教科書(shū)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的腳手凸顯教科書(shū)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的腳手架架。 過(guò)于過(guò)于把教科書(shū)作為圣經(jīng)是不必要的把教科書(shū)作為圣經(jīng)是不必要的，但它但它是是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的的關(guān)鍵關(guān)鍵工具工具。二、二

10、、數(shù)學(xué)課改的主要任務(wù)數(shù)學(xué)課改的主要任務(wù) 十八大提出的十八大提出的“教育的根本任務(wù)在于立德教育的根本任務(wù)在于立德樹(shù)人樹(shù)人”就是整個(gè)教育改革的核心任務(wù)就是整個(gè)教育改革的核心任務(wù)。 數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是“數(shù)學(xué)育人數(shù)學(xué)育人”。 如何如何把這個(gè)要求把這個(gè)要求在在數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)教育中中落實(shí)下來(lái)落實(shí)下來(lái)，在在教學(xué)中體現(xiàn)教學(xué)中體現(xiàn)出來(lái)出來(lái)，在課堂中，在課堂中實(shí)施下去實(shí)施下去？ 要要把把“立德樹(shù)人立德樹(shù)人”的要求具體化，體現(xiàn)在的要求具體化，體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程中，轉(zhuǎn)化為一種可操教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程中，轉(zhuǎn)化為一種可操作的行動(dòng)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的作的行動(dòng)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)育人的具體具體措施措施。 從教育

11、部的頂層設(shè)計(jì)看，數(shù)學(xué)學(xué)科的從教育部的頂層設(shè)計(jì)看，數(shù)學(xué)學(xué)科的“立德樹(shù)立德樹(shù)人人”目標(biāo)，首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)目標(biāo)，首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)上上。 義教課標(biāo)中義教課標(biāo)中提出提出了了八八個(gè)個(gè)“核心概念核心概念”：數(shù)感、：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想；思想； 高中高中課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核課標(biāo)修訂組進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。 數(shù)學(xué)

12、課改的數(shù)學(xué)課改的核心核心任務(wù)任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，心素養(yǎng)，要有具體措施要有具體措施，要要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)在養(yǎng)的培育落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)。各個(gè)環(huán)節(jié)。三、三、提升提升學(xué)生核心學(xué)生核心素養(yǎng)的思考點(diǎn)素養(yǎng)的思考點(diǎn) “學(xué)科育人學(xué)科育人”要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量。 “數(shù)學(xué)育人數(shù)學(xué)育人”要在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，要在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮作用用。 要從數(shù)學(xué)的要從數(shù)學(xué)的學(xué)科學(xué)科本質(zhì)本質(zhì)出發(fā)出發(fā)開(kāi)展思考和開(kāi)展思考和研究：研究：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)到底是一門(mén)怎樣的到底

13、是一門(mén)怎樣的學(xué)科學(xué)科？其？其獨(dú)特獨(dú)特的、的、別的學(xué)科不能替代的育人功能到底在別的學(xué)科不能替代的育人功能到底在哪里哪里？怎樣教才能實(shí)現(xiàn)這些育人功能？這樣教的怎樣教才能實(shí)現(xiàn)這些育人功能？這樣教的效果如何？效果如何？樹(shù)立課程意識(shí)樹(shù)立課程意識(shí)（1 1）我教的是一門(mén)怎樣的課？）我教的是一門(mén)怎樣的課？（2 2）它能發(fā)揮怎樣的育人功能，在學(xué)生發(fā)展）它能發(fā)揮怎樣的育人功能，在學(xué)生發(fā)展中所起的不可替代的作用是什么？中所起的不可替代的作用是什么？（3 3）如何教這門(mén)課？應(yīng)采取怎樣的教學(xué)策略？）如何教這門(mén)課？應(yīng)采取怎樣的教學(xué)策略？（4 4）這樣教在多大程度上實(shí)現(xiàn)了它的育人功）這樣教在多大程度上實(shí)現(xiàn)了它的育人功能能？

14、 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維是至關(guān)重?cái)?shù)學(xué)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維是至關(guān)重要的要的。 數(shù)學(xué)是一門(mén)語(yǔ)言，與語(yǔ)文有相似的特性，數(shù)學(xué)是一門(mén)語(yǔ)言，與語(yǔ)文有相似的特性，它有自己的一套獨(dú)立的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃凶约旱囊惶转?dú)立的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式表達(dá)方式閱讀、表達(dá)的工具。閱讀、表達(dá)的工具。 數(shù)學(xué)學(xué)科育人的獨(dú)特功能，主要在培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的獨(dú)特功能，主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)生的思維特別是邏輯思維上，要使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)“有邏輯地思考有邏輯地思考”、創(chuàng)造性思考創(chuàng)造性思考，使，使學(xué)學(xué)生成生成為

15、善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、善于善于解決問(wèn)題的人才。解決問(wèn)題的人才。 學(xué)會(huì)使用學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，能用數(shù)學(xué)的方式閱讀、語(yǔ)言，能用數(shù)學(xué)的方式閱讀、表達(dá)和交流。表達(dá)和交流。例例 如何閱讀這段教材如何閱讀這段教材怎樣才算讀懂了這段內(nèi)容？怎樣才算讀懂了這段內(nèi)容？（1 1）這是在象限角概念之后研究它的性質(zhì)。）這是在象限角概念之后研究它的性質(zhì)。一般而言，概念明確了研究對(duì)象的內(nèi)涵或組一般而言，概念明確了研究對(duì)象的內(nèi)涵或組成要素，性質(zhì)研究的主題之一是內(nèi)涵或要素成要素，性質(zhì)研究的主題之一是內(nèi)涵或要素之間的關(guān)系。從概念出發(fā)研究性質(zhì)是研究數(shù)之間的關(guān)系。從概念出發(fā)研究性質(zhì)是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本之道學(xué)對(duì)象的基本之道。

16、（2）提出問(wèn)題的方法：象限角的始邊相同，）提出問(wèn)題的方法：象限角的始邊相同，以射線以射線OB為終邊的角有無(wú)數(shù)個(gè)，即這些角有為終邊的角有無(wú)數(shù)個(gè)，即這些角有“始邊、終邊都相同始邊、終邊都相同”的共同特征。這一定的共同特征。這一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)要研究這種聯(lián)的事物一定有內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)要研究這種聯(lián)系在數(shù)、形上如何表達(dá)，特別是要追求精確系在數(shù)、形上如何表達(dá)，特別是要追求精確的量化表示。從定性到定量是數(shù)學(xué)的基本策的量化表示。從定性到定量是數(shù)學(xué)的基本策略略。（3）發(fā)現(xiàn)聯(lián)系方式的方法：借助圖像，觀察）發(fā)現(xiàn)聯(lián)系方式的方法：借助

17、圖像，觀察幾個(gè)與幾個(gè)與32終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系，終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系，在在“旋轉(zhuǎn)整數(shù)周旋轉(zhuǎn)整數(shù)周”的幫助下，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)的幫助下，通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)共同特征，得出表達(dá)式；再將共同特征，得出表達(dá)式；再將32推廣到推廣到一般角一般角。這里用到數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、。這里用到數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、從具體到抽象、通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，這是從具體到抽象、通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，這是數(shù)學(xué)地探索事物性質(zhì)的普遍方法數(shù)學(xué)地探索事物性質(zhì)的普遍方法。 這樣的閱讀中，有在研究具體內(nèi)容中領(lǐng)悟這樣的閱讀中，有在研究具體內(nèi)容中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，也有一般觀念指導(dǎo)下的發(fā)數(shù)學(xué)思想方法，也有一般觀念指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析

18、和解決問(wèn)題的過(guò)程，現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生在對(duì)課文的深度解讀中實(shí)現(xiàn)了高水平學(xué)生在對(duì)課文的深度解讀中實(shí)現(xiàn)了高水平數(shù)學(xué)思維參與，再一次經(jīng)歷和體驗(yàn)了數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思維參與，再一次經(jīng)歷和體驗(yàn)了數(shù)學(xué)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，學(xué)習(xí)了用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，學(xué)習(xí)了用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言表示數(shù)學(xué)規(guī)律的方法。言表示數(shù)學(xué)規(guī)律的方法。這是這是用用“數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的方式方式”閱讀閱讀，是課程意識(shí)的體現(xiàn)，也是落是課程意識(shí)的體現(xiàn)，也是落實(shí)核心素養(yǎng)的要訣實(shí)核心素養(yǎng)的要訣。以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得，要注重?cái)?shù)學(xué)對(duì)象的獲得，要注重?cái)?shù)學(xué)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間與現(xiàn)實(shí)之間的的聯(lián)聯(lián)系系，也

19、要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、邏輯連貫也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后一致、邏輯連貫性，從這兩個(gè)方面發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)性，從這兩個(gè)方面發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng)；抽象、直觀想象等素養(yǎng)； 對(duì)對(duì)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)象的研究研究，要注重以，要注重以“一般觀念一般觀念”為為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，通過(guò)數(shù)學(xué)的推理、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，通過(guò)數(shù)學(xué)的推理、論證證明結(jié)論（定理、性質(zhì)等）的過(guò)程，提升論證證明結(jié)論（定理、性質(zhì)等）的過(guò)程，提升推理、運(yùn)算等素養(yǎng)；推理、運(yùn)算等素養(yǎng)； 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，要注重利用數(shù)學(xué)概念要注重利用數(shù)學(xué)概念原理分析實(shí)際問(wèn)題原理分析實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)建模的全過(guò)程體

20、現(xiàn)建模的全過(guò)程，學(xué)會(huì)學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等從數(shù)據(jù)中挖掘信息等?！皟蓚€(gè)過(guò)程兩個(gè)過(guò)程”的合理性的合理性 從數(shù)學(xué)從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性、學(xué)生知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的合理性、學(xué)生思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)。 前前一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問(wèn)題，后一個(gè)的核心是數(shù)學(xué)的學(xué)科思想問(wèn)題，后一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問(wèn)題一個(gè)是學(xué)生的思維規(guī)律、認(rèn)知特點(diǎn)問(wèn)題。四四、教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的三大基石、教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的三大基石理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解學(xué)生理解教學(xué)理解教學(xué) 特別是，特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法

21、內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)的理解水平?jīng)Q定了理解數(shù)學(xué)的高度，同時(shí)也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。也決定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。五五、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn) 知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性?xún)?nèi)涵，包括知識(shí)的意蘊(yùn)就是知識(shí)所蘊(yùn)含的理性?xún)?nèi)涵，包括知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它知識(shí)的價(jià)值、知識(shí)的精神、知識(shí)的情感等，它是知識(shí)的精義和主旨所在。是知識(shí)的精義和主旨所在。 數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、美育價(jià)值有著天然聯(lián)系。有著天然聯(lián)系。 只有只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)，才能理解感知和領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)的意

22、蘊(yùn)，才能理解數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，數(shù)學(xué)的基本思想，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的奧秘，才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知才能把握數(shù)學(xué)的基本方法。所以，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提識(shí)的意蘊(yùn)是形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的前提。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)知識(shí)的意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與深化認(rèn)識(shí)活動(dòng)的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力的原動(dòng)力，是推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在根本力量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟量。所以，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的根基所在解決問(wèn)題能

23、力的根基所在。 從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā)從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā), ,應(yīng)緊緊圍繞應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)數(shù)量關(guān)系系”、“空間形式空間形式”、“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”和和“公理化思想公理化思想”這四條主線這四條主線, ,讓讓學(xué)生學(xué)生有機(jī)會(huì)有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題，例如引體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問(wèn)題發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問(wèn)題, ,創(chuàng)立過(guò)程創(chuàng)立過(guò)程中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想, ,以及從定以及從定性到精確定量的基本過(guò)程等。性到精確定量的基本過(guò)程等。 數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來(lái)的；有哪些問(wèn)題數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來(lái)的；有哪些問(wèn)題值得研究，如何構(gòu)建研究路徑

24、，如何形成值得研究，如何構(gòu)建研究路徑，如何形成研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問(wèn)題，研究方法；如何用已有知識(shí)去解決問(wèn)題，發(fā)展新知識(shí)；等等。發(fā)展新知識(shí)；等等。例例 幾個(gè)幾個(gè)“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”概念的理解概念的理解關(guān)于幾何度量問(wèn)題關(guān)于幾何度量問(wèn)題 “位置位置”是宇宙空間的最基本要素，位置是宇宙空間的最基本要素，位置用用“點(diǎn)點(diǎn)”表示；表示； 直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的直線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用有向線段的長(zhǎng)度表示；位置差異用有向線段的長(zhǎng)度表示； 兩個(gè)兩個(gè)“方向方向”的差異用角度表示；的差異用角度表示； 長(zhǎng)度、面積、體積長(zhǎng)度、面積、體積、角度、角度幾何度量問(wèn)幾何度量問(wèn)題，研究起點(diǎn)？過(guò)

25、程？方法？題，研究起點(diǎn)？過(guò)程？方法？認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)幾何度量的五個(gè)階段幾何度量的五個(gè)階段（1）量的初步認(rèn)識(shí)（直觀感知）量的初步認(rèn)識(shí)（直觀感知“量量”，直觀，直觀或直接比較或直接比較“量量”的大?。?；的大?。?；（2）量的間接比較（用非標(biāo)準(zhǔn)單位或用另一）量的間接比較（用非標(biāo)準(zhǔn)單位或用另一個(gè)量為個(gè)量為“中介中介”比較）；比較）；（3）認(rèn)識(shí)國(guó)際通用單位并用其描述大?。唬┱J(rèn)識(shí)國(guó)際通用單位并用其描述大??；（4）國(guó)際通用單位體系的認(rèn)識(shí)與換算；）國(guó)際通用單位體系的認(rèn)識(shí)與換算；（5）利用公式求量的大?。ㄖ挥忻娣e和體積）利用公式求量的大小（只有面積和體積有此階段）。有此階段）。 之所以有相同的認(rèn)識(shí)過(guò)程，是因?yàn)檫@些幾之所以

26、有相同的認(rèn)識(shí)過(guò)程，是因?yàn)檫@些幾何量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，核心要素是：何量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，核心要素是：（1）度量單位（從不標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位，）度量單位（從不標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位，并形成單位體系）；并形成單位體系）；（2）單位的個(gè)數(shù)就是量的大小。）單位的個(gè)數(shù)就是量的大小。 度量的性質(zhì)是：度量的性質(zhì)是：（1）運(yùn)動(dòng)不變性；）運(yùn)動(dòng)不變性；（2）疊合性；）疊合性；（3）有限可加（減）性；）有限可加（減）性；（4）不可公度性。）不可公度性。 在這些在這些“量量”中，中，“長(zhǎng)度長(zhǎng)度”（一維空間的（一維空間的延展）是最基本也是最簡(jiǎn)單的，其次就是延展）是最基本也是最簡(jiǎn)單的，其次就是面積（二維空間的延展）。因此，解決幾面

27、積（二維空間的延展）。因此，解決幾何度量問(wèn)題，核心思想是把研究對(duì)象看成何度量問(wèn)題，核心思想是把研究對(duì)象看成一個(gè)一個(gè)“量量”，并用一個(gè)數(shù)來(lái)描述它。而學(xué)，并用一個(gè)數(shù)來(lái)描述它。而學(xué)習(xí)的五個(gè)階段，習(xí)的五個(gè)階段， 就是從定性到定量，最終就是從定性到定量，最終用一個(gè)數(shù)來(lái)描述幾何量，或建立一個(gè)公式用一個(gè)數(shù)來(lái)描述幾何量，或建立一個(gè)公式來(lái)求幾何量的數(shù)值。來(lái)求幾何量的數(shù)值。 問(wèn)題問(wèn)題 為什么要引入弧度制？為什么要引入弧度制？ 如何引入弧度制？如何引入弧度制？ 如何讓學(xué)生感受引入弧度制的好處？如何讓學(xué)生感受引入弧度制的好處？理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其

28、所以然何由以知其所以然 啟發(fā)啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！學(xué)生，示以思維之道耳！六六、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí)、數(shù)學(xué)思維再認(rèn)識(shí) 思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但括的反映，包括邏輯思維和形象思維，但通常是指邏輯思維。通常是指邏輯思維。 思維的工具是語(yǔ)言；思維的工具是語(yǔ)言； 思維的形式是概念、判斷、推理等；思維的形式是概念、判斷、推理等； 思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。綜合等。一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物數(shù)學(xué)

29、地認(rèn)識(shí)事物的的基本結(jié)構(gòu)：定義概念基本結(jié)構(gòu)：定義概念推導(dǎo)性質(zhì)推導(dǎo)性質(zhì)建立聯(lián)系建立聯(lián)系實(shí)踐應(yīng)用。實(shí)踐應(yīng)用。 先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過(guò)程。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過(guò)

30、程。兩個(gè)方向（方面）兩個(gè)方向（方面） 數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面歸歸納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)知過(guò)程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析知過(guò)程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)知的本質(zhì)，證明猜想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相知的本質(zhì)，證明猜想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科統(tǒng)一性的認(rèn)

31、知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不到的效果。到的效果。三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言 數(shù)學(xué)思維的工具數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和普通文字語(yǔ)言。普通文字語(yǔ)言。 數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的“信息塊信息塊”，因而，因而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言能縮短數(shù)學(xué)思維

32、過(guò)程，使之變學(xué)符號(hào)語(yǔ)言能縮短數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使之變得簡(jiǎn)約、精練。得簡(jiǎn)約、精練。四種形式四種形式 數(shù)學(xué)思維的基本形式數(shù)學(xué)思維的基本形式：邏輯推理邏輯推理代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算幾何直觀幾何直觀數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合邏輯推理邏輯推理 邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程。規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程。 認(rèn)識(shí)問(wèn)題的要點(diǎn)在于把認(rèn)識(shí)問(wèn)題的要點(diǎn)在于把握握好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；解決問(wèn)題的任務(wù)是運(yùn)用題；解決問(wèn)題的任務(wù)是運(yùn)用“已知已知”之性之性質(zhì)去推論質(zhì)去推論“待知待知”之性質(zhì)。概括言之，乃之性

33、質(zhì)。概括言之，乃是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算 “代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算”，有效有，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的基本思想；基本思想； 數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類(lèi)比而發(fā)現(xiàn)需研究的問(wèn)題和方法，是基本類(lèi)比而發(fā)現(xiàn)需研究的問(wèn)題和方法，是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方式；而重要的數(shù)學(xué)思維方式； 代數(shù)運(yùn)算的過(guò)程和方法可以容易地發(fā)展成代數(shù)運(yùn)算的過(guò)程和方法可以容易地發(fā)展成高層次

34、函數(shù)觀點(diǎn)。高層次函數(shù)觀點(diǎn)。例例 等差、等比數(shù)列的研究等差、等比數(shù)列的研究 數(shù)列的一般概念數(shù)列的一般概念等差數(shù)列，等比數(shù)列；等差數(shù)列，等比數(shù)列； 研究的對(duì)象：一般研究的對(duì)象：一般有序、有規(guī)律（函數(shù)）；有序、有規(guī)律（函數(shù)）； 研究的過(guò)程：事實(shí)研究的過(guò)程：事實(shí)概念概念表示表示性性質(zhì)質(zhì)聯(lián)系聯(lián)系應(yīng)用；應(yīng)用； 研究的內(nèi)容與方法：研究的內(nèi)容與方法：（1 1）事實(shí)）事實(shí)概念，這類(lèi)數(shù)列的規(guī)律（通過(guò)運(yùn)概念，這類(lèi)數(shù)列的規(guī)律（通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律）；算發(fā)現(xiàn)規(guī)律）；（2 2）表示，決定規(guī)律的要素及其關(guān)系（運(yùn)算，）表示，決定規(guī)律的要素及其關(guān)系（運(yùn)算，代數(shù)式表示是核心）；代數(shù)式表示是核心）；思路二：直接針對(duì)一般等差數(shù)列，利用通

35、項(xiàng)思路二：直接針對(duì)一般等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式，從特殊到一般進(jìn)行歸納；公式，從特殊到一般進(jìn)行歸納；總結(jié)：總結(jié)：無(wú)論采取哪種方法，運(yùn)算、性質(zhì)、歸無(wú)論采取哪種方法，運(yùn)算、性質(zhì)、歸納都是關(guān)鍵詞。納都是關(guān)鍵詞。幾何直觀幾何直觀 幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和用圖形及其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，幾何直觀是展開(kāi)邏輯推理的思維基關(guān)系，幾何直觀是展開(kāi)邏輯推理的思維基礎(chǔ)。礎(chǔ)。 立體幾何

36、立體幾何教學(xué)教學(xué)數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系； 把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量結(jié)果結(jié)果； 這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，也也是數(shù)學(xué)發(fā)展的有力手段，是數(shù)學(xué)發(fā)展的有力手段，坐標(biāo)法、函數(shù)與坐標(biāo)法、函數(shù)與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向量法與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。因地制宜的具體思維方法因地制宜的具體思維方法 針對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法：代入法、：代入法、消元法、換元法、配方法、割補(bǔ)法、待定消元

37、法、換元法、配方法、割補(bǔ)法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法、面積法、體積法系數(shù)法、構(gòu)造法、面積法、體積法； 綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)綜合法與分析法、順證法與反證法，數(shù)學(xué)歸納法歸納法是常用的思維方法。是常用的思維方法。數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思維一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu)，兩個(gè)方向兩個(gè)方向，三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言，四種形式四種形式 演化出演化出千變?nèi)f化千變?nèi)f化、賞心悅目、賞心悅目的思維方法。的思維方法。 數(shù)學(xué)思維是人類(lèi)智慧的最精彩綻放。數(shù)學(xué)思維是人類(lèi)智慧的最精彩綻放。 好比好比一棵參天大樹(shù)，一棵參天大樹(shù)，“一個(gè)結(jié)構(gòu)，兩個(gè)方一個(gè)結(jié)構(gòu)，兩個(gè)方向，三種語(yǔ)言，四種形式向，三種語(yǔ)言，四種形式”是根和主干，是根和主干，千變?nèi)f化的具體方

38、法則是其枝和葉。千變?nèi)f化的具體方法則是其枝和葉。 當(dāng)前當(dāng)前課堂教學(xué)中的普遍問(wèn)題是，把注意力課堂教學(xué)中的普遍問(wèn)題是，把注意力集中到了集中到了“枝繁葉茂枝繁葉茂”的追求，而忘卻了的追求，而忘卻了“根和主干根和主干”的重要性。的重要性。關(guān)于核心素養(yǎng)立意的教學(xué)思考關(guān)于核心素養(yǎng)立意的教學(xué)思考以三角函數(shù)為例以三角函數(shù)為例觀點(diǎn)：教觀點(diǎn)：教好好數(shù)學(xué)就落實(shí)了核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)就落實(shí)了核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)育人的載體是數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)育人的載體是數(shù)學(xué)知識(shí)； 數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式數(shù)學(xué)育人要用數(shù)學(xué)的方式什么叫什么叫“數(shù)數(shù)學(xué)的方式學(xué)的方式”？ 教教好數(shù)學(xué)就落實(shí)了核心素養(yǎng)好數(shù)學(xué)就落實(shí)了核心素養(yǎng)怎樣教才怎樣教才算是算是“教好數(shù)學(xué)教好數(shù)學(xué)

39、”？三角函數(shù)教學(xué)中如何落實(shí)核心素養(yǎng)三角函數(shù)教學(xué)中如何落實(shí)核心素養(yǎng)一、一、對(duì)對(duì)內(nèi)容內(nèi)容的的認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)二、課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位二、課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位三、學(xué)生認(rèn)知分析三、學(xué)生認(rèn)知分析四、教材結(jié)構(gòu)體系的思考四、教材結(jié)構(gòu)體系的思考五、素材選擇的思考五、素材選擇的思考六、系列數(shù)學(xué)活動(dòng)的安排六、系列數(shù)學(xué)活動(dòng)的安排一、對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)一、對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)（一）三角函數(shù)發(fā)展史概述（一）三角函數(shù)發(fā)展史概述三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中三角術(shù)在希臘定量幾何學(xué)中應(yīng)運(yùn)而生應(yīng)運(yùn)而生，到托到托勒密出版勒密出版數(shù)學(xué)匯編，希臘三角術(shù)及在天數(shù)學(xué)匯編，希臘三角術(shù)及在天文學(xué)上的應(yīng)用達(dá)到頂峰。這部著作中有大量文學(xué)上的應(yīng)用達(dá)到頂峰。這部著作中

40、有大量三角恒等變形問(wèn)題，包括和（差）角公式、三角恒等變形問(wèn)題，包括和（差）角公式、和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法。三角學(xué)三角學(xué)的發(fā)展與天文學(xué)相互交織，且服務(wù)于的發(fā)展與天文學(xué)相互交織，且服務(wù)于天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開(kāi)始從天文學(xué)天文學(xué)。到十六世紀(jì)，三角學(xué)開(kāi)始從天文學(xué)里分離出來(lái)，并成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支里分離出來(lái)，并成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。 為了應(yīng)付航海、天文、測(cè)量等實(shí)踐之需，為了應(yīng)付航海、天文、測(cè)量等實(shí)踐之需，制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工制作三角函數(shù)表成為三角學(xué)研究的核心工作。因?yàn)樵谥谱鬟^(guò)程中需要大量的三角恒作。因?yàn)樵谥谱鬟^(guò)程中需要大量的三角恒等變

41、形，所以三角恒等變形問(wèn)題占據(jù)了重等變形，所以三角恒等變形問(wèn)題占據(jù)了重要地位要地位。 隨著隨著對(duì)數(shù)的發(fā)明，特別是微積分的創(chuàng)立，對(duì)數(shù)的發(fā)明，特別是微積分的創(chuàng)立，三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角公式也風(fēng)光不再公式也風(fēng)光不再。（二）三角函數(shù)課程的與時(shí)俱進(jìn)（二）三角函數(shù)課程的與時(shí)俱進(jìn) 從從應(yīng)用的角度看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描應(yīng)用的角度看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)槭鲋芷诂F(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型的地位，因?yàn)椤叭呛瘮?shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非常三角函數(shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系與結(jié)合非

42、常重要，最重要的是它與振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系，重要，最重要的是它與振動(dòng)和波動(dòng)的聯(lián)系，可以說(shuō)，它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之可以說(shuō)，它幾乎是全部高科技的基礎(chǔ)之一一”。在建立三角函數(shù)的基本概念、認(rèn)識(shí)。在建立三角函數(shù)的基本概念、認(rèn)識(shí)它的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上它的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對(duì)，對(duì)y=Asin(x+)的的研究研究很重要很重要，實(shí)用且實(shí)用且有利于有利于提升學(xué)生的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力數(shù)學(xué)建模能力。 “正弦、余弦函數(shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng)，正弦、余弦函數(shù)是一對(duì)起源于圓周運(yùn)動(dòng)，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學(xué)和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的和周期函數(shù)的分析學(xué)中最為基本和重要的

43、函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱(chēng)性）的直接圓的幾何性質(zhì)（主要是其對(duì)稱(chēng)性）的直接反映。反映?！彼?，要充分發(fā)揮單位圓的作用所以，要充分發(fā)揮單位圓的作用，借助借助單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)單位圓的性質(zhì)研究三角函數(shù)的所有內(nèi)容，這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀容，這有利于提高學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀想象能力。想象能力。 在思想、方法上，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的變換（映在思想、方法上，要強(qiáng)調(diào)函數(shù)的變換（映射）與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系、對(duì)稱(chēng)性與射）與坐標(biāo)系的變換及其關(guān)系、對(duì)稱(chēng)性與不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和不變性等數(shù)學(xué)的主流思想和方法方法有些有些放正文，有

44、些可以作為拓展放正文，有些可以作為拓展。 這樣認(rèn)識(shí)和處理內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)性這樣認(rèn)識(shí)和處理內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)性質(zhì)的整體性，可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)質(zhì)的整體性，可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生在培養(yǎng)學(xué)生的的直觀想象、直觀想象、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)抽象、抽象、邏輯邏輯推理推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等等核心素養(yǎng)的核心素養(yǎng)的作用作用。 要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何要強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)與向量、復(fù)數(shù)、解析幾何等的聯(lián)系與綜合，這可以通過(guò)加強(qiáng)三角函等的聯(lián)系與綜合，這可以通過(guò)加強(qiáng)三角函數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)，也可數(shù)在后續(xù)相關(guān)內(nèi)容中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)，也可以通過(guò)用向量、復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角以通過(guò)

45、用向量、復(fù)數(shù)的方法重新推導(dǎo)三角變換公式等來(lái)實(shí)現(xiàn)。變換公式等來(lái)實(shí)現(xiàn)。 總之，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直總之，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標(biāo)系中的單位圓。抓住三角函數(shù)作為角坐標(biāo)系中的單位圓。抓住三角函數(shù)作為刻畫(huà)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，這就真正刻畫(huà)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，這就真正抓住了要領(lǐng)，就能以簡(jiǎn)馭繁抓住了要領(lǐng)，就能以簡(jiǎn)馭繁。二、課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位二、課標(biāo)對(duì)三角函數(shù)的定位 三角函數(shù)三角函數(shù)是一類(lèi)最典型的是一類(lèi)最典型的周期函數(shù)周期函數(shù)。 整體要求：整體要求：借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會(huì)引入弧度制的必要性；能夠用幾何直觀和代數(shù)體會(huì)引入弧度制的必要

46、性；能夠用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性和最值等性質(zhì)；能夠探索和研究三角函數(shù)之間的性和最值等性質(zhì)；能夠探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系；能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，一些恒等關(guān)系；能夠利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題。提升數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象和運(yùn)解決實(shí)際問(wèn)題。提升數(shù)學(xué)抽象能力、直觀想象和運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)建模能力。算能力以及數(shù)學(xué)建模能力。 本章本章內(nèi)容的大結(jié)構(gòu)：概念內(nèi)容的大結(jié)構(gòu)：概念（基本）（基本）性質(zhì)性質(zhì)（周期周期性性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性和最值、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性和最值等等）特殊性質(zhì)特殊性質(zhì)（三三角函數(shù)角函數(shù)的恒等的

47、恒等關(guān)系）關(guān)系）應(yīng)用。應(yīng)用。 加強(qiáng)單位圓的作用，進(jìn)一步突出主線和核加強(qiáng)單位圓的作用，進(jìn)一步突出主線和核心概念；心概念； 體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容、過(guò)程和方體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容、過(guò)程和方法：概念法：概念圖像、基本性質(zhì)（直接由定圖像、基本性質(zhì)（直接由定義推出，要素的關(guān)系）義推出，要素的關(guān)系）其他性質(zhì)（聯(lián)其他性質(zhì)（聯(lián)系層面）系層面）應(yīng)用（把應(yīng)用（把y = A sin (x+)作為作為應(yīng)用、建模的結(jié)果）。應(yīng)用、建模的結(jié)果）。三、學(xué)生認(rèn)知三、學(xué)生認(rèn)知分析分析 認(rèn)知基礎(chǔ)：認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念、表示學(xué)習(xí)了函數(shù)的一般概念、表示與性質(zhì)等，掌握了研究函數(shù)的一般方法，與性質(zhì)等，掌握了研究函數(shù)的一般

48、方法，通過(guò)冪、指、對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了通過(guò)冪、指、對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了研究一類(lèi)函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過(guò)程與方法。研究一類(lèi)函數(shù)的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、過(guò)程與方法。這些函數(shù)的一個(gè)共同特點(diǎn)是它們的表達(dá)式這些函數(shù)的一個(gè)共同特點(diǎn)是它們的表達(dá)式都是代數(shù)式，是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映。學(xué)都是代數(shù)式，是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映。學(xué)生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識(shí)，對(duì)圓的生在平面幾何中學(xué)習(xí)了圓的知識(shí)，對(duì)圓的幾何性質(zhì)有一定的掌握，但對(duì)幾何性質(zhì)有一定的掌握，但對(duì)“圓的旋轉(zhuǎn)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性”強(qiáng)調(diào)不夠。強(qiáng)調(diào)不夠。學(xué)習(xí)困難分析學(xué)習(xí)困難分析 三角函數(shù)三角函數(shù)不不以以“代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算”為為媒介媒介，是是幾幾何量（角與有向線段）之間何量（角與

49、有向線段）之間的的直接直接對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)，不是通過(guò)對(duì)不是通過(guò)對(duì)計(jì)算得到函數(shù)值，這是一個(gè)復(fù)計(jì)算得到函數(shù)值，這是一個(gè)復(fù)雜、不良結(jié)構(gòu)雜、不良結(jié)構(gòu)情境情境，是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。 在在“對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識(shí)上必須采取措施破的認(rèn)識(shí)上必須采取措施破除定勢(shì)，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的除定勢(shì)，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的“三要三要素素”，特別是要在落實(shí)，特別是要在落實(shí)“給定一個(gè)角，如給定一個(gè)角，如何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值何得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”的操作過(guò)程的基礎(chǔ)的操作過(guò)程的基礎(chǔ)上再給上再給定義定義。 三角函數(shù)的三角函數(shù)的性質(zhì)與以往不同性質(zhì)與以往不同，主要表現(xiàn)在，主要表現(xiàn)在豐富的對(duì)稱(chēng)性上豐富的對(duì)稱(chēng)性上；以單位圓為媒介而建

50、立以單位圓為媒介而建立起性質(zhì)之間的豐富關(guān)聯(lián)，例如，由定義直起性質(zhì)之間的豐富關(guān)聯(lián)，例如，由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系；結(jié)合單接推出同角三角函數(shù)之間的關(guān)系；結(jié)合單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其坐標(biāo)的變化規(guī)律（非位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其坐標(biāo)的變化規(guī)律（非常直觀），由定義可直接推出單調(diào)性、周常直觀），由定義可直接推出單調(diào)性、周期性期性。四、四、教教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)設(shè)計(jì)的思考的思考 根據(jù)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的內(nèi)在邏輯，數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的內(nèi)在邏輯，體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的體現(xiàn)研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的“基本套路基本套路”，使使教教學(xué)學(xué)內(nèi)容具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性?xún)?nèi)容具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，教學(xué)過(guò)程具，教學(xué)過(guò)程具有有連貫性；連貫性；同時(shí)，要發(fā)揮

51、核心概念及其蘊(yùn)同時(shí)，要發(fā)揮核心概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的紐帶作用，使含的數(shù)學(xué)思想方法的紐帶作用，使教教學(xué)過(guò)學(xué)過(guò)程程具有具有思想方法思想方法的的前后前后一致性。一致性。科學(xué)科學(xué)性性 以以發(fā)展學(xué)生發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為數(shù)學(xué)素養(yǎng)為追求，根據(jù)學(xué)生的追求，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升地安排教教學(xué)學(xué)內(nèi)容內(nèi)容，特，特別是要讓重要的（往往也是難以一次完成別是要讓重要的（往往也是難以一次完成的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的的）數(shù)學(xué)概念、思想方法得到反復(fù)理解的機(jī)會(huì)機(jī)會(huì)。心理性心理性 以以“事實(shí)事實(shí)概念概念性質(zhì)（關(guān)系）性質(zhì)（關(guān)系）結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）結(jié)構(gòu)（聯(lián)系）應(yīng)用應(yīng)用”為明線為明線； 以以“事實(shí)

52、事實(shí)方法方法方法論方法論數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀科本質(zhì)觀”為為暗線。暗線。從數(shù)學(xué)思維從數(shù)學(xué)思維、思想、思想或核心或核心素養(yǎng)角度素養(yǎng)角度看看 “事實(shí)事實(shí)概念概念”主要是主要是“抽象抽象”（在周而復(fù)（在周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，涉及哪些量，它們之間的關(guān)始的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，涉及哪些量，它們之間的關(guān)系如何，可以用怎樣的數(shù)學(xué)方式表示）系如何，可以用怎樣的數(shù)學(xué)方式表示）； “概念概念性質(zhì)性質(zhì)”主要是主要是“推理推理”，包括通過(guò)，包括通過(guò)歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過(guò)（邏輯）演繹推理證歸納推理發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，通過(guò)（邏輯）演繹推理證明性質(zhì)明性質(zhì)； “性質(zhì)性質(zhì)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”主要也是主要也是“推理推理”，是建立，是建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成

53、結(jié)構(gòu)功能良好、遷相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系而形成結(jié)構(gòu)功能良好、遷移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程移能力強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程； “概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)應(yīng)用應(yīng)用”主要是主要是“建建模?！保?，是用用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題。解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題。 在整個(gè)教材的展開(kāi)過(guò)程中，都要發(fā)揮在整個(gè)教材的展開(kāi)過(guò)程中，都要發(fā)揮“一般觀一般觀念念”的作用，加強(qiáng)的作用，加強(qiáng)“如何思考如何思考”、“如何發(fā)現(xiàn)如何發(fā)現(xiàn)”的啟發(fā)和引導(dǎo)，特別是在概念的抽象要做的啟發(fā)和引導(dǎo)，特別是在概念的抽象要做什么什么、“幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)”“”“代數(shù)性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)”“”“函數(shù)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)”指什指什么等問(wèn)題么等問(wèn)題上要及時(shí)引導(dǎo)，以使

54、學(xué)生明確思考方上要及時(shí)引導(dǎo)，以使學(xué)生明確思考方向向。 “不在不在知知其其然然，而在，而在知其所以然知其所以然；不在；不在知其所知其所以然，以然，而在何而在何由由以知其所以然以知其所以然”； “啟發(fā)學(xué)啟發(fā)學(xué)者者，示以思維之示以思維之道道耳耳”。 當(dāng)前的教學(xué)，主要問(wèn)題是數(shù)學(xué)沒(méi)有講好，老師當(dāng)前的教學(xué)，主要問(wèn)題是數(shù)學(xué)沒(méi)有講好，老師不知道如何不知道如何“示以思維之道示以思維之道”，教材對(duì)此應(yīng)當(dāng)，教材對(duì)此應(yīng)當(dāng)有所作為。有所作為。五、素材選擇的五、素材選擇的思考思考 在概念引入階段，要使用學(xué)生熟悉的周而在概念引入階段，要使用學(xué)生熟悉的周而復(fù)始現(xiàn)象，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究三角函數(shù)的復(fù)始現(xiàn)象，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究三角函數(shù)

55、的必要性。必要性。 在概念的抽象（即研究對(duì)象的獲得）階段，在概念的抽象（即研究對(duì)象的獲得）階段，要利用典型的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如水車(chē)、摩要利用典型的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如水車(chē)、摩天輪等，物理中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、波動(dòng)、電磁天輪等，物理中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、波動(dòng)、電磁振蕩等，構(gòu)建振蕩等，構(gòu)建“周期變化現(xiàn)象周期變化現(xiàn)象勻速圓勻速圓周運(yùn)動(dòng)周運(yùn)動(dòng)單位圓上的點(diǎn)以單位速率作勻單位圓上的點(diǎn)以單位速率作勻速運(yùn)動(dòng)速運(yùn)動(dòng)”的過(guò)程的過(guò)程。 在性質(zhì)的研究階段，要充分發(fā)揮學(xué)生已經(jīng)在性質(zhì)的研究階段，要充分發(fā)揮學(xué)生已經(jīng)掌握的研究函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗(yàn)以及圓的掌握的研究函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗(yàn)以及圓的幾何性質(zhì)的作用，因此要在選材上重視函幾何性質(zhì)的作用，因此要在

56、選材上重視函數(shù)性質(zhì)、圓的性質(zhì)等要素。數(shù)性質(zhì)、圓的性質(zhì)等要素。 在應(yīng)用階段，要注意利用水車(chē)、摩天輪、在應(yīng)用階段，要注意利用水車(chē)、摩天輪、潮起潮落等現(xiàn)實(shí)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的潮起潮落等現(xiàn)實(shí)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程；建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程；還要選擇物理等相關(guān)學(xué)科有一定變式性質(zhì)還要選擇物理等相關(guān)學(xué)科有一定變式性質(zhì)的實(shí)例，如鐘擺、電學(xué)等的實(shí)例，如鐘擺、電學(xué)等。六、系列數(shù)學(xué)活動(dòng)的安排六、系列數(shù)學(xué)活動(dòng)的安排（一）數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)與核心素養(yǎng)的（一）數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)與核心素養(yǎng)的關(guān)系關(guān)系 核心素養(yǎng)就是在復(fù)雜情境中解決問(wèn)題的能力和核心素養(yǎng)就是在復(fù)雜情境中解決問(wèn)題的能力

57、和品質(zhì)品質(zhì)。 核心核心素養(yǎng)所蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，核心素養(yǎng)是個(gè)素養(yǎng)所蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，核心素養(yǎng)是個(gè)體在與情境的持續(xù)互動(dòng)中，不斷解決問(wèn)題、創(chuàng)體在與情境的持續(xù)互動(dòng)中，不斷解決問(wèn)題、創(chuàng)生意義的過(guò)程中形成的生意義的過(guò)程中形成的。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而逐步實(shí)現(xiàn)的。情境化是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而逐步實(shí)現(xiàn)的。情境化是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。 構(gòu)建構(gòu)建系列數(shù)學(xué)系列數(shù)學(xué)活動(dòng)活動(dòng)，要要注重創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實(shí)生注重創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實(shí)生活緊密關(guān)聯(lián)的、真實(shí)性的問(wèn)題情境（這樣活緊密關(guān)聯(lián)的、真實(shí)性的問(wèn)題情境（這樣的情境必然具有一定

58、的復(fù)雜性），設(shè)計(jì)基的情境必然具有一定的復(fù)雜性），設(shè)計(jì)基于問(wèn)題的、基于項(xiàng)目的活動(dòng)方式（如典型于問(wèn)題的、基于項(xiàng)目的活動(dòng)方式（如典型實(shí)例的共同特征的抽象與概括，數(shù)學(xué)對(duì)象實(shí)例的共同特征的抽象與概括，數(shù)學(xué)對(duì)象的要素之間關(guān)系的探索，相關(guān)概念之間聯(lián)的要素之間關(guān)系的探索，相關(guān)概念之間聯(lián)系性的研究等），引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展體驗(yàn)學(xué)習(xí)、系性的研究等），引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展體驗(yàn)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)，通過(guò)有結(jié)構(gòu)、有邏合作學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)，通過(guò)有結(jié)構(gòu)、有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、數(shù)學(xué)思維方式和探究技能，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)思維方式和探究技能，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的持續(xù)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的理性思維和

59、技能的持續(xù)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的理性思維不斷走向成熟不斷走向成熟。（二）以（二）以系統(tǒng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)為載體的為載體的數(shù)學(xué)活動(dòng)數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì) 背景引入背景引入，通過(guò)通過(guò)典型而豐富的周而復(fù)始的典型而豐富的周而復(fù)始的變化現(xiàn)象，著重解決研究三角函數(shù)的必要變化現(xiàn)象，著重解決研究三角函數(shù)的必要性，要發(fā)揮信息技術(shù)的力量。性，要發(fā)揮信息技術(shù)的力量。 預(yù)備預(yù)備概念，任意角與弧度制，通過(guò)生產(chǎn)、概念，任意角與弧度制，通過(guò)生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)引入任意生活中的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)引入任意角概念的必要性；通過(guò)類(lèi)比長(zhǎng)度的度量單角概念的必要性；通過(guò)類(lèi)比長(zhǎng)度的度量單位的多樣性，提出用長(zhǎng)度度量角的方法位的多樣

60、性，提出用長(zhǎng)度度量角的方法。三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義 研究研究對(duì)象的獲得，從事實(shí)到概念。注重?cái)?shù)學(xué)化對(duì)象的獲得，從事實(shí)到概念。注重?cái)?shù)學(xué)化的過(guò)程，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，從勻速圓周運(yùn)動(dòng)到單的過(guò)程，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，從勻速圓周運(yùn)動(dòng)到單位圓上點(diǎn)以單位速率運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的刻畫(huà)。位圓上點(diǎn)以單位速率運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的刻畫(huà)。 概念及其表示，注重認(rèn)知過(guò)程的完整性概念及其表示，注重認(rèn)知過(guò)程的完整性，認(rèn)真認(rèn)真解決四個(gè)問(wèn)題：解決四個(gè)問(wèn)題：（1 1）函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？刻畫(huà)了哪類(lèi)運(yùn)動(dòng)）函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？刻畫(huà)了哪類(lèi)運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？變化現(xiàn)象？（2 2）決定這類(lèi)運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？）決定這類(lèi)運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？（3 3）