自動控制05c開環(huán)頻率特性曲線的繪制

1、5- -3.2、開環(huán)頻率特性曲線的繪制、開環(huán)頻率特性曲線的繪制 一、開環(huán)幅相曲線的繪制一、開環(huán)幅相曲線的繪制 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的表達式可以通過取點、計算和作圖繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。概略開環(huán)幅相曲線應(yīng)反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素： 1、開環(huán)幅相曲線的起點（ =0+）和終點（= ）。 2、開環(huán)幅相曲線與實軸的交點 設(shè)=x時，G(jx)H(j x)的虛部為.2, 1, 0,)()()(0)()(ImkkjHjGjHjGxxxxx或 稱x為穿越頻率，而開環(huán)頻率特性曲線與實軸交點坐標值為： )()()()(RexxxxjHjGjHjG例5-1 設(shè)某0型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1)(1 ()(21s

2、TsTKsG 已知 。試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性。 5, 1,1021TTK解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 )1)(1 ()(21jTjTKjG將上式作有理化處理 )1)(1)(1)(1 ()1)(1 ()(212121jTjTjTjTjTjTKjG)1)(1 ()()1)(1 ()1 ()1)(1 ()()1(2222212122222122122222121221TTTTKjTTTTKTTTTjTTK則 ： )1)(1 ()()(,)1)(1 ()1 ()(22222121222221221TTTTKQTTTTKP而 21222221arctanarctan)(1111)(TTTTKA將 代入

3、如上的實頻特性和虛頻特性以及幅頻特性和相頻特性的計算式中，當 取不同的值時可得如表5-4所示的開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性數(shù)據(jù)。 5, 1,1021TTK表5-4 系統(tǒng)的頻率特性數(shù)據(jù) 利用上表中的數(shù)據(jù)在復(fù)平面上可繪出幅相頻率特性如圖5-25所示。 圖5-25 例5-1系統(tǒng)的幅相頻率特性為精確求頻率特性和負虛軸的交點坐標，可令實部為0 0)1 (0)1)(1 ()1 ()(221222221221TTKTTTTKP得：即：從而可得 的值，再將 的值代入虛部方程即可求得曲線與虛軸的交點坐標。 例5-2 設(shè)某型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1)(1 ()(21sTsTsKsG試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線。 解

4、該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 )1)(1 ()(21jTjTjKjG將上式進行有理化處理有 )1)(1 ()()(22222121TTTTKP)1)(1 ()1 ()(222221221TTTTKQ而 ,arctanarctan90)(1111)(21222221TTTTKA當0時 表 90)0(,)0(,)(),()0(21AQTTKP明低頻率段的漸近線是一條過實軸K(T1+T2)點且平行于虛軸的直線。 當時 270909090)(, 0)(, 0)(, 0)(AQP可見，此時高頻段是以270作為極限角而卷入坐標原點的。 完整的幅相頻率特性曲線如圖5-26所示。曲線從點 K(T1+T2)， j出發(fā)

5、，跨越負實軸進入第二象限，并以正虛軸為漸近線卷向坐標原點。為精確求得曲線與負虛軸的交點，可令虛頻特性為0，解之得交點角頻率將此值代入實頻特性表達式可求得曲線與實軸交點21/1TT2121TTTKT交點為： 圖5-26 例5-2系統(tǒng)的幅相頻率特性 在繪制系統(tǒng)的開環(huán)極坐標時，應(yīng)注意曲線所具有的一些特征。例如：當0時低頻段曲線從何處出發(fā)？而當 時的高頻段特性曲線以什么姿態(tài)卷向原點？曲線在值為多大時跨越實軸或虛軸？跨越點的坐標值如何？等等。后兩個問題我們已經(jīng)作過說明，下面討論前兩個問題。 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 中含有V個積分環(huán)節(jié)，其相應(yīng)的頻率特性為 )(sG 1)(2)()1 ( 1)(2)()1 ()

6、()(221122112121jTjTjTjjjjKjGlllnljnjkkkmkimiv式中mnnnnvmmm,2,22121當0時低頻段表達式為 vjKjG)()(則 2)(,)()(vKjGAv2)0(,)0(,22)0(,)0(, 22)0(,)0(, 10)0(,)0(, 00vAvvVAvAvKAv型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：型系統(tǒng)：型系統(tǒng)： 當時的高頻段，由于mn 所以 0)(limjG根據(jù)相角特性得2)()(limmnjG當當 ，特性曲線沿負虛軸卷向原點；，特性曲線沿負虛軸卷向原點；1mn當當 ，特性曲線沿負實軸卷向原點；，特性曲線沿負實軸卷向原點；2mn當當 ，特性曲線沿正虛軸卷向原點；

7、，特性曲線沿正虛軸卷向原點；3mn圖5-27 極坐標圖的低頻段圖5-28 極坐標的高頻段二、開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制二、開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制 如圖5-29所示系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為)()()(21sGsGsG)()(21)(2)(1212121)()()()()()()(jjjeAAeAeAjGjGjG則)()()()()()(lg20)(lg20)(212121LLAAL其對應(yīng)的頻率特性為：圖5-29 由兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)由上可見，只要繪出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性分量，再將各分量的由上可見，只要繪出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性分量，再將各分量的縱坐標相加，就可得到整個系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性。同理，將

8、各縱坐標相加，就可得到整個系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性。同理，將各環(huán)節(jié)的相頻特性分量相加，就成為系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。環(huán)節(jié)的相頻特性分量相加，就成為系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。圖5-30 兩環(huán)節(jié)系統(tǒng)的Bode圖 含有多環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制思路：確含有多環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制思路：確定低頻漸近線的斜率和位置定低頻漸近線的斜率和位置確定線段交接的頻率以及交確定線段交接的頻率以及交接后線段斜率的變化量接后線段斜率的變化量由低頻到高頻繪制開環(huán)系統(tǒng)的特由低頻到高頻繪制開環(huán)系統(tǒng)的特性曲線。性曲線。 1、低頻漸近線段的確定 前面我們已得到 vKjGA)()(則 lg20lg20)(lg20

9、)(vKAL上式是一個線性方程，易知直線的斜率為 即低頻漸近線的斜率與系統(tǒng)階數(shù)V有關(guān)，如圖5-31。 decvdB/20圖5-31 低頻段的斜率與位置的關(guān)系2、交接頻率及交接后斜率變化量的確定 對于式 1)(2)(2) 1(1 1)(2)(2) 1(1)()(22112211jTjTjTjjjjKjGlllnljnjkkkmkimiv其交接頻率分別為llkkjjiiTT1,1,1,1曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為+20dB/dec； i曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為-20dB/dec；J曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為+40dB/dec；K曲線經(jīng)過 時，斜率的變化量為-40dB/dec。L 依據(jù)如上分

10、析，我們可歸納出繪制系統(tǒng)開環(huán)Bode圖的一般步驟和方法如下： （1 1）將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性）將系統(tǒng)開環(huán)頻率特性 寫成以時間常數(shù)表示、以寫成以時間常數(shù)表示、以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘的形式。典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘的形式。 )(jG（2 2）求出各環(huán)節(jié)的交接頻率，并從小到大依次標在對數(shù)）求出各環(huán)節(jié)的交接頻率，并從小到大依次標在對數(shù)坐標圖的橫坐標上。坐標圖的橫坐標上。 （3 3）按傳遞系數(shù)）按傳遞系數(shù)K計算計算20lgK的分貝值，過的分貝值，過 =1這一點，繪出斜率為這一點，繪出斜率為 的直線，此即為低的直線，此即為低頻段的漸近線（或其延長線）。頻段的漸近線（或其延長線）。 KLlg20)(decvdB/

11、20（4 4）從低頻漸近線開始，沿）從低頻漸近線開始，沿軸從左到右即沿著頻率增軸從左到右即沿著頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率，就按上述規(guī)律改變一次大的方向，每遇到一個交接頻率，就按上述規(guī)律改變一次對數(shù)幅頻特性曲線的斜率，直至經(jīng)過全部交接頻率為止。對數(shù)幅頻特性曲線的斜率，直至經(jīng)過全部交接頻率為止。 （5 5）若有必要，可利用誤差曲線對幅頻特性的折線群加）若有必要，可利用誤差曲線對幅頻特性的折線群加以修正，最終獲得精確的對數(shù)幅頻特性的光滑曲線。以修正，最終獲得精確的對數(shù)幅頻特性的光滑曲線。 （6 6）對數(shù)相頻特性可直接利用相頻特性表達式逐點計算）對數(shù)相頻特性可直接利用相頻特性表達式逐點計算而得

12、。而得。 對于式 1)(2)(2) 1(1 1)(2)(2) 1(1)()(22112211jTjTjTjjjjKjGlllnljnjkkkmkimiv其相頻表達式為 21211221122112arctanarctan212arctanarctan)(nllllnjjmkkkkmiiTTTv以及 2)()(lim2)(lim0mnv例5-3 某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )20)(1()2(100)(sssssG試繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。 解 將開環(huán)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為標準形式 ) 105. 0)(1() 15 . 0(10)(sssssG其對應(yīng)的頻率特性表達式為 ) 105. 0)(1() 15

13、. 0(10)(jjjjjG（2）在 處，1dBvKL20lg20lg20)(（3）過 點畫一條斜率為 的斜線，以此作為低頻漸近線。 dBL20)(1、decdB/20（4）因第一個交接頻率 ，故低頻漸近線畫至 止，經(jīng)過 后曲線的斜率應(yīng)為 ；當曲線延伸至第二個交接頻率時 ，斜率又恢復(fù)為 直至 時，曲線斜率再增加 ，變?yōu)?的斜線。 111decdB/4022decdB/20203decdB/20decdB/40 根據(jù)上述分析可畫出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-32所示。 直接繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的步驟如下： （1）交接頻率為 2005. 01, 25 . 01, 13211,10vK圖5

14、-32 例5-3系統(tǒng)的Bode圖表表5- -4 例例5- -3系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數(shù)據(jù)系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數(shù)據(jù) 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性表達式為 05. 0arctanarctan905 . 0arctan)(逐點計算結(jié)果如表5-4所示。 00.10.20.40.81.02.04.0-90-93.1 -96.2-101.6 -109.2-111.3-114.2- -113.85.08.010204080100-114.5-118.7 -122.2 -137.9-154.9166.7-169.3- -180.0)/(1srad)/()()/(1srad)/()( 如圖5-32所示 曲線穿越橫坐標時的頻率稱為

15、截止頻率，又稱零分貝頻率，常用 表示。 )(Lc我們可以計算得到 ，其對應(yīng)的相角為sradc/55 .114505. 0arctan5arctan9055 . 0arctan)(圖5-33 例5-4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖例5-4 試繪制圖5-33所示系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)特性漸近線。 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 105. 0)81)(12() 15 . 0(4)(2ssssssG其頻率特性表達式為 105. 0)81)(12() 15 . 0(4)(2jjjjjjG4, 1Kv（3）畫分段折線，最終得如圖5-34所示的對數(shù)幅頻特性漸近線。 繪圖步驟：（1） ，找出各交接頻率 （2）找點 時， 1dBKL124lg

16、20lg20)(8, 2, 5 . 0321圖5-34 例5-4系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性三、最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)和開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)三、最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)和開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng) 三類開環(huán)傳遞函數(shù)： （1 1）最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù) 的全部極點均位于s平面的左半部，而沒有零點落在右半s平面上，則這種傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 )(sG（2 2）非最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)：傳遞函數(shù) 的全部極點均位于s平面的左半部，但有一個或多個零點落在右半s平面上，則這種傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。

17、 )(sG（3 3）開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)：傳遞函數(shù) 有一個或多個極點落在s平面的右半部，則這種傳遞函數(shù)稱為開環(huán)不穩(wěn)定傳遞函數(shù)。具有開環(huán)不穩(wěn)定傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。 )(sG“最小相位”與“非最小相位”的概念來源于網(wǎng)絡(luò)理論。它指出：在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當 從0變至 時，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小，而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常要比前者大，故而得名。 例如，兩個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為 )0( ,11)()0( ,11)(TTsssGTTsssG則兩系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的表達式分別為TTTLLarctan)arctan()(arctanarcta

18、n)(1lg201lg20)()(21222221圖5-35 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的Bode圖 必須指出，非最小相位傳遞函數(shù)的定義中，有關(guān)極點的條件限制是必須的。若允許極點落在右半s平面，則相角變化范圍可能比之具有相同幅頻特性的最小相位傳遞函數(shù)的相角變化還要小。 例如，有三個系統(tǒng) ) 1)(1(2)(;) 1(2)(;) 1(2)(32221ssssGsssGsssG其頻率特性表達式為 ) 1)(1(2)(,) 1(2)(,) 1(2)(32221jjjjGjjjGjjjG則 )2arctan()(arctan2)2arctan(180)(arctan2)2arctan()()1lg(204lg20)()()(32122321LLL圖5-36 最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)和開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)Bode圖 對于最小相位系統(tǒng)，一條對數(shù)幅頻特性曲線只能有一條對數(shù)相頻特性曲線與之對應(yīng)。因此對于最小相位系統(tǒng)只要繪出對數(shù)幅頻特性就夠了。 系統(tǒng)含有延遲環(huán)節(jié)則屬于非最小相位系統(tǒng)。原因 3322! 31! 211