離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 A, BA, B兩人賭技相同，各兩人賭技相同，各押賭注押賭注3232個(gè)個(gè)金幣，規(guī)定金幣，規(guī)定先勝三局者為先勝三局者為勝勝, ,賭賭博進(jìn)行了一段時(shí)間，博進(jìn)行了一段時(shí)間，A A賭徒賭徒已勝已勝2 2局，局，B B賭徒勝賭徒勝1 1局，發(fā)局，發(fā)生生意外，賭博中斷。意外，賭博中斷。A賭徒賭徒B賭徒賭徒實(shí)力相當(dāng)實(shí)力相當(dāng)兩人該如何分這兩人該如何分這6464金幣？金幣？1 1、有、有1212個(gè)西瓜，其中有個(gè)西瓜，其中有4 4個(gè)重個(gè)重5kg5kg，3 3個(gè)重個(gè)重6kg6kg，5 5個(gè)重個(gè)重7kg7kg，求西，求西瓜的平均質(zhì)量。瓜的平均質(zhì)量。).(1273125

2、73645kg解：西瓜的平均質(zhì)量為解：西瓜的平均質(zhì)量為1212個(gè)西瓜的總質(zhì)量除以西瓜的總個(gè)數(shù)，個(gè)西瓜的總質(zhì)量除以西瓜的總個(gè)數(shù)，即：即： 上式也可以寫成：上式也可以寫成：).(1273125712361245kg由上式可知，平均質(zhì)量等于各個(gè)質(zhì)量乘相應(yīng)的比例再求和。由上式可知，平均質(zhì)量等于各個(gè)質(zhì)量乘相應(yīng)的比例再求和。問題問題1 1：混合后，每：混合后，每1kg1kg糖的平均價(jià)格為多少？糖的平均價(jià)格為多少？問題問題2 2：若在混合糖果中任取一粒糖果，用隨機(jī)變量：若在混合糖果中任取一粒糖果，用隨機(jī)變量 X X表示這顆糖果的單價(jià)（元表示這顆糖果的單價(jià)（元/kg/kg），寫出），寫出X X的的 分布列。分

3、布列。2 2、某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為、某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為1818元元/kg/kg，2424元元/kg/kg，3636元元/kg/kg的的3 3種糖果種糖果按按3 3：2 2：1 1的比例混合銷售，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？的比例混合銷售，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？612636362418PX)36(36)24(24)18(18XPXPXP合理價(jià)格：)/(23613662246318kg元平均價(jià)格為問題問題3: 3: 作為顧客，買了作為顧客，買了1kg1kg糖果要付糖果要付2323元，而顧客元，而顧客 買的這買的這1kg1kg糖果的真實(shí)價(jià)格一定是糖果的真實(shí)價(jià)格一定是2323元嗎？元嗎？一、離散型

4、隨機(jī)變量取值的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：nniipxpxpxpxEX2211則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望。P1xix2x1p2pipnxnpX它反映了離散型隨機(jī)變量取值的它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平平均水平。X1234Pa4141411 1、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量X X的概率分布為：的概率分布為：求求X X的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。2 2、A A、B B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出現(xiàn)的次品的概率如下表所示：品時(shí)，出現(xiàn)的次品的概率如下表所示：次品數(shù)次品數(shù)X X0123P0.70.20.06 0.04A A

5、機(jī)床：機(jī)床：次品數(shù)次品數(shù)Y Y0123P0.80.06 0.04 0.1B B機(jī)床：機(jī)床：?jiǎn)枺耗囊慌_(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好？問：哪一臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量較好？ 3 3、A, BA, B兩人賭技相同，各兩人賭技相同，各押賭注押賭注3232個(gè)個(gè)金幣，規(guī)定金幣，規(guī)定先勝三局先勝三局者為勝者為勝, ,賭賭博進(jìn)行了一段時(shí)間，博進(jìn)行了一段時(shí)間，A A賭徒賭徒已勝已勝2 2局，局，B B賭徒勝賭徒勝1 1局，局，發(fā)發(fā)生意外，賭博中斷生意外，賭博中斷。兩人該如何分配這。兩人該如何分配這6464個(gè)金幣？個(gè)金幣？問問題題3 3：離散型隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量量X X的期望與的期望與X X可能取值的算術(shù)平均數(shù)相可能取值的算術(shù)平均數(shù)

6、相同嗎？同嗎？ 期望的計(jì)算是從概率分布出發(fā)，因而它是概率意義下期望的計(jì)算是從概率分布出發(fā)，因而它是概率意義下的平均值。隨機(jī)變的平均值。隨機(jī)變量量X X取每個(gè)值時(shí)概率不同導(dǎo)致了期望不同取每個(gè)值時(shí)概率不同導(dǎo)致了期望不同于初中所學(xué)的算術(shù)平均數(shù)。于初中所學(xué)的算術(shù)平均數(shù)。問問題題4 4：離散型隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量量X X的期望與的期望與X X可能取值的算術(shù)平均數(shù)何可能取值的算術(shù)平均數(shù)何時(shí)相等？時(shí)相等？X123456p6 61 16 61 16 61 16 61 16 61 16 61 127616615614613612611EX276654321為可能取值的算術(shù)平均數(shù)X 例例1 1：隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，

7、求所得骰子的：隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)X X的的期望。期望。 變式：將所得點(diǎn)數(shù)的變式：將所得點(diǎn)數(shù)的2 2倍加倍加1 1作為得分?jǐn)?shù)，即作為得分?jǐn)?shù)，即Y=2X+1Y=2X+1，試求，試求Y Y的的 期期望？望？所以隨機(jī)變量所以隨機(jī)變量Y Y的均的均值為值為: :=2EX+1=2EX+1 P13119753Y161616161616861136111619617615613EY設(shè)YaXb，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量（1） Y的分布列是什么？（2） E(Y)=？思考：P1xix2x1p2pipnxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(P1x2x1p2pnxnpXP1x2x

8、1p2pnxnpXbax 1bax 2baxn nnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxa bXaE)(Y YaXaXb b一、離散型隨機(jī)變量取值的均值nniipxpxpxpxEX 2211P1xix2x1p2pipnxnpX二、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（線性性質(zhì)）baEXbaXE )(1、隨機(jī)變量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)則E(X)= . 2、隨機(jī)變量的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，則E(Y)= . 5.847910P0.3ab0.2E（）=7.5,則a= b= .0.40.1例例1.1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中

9、每次罰球命中得籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1 1分，罰不中得分，罰不中得0 0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.70.7，則他罰球，則他罰球1 1次的得分次的得分X X的均值是多少？的均值是多少？一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，X10Pp1p則則pppEX)1 (01兩點(diǎn)分布的期望兩點(diǎn)分布的期望變式變式1.1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1 1分，罰不中得分，罰不中得0 0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.70.7，則他，則他連續(xù)罰球連續(xù)罰球3 3次次的的得分得分X X的均值是多少？的均值是

10、多少？X0123P33 . 0分析：分析： X XB B（3 3，0.70.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 27 . 03 例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？變式變式2.2.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1 1分，罰不中得分，罰不中得0 0分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為p p，則他，則他連續(xù)罰球連

11、續(xù)罰球n n次次的得分的得分X X的均值是多少？的均值是多少？x x01knp111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p qX X的分布列如下：的分布列如下：00nnC p q分析：分析： X XB B（n n，p p）則則 .npEX 證明：證明：n n) ), ,0 0, ,1 1, ,2 2, ,( (k kq qp pC Ck k) )P P( (X Xk kn nk kk kn n 所以所以若XB(n，p)，則EXnp 證明：若XB(n，p)，則EXnp 3-332-221 -11003210nnnnnnnnqpCqpCqpCqpCEX0qpCnqpCknnnknk

12、kn322121111001(nnnnnnqpCqpCqpCnp)0111)1()1(111qpCqpCnnnknkknnpqpnpn1)(2；一般地，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即XB（n,p），則E(X)=np結(jié)論：1；一般地，如果隨機(jī)變量X服從 兩點(diǎn)分布（1，p)，則E(X)p3， 一個(gè)袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 .34，隨機(jī)變量XB（8，p），已知X的均值E(X)=2，則P（x=3)= . 例例2.一個(gè)袋子里裝有大小相同的一個(gè)袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和個(gè)紅球和2個(gè)黃球，個(gè)黃球，從中摸出從中摸出3個(gè)球個(gè)球.（1）求得到黃

13、球個(gè)數(shù)）求得到黃球個(gè)數(shù)的分布列；的分布列；（2）求）求的期望。的期望。小結(jié)：一般地,如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則 NnMXE超幾何分布的數(shù)學(xué)期望超幾何分布的數(shù)學(xué)期望例3. 假如你 是一位商場(chǎng)經(jīng)理，在五一那天想舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料顯示，若在商場(chǎng)內(nèi)舉行促銷活動(dòng)，可獲利2萬(wàn)元；若在商場(chǎng)外舉行促銷活動(dòng)，則要看天氣情況:不下雨可獲利10萬(wàn)元，下雨則要損失4萬(wàn)元。氣象臺(tái)預(yù)報(bào)五一那天有雨的概率是40%，你應(yīng)選擇哪種促銷方式？解：設(shè)商場(chǎng)在商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)中獲得經(jīng)濟(jì)效益為X萬(wàn)元，則X的分布列為0.40.6410PXE X = 100.6(4) 0.4 = 4.4萬(wàn)元2萬(wàn)元,故應(yīng)選擇在

14、商場(chǎng)外搞促銷活動(dòng)。例例4：一次單元測(cè)驗(yàn)由一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)個(gè)選項(xiàng).其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對(duì)得其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確，每題選對(duì)得5分分.不選或不選或選錯(cuò)不得分，滿分選錯(cuò)不得分，滿分100分分.學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從各選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè).分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值分別求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值.思路分析：設(shè)甲、乙選對(duì)題數(shù)分別為X1、X2，則甲、乙兩人的成績(jī)分別為Y1= 5X1、Y2= 5X2，

15、問題轉(zhuǎn)化為求:E(Y1)= E(5X1)= E(Y2) =E(5X2)=思考：X1、X2服從什么分布？5E(X1)5E(X2)解： 設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次單元測(cè)驗(yàn)中選對(duì)的題數(shù)分別是X1和X2，則 X1B(20，0.9)， X2B(20，0.25)，EX1200.918， EX2200.255由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X1和5X2。所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是E(5X1)5EX151890，E(5X2)5EX25525為為他們射擊的分布律分別他們射擊的分布律分別乙兩個(gè)射手乙兩個(gè)射手、甲甲,試問哪個(gè)射手技術(shù)較好試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?誰(shuí)的技術(shù)比較好誰(shuí)的技術(shù)比

16、較好? ?乙射手乙射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1環(huán)環(huán) XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2環(huán)環(huán) XE.,21XX數(shù)分別為數(shù)分別為設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)設(shè)甲、乙射手擊中的環(huán)故甲射手的技術(shù)比較好故甲射手的技術(shù)比較好.反思：1、用定義求隨機(jī)變量均值的一般步驟：1）找出隨機(jī)變量的可能取值；反思：2、求隨機(jī)變量均值的一般方法：1）利用定義求均值；2）求出分布列3）利用定義（公式）求均值。2）利用線性性質(zhì)求

17、均值。3）兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布直接用公式求均值。（廣東卷17）（本小題滿分13分）隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20件、次品件、次品4件已知生產(chǎn)件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、萬(wàn)元、2萬(wàn)元、萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而萬(wàn)元，而1件次品虧損件次品虧損2萬(wàn)元設(shè)萬(wàn)元設(shè)1件件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為X（1）求）求X的分布列；的分布列；（2）求）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即X的數(shù)學(xué)期望）；的數(shù)學(xué)期望）；（3

18、）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為率降為1%，一等品率提高為，一等品率提高為70%如果此時(shí)要求如果此時(shí)要求1件件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？多少？高考鏈接：【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；， ， , 故的分布列為：63. 0200126)6(XP25. 020050)2(XP1 . 020020) 1(XP02. 02004)2(XP0.020.10.250.63P-2126X34. 402. 0)2(1 . 0125. 0263. 06EX（2）)2

19、9. 00(76. 401. 0)2(1)01. 07 . 01 (27 . 06)(xxxxxE73. 4)(xE73. 476. 4 x03. 0 x（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為依題意， ，即 ，解得 所以三等品率最多為3%應(yīng)用概念步驟期望的概念期望為我們提供了實(shí)際問題決策的理論依據(jù)。求期望的三個(gè)步驟 方法求期望的三種方法隨機(jī)變量的均值與樣本平均值有何區(qū)別和聯(lián)系？ 區(qū)別：隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，而樣本平均值隨著樣本的不同而變化的，是一個(gè)隨機(jī)變量。 聯(lián)系：隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體均值（隨機(jī)變量的均值）。 (2010衡陽(yáng)模擬衡陽(yáng)模擬)一廠

20、家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有件，其中有n件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否件次品，用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽檢以決定是否接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產(chǎn)品檢查(取出的產(chǎn)取出的產(chǎn)品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且箱產(chǎn)品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品用戶拒絕接收這箱產(chǎn)品(1)若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是若這箱產(chǎn)品被用戶接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的條

21、件下，記抽檢的產(chǎn)品次品件數(shù)為的條件下，記抽檢的產(chǎn)品次品件數(shù)為X，求，求X的分布的分布列和數(shù)學(xué)期望列和數(shù)學(xué)期望作業(yè)：【解】【解】(1)設(shè)設(shè)“這箱產(chǎn)品被用戶接收這箱產(chǎn)品被用戶接收”為事件為事件A，n2.(2)X的可能取值為的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列為：的概率分布列為：X123P1828109()123.5454545E X 1(2010河南六市聯(lián)考河南六市聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的甲、乙、丙、丁四人參加一家公司的招聘面試公司規(guī)定面試合格者可簽約甲、乙面試合格招聘面試公司規(guī)定面試合格者可簽約甲、乙面試合格 就就簽約；丙、丁面

22、試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽簽約；丙、丁面試都合格則一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)每人面試合格的概率都是約設(shè)每人面試合格的概率都是 ，且面試是否合格互不，且面試是否合格互不影響求：影響求： (1)至少有三人面試合格的概率；至少有三人面試合格的概率； (2)恰有兩人簽約的概率；恰有兩人簽約的概率； (3)簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望解：解：(1)設(shè)設(shè)“至少有至少有3人面試合格人面試合格”為事件為事件A，則則P(A)(2)設(shè)設(shè)“恰有恰有2人簽約人簽約”為事件為事件B，“甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約甲、乙兩人簽約，丙、丁兩人都不簽約”為事件為事件B1；“甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約甲、乙兩人都不簽約，丙、丁兩人簽約”為事件為事件B2；則：則：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)設(shè)設(shè)X為簽約人數(shù)為簽約人數(shù)X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819E X 其規(guī)律為其規(guī)律