數(shù)列求和常見的7種方法

1、-數(shù)列求和的根本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法： 利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法合并法求和利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個根本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底. 在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大局部數(shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的根本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和

2、公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、例1，求的前n項和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 利用常用公式 1例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， 利用常用公式 當(dāng) ，即n8時，二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè).設(shè)制錯位得 錯位相減再利用等比數(shù)列的求和公式得：例4 求數(shù)列前n項的和.解：

3、由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè)設(shè)制錯位得錯位相減三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列反序，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例5 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得反序 又由可得.+得 反序相加例6 求的值解：設(shè).將式右邊反序得.反序 又因為 +得 反序相加89 S44.5題1 函數(shù)1證明：；2求的值.解：1先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊2利用第1小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所以.練習(xí)、求值：四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個

4、等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項和：，解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得分組當(dāng)a1時， 分組求和當(dāng)時，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得Sn分組 分組求和 五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終到達求和的目的. 通項分解裂項如：1 23 45(6) 78例9 求數(shù)列的前n項和.解：設(shè)裂項則 裂項求和 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.解： 裂項 數(shù)列bn的前n項和裂項求和 例11 求證：解：設(shè)裂項裂項

5、求和 原等式成立答案：六、分段求和法合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將*些項合并在一起就具有*種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° 找特殊性質(zhì)項Sn cos1°+ cos179°+ cos2

6、°+ cos178°+cos3°+ cos177°+···+cos89°+ cos91°+ cos90° 合并求和 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得找特殊性質(zhì)項S2002合并求和 5例14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，假設(shè)的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) 找特殊性質(zhì)項和對數(shù)的運算性質(zhì) 得合并求和 10七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造及特征進展分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項提醒的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例15 求之和.解：由于找通項及特征 分組求和例16 數(shù)列an：的值.解：找通項及特征 設(shè)制分組 裂項分組、裂項求和 提高練習(xí)：1數(shù)列中，是其前項和，并且