2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)知識能否憶起一、常用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0減(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(diǎn)(1,1)二、二次函數(shù)1二次函數(shù)的定義形如f(x)ax2bxc(a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)2二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>0a<0圖象圖象特點(diǎn)對稱軸：x；頂點(diǎn)：性

2、質(zhì)定義域xR值域yy奇偶性b0時(shí)為偶函數(shù)，b0時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)單調(diào)性x，時(shí)遞減，x，時(shí)遞增x時(shí)遞增，x時(shí)遞減小題能否全取1若f(x)既是冪函數(shù)又是二次函數(shù)，則f(x)可以是()Af(x)x21Bf(x)5x2Cf(x)x2 Df(x)x2解析：選D形如f(x)x的函數(shù)是冪函數(shù)，其中是常數(shù)2(教材習(xí)題改編)設(shè)，則使函數(shù)yx的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有值為()A1,3 B1,1C1,3 D1,1,3解析：選A在函數(shù)yx1，yx，yx，yx3中，只有函數(shù)yx和yx3的定義域是R，且是奇函數(shù)，故1,3.3(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是()A. B.C

3、. D.解析：選C由題意知即得a>.4(教材習(xí)題改編)已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為_解析：設(shè)冪函數(shù)的解析式為yx，則3，得2.故yx2.答案：yx25如果函數(shù)f(x)x2(a2)xb(xa，b)的圖象關(guān)于直線x1對稱，則函數(shù)f(x)的最小值為_解析：由題意知得則f(x)x22x6(x1)255.答案：51.冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)(1)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)經(jīng)過第一象限，一定不會(huì)經(jīng)過第四象限，是否經(jīng)過第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性；(2)冪函數(shù)的圖象最多只能經(jīng)過兩個(gè)象限內(nèi)；(3)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)2與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題(1)ax2bx

4、c>0，a0恒成立的充要條件是(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要條件是注意當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)典題導(dǎo)入例1已知冪函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函數(shù)，則m_.自主解答函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3是冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1.當(dāng)m2時(shí)，5m313，函數(shù)yx13在(0，)上是減函數(shù)；當(dāng)m1時(shí)，5m32，函數(shù)yx2在(0，)上是增函數(shù)m1.答案1由題悟法1冪函數(shù)yx的圖象與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個(gè)方面考查：(1)的正負(fù)：>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1,1)，在第一象限的圖象上升；<0時(shí)

5、，圖象不過原點(diǎn)，在第一象限的圖象下降(2)曲線在第一象限的凹凸性：>1時(shí)，曲線下凸；0<<1時(shí)，曲線上凸；<0時(shí)，曲線下凸2在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵以題試法1(1)如圖給出4個(gè)冪函數(shù)大致的圖象，則圖象與函數(shù)對應(yīng)正確的是()Ayx，yx2，yx，yx1Byx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx，yx，yx2，yx1解析：選B由圖知，該圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時(shí)，圖象是向下凸的，結(jié)合選項(xiàng)知選B.(2)(2013·淄博模擬)

6、若a<0，則下列不等式成立的是()A2a>a>(0.2)aB(0.2)a>a>2aC.a>(0.2)a>2a D2a>(0.2)a>a解析：選B若a<0，則冪函數(shù)yxa在(0，)上是減函數(shù)，所以(0.2)a>a>0.所以(0.2)a>a>2a.求二次函數(shù)的解析式典題導(dǎo)入例2已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)與f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求g(x)解析式自主解答(1)由于f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和2，所以可設(shè)f(x)ax(x2)(a0)，這時(shí)f(x)ax(x2

7、)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是函數(shù)g(x)圖象上任一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)P(x，y)必在f(x)圖象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.由題悟法求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法合理選擇解析式的形式，并根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式，把問題轉(zhuǎn)化為方程(組)求解是解決此類問題的基本方法以題試法2設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)0x2時(shí)，yx，當(dāng)x>2時(shí)，yf(x)的圖象是頂點(diǎn)為P(3,4)，且過點(diǎn)A(2,2)的拋物線的一部分(1)求函數(shù)f

8、(x)在(，2)上的解析式；(2)在下面的直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)f(x)的草圖；(3)寫出函數(shù)f(x)的值域解：(1)設(shè)頂點(diǎn)為P(3,4)且過點(diǎn)A(2,2)的拋物線的方程為ya(x3)24，將(2,2)代入可得a2，則y2(x3)24，即x>2時(shí)，f(x)2x212x14.當(dāng)x<2時(shí)，即x>2.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)2×(x)212x14，即f(x)2x212x14.所以函數(shù)f(x)在(，2)上的解析式為f(x)2x212x14.(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖，(3)由圖象可知，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，4二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)典題導(dǎo)入例3已知函數(shù)f(x)

9、x22ax3，x4,6(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)自主解答(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6所以f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，故f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.故a的取值范圍為(，64，)本例條件不變，求當(dāng)a1時(shí)，f(|x|)的單調(diào)區(qū)間解：當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，則f(|x|)x22|x|3，此時(shí)定義域?yàn)閤

10、6,6，且f(x)故f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0由題悟法解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)要注意：(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的求法以題試法3(2012·泰安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時(shí)有最大值2，則a的值為_解析：f(x)(xa)2a2a1，當(dāng)a>1時(shí)，ymaxa；當(dāng)0a1時(shí)，ymaxa2a1；當(dāng)a0時(shí)，ymax1a.根據(jù)已知條件或或解得a2或a1.答案：2或1二次函數(shù)的綜合問題典題導(dǎo)入例4(201

11、2·衡水月考)已知函數(shù)f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)<b·g(x)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍自主解答(1)xR，f(x)<bg(x)xR，x2bxb<0(b)24b>0b<0或b>4.故b的取值范圍為(，0)(4，)(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24.當(dāng)0，即m時(shí)，則必需m0.當(dāng)>0，即m<或m>時(shí)，設(shè)方程F(x)0的根為x1，x2(x1<x2)若1，則x10，即m2；若0，則x2

12、0，即1m.綜上所述，m的取值范圍為1,02，)由題悟法二次函數(shù)與二次方程、二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們之間有著密切的聯(lián)系，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體因此，有關(guān)“三個(gè)二次”的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法以題試法4若二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)>2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)由f(0)1，得c1.即f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，則a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axa

13、b2x，所以解得因此，f(x)x2x1.(2)f(x)>2xm等價(jià)于x2x1>2xm，即x23x1m>0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m1>0得，m<1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)1已知冪函數(shù)f(x)x的部分對應(yīng)值如下表：x1f(x)1則不等式f(|x|)2的解集是()Ax|0<xBx|0x4Cx|x Dx|4x4解析：選D由f，即f(x)x，故f(|x|)2|x|2|x|4，故其解集為x|4x42已知函數(shù)yax2b

14、xc，如果a>b>c且abc0，則它的圖象可能是()解析：選Da>b>c，且abc0，a>0，c<0.圖象開口向上與y軸交于負(fù)半軸3已知f(x)x，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是()Af(a)<f(b)<f<fBf<f<f(b)<f(a)Cf(a)<f(b)<f<fDf<f(a)<f<f(b)解析：選C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x在(0，)上是增函數(shù)，又0<a<b<<，故f(a)<f(b)<f<f.4已知f(x)x2bxc且f(1

15、)f(3)，則()Af(3)<c<f Bf<c<f(3)Cf<f(3)<c Dc<f<f(3)解析：選D由已知可得二次函數(shù)圖象關(guān)于直線x1對稱，則f(3)f(5)，cf(0)f(2)，二次函數(shù)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，故有f(3)f(5)>f>f(2)f(0)c.5設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2解析：選D二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a>0，即函數(shù)圖

16、象的開口向上，對稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當(dāng)f(m)f(0)時(shí)，有0m2.6若方程x22mx40的兩根滿足一根大于1，一根小于1，則m的取值范圍是()A. B.C(，2)(2，) D.解析：選B設(shè)f(x)x22mx4，則題設(shè)條件等價(jià)于f(1)<0，即12m4<0，解得m>.7對于函數(shù)yx2，yx有下列說法：兩個(gè)函數(shù)都是冪函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；它們的圖象關(guān)于直線yx對稱；兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)；兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)、(1,1)；兩個(gè)函數(shù)的圖象都是拋物線型其中正確的有_解析：從兩個(gè)函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)去進(jìn)行比較答案：8(2012

17、83;北京西城二模)已知函數(shù)f(x)x2bx1是R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b_，不等式f(x1)<x的解集為_解析：因?yàn)閒(x)x2bx1是R上的偶函數(shù)，所以b0，則f(x)x21，解不等式(x1)21<x，即x23x2<0得1<x<2.答案：0x|1<x<29若x0，y0，且x2y1，那么2x3y2的最小值為_解析：由x0，y0，x12y0知0y，令t2x3y23y24y2，則t32.在上遞減，當(dāng)y時(shí)，t取到最小值，tmin.答案：10如果冪函數(shù)f(x)xp2p(pZ)是偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式解：f(x)在

18、(0，)上是增函數(shù)，p2p>0，即p22p3<0.1<p<3.又f(x)是偶函數(shù)且pZ，p1，故f(x)x2.11已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)A(1,0)、B(3,0)、C(1，8)(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x0,3上的最值；(3)求不等式f(x)0的解集解：(1)由題意可設(shè)f(x)a(x1)(x3)，將C(1，8)代入得8a(11)(13)，得a2.即f(x)2(x1)(x3)2x24x6.(2)f(x)2(x1)28，當(dāng)x0,3時(shí)，由二次函數(shù)圖象知，f(x)minf(1)8，f(x)maxf(3)0.(3)f(x)0的解集為x|x1，或x312已

19、知函數(shù)f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在區(qū)間2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)f(x)m·x在2,4上單調(diào)，求m的取值范圍解：(1)f(x)a(x1)22ba.當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在2,3上為增函數(shù)，故當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在2,3上為減函數(shù)，故(2)b<1，a1，b0，即f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，g(x)在2,4上單調(diào)，2或4.m2或m6.1已知yf(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)(x1)2，若當(dāng)x時(shí)，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為()A. B.C. D1解析

20、：選D當(dāng)x<0時(shí)，x>0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.2(2012·青島質(zhì)檢)設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a，b上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)yf(x)g(x)在xa，b上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f(x)和g(x)在a，b上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間a，b稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”若f(x)x23x4與g(x)2xm在0,3上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為_解析：由題意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)ym與yx25x4(x0,3)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x2

21、,3時(shí)，yx25x4，故當(dāng)m時(shí)，函數(shù)ym與yx25x4(x0,3)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)答案：3(2013·濱州模擬)已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0，bR，cR)(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(xiàn)(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在區(qū)間(0,1上恒成立，試求b的取值范圍解：(1)由已知得c1，abc0，1，解得a1，b2.則f(x)(x1)2.則F(x)故F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由題意得f(x)x2bx，原命題等價(jià)于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又當(dāng)x(0,1時(shí)，x的最小值為0，x的最大值為2，故2b0.1比較下列各組中數(shù)值的大小(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.1，3.8，(1.4)；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函數(shù)y3x是增函數(shù)，故30.8>30.7.(2)yx3是增函數(shù)，故0.213<0.233.(3)4.