數(shù)學(xué)建模關(guān)于擴(kuò)散問(wèn)題的建模

1、-關(guān)于金屬汞擴(kuò)散的問(wèn)題農(nóng)藥的擴(kuò)散問(wèn)題引言：我們都知道，重金屬丟棄到土地后會(huì)嚴(yán)重污染環(huán)境，同時(shí)對(duì)人體*造成危害。著名的始皇陵墓，據(jù)專(zhuān)家在陵墓周?chē)?shù)據(jù)觀測(cè)，周?chē)墓砍尸F(xiàn)出外滲的趨勢(shì)。也就是說(shuō)，隨著外圍半徑的擴(kuò)大，汞含量濃度遞減，并且隨著時(shí)間的增加，汞滲透的半徑越來(lái)越大。這就證明了汞金屬在泥土中會(huì)發(fā)生擴(kuò)散。因此，我們就提出，能否通過(guò)在外部取樣的觀察數(shù)據(jù)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，來(lái)判斷陵墓中心處汞的濃度呢.模型的提出：由于汞的擴(kuò)散快慢跟本身的化學(xué)性質(zhì),物理性質(zhì)有關(guān)。還有，由于在土堆里頭，在各個(gè)方向上受到的力不一樣和各種因素的影響，因此擴(kuò)散的速度也會(huì)有差異。例如東西方向和南北方向會(huì)因?yàn)榈厍虻淖詡鞫鴶U(kuò)散速

2、度會(huì)不一樣。另一方面，汞在擴(kuò)散的過(guò)程，由于泥土的吸收，化學(xué)反響等因數(shù)的影響，也會(huì)影響到汞的擴(kuò)散。為此我們引入一個(gè)函數(shù)u(*, y, z, t)，它表示t時(shí)刻在*,y,z處汞的濃度。我們的目標(biāo)就是利用所觀測(cè)到的數(shù)據(jù)，來(lái)推斷出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式。模型符號(hào)的引入：為了表示汞在想 *,y,z 方向上的擴(kuò)散速度，我們?cè)诖艘霐U(kuò)散系數(shù)：*方向上的擴(kuò)散系數(shù)：y方向上的擴(kuò)散系數(shù)：z方向上的擴(kuò)散系數(shù)：由于泥土吸收，化學(xué)反響而引起的衰減系數(shù)M：擴(kuò)散源汞的質(zhì)量模型假設(shè)： 1。假設(shè)有一汞擴(kuò)散源，汞從擴(kuò)散源沿 *，y，z 三個(gè)方向向四周擴(kuò)散。 2。擴(kuò)散前周?chē)臻g此物質(zhì)的濃度為零。 3。擴(kuò)散過(guò)程中沒(méi)有人為因素的影響。模型建

3、立： u(*, y, z, t) 是 t 時(shí)刻點(diǎn) (*, y, z) 處*物質(zhì)的濃度。任取一個(gè)閉曲面 S，它所圍的區(qū)域是，由于擴(kuò)散，從 t 到 時(shí)刻這段時(shí)間，通過(guò) S流入的質(zhì)量為其中 , 分別是沿 *，y，z 方向的擴(kuò)散系數(shù)。 由高斯公式 ：由于衰減，WQ 的質(zhì)量減少為 其中 為衰減系數(shù)。其中，在 t 到 時(shí)刻間由于擴(kuò)散與衰減的合作用，積存于的汞質(zhì)量為另一方面，在 t 到 時(shí)刻間由于濃度的變化引起的質(zhì)量增加為。顯然有：，也就是：由于，的任意性得：上述方程就是汞濃度和時(shí)間關(guān)系的微分方程。 設(shè)汞的擴(kuò)散源在點(diǎn) (, ，) 處，由于擴(kuò)散過(guò)程滿(mǎn)足 Cauchy 問(wèn)題：其中M為擴(kuò)散源的質(zhì)量，經(jīng)求解，得如下

4、關(guān)系：下面我們將利用觀測(cè)所得的數(shù)據(jù)，對(duì)參數(shù) a，b，c，k進(jìn)展估計(jì)，從而得出 u(*, y, z, t) 的近似表達(dá)式。參數(shù)估計(jì)： 條件：擴(kuò)散源的質(zhì)量 M；擴(kuò)散源的位置：()；時(shí)刻的觀測(cè)取樣值 ()， 為 時(shí)刻 () 處物質(zhì)的濃度，i = 1, , n。 假設(shè)取樣時(shí)刻為 ，作變量替換 t，則有t，從而 于是可以令觀測(cè)取樣值的取樣時(shí)刻為 = 1。于是，() 滿(mǎn)足其次考慮參數(shù)估計(jì)。對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)，有為便于求解，下面分別令：則有如下關(guān)系式：由于我們獲得的觀測(cè)取樣值 () 可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的觀測(cè)取樣值 ()，于是利用多元回歸分析可以求出 a的估計(jì)值，從而得到參數(shù) a，b，c，k的估計(jì)值。 最后，將參數(shù) a，b，c，k 的估計(jì)值代入，就得到 u(*, y, z,t) 的近似表達(dá)式。模型分析：1 文中所建立的汞擴(kuò)散模型不僅可以從局部進(jìn)展分析，還可以從整體上進(jìn)展分析。2. 本模型還可以拓展到其他有關(guān)擴(kuò)散問(wèn)題的模型求解。3. 該模型主要運(yùn)用了微分方程和概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),在多維正態(tài)方程和概率統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換求解方面存在一定的難度。4.該模型由于沒(méi)有觀測(cè)數(shù)據(jù)，以此無(wú)法求出其具體表達(dá)式. 5.在模型建立過(guò)程，因沒(méi)有考慮到土壤因素，人為因素的影響，因此具有一定的局限性。 6.該模型的建立，由于沒(méi)有實(shí)際進(jìn)展數(shù)據(jù)調(diào)查，因此只是從理