第5章地球物理中常用數(shù)值解法基本原理-有限元素法

1、計(jì)算地球物理地球物理與信息工程學(xué)院 物探系周 輝2014年第五章 地球物理中常用數(shù)值解法的基本原理有限元素法 內(nèi)容第一節(jié) 幾個(gè)基本概念第二節(jié) 邊值問題的變分形式第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題第四節(jié) Ritz-Galerkin方法第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法第一節(jié) 幾個(gè)基本概念 有限元法，實(shí)質(zhì)上就是Ritz-Galerkin法。它和傳統(tǒng)的Ritz-Galerkin法的主要區(qū)別在于，它應(yīng)用樣條函數(shù)方法提供了一種選取“局部基函數(shù)”或“分片多項(xiàng)式空間”的新技巧，從而在很大程度上克服了Ritz-Galerkin法選取基函數(shù)的固有困難。 有限元法首先成功地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)和固體力學(xué)，以后又用于流體力學(xué)、物理學(xué)和

2、其它工程科學(xué)。有限元法和差分法一樣，已成為求解偏微分方程，特別是橢圓型偏微分方程的一種有效數(shù)值方法。 伽遼金（Galerkin）法是由俄羅斯數(shù)學(xué)家伽遼金發(fā)明的一種數(shù)值分析方法。應(yīng)用它可以將求解微分方程問題（通過方程所對應(yīng)泛函的變分原理）簡化成為線性方程組的求解問題，從而達(dá)到求解微分方程的目的。 伽遼金法采用微分方程對應(yīng)的弱形式，其原理為通過選取有限多項(xiàng)試函數(shù)（又稱基函數(shù)或形函數(shù)），將它們疊加，再要求結(jié)果在求解域內(nèi)及邊界上的加權(quán)積分（權(quán)函數(shù)為試函數(shù)本身）滿足原方程，便可以得到一組易于求解的線性代數(shù)方程，且自然邊界條件能夠自動(dòng)滿足。 必須強(qiáng)調(diào)指出的是，伽遼金法所得到的只是在原求解域內(nèi)的一個(gè)近似解。

3、 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念有限元法的基本問題可歸納為：（1）把問題轉(zhuǎn)化成變分形式；（2）選定單元的形狀，對求解域作剖分；（3）構(gòu)造基函數(shù)或單元形狀函數(shù)；（4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收斂性及誤差估計(jì)。 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念第一節(jié) 幾個(gè)基本概念 測度：有界開集和有界閉集的測度是區(qū)間長度的直接推廣。 E是有界集存在常數(shù)M，使對任意的12( ,)nxx xxE，都有|(1,2, )ixM in. 有界集 E 的外測度*11inf,iiiim EIIE， inf表示最左邊的意思。 有界集 E 的內(nèi)測度有界集 E 所包含的一切有界閉集的測度的上

4、確界，稱為 E 的內(nèi)測度，記為*m E。上確界表示最右邊的意思。 可測集設(shè) E 是有界點(diǎn)集，當(dāng) E 的內(nèi)測度 m*E = E 的外測度 m*E 時(shí)，稱 E 為勒貝格可測集，簡稱 L 可測集。 可測函數(shù)： 設(shè) f x是可測集 E 上的函數(shù)， 若對于任意實(shí)數(shù) a，集合 E x f xa也是可測集，則稱 f x是可測函數(shù)。 m*(E)=infG|E包含于G且G為開集，此乃外測度。m*(E)=supF|E包含F(xiàn)且F為閉集，此乃內(nèi)測度。從外面測，用一個(gè)最小的集合來套它，從內(nèi)部測，用一個(gè)最大的集合來充填它。無論內(nèi)外力求嚴(yán)絲密縫。第一節(jié) 幾個(gè)基本概念泛函：簡單地說， 泛函就是定義域是一個(gè)函數(shù)，而值域是一個(gè)實(shí)

5、數(shù)， 推廣開來， 泛函就是從任意的向量空間到標(biāo)量的映射。 設(shè)y(x)是給定的函數(shù)集，如果對于這個(gè)函數(shù)集中任一函數(shù) y(x) 恒有某個(gè)確定的數(shù)與之對應(yīng)，記為 (y(x)，則(y(x)是定義于集合y(x)上的一個(gè)泛函。 泛函也是一種“函數(shù)”， 它的獨(dú)立變量一般不是通常函數(shù)的“自變量”，而是通常函數(shù)本身。泛函是函數(shù)的函數(shù)。 抽象空間中定義的函數(shù)。 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念距離空間： 設(shè) R 為一個(gè)非空集合，對于 R 中的任意一對元素 x，y，若有一個(gè)確定的實(shí)數(shù), x y滿足 1）0, x y（非負(fù)性） ，當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)取等號(hào)； 2）,x yy x（對稱性） ； 3）若, ,x y zR，則必有,x

6、 yy zx z（三點(diǎn)不等式） ， 則, x y稱為 x，y 之間的距離，R 稱為距離空間。 設(shè) f x是距離空間X到1R(數(shù)軸)的映射，則稱 f x為泛函。 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念線性空間： 設(shè) k 是實(shí)（或復(fù)）數(shù)域，若下列條件成立，便稱 X 為一實(shí)（復(fù)）線性空間： 1）可以在集合 X 中定義加法運(yùn)算，即對任何, ,x y zX，則 xyX，且滿足xyyx（交換律） ， zxxyyz（結(jié)合律） ； 2）對任何,k ，, x yX，定義數(shù)乘，即xX，且滿足 xxx; xx ; xyxy; 1 xx; 3）在 X 中存在零元素，記為“0” ，它滿足 0 xx 4）對每個(gè)xX，存在 x 的加法逆元素

7、，記為“-x” X，使0 xx 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念線性賦范空間： 設(shè) X 是線性空間，若對其中任一元素xX,可以引入一個(gè)與之對應(yīng)的數(shù)，記為x，它滿足以下條件： 1）0 x（非負(fù)性） ，等號(hào)只在0 x 時(shí)成立； 2）xx（正齊次性） ，為絕對值或模； 3）xyyx（三角不等式） 稱x為 x 的范數(shù)，稱 X 為線性賦范空間。 在線性賦范空間中，可以用范數(shù)定義距離： 若, x yX,則, x yxy 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念內(nèi)積空間： 設(shè) H 是實(shí)數(shù)域 R1上的線性空間， 若對其中任意元素, x yH,可以定義一個(gè)實(shí)數(shù)，記為x y，它滿足以下四條公理： 1）aax yx y（1aR的任意實(shí)數(shù)） ； 2

8、）,zzHxyy zx z； 3）x yy x（在復(fù)線性空間中為x yy x） ； 4）0 x x，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)成立， 則稱x y為 x 與 y 的內(nèi)積，稱 H 為內(nèi)積空間。 范數(shù)xx x 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念完備空間： 完備空間或者完備度量空間是具有下述性質(zhì)的空間： 空間中的任何柯西序列都收斂在該空間之內(nèi)。 直觀上講，一個(gè)空間完備就是指“沒有孔”且“不缺皮”，兩者都是某種“不缺點(diǎn)”。 在數(shù)學(xué)中，一個(gè)柯西序列是指，其元素隨著序數(shù)的增加而愈發(fā)靠近?？挛餍蛄械亩x依賴于距離的定義，所以只有在度量空間中柯西列才有意義。 例子：有理數(shù)空間不是完備的，因?yàn)?的有限位小數(shù)表示是一個(gè)柯西序列，但

9、是其極限2不在有理數(shù)空間內(nèi)。 實(shí)數(shù)空間是完備的，開區(qū)間(0,1)不是完備的。 正交系全在某空間中，則該空間為完備空間。 Hilbert 空間: 完備的內(nèi)積空間。 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念Lebesque（勒貝格）積分：設(shè) yf x是在集合,Ea b上的有界函數(shù)，它的值域是,A B。 在,A B中插入分點(diǎn) 012nAyyyyB， 考慮集合 1kkkex yf xy，它是 E 的子集。 （1） 所有12,ne ee互不相交 （2） 12nEeee （3） 對每個(gè)ke可求出它的測度，記為kme （4） 1nkkmEme xyabABekyk-1ykek第一節(jié) 幾個(gè)基本概念引入勒貝格積分和 1nnkkkT

10、me，1,kkkyy 再考慮大和與小和111,nnnkknkkkkSy mesyme 它們都是有界的，且 nnnsTS, 11nnnkkkkSsyyme 令1maxkkklyy，于是對任意 n，nnSsl mE ，從而 ,nnS s有共同的極限，記為S，按11nnnkkkkSsyyme知 ，nT也 有 極 限S。 仍 用 積 分 符 號(hào) ESf x dx。 將 ESf x dx定義的積分稱為 f x在點(diǎn)集,Ea b上的勒貝格積分。 勒貝格積分不要求被積函數(shù)連續(xù)（與黎曼積分不同） 。 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念L2空間 由全體勒貝格平方可積函數(shù)（存在積分的函數(shù)）組成的完備的函數(shù)空間。 它為線性空間、完

11、備空間。 第一節(jié) 幾個(gè)基本概念第二節(jié) 邊值問題的變分形式 數(shù)學(xué)物理中的變分原理，有重要的理論和實(shí)際意義，也是構(gòu)造微分方程數(shù)值解法的基礎(chǔ)。為了便于理解一般形式的變分原理，先以二次函數(shù)的極值問題為例，介紹變分問題的基本概念和方法。 2.1 二次函數(shù)的極值 在 n 維歐氏空間 中nR12,.,Tn y 邊值問題的變分形式（變分法就是求泛函極值的方法。變分問題就是求泛函的極值問題。） 2.1 二次函數(shù)的極值 考慮 n 個(gè)變量的二次函數(shù)定義 x, y 的內(nèi)積為 F(x) 在 處取極值的必要條件第二節(jié) 邊值問題的變分形式令若A 對稱,則 則二次函數(shù) J(x)于 x0取極值的必要條件是：x0是線性代數(shù)方程組

12、 Axb 的解。 2Ax0b 第二節(jié) 邊值問題的變分形式2.1 二次函數(shù)的極值 定理 1 設(shè)矩陣A對稱正定，則下列兩個(gè)問題等價(jià)： （1）求0nRx使 00minnRJJxxx, （2）求方程組 Axb 的解。 稱為nR上的二次泛函或簡稱泛函數(shù)。 定理 1 表明，在矩陣 A 為對稱正定的條件下，若0 x是極值問題 00minnRJJxxx的解，則它也是線性方程組 Axb 的解；反之亦然。 正定：設(shè)A是n階實(shí)系數(shù)對稱矩陣，如果對任何非零向量x都有xTAx0，就稱A正定。 泛函就是從任意的向量空間到標(biāo)量的映射。 第二節(jié) 邊值問題的變分形式2.1 二次函數(shù)的極值 為了確定并計(jì)算0 x，可采取兩種不同的

13、途徑： 一種是求方程組 Ax=b 的解， 另一種是求泛函數(shù) J x的極小值所對應(yīng)的 x。 求泛函J(x)的極小更有意義：（）因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)物理問題，其直接的數(shù)學(xué)形式就是求意義更廣的“二次泛函”的極小值，只是對解作了某些“光滑性”假設(shè)之后，才歸結(jié)到微分方程；（）即便是熟知的微分方程邊值問題，也寧愿把它化為某一“二次泛函”的極小值問題，因?yàn)閺臉O值問題出發(fā)建立數(shù)值解法往往更靈活方便。 第二節(jié) 邊值問題的變分形式2.1 二次函數(shù)的極值 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 用 u x表示在荷載 f(x) 作用下弦的平衡位置，它滿足 T 是弦的張力（假定是常數(shù)） 強(qiáng)迫振動(dòng)方程：2222,uuT

14、fx ttx,為弦的線密度 由力學(xué)的“極小位能原理” ，弦的平衡位置（記為 *uux）是在滿足邊值條件的一切可能位置中，使位能取最小者。設(shè)弦處于某一位置 u x，計(jì)算它的位能(21,2WT為伸縮率): 外力作功 應(yīng)變位能 3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題總位能 根據(jù)極小位能原理， *uux是下列變分問題的解： *minuJ uJ u 3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題（）兩點(diǎn)邊值問題二者之間應(yīng)具有某種等價(jià)關(guān)系。 根據(jù)極小位能原理， *uux是下列變分問題的解： *minuJ uJ u 3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 確定弦的平衡位置，有兩個(gè)不同形式的數(shù)學(xué)問題：（

15、）變分問題第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題為了精確地表述變分問題，必須指出 J u在哪一個(gè)函數(shù)類里取極小，即要給出 u 屬于哪一個(gè)函數(shù)空間。從位能的計(jì)算公式看出，為使積分有意義，必須對 u，f 作必要的限制。但又不能限制過嚴(yán)而把取極小值的函數(shù) *uux排斥在外。因此，適當(dāng)?shù)剡x取函數(shù)空間十分重要。這樣的空間稱為 Sobolev（索波列夫）空間。 設(shè),Ia bIa b。用 2LI表示由定義在 I 上的平方可積的可測函數(shù)組成的空間，內(nèi)積和范數(shù)分別為 3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題 2LI關(guān)于“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算是線性空間，關(guān)于（， ）是完全內(nèi)積空間，因此 2LI是 Hilbert（希爾伯特

16、）空間。 定義 f 是f的廣義導(dǎo)數(shù)。 1HI是線性空間。于 1HI引進(jìn)內(nèi)積 和范數(shù) 1HI是完全內(nèi)積空間， 因此是 Hilbert 空間， 稱之為 Sobolev （索波列夫）空間。 3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題廣義導(dǎo)數(shù)：用 0CI表示于 I 無窮次可微，且在端點(diǎn) a，b 的某一鄰域內(nèi)（鄰域大小與具體函數(shù)有關(guān)）等于零的函數(shù)類。對于任一于, a b一次連續(xù)可微的函數(shù) f x和任意 0CI，用分部積分法，恒有 利用上式推廣導(dǎo)數(shù)的概念。設(shè) 2fLI，若存在 2gLI，使 恒成立，則說 fx于 I 有廣義導(dǎo)數(shù) g x，記為 3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題若 2

17、,f xL a b有通常意義下的導(dǎo)數(shù) fx，則 fx也是 f x在廣義意義下的導(dǎo)數(shù)，相反的結(jié)論則不一定成立。 f xx在1,1內(nèi)按通常導(dǎo)數(shù)意義下是不可微的。 但對任意的 01,1xc則有 10111001110111xx dxxx dxxx dxx dxx dxg xx dx 1,101,01xg xx 為 f xx的廣義導(dǎo)數(shù)。 3.1 兩點(diǎn)邊值問題弦的平衡 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題從位能的表達(dá)式 看出，當(dāng) 01,fHIuHI時(shí)，位能 J u恒有意義。此外，u 還應(yīng)滿足邊值條件。 1HI中所有滿足齊次邊值條件的函數(shù)類構(gòu)成 1HI的子空間， 記為 10HI或10H。10H就是所要找的函數(shù)空間?，F(xiàn)在可

18、將變分問題 *minuJ uJ u精確地?cái)⑹鰹椋呵?*0uH使 10*minu HJ uJ u 3.2 兩點(diǎn)邊值問題極小位能原理 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題進(jìn)一步分析位能 J u的結(jié)構(gòu)。 引進(jìn)微分算子(算子是表示一種對函數(shù)的運(yùn)算的符號(hào))22d uLuTdx ， 則 22Inner200111,222lld uduLu uTudxTdxWdxdx Out0,lWf ufudx 。 于是總位能 1,2J uLu uf u= = 3.2 兩點(diǎn)邊值問題極小位能原理 #第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題 ,000,0Tufxxluu l 用滿足上述邊值條件的任意函數(shù) v x乘上式的第一式，并在區(qū)間0,xl上積分 00220

19、00000,0lllllllTu vdxfvdxududu dvdu dvTvdxT vTdxTdxxdxdx dxdx dxdu dva u vTdxdx dxa u vf v 3.2 兩點(diǎn)邊值問題虛功原理 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題 ,000,0Tuf xxluu l 20011,1122,22,llduLu uTdxdxLu ua u udu dva u vTdxdx dx ,0a u vf v （虛功原理） 11,22J uLu uf uaf uu u （最小位能原理） 3.2 兩點(diǎn)邊值問題虛功原理 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題 (p-一次連續(xù)可微函數(shù)) 以滿足上式邊值條件的 v 乘微分方程兩端，沿

20、區(qū)間, a b積分 利用分部積分和關(guān)于 u，v 的邊值條件，則 3.2 兩點(diǎn)邊值問題虛功原理 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題 以此代入到積分式，得 ,0a u vf v 邊值問題的變分形式 ,a u v對 u、v 都是線性的，稱為雙線性泛函或雙線性形式。 3.2 兩點(diǎn)邊值問題虛功原理 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題3.2 兩點(diǎn)邊值問題虛功原理 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題 定義：設(shè) V 是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間，映射 f：VV 上的二元函數(shù)， 即對,V ， 根據(jù) f 唯一地對應(yīng)于 P 中一個(gè)數(shù),f ，如果,f 具有性質(zhì)： （1）11221122,fkkk fk f （2）11221122,f kkk fk f 其

21、中121212,V k kP 則,f 成為 V 上的一個(gè)雙線性函數(shù)。 定理 2 設(shè)2uC，則 u 是邊值問題 的解的充要條件是：對任意1EvH，1EuH且滿足變分方程 ,0a u vf v(*) 1EH為1H中滿足左邊界條件 0u a 的函數(shù)組成的子空間。 在力學(xué)里， （*）左端表示虛功，所以也稱定理 2 為虛功原理。當(dāng) u是邊值問題的古典解時(shí)，它也是變分方程（*）的解。像位能原理一樣，變分方程(*)還允許非古典解，這樣的解為邊值問題的廣義解。 虛功原理比位能原理更具有一般性。 3.2 兩點(diǎn)邊值問題虛功原理 第三節(jié) 兩點(diǎn)邊值問題 Ritz-Galerkin (利茲伽遼金)方法是最重要的一種近似

22、解法， 它是有限元法的基礎(chǔ)。 用 V 表示10H，1EH，1H等 Sobolev 空間，0HH是2L空間。L 代表微分算子。,a u v是由 L 及邊值條件決定的雙線性形式，它由,Lu v經(jīng)過分部積分并代入邊值條件后得到。得出,a u v的表達(dá)式后，,u v就無需滿足自然邊值條件（ 0ub）了，但本質(zhì)邊值條件（u(a)=0）仍需滿足，就是說，,u v應(yīng)屬于空間 V。 一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法,a u v是對稱正定雙線性形式，即滿足 ,a u va v u，

23、對任意,u vV 21,a u uu， 對任意uV ,a u v還滿足連續(xù)性條件 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法 設(shè)2fH L，二次泛函 1,2J ua u uf u 邊值問題Luf等價(jià)于求uV，使 minu VJ uJ u 這就是極小位能原理。 邊值問題的另一變分形式是：求uV，使 ,a u vf v，對任意vV都成立， 這就是虛功原理。 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法 變分問題 minu VJ uJ u和通常的極值問題比較，主要困難是在無窮維空間V上求泛函的極小值。Ritz-Galerkin 方法的基本思想在于用有窮維空間近似代替無窮維空間， 從而化成求多元二次函數(shù)的極值問

24、題。關(guān)鍵是如何選取有窮維空間。 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法 設(shè)nV 是V的n維子空間，12,.,n 是nV 一組基底，稱為基函數(shù)。nV 中任一元素nu 可表為 (*) Ritz 法的目標(biāo)是：選取系數(shù)ic ，使nJ u取極小值。注意 1,2nnnnJ ua uuf u 是12,.,nc cc 的二次函數(shù)，,ijjiaa 。 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法令 這是線性代數(shù)方程組，求出ic 后，代到 就得出近似解nu 。 這是 Rize 法。Ritz 法求得的nu 在空間nV 是最佳的，就是說，在nV 中的所有元素中，nu 使 J u 達(dá)到極小值。 第四節(jié) Ritz-Galerk

25、in方法Galerkin 法也是求形如 的近似解，但要求系數(shù)ic 使nu 關(guān)于nvV滿足 或（?。?這 和 Ritz 法 導(dǎo) 出 的 方 程 組 相 同 ， 習(xí) 慣 上 稱 其 為Ritz-Galerkin 方程。 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法 盡管 Ritz 法和 Galerkin 法導(dǎo)出的近似解及計(jì)算方法完全一樣，但二者的基礎(chǔ)不同。Ritz 法基于極小位能原理，而Galerkin 法基于虛功原理，所以Galerkin 法較Ritz 法應(yīng)用更廣，方法推導(dǎo)也更直接。僅當(dāng),a u v 對稱正定時(shí)，兩者才一致；否則，只能用 Galerkin 法，而不能用 Ritz法。Ritz 法的優(yōu)點(diǎn)是

26、：力學(xué)意義更明顯（尤其是特征值問題） ，理論基礎(chǔ)比較容易建立。 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法實(shí)際應(yīng)用中， 用 Ritz-Galerkin 法求解會(huì)遇到許多原則性的困難。主要有： （1）基函數(shù)的選取?；瘮?shù)必須滿足本質(zhì)邊界條件。在有限元法出現(xiàn)前，通常選代數(shù)或三角多項(xiàng)式為基函數(shù)，除特別規(guī)則的區(qū)域外，滿足邊值條件是困難的。 （2）Ritz-Galerkin 方程的形成。這需要大量的積分，計(jì)算量可觀。 （3） 求解 Ritz-Galerkin 方程。 按傳統(tǒng)取基函數(shù)的方法，方程組的條件數(shù)很大，數(shù)值不穩(wěn)定。系數(shù)矩陣不稀疏，計(jì)算量和內(nèi)存需求量大。 上世紀(jì)五十年代發(fā)展起來的有限元法， 提供了一種選

27、取基函數(shù)的新方法， 克服了傳統(tǒng)的 Ritz-Galerkin 方法的困難。 第四節(jié) Ritz-Galerkin方法第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法 其中 ,Ia b。從 Ritz 法和 Galerkin 法兩種觀點(diǎn)出發(fā)，導(dǎo)出解此問題的線性有限元法。 5.1 解一維問題的線性元 有限元法的基本問題可歸納為：（1）把問題轉(zhuǎn)化成變分形式最小位能原理、虛功原理；（2）選定單元的形狀，對求解域作剖分；（3）構(gòu)造基函數(shù)或單元形狀函數(shù)；（4）形成有限元方程（Ritz-Galerkin方程）；（5）提供有限元方程的有效解法；（6）收斂性及誤差估計(jì)。 5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限

28、元法對求解區(qū)間進(jìn)行網(wǎng)格剖分，節(jié)點(diǎn)為 相鄰節(jié)點(diǎn)1,iixx之間的小區(qū)間1,iiiIxx稱為單元， 其長度為1iiihxx。 在 Sobolev 空間 1EHI 內(nèi)按下列原則取子空間hV（下標(biāo)maxiihh） ：它的元素 hux 在每一單元上是次數(shù)不超過某一正整數(shù) m 的多項(xiàng)式，在全區(qū)間,Ia b上屬于函數(shù)空間 1EHI ，就是說， 1huxHI且 0hua 。這是有限維空間，稱hV 為試探函數(shù)空間， hhuxV為試探函數(shù)。 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法最簡單的試探函數(shù)空間hV 是由分段線性函數(shù)組成的，它由節(jié)點(diǎn)上的一組值 按線性插值公式 確定。它為

29、單元形狀函數(shù)。 Ii 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法為使按段插值標(biāo)準(zhǔn)化，通常用仿射變換(由一個(gè)線性變換接上一個(gè)平移組成) 把iI 變到軸上的參考單元0,1。令 則 因?yàn)?hux 的自由度是 n，故hV是 n 維線性空間。 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法將 代入 得 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法利用變換 得 令 就得到確定12,.,nu uu 的線性代數(shù)方程組，稱之為有限元方程。 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有

30、限元法在工程計(jì)算中，并不是直接由 形成有限元方程，而是分析每一單元的局部二次形及單元矩陣，力學(xué)上稱為單元?jiǎng)偠染仃?；再由單元?jiǎng)偠染仃囆纬煽偩仃嚕Q為總剛度矩陣。剛度矩陣分析法比較靈活，程序也易實(shí)現(xiàn)。 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法考察 右端第一個(gè)求和號(hào)內(nèi)的第 i 項(xiàng) （對應(yīng)第 i 個(gè)單元） ， 它是1,iiuu的二次形，可寫成 ,， 而 單元?jiǎng)偠染仃嚒?從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法 212111011022111101222210110110221, 111, 11,122222iiiiiiiiii

31、iiiiiiiiiiiiiiTiiiiiiiiiiiii iiii iiuup xhhq xhNuNudhuuuup xhdhhNuNNuuNuq xhdKauaau ua uuu 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法 221, 111, 11,1121, 110100111,1011001, 110110122122122Tiiiiiiiiiiiii iiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiKauaau ua uhap xhdNq xhdhhap xhdNNq xhdhhap xhdNNq xhh uu 10112,11

32、100122iii iiiiiidhap xhdNq xhdh 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法如果把 iK擴(kuò)展成nn矩陣，第1i 行、第 i 行和第1i 列、第 i 列交叉位置的元素就是上面的四個(gè)元素， 其余元素全是零。記向量 12,.,Tnu uuu，則可寫成 于是hJ u右端第一個(gè)和式等于 其中 就是總剛度矩陣。同樣可以處理hJ u的其它項(xiàng)。 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法 1122111,11,1,1100000000000000000000000000000000TiiiiiiiiiiiTi

33、iiii ii iiinnuuuuuuaaKuuaauuuuuu i-1ii-1i 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法112211111,111111,1,100000000000000000000000000000000TiiiiiTiiiii ii iiiiiiiiinnuuuuuuKuuaauuaauuuu ii+1ii+1 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法(1)1,1(1)1,2(1)2,1(1)2,2(2)2,2(2)2,3(2)3,2(2)3,3(3)3,3(3)3,4(3)4,3(3)4,4

34、( )1,1nnn( )1,nnn( ),1nn n( ),nn n(1)1,1nnnK= 有限元方程為 11,22TTJAAxx xb xxxx b 從Ritz法出發(fā)5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法現(xiàn)在從 Galerkin 法（基于虛功原理）出發(fā)推導(dǎo)有限元方程。為此需要構(gòu)造出試探函數(shù)空間hV 的一組基底。同一空間hV ，可取各種不同基底，但并非任一組基底對實(shí)際計(jì)算都是可取的。 從Galerkin法出發(fā) 5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法在單元iI 、1iI考察線性插值公式 及iu 的系數(shù)，對每一節(jié)點(diǎn)ix 構(gòu)造山形函數(shù)： 顯然12,.,

35、n 線性無關(guān)，它們組成hV 的基底。 從Galerkin法出發(fā) 5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法 IiIi+1 1ix 1ix 從Galerkin法出發(fā) 5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法任一hhuV可表成 與邊值問題相應(yīng)的雙線性形式為(,0a u vf v) 從而 Galerkin 方程為（v 取,1,2,.,jjn） 當(dāng)2ij時(shí)，0ij ， 系數(shù)矩陣第 j 行只有三個(gè)非零元素。 從Galerkin法出發(fā) 5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法 若借助仿射變換及0,1上的標(biāo) 準(zhǔn)山形函數(shù) 則對1,2,.,1in，

36、 1N01 0Nxi-1xixi+1 ix01 從Galerkin法出發(fā) 5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法當(dāng)2ij時(shí)，0ij ，系數(shù)矩陣第 j 行只有三個(gè)非零元素。 的系數(shù)矩陣就是總剛度矩陣（與i定義在1,iiI I上有關(guān)） 。 按 Galerkin 方法推導(dǎo)有限元方程更加方便直接。尤其重要的是，因?yàn)樗谔摴υ?，所以不但可用于保守場問題，也可用于非保守場及非駐定問題。 一般用數(shù)值積分方法計(jì)算，例如Gauss求積法。 從Galerkin法出發(fā) 5.1 解一維問題的線性元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法為了提高有限元法的精度，需要增加hV 的維數(shù)。 一是加密網(wǎng)

37、格，節(jié)點(diǎn)參數(shù) iu增加； 二是增加分段多項(xiàng)式的次數(shù)，即高次元。引進(jìn)高次元是有限元法的重要技巧。 高次元在每一單元上增加自由度。 Lagrange 型插值：在單元內(nèi)部增加插值節(jié)點(diǎn)； Hermite 型插值：在節(jié)點(diǎn)處引進(jìn)導(dǎo)數(shù)。 在整個(gè)區(qū)間，插值函數(shù)要有一定的光滑度，以保證雙線性形式有意義。 5.2 解一維問題的高次元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法二次元拉格朗日插值 在每一單元上是二次多項(xiàng)式，在單元節(jié)點(diǎn)處連續(xù)。 自由度是 3，應(yīng)給三個(gè)插值條件：在端點(diǎn)和終點(diǎn)處取指定值，在每一單元中點(diǎn)增設(shè)了一個(gè)自由度。 基函數(shù)分兩類：對應(yīng)節(jié)點(diǎn)、對應(yīng)單元中點(diǎn)。 先在區(qū)間0，1構(gòu)造二次多項(xiàng)式 0N，滿足插值條件： 由

38、 001N，確定 c2， xi-1xixi+1 0N5.2 解一維問題的高次元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法二次元 用 消去，得 這是 ix的右半支。若用ih替換1ih，即得它的左半支?？傊?11111111211 ,211 ,0,othersiiiiiiiiiiiiihxxhxxxxxxhxxhxxxx x 5.2 解一維問題的高次元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法二次元 其次，構(gòu)造二次多項(xiàng)式 12N滿足插值條件： 用 消去，得 5.2 解一維問題的高次元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法二次元 以所有12,ii 為基底，張成二次元試探函數(shù)空間hV。任一hhuV可唯一地表示成 5

39、.2 解一維問題的高次元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法Lagrange 型公式 單元剖分：為簡單起見，假定區(qū)域 G 可以分割成有限個(gè)矩形的和， 且每個(gè)小矩形的邊和坐標(biāo)軸平行。 任意兩個(gè)矩形，或者不相交，或者有公共的邊或公共的頂點(diǎn)。 把每一個(gè)小矩形叫作單元， 稱如此的分割為矩形剖分。 5.3 解二維問題的矩形元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法Lagrange 型公式 構(gòu)造試探函數(shù)：,hux y （h 為單元的最大直徑）在每一單元上是多項(xiàng)式稱為單元形狀函數(shù)， 在相鄰單元之間有一定的光滑性。由單元形狀函數(shù)就可構(gòu)造試探函數(shù)。 5.3 解二維問題的矩形元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法Lagrange 型公式 任意一個(gè)矩形 ,;,;ijiijjiijjjRx xx yyyxxxx yyyy 通過仿射變換 總可變成單位正方形0,1;0,1II。 如果在II上造出了形狀函數(shù)，再通過仿射變換就得到ijR上的形狀函數(shù)。 ,;,ijiijjRx xx yyy5.3 解二維問題的矩形元 第五節(jié) 橢圓和拋物型方程的有限元法Lagrange 型公式 II上最簡單的形狀函數(shù)是雙線性函數(shù) 其系數(shù)由四個(gè)頂點(diǎn)上的值00011011,uuuu決定。 采用一維山形函