第4章隨機數(shù)與隨機變量的生成

1、生產(chǎn)系統(tǒng)建模與仿真生產(chǎn)系統(tǒng)建模與仿真 Modeling and Simulation of Production System第第4章章 隨機數(shù)與隨機變量的生成隨機數(shù)與隨機變量的生成 第第4章章 隨機數(shù)與隨機變量的生成隨機數(shù)與隨機變量的生成 4.1 隨機數(shù)的生成和性質(zhì)隨機數(shù)的生成和性質(zhì) 4.2 常用的隨機數(shù)發(fā)生器常用的隨機數(shù)發(fā)生器 4.3 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 4.4 隨機變量的生成 基本要求v理解幾種常用隨機數(shù)發(fā)生器的基本思想和原理 v理解隨機變量的生成方法v了解隨機數(shù)的基本性質(zhì) v 了解隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 隨機數(shù)的生成及其性質(zhì)v 隨機數(shù)是包括生產(chǎn)系統(tǒng)在內(nèi)的所有離

2、散事件系隨機數(shù)是包括生產(chǎn)系統(tǒng)在內(nèi)的所有離散事件系統(tǒng)仿真中一個必不可少的基本元素，是整個仿真過統(tǒng)仿真中一個必不可少的基本元素，是整個仿真過程得以運行的基礎。程得以運行的基礎。 v 對于包括生產(chǎn)系統(tǒng)在內(nèi)的幾乎所有離散事件系對于包括生產(chǎn)系統(tǒng)在內(nèi)的幾乎所有離散事件系統(tǒng)來說，其仿真程序或模型都要求必須具備比較完統(tǒng)來說，其仿真程序或模型都要求必須具備比較完善的能夠產(chǎn)生指定分布的隨機變量生成模塊或子程善的能夠產(chǎn)生指定分布的隨機變量生成模塊或子程序。序。v 大多數(shù)計算機語言都提供能夠產(chǎn)生隨機數(shù)的子大多數(shù)計算機語言都提供能夠產(chǎn)生隨機數(shù)的子程序、對象或函數(shù)。同樣，仿真語言也能產(chǎn)生用于程序、對象或函數(shù)。同樣，仿真語

3、言也能產(chǎn)生用于事件發(fā)生時間和其他隨機變量的隨機數(shù)。事件發(fā)生時間和其他隨機變量的隨機數(shù)。 隨機數(shù)的生成及其性質(zhì)v隨機數(shù)定義：隨機數(shù)定義： 指從每一數(shù)出現(xiàn)幾率相等的一系列數(shù)中，靠隨機的指從每一數(shù)出現(xiàn)幾率相等的一系列數(shù)中，靠隨機的方法抽取出來的數(shù)。方法抽取出來的數(shù)。v隨機數(shù)生成方法隨機數(shù)生成方法 關于隨機數(shù)生成方法的研究已有很長的歷史。最早關于隨機數(shù)生成方法的研究已有很長的歷史。最早的隨機數(shù)是用的隨機數(shù)是用手工實現(xiàn)手工實現(xiàn)的，如的，如抽簽、發(fā)紙牌、從罐抽簽、發(fā)紙牌、從罐子中摸取帶數(shù)字的球子中摸取帶數(shù)字的球等方法。其中，有些方法至今等方法。其中，有些方法至今仍然還采用。仍然還采用。隨機數(shù)的生成及其性質(zhì)

4、v隨機數(shù)生成方法隨機數(shù)生成方法 隨著隨著Monte-Carlo方法的出現(xiàn)，方法的出現(xiàn)，20世紀初出現(xiàn)了生世紀初出現(xiàn)了生成隨機數(shù)的成隨機數(shù)的機械裝置和電子裝置機械裝置和電子裝置，如，如抽獎機抽獎機等。但等。但是機械裝置和電子裝置不能重復生成與原來完全相是機械裝置和電子裝置不能重復生成與原來完全相同的隨機數(shù)，對計算結果無法進行檢查，并且生成同的隨機數(shù)，對計算結果無法進行檢查，并且生成過程比較復雜。因此，它們未能得到進一步推廣。過程比較復雜。因此，它們未能得到進一步推廣。 目前，在用目前，在用計算機計算機生成隨機數(shù)的方法中，一類使用生成隨機數(shù)的方法中，一類使用最廣、發(fā)展較快的方法是最廣、發(fā)展較快的方

5、法是數(shù)學方法數(shù)學方法，其特點是占用，其特點是占用內(nèi)存少、速度快并且便于檢查。內(nèi)存少、速度快并且便于檢查。隨機數(shù)的生成及其性質(zhì)v用數(shù)學方法生成隨機數(shù)用數(shù)學方法生成隨機數(shù)是指按照一定的算法是指按照一定的算法（遞推公式），來生成（遞推公式），來生成“隨機隨機”數(shù)列（也稱數(shù)列（也稱隨機數(shù)流）。隨機數(shù)流）。v這種用這種用算法算法生成的隨機數(shù)，只要給定初始的生成的隨機數(shù)，只要給定初始的種子值，則以后所生成的種子值，則以后所生成的“隨機隨機”數(shù)都是確數(shù)都是確定的數(shù)值，從本質(zhì)上說這并不具有真正的隨定的數(shù)值，從本質(zhì)上說這并不具有真正的隨機性，因此稱這種方法為機性，因此稱這種方法為偽隨機數(shù)偽隨機數(shù)PRN（Pseu

6、do Random Number）。）。隨機數(shù)的生成及其性質(zhì)v用數(shù)學方法生成隨機數(shù)所依賴的用數(shù)學方法生成隨機數(shù)所依賴的算法和程序算法和程序就稱為隨機數(shù)發(fā)生器。就稱為隨機數(shù)發(fā)生器。v 仿真模擬鐘所用到仿真模擬鐘所用到各類隨機變量都是以隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的0, 1)0, 1)間均勻分布隨機間均勻分布隨機數(shù)數(shù)為基礎而得來的。 v如果精心設計算法，就可以生成具有真正隨如果精心設計算法，就可以生成具有真正隨機數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)的偽隨機數(shù)。通常，只要所機數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)的偽隨機數(shù)。通常，只要所生成的偽隨機數(shù)能通過一系列生成的偽隨機數(shù)能通過一系列統(tǒng)計檢驗（如統(tǒng)計檢驗（如獨立性、均勻性）獨立性、均勻性）

7、就可以把它們作為真正的就可以把它們作為真正的隨機數(shù)使用。隨機數(shù)使用。隨機數(shù)的生成及其性質(zhì)v優(yōu)良的隨機數(shù)發(fā)生器具有特征1. 生成的隨機數(shù)序列要盡可能地逼近理想的均生成的隨機數(shù)序列要盡可能地逼近理想的均勻總體隨機樣本所具有的隨機性、均勻性和勻總體隨機樣本所具有的隨機性、均勻性和獨立性等統(tǒng)計性質(zhì)。獨立性等統(tǒng)計性質(zhì)。2. 生成的隨機數(shù)序列必須要有足夠長的周期，生成的隨機數(shù)序列必須要有足夠長的周期，以滿足仿真計算的需要。以滿足仿真計算的需要。 3. 產(chǎn)生隨機數(shù)的速度快產(chǎn)生隨機數(shù)的速度快4. 所生成的隨機數(shù)序列必須是完全可重復的所生成的隨機數(shù)序列必須是完全可重復的 5. 占有內(nèi)存小占有內(nèi)存小關于均勻性和獨

8、立性：關于均勻性和獨立性：v 1、如果將區(qū)間、如果將區(qū)間0,1分為分為n類或等長的子區(qū)類或等長的子區(qū)間，那么在每個區(qū)間的期望觀測次數(shù)為間，那么在每個區(qū)間的期望觀測次數(shù)為N/n，其中，其中N為觀測的總次數(shù)。為觀測的總次數(shù)。v 2、觀測值落在某個特定區(qū)間的概率與以、觀測值落在某個特定區(qū)間的概率與以前的觀測值無關。前的觀測值無關。隨機數(shù)的生成及其性質(zhì)常用的隨機數(shù)發(fā)生器 生成隨機數(shù)的方法經(jīng)歷了一段漫長的發(fā)展過程生成隨機數(shù)的方法經(jīng)歷了一段漫長的發(fā)展過程，下面介紹幾種有代表性的算法，主要有：，下面介紹幾種有代表性的算法，主要有：v （1）早期的隨機數(shù)發(fā)生器：）早期的隨機數(shù)發(fā)生器：平方取中隨平方取中隨機數(shù)發(fā)

9、生器機數(shù)發(fā)生器、乘積取中隨機數(shù)發(fā)生器、常數(shù)、乘積取中隨機數(shù)發(fā)生器、常數(shù)乘子法、乘子法、斐波那契法（斐波那契法（Fibonacci）等；等；v （2）線性同余隨機數(shù)發(fā)生器：線性同余隨機數(shù)發(fā)生器：混合同余混合同余隨機數(shù)發(fā)生器、乘同余隨機數(shù)發(fā)生器；隨機數(shù)發(fā)生器、乘同余隨機數(shù)發(fā)生器；常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v1.平方取中隨機數(shù)發(fā)生器平方取中隨機數(shù)發(fā)生器 由馮諾依曼于1940年提出的，基本原理是：將一個N位數(shù)平方后，取中間N位數(shù)為第一個隨機數(shù)，然后再平方取中間N位數(shù)為第二個隨機數(shù)，遞推公式如下：遞推公式如下：常用的隨機數(shù)發(fā)生器 221200mod1010/10(),knnkknnxxuxxkx初始值為正整數(shù)

10、為 的位數(shù)的一半1.平方取中隨機數(shù)發(fā)生器平方取中隨機數(shù)發(fā)生器常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v1.平方取中隨機數(shù)發(fā)生器平方取中隨機數(shù)發(fā)生器常用的隨機數(shù)發(fā)生器 常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v例4.1 取k=1， x0 =76，求由“平方取中法”可以得到如下隨機數(shù)。解：解：220765776x 22220176mod 10mod 1010105776mod 10010577 mod 10077xx（或者直接從（或者直接從5776取中取中間的兩個數(shù)得取中取中間的兩個數(shù)得77)常用的隨機數(shù)發(fā)生器 常用的隨機數(shù)發(fā)生器 由上例可以看出，由于由上例可以看出，由于 k 取值較小，很快進取值較小，很快進入退化狀態(tài)；當入退化狀態(tài)；當

11、 k 取值較大時，將使退化現(xiàn)取值較大時，將使退化現(xiàn)象延遲。象延遲。 平方取中法易退化且均勻性差異顯著平方取中法易退化且均勻性差異顯著2. 乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生器乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生器位正整數(shù)為、及初始值為kxxxxxuxxxknnkknnn2,10/10mod10101021211 乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生器的其遞推公式為：乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生器的其遞推公式為：乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生器中要有兩個種子值為乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生器中要有兩個種子值為x0、x1， x0、x1為為2k位非負整數(shù)，位非負整數(shù)，k一般最小取一般最小取2；常用的隨機數(shù)發(fā)生器 例例4.2 取取k=2， x0 =5167， x1 =37

12、29，求由，求由“乘積取乘積取中法中法”可以得到不同的隨機數(shù)。可以得到不同的隨機數(shù)。192677433729516710 xx26772x2677.010000/21 xu解解：由于由于取取則則0998253399825332677372921 xx9825. 010000/32 xu取取則則同理同理98253x依次取下去，我們可以得到如下表：依次取下去，我們可以得到如下表：常用的隨機數(shù)發(fā)生器 n123456192677430998253326301525296223751876234547437929 2677982530156223762343790. 26770. 98250. 3015

13、0. 62230. 76230. 4379nnxx11nxnu “乘積取中法乘積取中法”的周期比的周期比“平方取中法平方取中法”長，均勻長，均勻性也有所改善，但主要缺點是最后仍要進入退化狀態(tài)。性也有所改善，但主要缺點是最后仍要進入退化狀態(tài)。常用的隨機數(shù)發(fā)生器 3.常數(shù)乘子發(fā)生器常數(shù)乘子發(fā)生器MxxuxMxknnkknn及乘子初始值為022110/10mod10 常數(shù)乘子發(fā)生器是乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生常數(shù)乘子發(fā)生器是乘積取中法隨機數(shù)發(fā)生器的一種變形，這種方法需要選取一個器的一種變形，這種方法需要選取一個 2k 位位的非負整數(shù)的非負整數(shù)M為常數(shù)因子，其遞推公式為：為常數(shù)因子，其遞推公式為：常數(shù)乘子發(fā)

14、生器中的常數(shù)乘子發(fā)生器中的x0為為2k位非負整數(shù)，位非負整數(shù)，k一般一般最少取最少取2。3.常數(shù)乘子發(fā)生器常數(shù)乘子發(fā)生器常用的隨機數(shù)發(fā)生器 例例4.3 取取k=2， M=3987， x0=7223，求由常數(shù)乘子，求由常數(shù)乘子法可以得到不同的隨機數(shù)。法可以得到不同的隨機數(shù)。解解798110mod28798110mod01.28798110mod102879810110mod10222222222201xMx7981.010000/798110/2211xu常用的隨機數(shù)發(fā)生器 同理同理820210mod31820210mod47.31820210mod103182024710mod10222222

15、222212xMx8202.010000/820210/2222xu常用的隨機數(shù)發(fā)生器 n1234562879810131820247327013742796083138307096122400907981820270139608307324000. 79810. 82020. 70130. 96080. 30730. 24001nMxnxnu 同乘積取中法一樣，常數(shù)乘子法的周期比平同乘積取中法一樣，常數(shù)乘子法的周期比平方取中法長，均勻性也有所改善，但主要缺點方取中法長，均勻性也有所改善，但主要缺點是最后仍要進入退化狀態(tài)。是最后仍要進入退化狀態(tài)。依次取下去，我們可以得到如下表：依次取下去，我們

16、可以得到如下表：常用的隨機數(shù)發(fā)生器 4. 斐波那契發(fā)生器斐波那契發(fā)生器11101()mod/nnnnnxxxmuxmxx初 始 值 為及 斐波那契（斐波那契（Fibonacci）法基于）法基于Fibonacci 序列，序列，其遞推公式為：其遞推公式為：其中，其中， x0、x1、m為為非負整數(shù)。非負整數(shù)。常用的隨機數(shù)發(fā)生器 例例4.4 取取x0 =0， x1 =1，m=8 ，求由上述遞推公式，求由上述遞推公式可以得到不同的隨機數(shù)?？梢缘玫讲煌碾S機數(shù)。則則18mod1mod)(102mxxx125.08/1/21mxu解：解：常用的隨機數(shù)發(fā)生器 同理同理則則28mod2mod)(213mxxx2

17、5.08/2/32mxu常用的隨機數(shù)發(fā)生器 若繼續(xù)計算可得，若繼續(xù)計算可得， u 1=u13=0.125，且從，且從n=13開始，開始，un循環(huán)取循環(huán)取u1從到從到u13的值，周期的值，周期T=12m。此法的優(yōu)點是。此法的優(yōu)點是計算方便，周期長，缺點是序列中的數(shù)重復出現(xiàn)。計算方便，周期長，缺點是序列中的數(shù)重復出現(xiàn)。n1234567891011121312350552710110.1250.250.3750.625 0 0.6250.6250.250.8750.12500.1250.1251nxnu依次取下去，我們可以得到如下表：依次取下去，我們可以得到如下表：常用的隨機數(shù)發(fā)生器 （以上四法）（

18、以上四法）歷史歷史上常用方法的特點上常用方法的特點v簡單、直觀、易于實現(xiàn)；v數(shù)據(jù)內(nèi)部特性難以控制，容易出現(xiàn)退化等問題。常用的隨機數(shù)發(fā)生器 00 5. 目前目前常用方法常用方法線性同余隨機數(shù)發(fā)生器線性同余隨機數(shù)發(fā)生器 此方法是由萊默爾于此方法是由萊默爾于19481948年提出的，是目前在離年提出的，是目前在離散系統(tǒng)仿真中應用最廣泛的隨機數(shù)發(fā)生器，基本公式散系統(tǒng)仿真中應用最廣泛的隨機數(shù)發(fā)生器，基本公式如下：如下：1()(mod )iiiiZaZcmZum常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v線性同余隨機數(shù)發(fā)生器的討論線性同余隨機數(shù)發(fā)生器的討論 例例 Z= A (MOD M) 則則 *AZAMM常用的隨機數(shù)發(fā)生器

19、由上述遞推公式得到的由上述遞推公式得到的xn滿足：滿足： ，從而從而 至多能取至多能取m個不同的整數(shù)。個不同的整數(shù)。mxn0nx 稱稱數(shù)列數(shù)列 xn 重復值之間的最短長度為重復值之間的最短長度為 xn 的周期，記的周期，記為為T。若。若T=m，則稱為滿周期的。下面舉例說明線性同余，則稱為滿周期的。下面舉例說明線性同余隨機數(shù)發(fā)生器的應用。隨機數(shù)發(fā)生器的應用。例例4.5 取取a =3，c =1，m=8 ，x0 =1，求線性同余法產(chǎn)生隨機，求線性同余法產(chǎn)生隨機數(shù)。數(shù)。解解：48mod48mod)13(01xx5.08/48/11 xu常用的隨機數(shù)發(fā)生器 同理同理58mod138mod)13(12xx

20、625.08/58/22 xu08mod168mod)13(23xx08/08/33 xu常用的隨機數(shù)發(fā)生器 n1234567891041316141316141345014501450.50.62500.1250.50.62500.1250.50.625nunx131nx從從n=5開始，開始， ， ， un循環(huán)取循環(huán)取u1從到從到 u4 的值，周期的值，周期T=4 21億。億。m可取一個可取一個足夠大的質(zhì)數(shù)。足夠大的質(zhì)數(shù)。va和和c的選取的選取 c與與m互質(zhì)，一般為奇數(shù)；互質(zhì)，一般為奇數(shù)；a-1可為可為4整除；則整除；則a一定為一定為4的倍數(shù)的倍數(shù)+1。vx0的選取的選取 因為因為xi可以是

21、可以是0m之間的任一數(shù)，所以之間的任一數(shù)，所以x0的選的選取不是很重要，但是如果取取不是很重要，但是如果取x0=0有時確實會使有時確實會使通式的結果退化。通式的結果退化。常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v常用同余式隨機數(shù)發(fā)生器常用同余式隨機數(shù)發(fā)生器15351311(51)(mod2 )(314159269453806245)(mod2 )iiiiZZZZ常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v組合發(fā)生器組合發(fā)生器 把把兩個或者更多個兩個或者更多個獨立的隨機數(shù)發(fā)生器獨立的隨機數(shù)發(fā)生器(通常是兩個通常是兩個不同的線性同余發(fā)器不同的線性同余發(fā)器)以某種方式組合起來以某種方式組合起來，使得新組，使得新組合的隨機數(shù)發(fā)生器具有合的隨機

22、數(shù)發(fā)生器具有更長的周期和良好的統(tǒng)計更長的周期和良好的統(tǒng)計性質(zhì)。性質(zhì)。 最著名的是麥克拉倫最著名的是麥克拉倫(M. D. Maclaren )和馬爾薩利亞和馬爾薩利亞(G. Marsaglia )于于1965年提出的年提出的組合同余法組合同余法 常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v組合發(fā)生器組合發(fā)生器 把把兩個或者更多個兩個或者更多個獨立的隨機數(shù)發(fā)生器獨立的隨機數(shù)發(fā)生器(通常是兩個通常是兩個不同的線性同余發(fā)器不同的線性同余發(fā)器)以某種方式組合起來以某種方式組合起來，使得新組，使得新組合的隨機數(shù)發(fā)生器具有合的隨機數(shù)發(fā)生器具有更長的周期和良好的統(tǒng)計更長的周期和良好的統(tǒng)計性質(zhì)。性質(zhì)。 最著名的是麥克拉倫最著名的是麥

23、克拉倫(M. D. Maclaren )和馬爾薩利亞和馬爾薩利亞(G. Marsaglia )于于1965年提出的年提出的組合同余法組合同余法 常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v 組合發(fā)生器組合發(fā)生器組合同余法組合同余法v 采用第一個線性同余發(fā)生器采用第一個線性同余發(fā)生器LCGl生成生成k個隨機數(shù)，一般取個隨機數(shù)，一般取k=128，把這，把這k個數(shù)按序依次存放在某一向量個數(shù)按序依次存放在某一向量T中，中，T=(t1，t2 ,，tk );并置并置n=1。v 采用第二個線性同余發(fā)生器采用第二個線性同余發(fā)生器LCG2生成一個隨機的整數(shù)生成一個隨機的整數(shù)j，滿，滿足足1jk。v 令令xn= tj，然后再采用第一個

24、發(fā)生器，然后再采用第一個發(fā)生器LCGI生成一個新的隨機生成一個新的隨機數(shù)數(shù)y來替代來替代tj，亦即令，亦即令tj=y；并置；并置n=n+1。v 重復一，得到隨機數(shù)序列重復一，得到隨機數(shù)序列xn ，此即組合同余發(fā)生器，此即組合同余發(fā)生器生成的數(shù)列。若第一個發(fā)生器生成的數(shù)列。若第一個發(fā)生器LCG1的模為的模為m，令，令un=xn/m，則則un即為由該組合發(fā)生器生成的均勻隨機數(shù)序列。即為由該組合發(fā)生器生成的均勻隨機數(shù)序列。 常用的隨機數(shù)發(fā)生器 v隨機數(shù)生成隨機數(shù)生成 特點：特點：有周期性，偽隨機有周期性，偽隨機 應用中，我們并不真正需要應用中，我們并不真正需要“真真”的隨機數(shù)；的隨機數(shù)； 滿足滿足“

25、某些條件某些條件”的的“偽偽”隨機數(shù)已經(jīng)足夠了隨機數(shù)已經(jīng)足夠了v面臨的問題面臨的問題 如何驗證所得的隨機數(shù)是否滿足使用要求。如何驗證所得的隨機數(shù)是否滿足使用要求。 由于由于“偽偽”隨機數(shù)應該是隨機數(shù)，又具有均勻、隨機數(shù)應該是隨機數(shù)，又具有均勻、獨立的特點，因此要進行以下三個方面的檢驗：獨立的特點，因此要進行以下三個方面的檢驗： 參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗; 均勻性檢驗均勻性檢驗; 獨立性檢驗。獨立性檢驗。隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 在實際應用中，隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗方隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗方法，主要包括有兩大類法，主要包括有兩大類:v一類是經(jīng)驗檢驗方法;v另一類是理論檢驗方法。 隨機

26、數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 45隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗 v參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 v參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗例：給定顯著性水平a=0.05，對P54例4-5中得到的隨機數(shù)序列un的前100項數(shù)據(jù)(見表4一5)進行參數(shù)檢驗。 解:計算樣本均值和樣本方差分別為 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 對給定的顯著性水平a = 0. 05 , z0.025=1. 96。而由式 計算可得 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 所以，在顯著性水平a = 0.05時，該隨機數(shù)序列un總體的均值和方差與均勻分

27、布U(0, 1)的均值和方差沒有顯著的差異。 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 v均勻性檢驗均勻性檢驗 均勻性檢驗是校驗所產(chǎn)生的隨機數(shù)落均勻性檢驗是校驗所產(chǎn)生的隨機數(shù)落在各在各子區(qū)間的頻率子區(qū)間的頻率和和理論頻率理論頻率之間的差異是否之間的差異是否顯著。顯著。隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 v均勻性檢驗均勻性檢驗 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 v例：給定顯著性水平a=0.05,用檢驗對P54例4-5中得到的隨機數(shù)序列un的前100項數(shù)據(jù)(見表4-5)進行均勻性檢驗。 將0，1區(qū)間等分成10個子區(qū)間(即m=10),顯然易見，其相應的理論頻數(shù)為=n/m=1

28、0。 對該隨機數(shù)序列un落在各子區(qū)間中的個數(shù)(經(jīng)驗頻數(shù))進行統(tǒng)計，得到ni(i=1，2,10)分別為13, 14, 10, 7,7、9、9、6, 14、5，由此可計算得隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 練習：練習：使用使用2 2檢驗判斷下列數(shù)據(jù)是否具檢驗判斷下列數(shù)據(jù)是否具有均勻分布，有均勻分布，取取0.050.05。0.340.900.250.890.870.440.120.210.460.670.830.760.790.640.700.810.940.740.220.740.960.990.770.670.560.410.520.73

29、0.990.020.470.300.170.820.560.050.450.310.780.050.790.710.230.190.820.930.650.370.390.420.990.170.990.460.050.660.100.420.180.490.370.510.540.010.810.280.690.340.750.490.720.430.560.970.300.940.960.580.730.050.060.390.840.240.400.640.400.190.790.620.180.260.970.880.640.470.600.110.290.78使用使用n=10n=10

30、個等長區(qū)間，查表得個等長區(qū)間，查表得9 .1629 ,05. 0區(qū)間區(qū)間OiEiOi-Ei(Oi-Ei)21810-240.42810-240.4310100004910-110.151210240.46810-240.471010000814104161.691010000101110110.1總計總計10010003.4iiiEEO2)(v均勻性檢驗均勻性檢驗 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 v（二）（二） K- S檢驗檢驗 例：給定顯著性水平a = 0.05，用K- S檢驗方法對P54例4-5中得到的隨機數(shù)序 un 的前10項數(shù)據(jù)(見表4一5)進行均勻性檢驗。 把隨機數(shù)按照

31、由小到大的順序進行重新排列，相關的計算數(shù)據(jù)及結果如表 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 v（二）（二） K- S檢驗檢驗 隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 因此，可認為該隨機數(shù)序列因此，可認為該隨機數(shù)序列un的總體分布與均勻分布的總體分布與均勻分布U(0, 1)之間無顯著的差異。之間無顯著的差異。 v獨立性檢驗獨立性檢驗 獨立性檢驗是檢查一個序列的隨機數(shù)是否獨立性檢驗是檢查一個序列的隨機數(shù)是否存在相關性。存在相關性。隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗隨機數(shù)發(fā)生器的性能檢驗 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v給定了隨機數(shù)的生成方法，只是構建隨機變量的給定了隨機數(shù)的生成方法，只是構

32、建隨機變量的第一步。第一步。v理論上說，可以通過函數(shù)映射關系，即構造函數(shù)理論上說，可以通過函數(shù)映射關系，即構造函數(shù)關系來從關系來從0,1)上的均勻分布隨機數(shù)來構造任意分上的均勻分布隨機數(shù)來構造任意分布的隨機變量。布的隨機變量。v因此，如何來構造適當?shù)暮瘮?shù)關系就成為了關鍵。因此，如何來構造適當?shù)暮瘮?shù)關系就成為了關鍵。v對于不同分布隨機變量的要求，有多種生成方法，對于不同分布隨機變量的要求，有多種生成方法，如逆轉換法，結合法等等。如逆轉換法，結合法等等。61隨機變量生成的特點隨機變量生成的特點v需要需要: 快速生成滿足精度要求的隨機變量?？焖偕蓾M足精度要求的隨機變量。v評價標準評價標準: 精度：

33、比較確切符合的給定分布精度：比較確切符合的給定分布 省時：快速省時：快速 省內(nèi)存：省內(nèi)存： v常用生成方法常用生成方法 逆變換法；合成法；結合法；經(jīng)驗分布隨機變量。逆變換法；合成法；結合法；經(jīng)驗分布隨機變量。 隨機變量生成的基礎隨機變量生成的基礎U(0,1)。62隨機變量的生成的基本定理隨機變量的生成的基本定理v定理：定理： 若若F(x)是任意隨機變量是任意隨機變量X的的CDF(累積分布函數(shù)累積分布函數(shù))，則則:Y=F(x) IID U(0,1)，且與，且與X的分布特性無關的分布特性無關v說明性證明：說明性證明： 令令Y=F(x)，F(xiàn)(x)是是X的的CDF；Y也是一個隨機變也是一個隨機變量，令

34、量，令G(y)為為Y的的CDF。G(y) = P(Y=y) = P(F(x) =y) = P(x=F-1(y) = F(F-1(y) = y (F(x)的單調(diào)非降特性的單調(diào)非降特性)即：即：G(y) = y；Y為具有均勻分布隨機變量的為具有均勻分布隨機變量的CDF，并在，并在0, 1區(qū)間，區(qū)間， 所以所以Y=F(x) IID U(0,1)；顯然顯然G(y) = y與與X的分布特性無關。的分布特性無關。v該定理為該定理為利用隨機數(shù)生成所需隨機變量的基礎利用隨機數(shù)生成所需隨機變量的基礎。 生成隨機變量有許多種不同的方法，一般采用生成隨機變量有許多種不同的方法，一般采用的具體算法與所要生成的隨機變量

35、有關。的具體算法與所要生成的隨機變量有關。通常在通常在仿仿真中要用到各種分布的隨機變量，它們一般都是以真中要用到各種分布的隨機變量，它們一般都是以U0,1）隨機數(shù)為基礎，通過適當?shù)淖儞Q生成。）隨機數(shù)為基礎，通過適當?shù)淖儞Q生成。 這里介紹幾種有效的、常用的抽樣方法以及相這里介紹幾種有效的、常用的抽樣方法以及相應分布的隨機變量的生成。常用的方法主要有：應分布的隨機變量的生成。常用的方法主要有： 逆轉換法逆轉換法、函數(shù)變換法、近似法、函數(shù)變換法、近似法、合成法、結合法。合成法、結合法。隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法 逆轉換法是利用擬合分布的分布函數(shù)的反逆轉換法是利用擬合分布的分布函數(shù)的反函數(shù)來

36、產(chǎn)生隨機變量函數(shù)來產(chǎn)生隨機變量. 如果已知分布的分布函數(shù)，并可以從分布函數(shù)如果已知分布的分布函數(shù)，并可以從分布函數(shù)求出它的反函數(shù)，就可以利用它的反函數(shù)來產(chǎn)求出它的反函數(shù)，就可以利用它的反函數(shù)來產(chǎn)生已知分布的隨機變量。生已知分布的隨機變量。1. 逆轉換法（逆變法）逆轉換法（逆變法） 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法 縱坐標表示累計分布值，范圍縱坐標表示累計分布值，范圍0,1)。利用隨機。利用隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生0,1)間均勻分布的隨機數(shù)，相當于間均勻分布的隨機數(shù)，相當于在縱坐標上隨機地找到一個點在縱坐標上隨機地找到一個點Ui，從這一點利用，從這一點利用反函數(shù)就可以求得反函數(shù)就可以求得

37、該分布該分布在這一點上的隨機變量在這一點上的隨機變量Xi。隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法 其步驟如下其步驟如下: 1. 確定隨機過程中該隨機變量的擬合分布確定隨機過程中該隨機變量的擬合分布. 2. 確定擬合分布的參數(shù)及分布函數(shù)確定擬合分布的參數(shù)及分布函數(shù)F(X). 3. 求出分布函數(shù)的反函數(shù)求出分布函數(shù)的反函數(shù) Xi=G(Ui) =F-1(Ui). 4. 用隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生用隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生 0, 1 )間均勻分布的間均勻分布的隨機數(shù)隨機數(shù)Ui 5. 用用 Xi=G(U)=F-1 (Ui) 來計算來計算, 求得該分布的求得該分布的隨機變量隨機變量Xi. 6. 返回步驟返回步驟4，產(chǎn)生下一

38、個隨機變量。，產(chǎn)生下一個隨機變量。隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法 則則)(xFX 這說明對于分布函數(shù)是這說明對于分布函數(shù)是F(x)的隨機變量，若要的隨機變量，若要生成其隨機數(shù)，我們最關心的是下列表達式：生成其隨機數(shù)，我們最關心的是下列表達式：1( )XFU 在仿真過程中，要生成規(guī)定分布的在仿真過程中，要生成規(guī)定分布的隨機數(shù)，隨機數(shù)，通常先要生成通常先要生成0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)，然區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)，然后才能按上述方法從所需要的分布函數(shù)中生成相后才能按上述方法從所需要的分布函數(shù)中生成相應的隨機數(shù)，因此，應的隨機數(shù)，因此，0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)是生成

39、其它分布隨機數(shù)的基礎數(shù)是生成其它分布隨機數(shù)的基礎。 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法A A 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量(1) (1) 均勻分布均勻分布Ua,bUa,b隨機數(shù)的生成隨機數(shù)的生成( )() / ()()yF xxabaaxb其它0)/(1)(bxaabxf均勻分布均勻分布Ua,b的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為對應的分布函數(shù)為對應的分布函數(shù)為即即 ayabx)()/()(abaxy由由yabax)(得得隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法其算法的步驟為：其算法的步驟為：（1）產(chǎn)生獨立的產(chǎn)生獨立的U0,1)隨機數(shù)隨機數(shù)u1, u2, , un ；（2）令）令xi = (b-a)

40、ui+a (i=1, 2, , n)，則，則 x1, x2, , xn即為即為Ua,b隨機數(shù)。隨機數(shù)。 則由逆變法的生成原理知則由逆變法的生成原理知 為一隨機變量，其為一隨機變量，其分布函數(shù)是分布函數(shù)是F(x)。）（即)()(1UFXaUabX令令X若隨機變量若隨機變量 0,1)UU故故F(x)的的反函數(shù)為反函數(shù)為:ayabx)(隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法(2)指數(shù)分布指數(shù)分布 隨機數(shù)的生成隨機數(shù)的生成)(E指數(shù)分布指數(shù)分布 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為:當當 時，對應的分布函數(shù)為：時，對應的分布函數(shù)為：)(E其它00)(xexfxxxtxtxedtedtdtedttfxF10)

41、()(0000 x隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法令令）（即)()1ln()/1(1UFXUX則由則由逆變法逆變法的生成原理知的生成原理知 為一隨機變量，其為一隨機變量，其分布函數(shù)是分布函數(shù)是F(x)。X若隨機變量若隨機變量 0 ,1)UU故故F(x)的的反函數(shù)為反函數(shù)為: )1ln()/1()(1yyFx即即由由xexFy1)(得得yex1)1ln()/1(yx隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法72指數(shù)分布指數(shù)分布 隨機數(shù)的生成步驟為：隨機數(shù)的生成步驟為：（1）產(chǎn)生獨立的產(chǎn)生獨立的U0,1)隨機數(shù)隨機數(shù) u1, u2, , un ；（2）令）令 則則 x1, x2, , xn 就是所要

42、求就是所要求指數(shù)分布指數(shù)分布的隨機數(shù)。的隨機數(shù)。 ),.,2,1()ln()/1(niuxii)(E由于由于 U 與與 1-U 均為均為0,1)區(qū)間上的均勻區(qū)間上的均勻分布的隨機變分布的隨機變量，因此抽樣公式取為量，因此抽樣公式取為:)ln()/1(UX)1ln()/1(UX隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法vB 離散型隨機變量離散分布的反變換法離散分布的反變換法隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法vB 離散型隨機變量隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法vB 離散型隨機變量v例 設離散隨機變量x的質(zhì)量函數(shù)及累積分布函數(shù)如下表所示：在概率論中，概率質(zhì)量函數(shù)

43、(probability mass function，簡寫為pmf)是離散隨機變量在各特定取值上的概率。概率質(zhì)量函數(shù)和概率密度函數(shù)不同之處在于：概率密度函數(shù)是對連續(xù)隨機變量定義的，本身不是概率，只有對連續(xù)隨機變量的取值進行積分后才是概率。 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法vB 離散型隨機變量解：隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法vB 離散型隨機變量練習練習某均勻分布的概率密度函數(shù)為：某均勻分布的概率密度函數(shù)為： 其中a=2，b=5。用逆轉換法生成符合該分布的隨機數(shù)。用逆轉換法生成符合該分布的隨機數(shù)。其它0)/(1)(bxaabxf隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v卷積法隨機變量的產(chǎn)生

44、方法隨機變量的產(chǎn)生方法v卷積法v例4-12 埃爾朗分布。設X的概率密度函數(shù)為 若Y1，Y2，Ym獨立且同服從指數(shù)分布E()，令X=Y1+Y2+Ym，則X服從n階埃爾朗分布。 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v卷積法生成隨機變量算法：v生成獨立的均勻分布U(0, 1)隨機數(shù)u1，u2，um 。v計算u=u1u2.um。v令x=-(1/)ln(u)，則x即為服從n階埃爾朗分布的隨機變量。 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v組合法隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v組合法重復步驟(1)一(2)，就可以得到所求的分布函數(shù)為F(x) 的隨機變量數(shù)列。隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v組合法

45、例 雙指數(shù)分布。設隨機變量X的概率密度函數(shù)為 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v組合法 可用兩個密度函數(shù)f1(x)和f2(x)的組合來產(chǎn)生服從密度函數(shù)f(x)的隨機變量X。 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v組合法隨機變量生成步驟如下:v 產(chǎn)生均勻分布U(0, 1)的隨機數(shù)u1及u2 。v 如果u10. 5，則生成服從與密度函數(shù)f1(x)相應的分布函數(shù)的隨機變量，根據(jù)反變換法，可得X=lnu2。v 如果u10. 5，則生成服從與密度函數(shù)f2(x)相應的分布函數(shù)的隨機變量，同樣，有X=lnu2。 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v 以上方法都有一個共同的特點，即以反變換法為基礎，直接面向分布函數(shù)，因而又稱為直接法。 當反變換法難于使用(例如隨機變量的分布函數(shù)不存在封閉形式等)或者效率不高時，有時就需要使用非直接的方法。舍選法就是其中最主要的一種。 隨機變量的產(chǎn)生方法隨機變量的產(chǎn)生方法v舍棄法 這種方法是由一種分布函數(shù)產(chǎn)生隨機變量并排除其中的某些部分，以便剩余的隨機變量符合所要求的分布函數(shù)，它適用于離散型或連續(xù)型，單變量或多變量的概率密度函數(shù)f(x)已知，分布F(x)難以顯式表達的情況。 隨機變量的產(chǎn)生