(完整word版)理論力學(xué)教程思考題答案第三版.doc

1、第一章思考題解答1.1 答：平均速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間間隔t tt內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t對(duì)應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)軌跡的切線方向。在t 0的極限情況，二者一致，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中二者也一致的。1.2 答：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，徑向速度 Vr和橫向速度 Ve的大小、方向都改變，而 ar中的r只反 映了 Vr本身大小的改變，a中的r r只是Ve本身大小的改變。事實(shí)上，橫向速度Ve 方向的改變會(huì)引起徑向速度 Vr大小大改變，r 2就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速度Vr的方向改變也引起 Ve的大

2、小改變，另一個(gè)r即為反映這種改變的加速度分量，故ar r r 2, a r 2r .。這表示質(zhì)點(diǎn)的徑向與橫向運(yùn)動(dòng)在相互影響，它們一起才 能完整地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況1.3 答：內(nèi)稟方程中， an是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于 a恒位于密 切面內(nèi)，速度 v總是沿軌跡的切線方向，而 an垂直于v指向曲線凹陷一方，故 an總是沿助法線方向。質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，ab 0, Fb 0z何與牛頓運(yùn)動(dòng)定律不矛盾。因質(zhì)點(diǎn)除受作用力 F ,還受到被動(dòng)的約反作用力R ,二者在副法線方向的分量成平衡力Fb Rb 0 ,故ab 0符合牛頓運(yùn)動(dòng)率。有人會(huì)問：約束反作用力靠誰施加，當(dāng)然是與質(zhì)點(diǎn)接觸的周

3、圍其他物體由于受到質(zhì)點(diǎn)的作用而對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會(huì)問：某時(shí)刻若Fb與R大小不等，ab就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)受合力的方向與原來不同，質(zhì)點(diǎn)的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來ab所在的方位，又有了新的副法線，在新的副法線上仍滿足Fb Rb 0即ab 0。這反映了牛頓定律得瞬時(shí)性和矢量性，也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變。1.4 答：質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)中只有 a而無烝，質(zhì)點(diǎn)的勻速曲線運(yùn)動(dòng)中只有 an而無a ；質(zhì)點(diǎn)作 變速運(yùn)動(dòng)時(shí)即有 at又有an。是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻的速度矢量,. * dr1.5 答：丁即反應(yīng)位矢r大小的改變又反映其萬向的改變, dt一 dr .

4、而一只表小r大小的改變。如在極坐標(biāo)系中,dtdrri dtdr r j而一出r 。在直線運(yùn)動(dòng)中, dr規(guī)定了直線的正萬向后，一dtdrdt-dr ,。且的正負(fù)可表不dtdr , 一一一一 一,的指向，二者都可表木質(zhì)點(diǎn) 出 drdr drdr的運(yùn)動(dòng)速度；在曲線運(yùn)動(dòng)中" dr ,且dr也表示不了 dl的指向，二者完全不同。dv、一一只是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大小 出出 dt dtdtdvj表木質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小，萬向的改變是加速度矢重，而 出的改變。在直線運(yùn)動(dòng)中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度；在曲線運(yùn)動(dòng)中，二者不同，dv a an，而5 adtdt1.6 答：不論人是靜止投籃還

5、是運(yùn)動(dòng)投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6題1-6圖圖所示，故人以速度 V向球網(wǎng)前進(jìn)時(shí)應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投a的勻速水平直出，（事實(shí)上要稍高一點(diǎn)，使球的運(yùn)動(dòng)有一定弧度，便于投籃）1.7 答：火車中的人看雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是雨點(diǎn)的勻速下落運(yùn)動(dòng)及向右以加速度線運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)如題 1.7圖所示,12at , 2 消vt題1-7圖oxy是固定于車的坐標(biāo)系，雨點(diǎn)相對(duì)車的加速度 aa,其相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程y去t的軌跡22 2v如題圖，有人會(huì)問：車上的人看雨點(diǎn)的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線 凹向的內(nèi)側(cè)，a垂直于V方向的分量an在改變著V的方向，該軌跡上凹。1.8

6、 答：設(shè)人發(fā)覺干落水時(shí)，船已上行s ,上行時(shí)船的絕對(duì)速度 V船 V水，則s V船 V水2船反向追趕竿的速度 V船 V水，設(shè)從反船到追上竿共用時(shí)間t,則（V船 V7K）t 600 s又竿與水同速，則V7K(2 t) 600十二得150m min1.9 答：不一定一致，因?yàn)槭歉淖兾矬w運(yùn)動(dòng)速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的 方向與合外力的方向一致。 外力不但改變速度的大小還改變速度的方向， 在曲線運(yùn)動(dòng)中外力 與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運(yùn)動(dòng)二者的方向一致。1.10 答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時(shí)，物體作直線運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中若初速度方向與力的方向不一致，

7、 物體沿出速度的方向減速運(yùn)動(dòng)， 以后各時(shí)刻 既可沿初速度方向運(yùn)動(dòng)， 也可沿力的方向運(yùn)動(dòng)， 如以一定初速度上拋的物體， 開始時(shí)及上升 過程中初速度的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)下落過程中沿力的方向運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中初速度的方向與外力的方向不一致， 物體初時(shí)刻速度沿初速度的反方向， 但以 后既不會(huì)沿初速度的方向也不會(huì)沿外力的方向運(yùn)動(dòng)， 外力不斷改變物體的運(yùn)動(dòng)方向，各時(shí)刻 的運(yùn)動(dòng)方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。 如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不 一致，重力的方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。1.11 答：質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任意點(diǎn)的速度只和初末時(shí)刻的高

8、度 差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點(diǎn)的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論 假如曲線不是光滑的， 質(zhì)點(diǎn)還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力， 摩擦力的功不僅與初末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點(diǎn)到達(dá)任一點(diǎn)的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。1.12 答：質(zhì)點(diǎn)被約束在一光滑靜止的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 方向，故約束力不做功，動(dòng)能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。 但用動(dòng)能 定理或能量積分可求出質(zhì)點(diǎn)在某位置的速度，從而得出an ,有牛頓運(yùn)動(dòng)方程FnRnman便可求出Rn,即為約束力1.13 答：動(dòng)量p mv 1 .32 2232 4 kg.ms動(dòng)

9、能121222T -mv2 - 132 22 .38 N m221.14 答：i j k2 3 6i 9 3j2 6kJ r mv 1 2 33 2 <3J02.3 629 / 24 28.67 kg m/sJZ4 kg m21.15 答：動(dòng)量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動(dòng)量矩守恒并不意味著動(dòng)量也守恒。如質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩守恒是由于力過力心，力對(duì)力心的矩為零，但這質(zhì)點(diǎn)受的力并不為零，故動(dòng)量不守恒，速度的大小和方向每時(shí)每刻都在改變。1.16 答：若F F r ,在球坐標(biāo)系中有e reeF rF r 00由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同,它不影響力場(chǎng)的物理性

10、質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中r xi yj zk, F r仍有 F 0的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中Fx r i Fv i j Fz r kxyzxi yj zkri j kF 一 一 一x y zFx rFy r Fz ri j kx y z xyzF r-Fr上F r-rrr事實(shí)上據(jù)“”算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡(jiǎn)寫為這表明有心力場(chǎng)是無旋場(chǎng)記保守立場(chǎng)1.17答平方反比力場(chǎng)中系統(tǒng)的勢(shì)能V r,2X,其勢(shì)能曲線如題圖1.17圖所示,r題1-17圖E V r ,因丁 0,故有E V r 。若E 0 ,其勢(shì)能曲線對(duì)應(yīng)于近日點(diǎn)rmin和遠(yuǎn)日點(diǎn)rmax之間的一段。近日點(diǎn)處E V r T即為進(jìn)入軌道需要的初動(dòng)能若

11、E 0則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)無界，對(duì)應(yīng)于雙曲線軌道的運(yùn)動(dòng)；若 E 0位于有界和無界之間，對(duì)應(yīng)于拋物線軌道的運(yùn)動(dòng)；這兩種軌道的運(yùn)動(dòng)都沒有近日點(diǎn)，即對(duì)大的 r質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是無界的，當(dāng) r很大時(shí)V r 0,還是選無限遠(yuǎn)為零勢(shì)點(diǎn)的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運(yùn)動(dòng)比拋物軌道和橢圓軌道需要的進(jìn)入軌道需要的動(dòng) 能要大。事實(shí)及理論都證明，平方反比引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的軌道正是取決于進(jìn)入軌道時(shí)初動(dòng)能的 大小由1 2mv2k2V2rk2rr即速度V的大小就決定了軌道的形狀，圖中T1,T2,T3對(duì)應(yīng)于進(jìn)入軌道時(shí)的達(dá)到第一二三宇宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故r有一極小值Re,既相互作用的二質(zhì)點(diǎn)不可能無限接近，對(duì)于人造衛(wèi)星的發(fā)射

12、Re其為地球半徑。T0 E V r為地面上發(fā)射時(shí)所需的初動(dòng)能，圖示 丁01,丁02,丁03分別為使衛(wèi)星進(jìn)入軌道時(shí)達(dá)到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射 動(dòng)能。Toi Tii 1,2,3 .為進(jìn)入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。1.18 答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平面的家教越大，運(yùn)動(dòng)中受的影響也越大， 對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對(duì)地球的直接探測(cè)面積越大，其科學(xué)使用價(jià)值越高。21.19 答：對(duì)庫侖引力場(chǎng)有 一mv2 E,其中k 二一若V2，

13、則，E0,軌道 2 r4 0r是雙曲線的一點(diǎn)，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用， 不同的是引力情況下力心在雙曲線22k凹陷方位內(nèi)側(cè)；若 V2 ，則E 0,軌道橢圓 E 0或拋物線 E 0 ,盧瑟福公式不r2k適用，仿照課本上的推證方法，在入射速度V0 2k的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理r學(xué)的正，負(fù)粒子的對(duì)撞試驗(yàn)可驗(yàn)證這一結(jié)論的近似正確性。2.1. 答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點(diǎn)組，然后求質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心即為整個(gè)物體的質(zhì)心。對(duì)被割去的部分，先假定它存在，后以其負(fù)質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2. 答：物體具有三個(gè)對(duì)稱面已足以確定該物

14、體的規(guī)則性，該三平面的交點(diǎn)即為該物體的幾何對(duì)稱中心，又該物體是均勻的，故此點(diǎn)即為質(zhì)心的位置。2.3. 答：對(duì)幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，理論上可以求每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，但由于每一質(zhì)點(diǎn)受到周圍其它各質(zhì)點(diǎn)的相互作用力都是相互關(guān)聯(lián)的，往往其作用力難以預(yù)先知道；再者，每一質(zhì)點(diǎn)可列出三個(gè)二階運(yùn)動(dòng)微分方程，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)組有3n個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)二階微分方程組，難以解算。但對(duì)于二質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還是可以解算的。若質(zhì)點(diǎn)組不受外力作用，由于每一質(zhì)點(diǎn)都受到組內(nèi)其它各質(zhì)點(diǎn)的作用力，每一質(zhì)點(diǎn)的合內(nèi)力不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這表明，內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)組整體的運(yùn)動(dòng)，但可改變組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)。2.4

15、. 答：把碰撞的二球看作質(zhì)點(diǎn)組，由于碰撞內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，故可以認(rèn)為外力為零，碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。如果只考慮任一球，碰撞過程中受到另一球的碰撞沖力的作用，動(dòng)量 發(fā)生改變。（忽略水對(duì)船的阻力）2.5. 答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零且開船時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)地面的位置不變。當(dāng)人向船尾移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動(dòng)，這是符合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的。2.6. 答：碰撞過程中不計(jì)外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能(分子間的結(jié)合能)，故動(dòng)量

16、守恒即相撞物體的形變可以完全恢復(fù)能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時(shí), 或不發(fā)生形變時(shí)，能量也守恒，但這只是理想情況。2.7. 答：設(shè)質(zhì)心的速度 Vc,第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度 Vi ,則Vi Vc Vi ,代入質(zhì)點(diǎn)組一 一 d動(dòng)量定理可得 一miViFieFiimiac這里用到了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理cdt iiiieFimiac o故選用質(zhì)心坐標(biāo)系，在動(dòng)量定理中要計(jì)入慣性力。但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心iv的動(dòng)量守恒miVi 常矢量。當(dāng)外力改變時(shí)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)也改變，但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心i參考系的動(dòng)量不變，即相對(duì)于質(zhì)心參考系的動(dòng)量不受外力影響，這給我們解決問題帶來不少方便。值得指出：質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)相

17、對(duì)質(zhì)心參考系有，對(duì)質(zhì)心參考系動(dòng)量并不守恒。2.8. 答不對(duì).因?yàn)槿藪伹蚯昂笄蚺c船和人組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，球拋出后船和人的速度不再是 V。設(shè)船和人的質(zhì)量為 M ,球拋出后船和人的速度為 V ,則M mV MVi mVi vVi V /一v球出手時(shí)的速度應(yīng)是 Vi v。人做的M m功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的改變，不是只等于小球動(dòng)能的改變，故人做的功應(yīng)為 -MV12 -mV1 V 2 M mV2二 Mm v2顯然與系統(tǒng)原來的速度無關(guān)。222 M m2.9. 答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運(yùn)動(dòng)中繩的拉力提供圓弧運(yùn)動(dòng)的向心力，此力不 做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)秋千蕩到鉛

18、直位置向 上去的過程中，人站起來提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢(shì)能增加；當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)向豎直位置折回過程中，人蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動(dòng)能增大，這樣循環(huán)往復(fù)，系統(tǒng)的總能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時(shí)能量的增長是人體內(nèi)力做功， 消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。2.10. 答：火箭里的燃料全部燒完后，火箭的質(zhì)量不再改變， 然而質(zhì)量不變是變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問題的特例，故§2.7(2)中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)問題的公m02.11. 答：由V V0vr ln 一V0Vr ln z知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度Vr或ms增大質(zhì)量比m0。由于燃料的效能，

19、材料的耐溫等一系列技術(shù)問題的限制，vr不能過大；ms又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量m0相當(dāng)大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級(jí)火箭，一級(jí)火箭的燃料燃完后外殼自行脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級(jí)火箭開始工作后便于提高火箭的 速度。若各級(jí)火箭的噴射速度都為 vr ,質(zhì)量比分別為Zi,Z2, .Zn ,各級(jí)火箭的工作使整體速度增加v1,v2, vn ,則火箭的最后速度v v1 v2vn vr In z1 In z2In zn vr In z1 z2 zn因每一個(gè)z都大于1,故v可達(dá)到相當(dāng)大的值。但火箭級(jí)數(shù)越多，整個(gè)重量越大，制造技術(shù)上會(huì)帶來困難， 再者級(jí)越高，質(zhì)量比越減小， 級(jí)數(shù)很多時(shí)，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1

20、,速度增加很少。故火箭級(jí)數(shù)不能過多，一般三至四級(jí)火箭最為有效。3.1 答：確定一質(zhì)點(diǎn)在空間中得位置需要3個(gè)獨(dú)立變量，只要確定了不共線三點(diǎn)的位置剛體的位置也就確定了，故須九個(gè)獨(dú)立變量，但剛體不變形，此三點(diǎn)中人二點(diǎn)的連線長度不變， 即有三個(gè)約束方程，所以確定剛體的一般運(yùn)動(dòng)不需3n個(gè)獨(dú)立變量，有6個(gè)獨(dú)立變量就夠了 .若剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，只要定出任一點(diǎn)相對(duì)定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)就確定了，只需3個(gè)獨(dú)立變量；確定作平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的代表平面在空間中的方位需一個(gè)獨(dú)立變量，確定任一點(diǎn)在平面上的位置需二個(gè)獨(dú)立變量，共需三個(gè)獨(dú)立變量；知道了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角，剛體的位置也就定了，只需一個(gè)獨(dú)立變量； 剛體的平動(dòng)

21、可用一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表其運(yùn)動(dòng)，故需三個(gè)獨(dú)立變量。3.2 答物體上各質(zhì)點(diǎn)所受重力的合力作用點(diǎn)即為物體的重心。當(dāng)物體的大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)物體上各質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力場(chǎng)為均勻場(chǎng)，此時(shí)質(zhì)心與重心重合。事實(shí)上但物體的線度很大時(shí)各質(zhì)點(diǎn)所在處g的大小是嚴(yán)格相等，且各質(zhì)點(diǎn)的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心與質(zhì)心不和。3.3 答當(dāng)物體為均質(zhì)時(shí)，幾何中心與質(zhì)心重合；當(dāng)物體的大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)，質(zhì)心與重心重合；當(dāng)物體為均質(zhì)且大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)，三者都重合。3.4 答主矢F是力系各力的矢量和，他完全取決于力系中各力的大小和方向，故主矢不隨 簡(jiǎn)化中心的位置而改變，故而也稱之為

22、力系的主矢；簡(jiǎn)化中心的位置不同， 各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的位矢ri也就不同則各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩也就不同，故主矩隨簡(jiǎn)化中心的位置而變，被稱之為力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。分別取。和O為簡(jiǎn)化中心，第i個(gè)力Fi。和O的位矢分別為ri和ri ,則ri =門+OO ,故M ori FiriOO FiriFi OO FiMo OO Fi即 M o Mo主矢不變，表明剛體的平動(dòng)效應(yīng)不變,主矩隨簡(jiǎn)化中心的位置改變，表明力系的作用對(duì)剛體上不同點(diǎn)有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，但不改變整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律或者說不影響剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)O和O對(duì)質(zhì)心C的位矢分別為rC和rC，則re = re + OO ,把O點(diǎn)的主矢主矩M o移到C點(diǎn)得力系對(duì)

23、重心的主矩Me MorCFi把O為簡(jiǎn)化中心得到的主矢Fi和主矩M o移到C點(diǎn)可得Mc MorCFiM orCOOFiMorCFi簡(jiǎn)化中心的改變引起主矩的改變并不影響剛體的運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上,簡(jiǎn)化中心的選取不過人為的手段，不會(huì)影響力系的物理效應(yīng)。3.5 答不等。如題3-5圖示,*Zdx勿題3-5圖dm mdx繞Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 l3lI 4I z l42 m ,7, 2x dx 一ml1481ml2 321 .m -14這表明平行軸中沒有一條是過質(zhì)心的，則平行軸定理I Ic,2md是不適應(yīng)的3.6不能，如3-5題。但平行軸定理修改后可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如題3-6圖所示,題3-6圖均質(zhì)棒上A, B

24、二點(diǎn)到質(zhì)心的距離分別為 xA和xB由平行軸定理得:A B2IA IcmxA2I B IcmXB2則 IA I B m Xa2Xb,此式即可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如上題用此式即可求得:Iz1ml 2 m 匕U工 m342483.7答 任一瞬時(shí)，作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體上或與剛體固連且與剛體一起運(yùn)動(dòng)的延拓平面總有也僅有一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零（轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心）從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)看由（3.7.1）式v vA 3 r vA 3 r r0知選此點(diǎn)的基點(diǎn)較好，這樣選基點(diǎn)，整個(gè)剛體僅繞此點(diǎn)作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)從（3.7.4）式d W2a aA - r r wdt可知，求加速度時(shí)選加速度為零的點(diǎn)為基點(diǎn)較方便，但實(shí)際問題中，加速度瞬心往往不

25、如速度瞬心好找。從動(dòng)力學(xué)角度考慮， 選質(zhì)心為基點(diǎn)較好，因質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解決；而且質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理于對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理具有相同的形式，亦即剛體繞過質(zhì)心與平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定律去解決。因剛體上不同點(diǎn)有不同的速度和加速度，基點(diǎn)選取的不同，則（3.7.1）和（3.7.4）式中vA ,aA不同，即vA和aA與基點(diǎn)有關(guān)；又任一點(diǎn)相對(duì)基點(diǎn)的位矢r于基點(diǎn)的選取有關(guān)。故A , AA A任一點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度r ,相對(duì)基點(diǎn)的切線加速度 迎 r和相對(duì)基點(diǎn)的向心加速度dtr 2與基點(diǎn)選取有關(guān)；角速度3為剛體各點(diǎn)所共有與基點(diǎn)選取無關(guān)，故d£也與基點(diǎn)選dt取無關(guān)；基點(diǎn)選

26、取的不同是人為的方法，它不影響剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，故任一點(diǎn)的速度v ,a與基點(diǎn)的選取無關(guān)。這也正是基點(diǎn)選取任意性的實(shí)質(zhì)所在。3.8 答轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在無窮遠(yuǎn)處，標(biāo)志著此瞬時(shí)剛體上各點(diǎn)的速度彼此平行且大小相等，意味 著剛體在此瞬時(shí)的角速度等于零，剛體作瞬時(shí)平動(dòng)3.9 答轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的瞬時(shí)速度為零，瞬時(shí)加速度并不為零，否則為瞬時(shí)平動(dòng)瞬心參考系是非慣性系，應(yīng)用動(dòng)量矩定理是必須計(jì)入慣性力系對(duì)瞬心的力矩。而慣性力系向瞬心簡(jiǎn)化的結(jié)果,慣性力系的主矩一般不為零（向質(zhì)心簡(jiǎn)化的結(jié)果慣性力系的主矩為零），故相對(duì)瞬心與相對(duì)定點(diǎn)或者質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有不同的形式；另外，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在空間中及剛體上的位置都在不停的改變，（質(zhì)心在剛體上

27、的位置是固定的）， 故對(duì)瞬心的寫出的動(dòng)量矩定理在不同時(shí)刻是對(duì)剛體上不同點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程，即瞬心參考系具有不定性；再者，瞬心的運(yùn)動(dòng)沒有像質(zhì)心一點(diǎn)定理那樣的原理可直接應(yīng)用。故解決實(shí)際問題一般不對(duì)瞬心應(yīng)用動(dòng)量矩定理寫其動(dòng)力學(xué)方程。3.10 答 因圓柱體沿斜面滾下時(shí)，圓柱體與斜面之間的反作用力不做功，只有重力作功，故機(jī)械能守恒且守恒定律中不含反作用，故不能求出此力。此過程中由于圓柱體只滾動(dòng)不滑動(dòng)，摩擦力做功為零，故不列入摩擦力的功， 也正是摩擦力不做功才保證了機(jī)械能守恒；若圓柱體即滾且滑的向下運(yùn)動(dòng)， 摩擦力做功不為零免責(zé)必須列入摩擦力的功。機(jī)械能不守恒，必須用動(dòng)能定理求解。在純滾動(dòng)過程中不列入摩擦力的功

28、并不是沒有摩擦力，事實(shí)上，正是摩擦力與重力沿下滑方向的分離組成力偶使圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)且摩擦阻力阻止了柱體與斜面的相對(duì)滑 動(dòng)，才使圓柱體沿斜面滾動(dòng)而不滑動(dòng)； 如果斜面不能提供足夠的摩擦力， 則圓柱體會(huì)連滾帶 滑的向下運(yùn)動(dòng)；如果斜面絕對(duì)光滑，即斜面對(duì)圓柱體不提供摩擦力， 則圓柱體在重力作用下 沿斜面只滑動(dòng)不滾動(dòng)。答 圓柱體沿斜面無滑動(dòng)滾動(dòng)，如課本 195頁例2示，Xc a ,當(dāng)柱體一定時(shí)，相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大則越小，故與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)。當(dāng)圓柱體沿斜面既滾動(dòng)又滑動(dòng)地向下運(yùn) 動(dòng)時(shí)，如課本圖3.7.7有f是滑動(dòng)摩擦系數(shù)，（注意，無滑動(dòng)時(shí)，靜是靜摩擦系數(shù)）、所以cosmx mg sin這里f是滑動(dòng)摩擦力，f n

29、 mg cos ,摩擦力f并不一定達(dá)到極限值，f n ,Xc g sin與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無關(guān)。又有轉(zhuǎn)動(dòng)定律得famg a cos由xca S得圓柱與斜面的相對(duì)滑動(dòng)加速度S g sincos2 ma g cos與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)3.11 答剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),題3-12圖體內(nèi)任一點(diǎn)的線速度才可寫為w r ,這時(shí)r是任一點(diǎn)到左邊一點(diǎn)引出的矢徑不等于該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離對(duì)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體圓點(diǎn)一般取在定點(diǎn)位置，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，坐標(biāo)原點(diǎn)可取在定軸上任一點(diǎn)；包含原點(diǎn)且與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)的各點(diǎn)，r才等于到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。 當(dāng)剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)或任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，人一點(diǎn)相對(duì)與基點(diǎn)的速度也可寫為r ,其中r為該點(diǎn)向基點(diǎn)引的

30、矢徑。3.12 答 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，cot的大小、方向時(shí)刻改變，任意時(shí)刻所在的方位即為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸， 迎 r表示由于 大小和方向的改變引起的剛體上某但繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度， dt故稱轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。r v是由于剛體上某點(diǎn)繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)引起速度方向改變產(chǎn)生的加速度，它恒垂直指向瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸， 此方向軌跡的曲率中心或定點(diǎn)，故稱向軸加速度而不稱向心加速度。3.13 答在對(duì)定點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理推導(dǎo)歐勒動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，既考慮了剛體繞定點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)的定量矩J隨固連于剛體的坐標(biāo)系繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的動(dòng)量矩改變J ,又考慮了 J相對(duì)固連于剛體的坐標(biāo)軸的運(yùn)動(dòng)引起動(dòng)量矩的改變Jxi Jyj Jzk也就是說，既考慮了隨剛體運(yùn)動(dòng)的牽連運(yùn)動(dòng)，又

31、考慮了相對(duì)于剛體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，是以固定參考系觀測(cè)矢量對(duì)時(shí)間微商的, 故用這種坐標(biāo)系并不影響對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的研究。3.14 答歐勒動(dòng)力學(xué)方程的第二項(xiàng)是由于動(dòng)量矩矢量J隨剛體以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的i j k3 JxyzI 1 x I 2 y I 3 zI 2 I 3 y z i I 1 I 3 z x j I 211 x y k它們具有定性力矩的物理意義，各項(xiàng)的負(fù)值表示了慣性力系對(duì)定點(diǎn)的主矩在各動(dòng)軸上的分量4.1. 答：矢量G的絕對(duì)變化率即為相對(duì)于靜止參考系的變化率。從靜止參考系觀察變矢量 G隨轉(zhuǎn)動(dòng)系以角速度相對(duì)與靜止系轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí) G本身又相對(duì)于動(dòng)系運(yùn)動(dòng)，所以矢量G的絕 對(duì)變化率應(yīng)當(dāng)寫作 dG d-G G。

32、其中土G是G相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的變化率即相出 出出對(duì)變化率；G是G隨動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起 G的變化率即牽連變化率。若G相對(duì)于參考系不變化，則有d_G0,此時(shí)牽連運(yùn)動(dòng)就是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，dG G ;若0即動(dòng)系作動(dòng)dtdt平動(dòng)或瞬時(shí)平動(dòng)，則有 G 0此時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)即為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)dG JG ；另外，當(dāng)某瞬dt dt時(shí) G ,則G 0,此時(shí)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸與 G平行，此時(shí)動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)不引起G的改變。當(dāng) dG動(dòng)系作平動(dòng)或瞬時(shí)平動(dòng)且G相對(duì)動(dòng)系瞬時(shí)靜止時(shí)，則有 0 ;若G隨動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起的dt變化G與相對(duì)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)的變化 dG等值反向時(shí)，也有 些 0。 dtdt4.2. 答：式（4.1.2） j 或 i是平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的單位矢對(duì)時(shí)間的微商，

33、表示由dt dtdk于動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起i,j萬向的變化率。由于動(dòng)坐標(biāo)系中的 z軸靜止不動(dòng)。故有 0；又 dt恒沿z軸方位不變，故不用矢積形式完全可以表示電和dj。dt dt式（4.2.3）包 3 i ,包 j dk 3 k是空間轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的單位矢對(duì)時(shí)間的微商， dtdt出dk.表不由于動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起i,j,k萬向的變化率，因動(dòng)系各軸都轉(zhuǎn)動(dòng) 0；又在空間的萬dt位隨時(shí)間改變際不同時(shí)刻有不同的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，故必須用矢積表示更，碼,如。（4.1.2）是dt dt dtdididk （4.2.（3） 例，當(dāng) cok 代入（4.2.3） w j j , l w j , 0 即為（4.1.2）dtdtdt式。不能由

34、式（4.1.2）推出（423）。4.3. 答：人隨衛(wèi)星式飛船繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)過程中受到慣性離心力作用，此力與地心引力方向相反，使人處于失重狀態(tài)，故感到身輕如燕。4.4. 答：慣性離心力是隨轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的物體受到慣性離心力，它作用于隨動(dòng)系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上，它不是物體間的相互作用產(chǎn)生的，也不是產(chǎn)生反作用力，是物體的慣性在非慣性系的反映；離心力是牛頓力，是作用于給曲線運(yùn)動(dòng)提供向心力的周圍物體上的力，或者說離心力是作用于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系上的力，它是向心力的反作用力。4.5. 答：如題4.5所示，題4-5圖由于物體m相對(duì)于圓盤的速度矢量v ，故科里奧利力 2mv 0;又 恒矢量，0,故牽連切向慣心力mw r

35、0 ;所以物體只受到牽連法向慣性力2 即慣性離心力的作用，如圖小 F慣 mr ,萬向垂直于轉(zhuǎn)軸向外。4.6. 答；單線鐵路上，南來北往的列車都要通過，以北半球?yàn)槔?，火車受到的科氏慣性力總 是指向運(yùn)動(dòng)方向的右側(cè)（南半球相反），從北向南來的列車使西側(cè)鐵軌稍有磨損，故兩條鐵軌的磨損程度并不相同。4.7. 答：拋體的落地偏差是由于科里奧利力2vm引起的，當(dāng)炮彈自赤道水平方向朝北或朝正南射出時(shí)，出刻 v ,科里奧利力為零，但炮彈運(yùn)行受重力作用改變方向使得W與v不平彳t 2mCD v 0,朝北和朝南射出的炮彈都有向東的落地偏差。若以仰角40或垂直向上射出，炮彈上升和降落過程中科氏慣性力方向相反，大小相等，

36、且上升時(shí)間等于下降時(shí)間，故落地?zé)o偏差。4.8. 答：?jiǎn)螖[震動(dòng)面的旋轉(zhuǎn)是擺錘 受到科里奧利力2mco v的緣故，其中m是擺錘的質(zhì)量，是地球繞地軸的自轉(zhuǎn)角速度，v是擺錘的速度。南半球上擺錘受到的科氏力總是指向起擺動(dòng)方向的左側(cè)，如題 4.8圖是南半球上單擺的示意圖，若沒有科氏慣性力，單擺將沿 AB擺動(dòng)，事實(shí)上由于科里奧利力的作用單擺從A向B擺動(dòng)逐漸向左側(cè)移動(dòng)到達(dá) C點(diǎn)，從C點(diǎn)向回?cái)[動(dòng)過程中逐漸左偏到達(dá) D點(diǎn)，以此推論，擺動(dòng)平面將沿逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)?？评飱W利力很小，每一次擺動(dòng)，平面的偏轉(zhuǎn)甚微,必須積累很多次擺動(dòng)，才顯出可覺察的偏轉(zhuǎn)。題4-8圖（圖中是為了便于說明而過分夸張的示意圖）。由C ,在赤道上緯度

37、sin0,C,即在赤道上擺動(dòng)平面不偏轉(zhuǎn)。這里不難理解的，若擺動(dòng)平面沿南北方向， v ,科氏慣性力為零；若單擺平面沿東西方位，則科氏力一定在赤道平面與B單擺的擺動(dòng)平面共面，故不會(huì)引起擺動(dòng)平面的偏轉(zhuǎn)。4.9. 答：在上一章剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中，動(dòng)系固連于剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)，但剛體上任一點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即各點(diǎn)的相對(duì)速度 v 0,故科里奧利加速度 ac 23 v 0。事實(shí)上，科氏加速度是牽連轉(zhuǎn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的，沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就談不到科里奧利加速度的存在。5.1 答：作.用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、 符合約束的、無限小的.即時(shí)位置變更，故虛功也是假想的、符合

38、約束的、無限小的.且與過程無關(guān)的功，它與真實(shí)的功完全是兩回事 .從 WFi 可知：虛功與選用的坐標(biāo)系無關(guān)，這正是虛功與過程無關(guān)的反映；虛功對(duì)各虛位移中的功是線性迭加，虛功對(duì)應(yīng)于虛位移的一次變分.在虛功的計(jì)算中應(yīng)注意：在任意虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無限小性的 結(jié)果.虛功原理給出受約束質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件，比靜力學(xué)給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動(dòng)力學(xué)問題，這是剛體力學(xué)的平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題時(shí)，由于約束.由于虛功方反力自動(dòng)消去，可簡(jiǎn)便地球的平衡條件； 最后又有廣義坐標(biāo)和廣義力的引入得到

39、廣義虛位移 原理，使之在非純力學(xué)體系也能應(yīng)用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點(diǎn).但利用虛功原理并不是不能求出約束反力，一般如下兩種方法：當(dāng)剛體受到的主動(dòng)力為已知時(shí)，解除某約束或某一方向的約束代之以約束反力； 再者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩，但能同時(shí)求 出平衡條件和約束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約束的力學(xué)體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學(xué)體系，不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學(xué)體系動(dòng)能改變的觀點(diǎn)討論體系的運(yùn)動(dòng)，而約束反作用力不能改變

40、體系的動(dòng)能，故不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學(xué)體系其廣義坐標(biāo)數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾何約束限制力學(xué)體系的自由運(yùn)動(dòng)，使其自由度減小，這表明約束反作用力不對(duì)應(yīng)有獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，故不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方程，對(duì)受有幾何約束的力學(xué)體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對(duì)拉格朗日方程進(jìn)行修正.廣義坐標(biāo)市確定質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系完整的獨(dú)立坐標(biāo)，它不一定是長度，可以是角度或其他物理量，如面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等.顯然廣義坐標(biāo)不一定是長度的量綱.在完整約束下，廣義坐標(biāo)數(shù)等于力學(xué)體系的自由度數(shù)；廣義力明威力實(shí)際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強(qiáng)、

41、場(chǎng)強(qiáng)等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對(duì) 應(yīng)的廣義坐標(biāo)作單位值的改變，且其余廣義坐標(biāo)不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由nsFi riq W知， q有功的量綱，據(jù)此關(guān)系已知其中一個(gè)量的量綱i 11則可得到另一個(gè)量的量綱.若q是長度，則 一定是力，若 是力矩，則q 一定是角度，若q是體積，則一定是壓強(qiáng)等.5.3 答 p與q不一定只相差一個(gè)常數(shù) m ,這要由問題的性質(zhì)、坐標(biāo)系的選取形式及廣1義坐標(biāo)的選用而定。直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能T -m(x2 y2 z2),若取y為廣義坐標(biāo)，則qy y ,而Py my mqy ,相差一常數(shù) m ,如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能 y1 2 什、一一t,，乂 T -1

42、，取廣義坐標(biāo) q ，而P I , p與q相差一吊數(shù) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣重 I , 2又如極坐標(biāo)系表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能T 1m(r2 r2 2),若取q ，有q ，而2p t- mr2 ,二者相差一變數(shù) mr2 ；若取q r有qr r ,而pr - mr ,二 r12者相差一變數(shù) m .在自然坐標(biāo)系中T msp 與q才相二者相差一變數(shù) m.從以上各例可看出：只有在廣義坐標(biāo)為長度的情況下,差一常數(shù)；在廣義坐標(biāo)為角量的情形下，p與q相差為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱.p為何比q更富有物理意義呢？首先， p對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)T、L或H與廣義速度、廣義坐標(biāo)的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而q是對(duì)應(yīng)于運(yùn)

43、動(dòng)學(xué)量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo) qi時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量 pi - 常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問 qi題帶來方便，而此時(shí)循環(huán)坐標(biāo) qi對(duì)應(yīng)的廣義速度 qi并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場(chǎng)中L 1 m r2 r2 2 k m , L不含，故有p - mr 常數(shù)，但q常數(shù)；2 r最后，由哈密頓正則方程知 p , q是一組正則變量：哈密頓函數(shù) H中不含某個(gè)廣義坐標(biāo) qi時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量 pi常數(shù)，不含某個(gè)廣義動(dòng)量 pi時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo) qi常數(shù)5.4 答只有對(duì)于完整系，廣義坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5313）d T T Q

44、dt q q各q才能全部相互獨(dú)立， 得到式（5314）,故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學(xué)體系，描述體系的運(yùn)動(dòng)需要的廣義坐標(biāo)多于自由度數(shù)，各q不全部獨(dú)立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。5.6 答 力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式|a 2 C | 0 ,其中，1,2 S ,久期方程的各根（本征值）l的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動(dòng)性質(zhì)。因從本征方程（5.4.6）式中可求出2s個(gè)的本征值l （ l 1,2 2S）,每一個(gè)l對(duì)應(yīng) 一個(gè)獨(dú)立的常數(shù)故 2S2個(gè)常數(shù)中只有 2s個(gè)是獨(dú)

45、立的。5.7 答多自由度體系的小振動(dòng)，每一廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于 S個(gè)主頻率的諧振動(dòng)的疊加。若通過坐標(biāo)間線性變換使得每一廣義坐標(biāo)僅對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，則變換后的坐標(biāo)稱之為簡(jiǎn)正坐標(biāo)， 對(duì)應(yīng)的頻率為簡(jiǎn)正頻率，每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)簡(jiǎn)正頻率，而簡(jiǎn)正頻率數(shù)和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等，故簡(jiǎn)正坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)。值得說的是，每一簡(jiǎn)正振動(dòng)為整個(gè)力學(xué)體系所共有，反映的是各質(zhì)點(diǎn)（整體）的振動(dòng)之一，其他坐標(biāo)都作為簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性函數(shù)，由 S個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)疊加而成。這種方法在統(tǒng)計(jì)物 理，固體物理中都有運(yùn)用。5.8 答對(duì)一完整的穩(wěn)定的力學(xué)體系在有阻尼的情況下，它們?cè)谄胶馕恢酶浇鼘⒆魉p運(yùn)動(dòng)。，、 L 1引入耗放函數(shù)F 2則阻力力學(xué)體系

46、的運(yùn)動(dòng)方程改為d TTVFdt qqqq其中Tq q , F中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域展開成泰勒級(jí)數(shù)b qr 高級(jí)項(xiàng)q r 0qr很小，只保留頭一項(xiàng)，則a ,b ,c均為常數(shù)。T,V,F代入運(yùn)動(dòng)方程得Sa q b q c q 0,1,2 S1把q A et代入上式得本征值方程1,2 S01,2 S在V 0, F2 4VT的小阻尼情況下，本征值i l l 1,2 2S ,且 l 0 振動(dòng)方程為Sltl.i ltl.qe A i l i l e Aililel 11,2 S顯然是按指數(shù)率的衰減振動(dòng)。5.9答：因 L L q ,q ,t ,1,2,.s ,故s LdL dq1 qqLdqdt p

47、dq p dq17dt,L-由P 解得q所以q q q , P ,t,1,2,.s1,2,.sI q , p ,t L q ,q q , p ,t ,tdi dq dqi qqLdt dL tI L s L q L q q i q q q5.10 答：拉格朗日方程只適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能適用于完整的，保守的力學(xué)體系，對(duì)非保守體系（5.3.18）改寫為Q ,1,2.sqd TTdt qq其中Q為非有勢(shì)力，或?qū)憺镼 ,1,2.sd L L dt q qr- L即p Q 。經(jīng)勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則 q方程H q 一, ph -

48、 一 pQ ,1,2.sq5.11 答：若哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間t,則H H q , p 常熟；對(duì)穩(wěn)定約束下的力學(xué)體系，動(dòng)能不是速度的二次齊次函數(shù)，則H T V ,是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時(shí)H并不是真正的能量；對(duì)穩(wěn)定的，保守的力學(xué)體系，若 H含t則H是能量但不為常熟。5.12 答:泊松括號(hào)是一種縮寫符號(hào)，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數(shù)之間的關(guān)系。若 p ,q ,t , p ,q ,t ,1,2.s ,則s, 1 q p p q,h是物理學(xué)中最常用的泊松括號(hào)，用泊松括號(hào)可表示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)正則方程p p

49、,H ,q q ,H ,1,2.s用泊松括號(hào)的性質(zhì)復(fù)雜微分運(yùn)算問題化為簡(jiǎn)單的括號(hào)運(yùn)算，這種表示法在量子力學(xué)，量子場(chǎng) 論等課程中被廣泛應(yīng)用。每一正則方程必對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，利用泊松括號(hào)從正則方程=積分p ,q ,t Ci, p ,q ,tC2可以推出另外一個(gè)積分， C3 ,這一關(guān)系稱為泊松定理。5.13 答：哈密頓原理是用變分的方法確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它是力學(xué)變分原理的積分形式?；?本思想是在描述力學(xué)體系的S維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點(diǎn)相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。因?yàn)閷?duì)等時(shí)變分t 0,故變分符號(hào)可置于積分號(hào)內(nèi)也可置于積分號(hào)外，而不等時(shí)變分t 0 ,故全變分符號(hào)不

50、能這樣。5.14 答：力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)H中是否有循環(huán)坐標(biāo)系或循環(huán)坐標(biāo)的數(shù)目與坐標(biāo)系(或參變數(shù))的選取有關(guān)，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù)變換找到新的函數(shù)H*，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，此即正則變換的目的及公用。由于每一循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，正則變換后可多得到一些運(yùn)動(dòng)積分，給解決問題帶來方便，正則變換的關(guān)鍵是母函數(shù)的選取，其選取白原則是使H*中多出現(xiàn)循環(huán)坐標(biāo)，但并無一定的規(guī)律可循，要具體問題具體分析。5.15 答：哈密頓正則方程是 2s個(gè)一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運(yùn)動(dòng) 積分求出其余的運(yùn)動(dòng)積分往往是已知解的線性組合或橫等時(shí)，并不能給出新的解；而用正則變換可多得

51、到一些循環(huán)坐標(biāo)是正則方程立即有解，但母函數(shù)的選取往往很困難，哈密頓一雅可畢理論的目的既是要彌補(bǔ)上述缺陷，通過一個(gè)特殊的正則變換，使得用新變量一.-.*、一- 一.、-W .» P ,Q , (1,2.s)表木的哈密頓函數(shù)H 0，此時(shí)P ,Q 全部為常數(shù)i, i,(i1,2.s),這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16 答：又( 5.9.8)式若為不穩(wěn)定約束，只需以 h代替E即可，故對(duì)(5.9.8)式分離變量 后推出的(5.9.12)中也只需以h代E即可用于不穩(wěn)定約束。 正則方程利用哈一雅理論后得 到結(jié)果十分普遍，可同時(shí)得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌道級(jí)動(dòng)量，故比拉格朗

52、日方程優(yōu)越。5.17 答：經(jīng)典“牛頓力學(xué)”常用于幾何的觀點(diǎn)，運(yùn)用形象化思維的方式，研究力學(xué)體系的受 力情況及運(yùn)動(dòng)情況，然后通過運(yùn)動(dòng)非常及時(shí)物體的受力與運(yùn)動(dòng)變化間的相互聯(lián)系和前因后果。 這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際。但由于它著眼于力，速度， 加速度等矢量，給解決復(fù)雜的力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題帶來許多不便；再者，它僅僅局限于純力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)分析，其理論與方法難以建立與其它學(xué)科的聯(lián)系。5.18 答：十九世紀(jì)發(fā)展起來的“分析力學(xué)方法彌補(bǔ)了上述缺陷，它用純數(shù)學(xué)分析的方法用 更具有概括性的抽象思維方式，從力學(xué)體系的一切可能的運(yùn)動(dòng)中挑選出實(shí)際運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學(xué)方

53、法鮮明，但它給人們解決復(fù)雜力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題提供 了有一方法；再者，由于廣義坐標(biāo)，廣義力的引入使其理論在其它學(xué)科中也能廣泛的應(yīng)用。 建立了經(jīng)典物理學(xué)向近代物理學(xué)過渡的橋梁。下面通過分析力學(xué)與牛頓力學(xué)理論及方法的比較扼要闡述分析力學(xué)的優(yōu)越性。牛頓力學(xué)的著眼點(diǎn)是力，實(shí)際力學(xué)體系除受到促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的主動(dòng)力，往往還 存在很多限制其運(yùn)動(dòng)的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作為未知數(shù)出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng) 微分方程，使未知量增加給解算帶來許多麻煩；分析力學(xué)著眼于功和能在一定條件下，常?？梢圆豢紤]約束反作用力。如在理想條件下，用虛位移原理解決力學(xué)體系的平衡問題可撇開 眾多的未知未知約束力，直接得出平衡條件，比用牛頓力學(xué)中剛體受力的平衡方程方便得多； 達(dá)朗伯一一虛位移原理解決力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)問題，由于虛功的概念、廣義坐標(biāo)的引入，也可撇開約束