數(shù)值分析插值法

1、 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)badxxfI)( 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)代數(shù)插值 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)1)-(5 )(1nnonxaxaax2)-5 ( ),2, 1 ,0( )()(niyxfxiiin 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn))( xyny0yny2x0 x1x2xny1)(xfy 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)246810 xy 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)代數(shù)插值應(yīng)用舉例 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)

2、到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來(lái)逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通過(guò)所有的離散點(diǎn)l 概念x0 x1x2x3x4xg(x) f(x) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)定義： 為定義在區(qū)間 上的函數(shù)， 為區(qū)間上n+1個(gè)互不 相同的點(diǎn)， 為給定的某一函數(shù)類。求 上的函數(shù) 滿足)(xfba, 0niix)(xgnixfxgii, 0 , )()(叫截?cái)嗾`差叫插值結(jié)點(diǎn)插值區(qū)間，插值條件使被插值函數(shù)近似代替插值函數(shù)用簡(jiǎn)單函數(shù)望希)()()(,)()(,)()(:xgxfxRxbaxfxgxfxgiii 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)插值多項(xiàng)式插值代數(shù)插值

3、為多項(xiàng)式函數(shù)或者取三角插值為三角函數(shù)通常取Hermitexgxg)()()(問(wèn)題l是否存在唯一l如何構(gòu)造l 估計(jì)誤差)()()(xgxfxR 當(dāng)不斯地增加插值節(jié)點(diǎn)，那么插值函數(shù)列是否收斂被插函數(shù)。 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn).)( ),.,2 , 1 , 0( )()( 1:1 存在且唯一的多項(xiàng)式的次數(shù)不超過(guò)處滿足插值條件節(jié)點(diǎn)互異個(gè)在定理性插值多項(xiàng)式的存在唯一xpnnkxfxpxnnkknk)(. . )(. )(. : .)(:10111100001010nnnnnnnnnnnnxfxaxaaxfxaxaaxfxaxaaxaxaaxp代入插值條件得設(shè)證 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)

4、.)( , 0)(111 :01100存在唯一系數(shù)即多項(xiàng)式該方程組解存在唯一法則知故由系數(shù)行列式Grammerxxxxxxxxnijjinnnnn 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 注2:一次多項(xiàng)式插值 - 過(guò)兩點(diǎn)直線; 二次多項(xiàng)式插值 - 過(guò)三點(diǎn)拋物線; 不用待定系數(shù)法 - (1)計(jì)算量大;(2)不易討論誤差; 注1：如果要求插值多項(xiàng)式的次數(shù)一定要小于n1，一般不存在。但如果要求插值多項(xiàng)式的次數(shù)超過(guò)n次，則存在但不唯一。 上面定理告訴我們，不管用何種方法構(gòu)造插值多項(xiàng)式，次數(shù)不超過(guò)n次的滿足插值條件的多項(xiàng)式是同一個(gè)多項(xiàng)式。下面分別介紹幾種構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法。 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)

5、 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 2 Lagrange插值公式插值公式 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)101011010010111011001001 )()(xxyyaxxyyxyayxaaxyxaax求解可得5)-(5 )(10101010011xxxyyxxxyxyx 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)x)(xfy )()(11xLxy6)-(5 )()(0010101xxxxyyyxN7)-(5 )(: 101001011yxxxxyxxxxxL還可由對(duì)稱式得 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)1011001)()()()(iiiyxlyxlyxlxL) 1 , 0( , 0 , 1)

6、( ijijixlji條件它們?cè)诓逯倒?jié)點(diǎn)處滿足2)-5 ( ), 2 , 1 , 0( )()(niyxfxiiin01011010)( )(xxxxxlxxxxxl 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)7)-(5 )(101001011yxxxxyxxxxxL8)-(5 )()()()()( 202211002iiiyxlyxlyxlyxlxL可設(shè)1)(,0)(,0)(0)(,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(221202211101201000 xlxlxlxlxlxlxlxlxlxx0 x1x2y(x)y0y1y2 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn))()(210 xxxxCxl)(11)

7、(201000 xxxxCxl再利用)()()( 2010210 xxxxxxxxxl即)()()()()()(12021022101201xxxxxxxxxlxxxxxxxxxl )()()()()( :202211002iiiyxlyxlyxlyxlxL于是 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)2)-5 ( ), 2 , 1 , 0( )()(niyxfxiiin)2 , 1 , 0( 0 1)(ijijixlji節(jié)點(diǎn)處滿足由于二次插值基函數(shù)在xx1x2)(xfy)(2xLyx0y 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)jijixlji 1 0)(), 1 , 0( )()()()()()()(01

8、1101110nixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnijjjijniiiiiiiniii9)-(5 )()()()()(01100niiinnnyxlyxlyxlyxlxL 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)10)-(5 )()(000 niniinijjjijiinyxxxxyxlxLniiininnyxxxxxL011)()()()(可改寫為于是式求導(dǎo)可得記)105(, )()(:),()(0101nijjjiinnjjnxxxxxx 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)如何估計(jì)誤差)()()(xLxfxRnn定理：設(shè)f(x)在a,b上存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在（a,b）上存在n+

9、1階導(dǎo)數(shù)， 是Lagrange插值多項(xiàng)式，則對(duì)任 何， 插 值余項(xiàng)為： )x(Ln),(baxb),(a, )()!1()()(1)1(xnfxRnxnn)()(01jnjnxxx 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)證：)()()(, 0 , 0)(, 0 , )()(0nnininixxxxxkxRnixRnixLxf),(bax0)( and , 0, 0)()()()()()(0 xnixxtxtxktLtftinn設(shè)易知 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn))(t有n+2個(gè)零點(diǎn))!1()()( )!1)()()( 0)( , )1()1()1()1(nfxknxkfnnnn)()()!1()

10、()(0)1(nnnxxxxnfxR由x是(a,b)上的任意一點(diǎn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)注:定理2中余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)存在n+1階導(dǎo)數(shù)時(shí)才能應(yīng)用。由于不能具體給出，故應(yīng)用公式有困難。但如果 在(a,b)中有界，則余項(xiàng)誤差 容易估計(jì).誤差還與 有關(guān).)x(f)1n()(1xn 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)l Lagrange 插值的優(yōu)缺點(diǎn)無(wú)承襲性。增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有的基函數(shù)都要重新計(jì)算優(yōu)點(diǎn)：形式對(duì)稱易編程序 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn))3 , 3(),1 , 2(),0 , 0(),2 , 1(例：)31)(21)(01()3)(2)(0()(0 xxxxl)23)(0

11、3)(13()2)(0)(1()(3xxxxl)32)(02)(12()3)(0)(1()(2xxxxl)30)(20)(10()3)(2)(1()(1xxxxl)(3)(1)(0)(2)(3210 xlxlxlxlxg例：例：已知已知233sin,214sin,216sin 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計(jì)算插值計(jì)算 sin 50 并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)1 Lagrange Polynomial解：解：0 x1x2x185500 n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計(jì)算計(jì)算4,610

12、xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外推外推 /* extrapolation */ 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.010010.010013,421 xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 /* interpolation */ 的實(shí)際誤差的實(shí)際誤差 0.005

13、96 0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的要計(jì)算的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點(diǎn)，插值效果較好。端點(diǎn)，插值效果較好。 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)n = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實(shí)際誤差次插值的實(shí)際誤差 0.00061 0.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值 第第

14、5章章 插值法插值法返回前進(jìn)niiinxlLagrangenixlnxxx0101)(,), 1 , 0)(,1,試證明：插值基函數(shù)組節(jié)點(diǎn)上的為這個(gè)互異節(jié)點(diǎn)為設(shè)niiinyxlxL0)()(0)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnniinxfxlxL01)()()( 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)) 1)( )()()()3(.)()()2(1 .) 1(1,2,., 0,0 , 1)0() 1 (,), 1 , 0)(,1,0100110010nxpxpxlxpxxxnxlxxfnjxxxnjjlxLagrangenixlnxxxnkkknknknknnnkkjki

15、n的次數(shù)小于為數(shù)次多項(xiàng)式，且最高次系是試證明：插值基函數(shù)組節(jié)點(diǎn)上的為這個(gè)互異節(jié)點(diǎn)為設(shè) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)niiinyxlxL0)()()()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnnjxxf)(令 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)3. Newton型多項(xiàng)式插值 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn))()()(,),()()(1,11020102200101001011010 xxxxaxxaaxNxxxxxyyyxxaaxNnyyybxxxannn有如下形式：得二次插值多項(xiàng)式，并可如果增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值個(gè)節(jié)點(diǎn)設(shè)給定)()()( , , )(,)(,)(1021202

16、0101121220101100222112002xxxxaxNxNxxxxyyxxyyaxxyyayayxNyxNyxN利用插值條件 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) )()()()( 11)-(5 )()()()()( )()()()(1101020101020121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxaxxxxaxNxxxxxxaxNxN01011110000)()( ), 1 , 0()(xxyyayxNyayxNniyxNnniin由 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)0201011212120202010102222)(/()()(xxxxyyxxyy

17、xxxxxxxxyyyyayxNn商的概念及其性質(zhì)。先介紹差這些系數(shù)能表示出來(lái)為了將，再由由,)(,)(3333nnnnnnaaayxNayxN 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)01010010110,)()(,xxxxfxxfxxfxxxfxfxxfkkkk稱為k階差商稱為1階差商定義：差商差商 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn))(00 xfa ,)()(1001011xxfxxxfxfa,1 )()(101201021210202122xxxfxxfxxfxxaxxxfxfxxa由歸納：,0nnxxfa 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)此處用到差商的一個(gè)性質(zhì)： （用歸納法易證） 對(duì)稱性：,

18、00kiikxxfxxf定義關(guān)鍵：找不同的元素相減作分母的任意排列是kiik,0,0 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)Newton插值構(gòu)造)(,00 xfx)(,11xfx)(,22xfx)(,nnxfx,10 xxf,12xxf,1nnxxf,012xxxf,21nnnxxxf,0 xxfn1、先構(gòu)造差商表 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)l 例子)()()()()(0010101xxxxxfxfxfxN2、利用差商表的最外一行，構(gòu)造插值多項(xiàng)式)()(,)(,)()(1000100nnnxxxxxxfxxxxfxfxN 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)誤差00100100 Newton( )

19、 ( )( ), ()() ( )( )( )( ), ()()niinniinnnnnnnnxNxxaNtN tf xx a txtxNaf af aN af xx a axax另一方面設(shè)插值為則有為顯然)!1()(,10nfaxxfnn性質(zhì)310( ) ( ) ( )()()(1)!nnnnfN xR xxxxxn同樣的誤差為 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)差商的性質(zhì),101010kkkxxxbxxxaxxxfkkjjjiikniikikxxxxxfxxxf010110)()()()(,其中明。一般情形可用歸納法證時(shí)：是顯然的。當(dāng)證明：當(dāng))()()()()()( )()()()()()(

20、)( )()()()()()()()( )()()()(,1,21120222101120100210102210111202220100010210221112022201000201011212102102210 xxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxfxxxfxfxxfxxfxxxxxfkk 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn),kijjkikjiijjixxxfxxxfxxxfxxfxxf)()()()()(,11xPxxxPxxxxxfxfxxfniniiii 第第5章章 插值法插

21、值法返回前進(jìn),)(,.,)(,)(),(,)()()(001010210221010101100000nnnxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf等的部分，即得：然后相加并消去兩邊相將以上各式分別乘以：)()( ,),)(),( , 1110100nxxxxxxxxxxxx,)()( ,)()( ,)(,)()()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf12)-(5 ,)()( ,)(,)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxx

22、xxxfxxxxxxfxxxfxN13)-(5 ,)( ,)()()(10121010nnnnnxxxxfxxxxxxfxxxxxxxR)()()(xRxNxfnn則： 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)), 1 ,0( 0,)( )(101nixxxxfxxRniinin,)()()()(110101nnnnxxxfxxxxxxxNxN 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)),( )()!1()(,)( )(1n)1(101baxnfxxxxfxxRnnnn14)-(5 !)(,)(10nfxxxfnnmin,min),(00iniinixx其中 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)nknkaxxfx

23、Pxfnkn, 0,),()(0推論：若 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,4 , 3 , 2 , 1 , 110010)(:3ffxxxf計(jì)算例 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)的近似值。插值公式求用的數(shù)值表如下：已知例)596. 0(02652. 188811. 069675. 057815. 041075. 0)(90. 080. 065. 055. 040. 0)()( fNewtonxfxxshxfkk 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)解：先造差商表解：先造差商表 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)63192. 0)

24、596. 0()596. 0(596. 0)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 00.034( )65. 0)(55. 0)(40. 00.197( )55. 0)(40. 00.2800( )40. 0(1160. 141075. 044 NfxxxxxxxxxxxN代代入入得得：將將 由由Newton公式得四次插值多項(xiàng)式為：公式得四次插值多項(xiàng)式為： 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 牛頓基本插值公式對(duì)結(jié)點(diǎn)是否等距沒(méi)有牛頓基本插值公式對(duì)結(jié)點(diǎn)是否等距沒(méi)有限制限制. .不過(guò)當(dāng)結(jié)點(diǎn)等距時(shí)前述牛頓插值公式可不過(guò)當(dāng)結(jié)點(diǎn)等距時(shí)前述牛頓插值公式可進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)行簡(jiǎn)化. .下面我們用差分的方法給出

25、下面我們用差分的方法給出NewtonNewton前插和前插和NewtonNewton后插的計(jì)算公式，此法特別適后插的計(jì)算公式，此法特別適宜于用計(jì)算器計(jì)算。首先介紹差分概念宜于用計(jì)算器計(jì)算。首先介紹差分概念. .4 差分及其插值公式差分及其插值公式 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)hxxfxfhxfxf以在為稱)()()()( 為為步長(zhǎng)的一階向前差分步長(zhǎng)的一階向前差分 1.1.定義定義 設(shè)設(shè)00 (0,1, ), ninxxxx ih inh 一一. 差分差分叫步長(zhǎng)叫步長(zhǎng)hxxfxfhxfxfkkk以在為)()()()(11為步長(zhǎng)的k階向前差分 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)00 (0,1,

26、), ninxxxx ih inh 010y y y 為為)(xfy 在在x0以以 為為步長(zhǎng)的一階向前差分步長(zhǎng)的一階向前差分 1121 xy y y20010 xyyy xyyyiimimim 111 m m階階叫步長(zhǎng)叫步長(zhǎng) 一般一般:一階一階 二階二階 h 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) (1) (1) 差分可表為函數(shù)值的線性組合差分可表為函數(shù)值的線性組合 二二.性質(zhì)性質(zhì):)()( )()1()(00 xfxfjhxfCxfkjjkjkk規(guī)定證明證明:用歸納法用歸納法 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)hxxxxnnnnxff!)(, )2(0210 階導(dǎo)數(shù)）有在（nxfxfxxxxfhnn

27、nnn,)(),( )()( ) 3(00)(0證明證明:用歸納法用歸納法 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 3. 差分表差分表 (實(shí)用實(shí)用)yyyyxyyyxyyxyxyxii03122330212201100 三三階階差差分分二二階階差差分分一一階階差差分分 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)三三 等矩結(jié)點(diǎn)插值公式等矩結(jié)點(diǎn)插值公式: :00+ (0n),ixxthtxxih 將將NewtonNewton插值公式插值公式 00100120101011( )(),(),()() ,()()()nnnxffxfxxfxxxxx xxx x xxxNx xxxxx 中的差商用性質(zhì)中的差商用性質(zhì)(2)

28、(2)換為差分換為差分, ,可整理為如下的可整理為如下的 NewtonNewton向前插值公式向前插值公式y(tǒng)yyxxNNnnnnnttttttfthx002000!)1()1( ! 2)1()()()( 設(shè)設(shè)（5.65.6） 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)截?cái)嗾`差可表示為截?cái)嗾`差可表示為)()!1()() 1()()()1(10 fhxnnnntttthRxR (5.7) (5.7)1010()() (1)! max(1)() ?nntnR xRthnt ttnhhMx 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)例：給出了例：給出了y=cosx的函數(shù)表從的函數(shù)表從x=0到此為到此為0.6，h=0.1。

29、計(jì)算計(jì)算cos0.048的值（其真值的值（其真值cos0.0480.99884822）。）。解：利用函數(shù)值表作差分表： 由x=0.048靠近表頭，我們從誤差項(xiàng)中有知道，用靠近0.048的點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)較好，此時(shí)t=0.48 9976. 01t)x(f)x(f)048. 0(N00019988. 0! 2) 1t ( t)x(f)048. 0(N)048. 0(N021299885. 0! 3)2t)(1t ( t)x(f)048. 0(N)048. 0(N0323 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)99884. 0! 4) 3t)(2t)(1t ( t)x(f)048. 0(N)048. 0(N

30、0434! 5)5)(3)(2)(1()()048. 0()048. 0(0545tttttxfNN 現(xiàn)如果我們要計(jì)算cos0.575怎樣算？由于0.575靠近表尾，顯然用后面的節(jié)點(diǎn)作插值節(jié)點(diǎn)比較合理。為了也能象Newton前插公式那樣具有承襲性，為此我們?cè)俳榻BNewton后插公式。 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)在Newton插值公式中，我們已經(jīng)看到節(jié)點(diǎn)的大小順序是不作要求，現(xiàn)對(duì)節(jié)點(diǎn)按如下次序 作插值，顯然 011nnx,x,x,x)()(, )(, )(,)()(110111211xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnnnnnnnnn h)x(fx,x fx

31、,x f1nn1n1nn22n2n1n2n2n1nnh! 2)x(fx,x,x fx,x,x f 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)n0n011nnh!n)x(fx,x,x,x fhxxtn令) 1() 1(!)( ) 1(! 2)(! 1)()()()(0221ntttnxfttxftxfxfthxNxNnnnnnnn 稱上公式為Newton后插公式。其中用到的各階差分就是差分表中最下一行上的各對(duì)應(yīng)值 )()!1()() 1()()()()1(1nnnnfhnntttxNxfxR誤差 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)例：給出了例：給出了y=cosx的函數(shù)表從的函數(shù)表從x=0到此為到此為0.6，

32、h=0.1。計(jì)算計(jì)算cos0.575的值（而真值的值（而真值cos0.5750.8391923 cos0.5750.8391923 ）。）。解：利用函數(shù)值表作差分表： 用后插公式 25. 01 . 0575. 06 . 0t8384. 0t! 1)x(f)x(f)575. 0(N56183919. 0) 1t ( t! 2)x(f)575. 0(N)575. 0(N421283919. 0)2t)(1t ( t! 3)x(f)575. 0(N)575. 0(N3323 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)例：已知由插值節(jié)點(diǎn)(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)構(gòu)造的3次插值多項(xiàng)式P3(

33、x)的x3的系數(shù)為6，試確定數(shù)據(jù)y. 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)4 Hermite插值 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)4.1 Hermite插值), 2 , 1 , 0( )()(niyxHyxHiiii1)( ,0)( ,0)( ,0)(0)( , 1)( ,0)(,0)(0)( ,0)( , 1)( ,0)(0)( ,0)( ,0)( , 1)()(),(),(),()()()()( )()()()()(1121110112221202112111011020100012101122110011221100 xHxHxHxHxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxHxhx

34、hxhyxHyxhyxhyxhyxlyxlyxlyxlxH：都是三次多項(xiàng)式且滿足其中可設(shè)：按插值基函數(shù)的方法，并估計(jì)誤差。且使的多項(xiàng)式求不超過(guò)三次已知為互異節(jié)點(diǎn)，設(shè)引例,)(),2 , 1 , 0()()(,)2 , 1 , 0()(,:11210yxHiyxHxHiyxfxxxiiii 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)引例（續(xù)1）21202210220210221020210002210020110100)()()( )()()()()( )()(11)( )()()()(,)( 0)(, 0)( )(xxxxxxxxxhxxxxxxxxxhxxxxCxhxxxxCxhxhxxhxxhxhx

35、h同理可求：于是求出而由可設(shè)的一階零點(diǎn)是而的二階零點(diǎn)是：首先求 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)引例（續(xù)2）求。滿足前面條件，即為所法求出的中，可以檢查按上述方代入將利用可設(shè)：為一階零點(diǎn)：對(duì)由可設(shè)分別為其一階零點(diǎn)：對(duì))()()(),(),(),()()()(1)()(11)()()()(,)()()()()223)2()()()(2)()(1 ,)()(2)(0)()()(1)()(0)(1)()()()(,)(12102102101121011121012101221201202021102112012212011120210122120112001121121012101111112012

36、01xHxHxHxhxhxhxxxxxxxxxxxHxxxxCxHxxxxxxCxHxxxxHxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxhxxxxxxxxxxxxbxxxxxxxaxxbaxxxbaxxxxxaxxxxbaxxhxhxxxxbaxxhxxxh 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)引例的誤差估計(jì)： )()()(3xHxfxR)()()( )()()(22103xxxxxxxxHxfxR)()()()()(22103xtxtxtxtRt0)(! 4)()()()4()4()4(xHfxxx)(!41)( )4(xfx因此可得)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxH

37、xfxRx因而有： 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)niiiiiyxHyxhxH0)()()(), 2 , 1 , 0( , 1 0)(, 0)(), 2 , 1 , 0(0)( , 1 0)( )2(njjijixHxHnjxhjijixhjijijiji 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn).)()()()(,)()()(112插值基函數(shù)為為待定系數(shù)其中Lagrangexxxxxlbaxlxxbaxhininiiii221212120)()()()()()(niiixxxxxxxxxxbxaxh), 2 , 1 , 0( )()()(21 ()()(21 0)(2)()(2)()()(1)()

38、(0)(1)(222nixlxlxxxhxl abaxl abxlxlxxbaxblxhaxalxhxhxhiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii可求出 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)對(duì)Hi(x):),2 , 1 , 0( )()()(1)()(1)( )()()(222nixlxxxHCxClxHxHxlxxCxHiiiiiiiiiiii利用niiiiiiiiiniiiiiyxlxxyxlxlxxyxHyxhxH0220)()()()()(21( )()()(2010112101002010101121010100)()()()(21)(21)(xxxxxxxHxxxxxx

39、xHxxxxxxxxxhxxxxxxxxxh， 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值多17)-(5 )(111001110000yhxxhyhxxhyhxxyhxxxH0) 1 () 1 ()0( , 1)0(0) 1 ()0() 1 ( , 1)0()1 ()( ,)1)(21 ()(:)()()()()(:11110000212011001100它們分別滿足：面兩個(gè)函數(shù)實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常用到下插值多項(xiàng)式為因此兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次xxxxxxyxHyxHyxhyxhxHHermite011101101010100110101000)()()()()()(xxxxxxxHxx

40、xxxxxHxxxxxhxxxxxh， 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)4.2 誤差估計(jì) ),( )()!22()()()()(21)22(baxnfxHxfxRnn18)-(5 )()(! 4)()(2120)4(xxxxfxR 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)931010iiiyyxxxxxxxxxhxxhxxhxxhxxxHxxxxxhxxxxxhxxxxxxxhxxxxxhxxxxh31210 x )1 (9)1 (3)23( )9(3 10)()1 ()1 (1)(1 ()1 ()1 ()()23()1 (1)(1 (21 ()1 ()1)(21 ()( 1:232221101100

41、022111210122010200001 代入：而解 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)1)( 10)0( )21(1)()1()1(2)(0, 1,0)0()0()()(,)()()( )()( )(,)(,)()(1,0, 1 :3222102110112102210102100100210 xxHHxxxHxxxxHxxxfxxfxxffHxfxHxxxxxxxNxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxHNewtonxxxxi因此代入其中確定即可由為待定參數(shù)插值?？稍O(shè)：還可以利用為等距節(jié)點(diǎn)，三點(diǎn)記為解 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)4.3 Hermite插值的一般形式 )0 , 2

42、 , 1 , 0)(ninmmkxfykiikk),1 ,0( )(),0,1,(i )(mkyxHnyxHkkiiiimkinnmkxxxnmfxHxfxR01)2()()()!2()()()()( 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)22121212222221112111110000)3(4)()()()()2)(1()(,)1(4)( )2(1)2()1(1 ()(1, 10)1 (, 1)1 (1)2()1()( ,0)0()2()0( :)()(),( ,0)1 ,0,( 1 0)()1 ,0 ,2, 1 ,0( 0)()2, 1 ,0 , 1 ,0( 0)()2, 1 ,0,( 1

43、0)()2(;4)1 ,0)( ),2, 1 ,0)( )1 (xxxHxhxhxHHermitexxxxHxxxhxxxxxxhbahhxxxbaxhhhhxhxHxhyyjiijijxHijxHijxhjiijijxhixHixhjijijijiii插值多項(xiàng)式為：因此所求類似可求代入可設(shè)對(duì)不必求次多項(xiàng)式都是12 101010iiiyyx 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn))()(22cbxaxxxH4/9234112341481611) 1 (1)2(1) 1 (cbacbacbacbaHHH22)3(4)(xxxH12 101010iiiyyx 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)5 多項(xiàng)式插

44、值的缺陷與分段插值 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)多項(xiàng)式插值的缺陷舉例yx0.5)(xfy )(10 xPy )(4xP1 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)niiiinxlyyxL0)()()()()()()()()(xLxLxLxfxLxfnnnnniiinnxlyxLxL0)()()( 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)多項(xiàng)式插值的缺陷舉例（續(xù)2）引起誤差增大。也隨之而增加。因此，多時(shí)并且當(dāng)節(jié)點(diǎn)增能很好地逼近就不能保證也增大如果時(shí)節(jié)點(diǎn)增多增大當(dāng)其中)()(,).()(,)(, )(max)()()!1()()()(101)1(1101nnnnbxannnnnxxxxxxxfxLMnfMxx

45、xxxxnMxLxfxRx0 x1x2x3x5x6x7xy)(76xln時(shí)的 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)幾點(diǎn)啟示 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)啟示（4） 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)5.2 分段多項(xiàng)式插值 iniiiinnhhnixxhbxxxxa101110max) 1, 1 , 0( 記設(shè)給定節(jié)點(diǎn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)1、分段線性插值 , )(111111iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyxPx0 x1x2x3x4 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)2、分段拋物插值 ) 12, 1 , 0( , )()( )()()()()(:,) 12, 1 , 0(

46、,), 1 , 0( )( 222221222222122122212212222222212222122222nkxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxPnkxxnnixfykkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkii得上分別作拋物插值在每個(gè)小區(qū)間為偶數(shù)且設(shè)已知 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)l分段線性插值誤差,1iixxx2121)2(22M )(!2)()()(iiiinxxxxxxfxpxf)0(0822Mmax)()(2221210hhMxxxpxfiinin)(max(110iinixxh 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)336210121210

47、1101210210210218)(max8)()(11max)(max1)(ln)( : 過(guò)，即數(shù)表的步長(zhǎng)應(yīng)不超應(yīng)?。豪蒙厦婀烙?jì)式，欲使所以：解hhxfhxPxfxxfxxfxxfxxx構(gòu)造函數(shù)y = ln x在x1,10上的等距數(shù)表，應(yīng)如何選取步長(zhǎng)h，才能在利用該數(shù)表進(jìn)行分段線性插值時(shí)，使誤差不超過(guò)10-6/2。 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)并估計(jì)誤差。函數(shù)等分的分段線性插值上的，在例：求),(2020)(202xPxxf 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)。于求節(jié)點(diǎn)數(shù)目使其誤差小上近似函數(shù)，值在例：用等距分段二次插61021,)( 10 xexf 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 6

48、3121121321)()(max)()(!)()()(/)(iiixxxiiixxxxxxexxxxxxfxPxfii93248 8) 1() 1(max63311ehhssses 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)分段插值的余項(xiàng)及收斂性和穩(wěn)定性 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)6 樣條插值 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)6.1 樣條函數(shù)的概念 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)1,2, 1 )0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)三次樣條插值舉例 101

49、0101011110000110011213110020300)0()0()0()0(10011) 1 (, 0)0(0)0(, 1) 1( 1 , 0 ,)(0 , 1 ,)()( 10 01 1 , 12bbccSSSScbaddcbaSSSSxdxcxbxaxSxdxcxbxaxSxSn導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件：再由內(nèi)節(jié)點(diǎn)處一、二階可得：由插值和函數(shù)連續(xù)條件并設(shè)：兩個(gè)子區(qū)間，分為，區(qū)間解：這里 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)三次樣條插值舉例（續(xù)） 1 , 0 ,23210 , 1 ,2321)(0,23,21:,0260260) 1 (0) 1(23231010101010110010 xxxx

50、xxxSCCbbaabbaababaSS從而得到問(wèn)題的解為：因此聯(lián)立可解得：而由自然邊界條件： 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)10 , 2301- , 235)()2(10 , 2301- , 23)() 1 (23232323xxxxxxxxxsxxxxxxxxxs次樣條函數(shù)例：判斷下列是否為三 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn).,21 ,) 1() 1() 1(210 ,21)(323dcbxxdxcxbxxxxs求次樣條函數(shù)例：自然邊界條件的三 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn) 1. 以節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值為參數(shù)的三次樣條插值函數(shù) 211331112211111111111116)(6)

51、()(2)(2)()(,)()()()( ,)(,)() 1, 1 , 0()()(,), 1 , 0()(cxcMhxxMhxxxScMhxxMhxxxSxxhMhxxMhxxMxxxxMxxxxxSxSxSxSMMxxMxSMxSnjxSxSxxniMxSjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjii 再積分一次得：將上式積分一次得：其中為線性為三次多項(xiàng)式的表達(dá)式作線性插值求出可以利用為三次多項(xiàng)式上在設(shè) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)19)-(5 ) 1, 2 , 1 , 0(666)(6)()()()(6)(6666)(6)(122

52、11133111112111121112212121113121311njhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxSxSxMxMhhxyxycMMhhyycycxcMhycxcMhycxchMxxycxcMhxxxxxxjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj中整理后得：代入可解出： 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)建立關(guān)于M的關(guān)系式 20)-(5 ) 1, 1 , 0()(62)(2)()(61612)(2)()(11122122111221njMMhhyyMhxxMhxxxShMyhhMyhMhxxMhxxxSjjj

53、jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)建立關(guān)于M的關(guān)系式（續(xù)1）)()(jjjjxSxS)(62)()()(62)(1111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjMMhhyyMhxSxxxSMMhhyyMhxSxx)()(62)(1:)()()()(,)(1111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxSMMhhyyMhxSjjxSxSxSxSxS中令在在節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)建立關(guān)于M的關(guān)系式（續(xù)2），即有：由)()(jjjjxSxS)(6211jjjjjjjjMMhhyyMh)(621111

54、1jjjjjjjjMMhhyyMh1111636jjjjjjjMhMhhMh1, 2 , 1111njhyyhyyjjjjjj)(626:1111111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjhyyhyyhhMhhhMMhhhhh同乘以 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)22)-(5 ) 1, 2 , 1( 221)- 5 ( )(6,1,111111111njcMMMhyyhyyhhchhhhhhjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj令23)-(5 2 2 2 211121343323232212121101nnnnnncMMMcMMMcMMMcMMM 第第5章章 插值法插值法返

55、回前進(jìn)M關(guān)系式的三種邊界條件 24)-(5 )(62)()(62)(11111010001000nnnnnnnnnMMhhyyMhybSMMhhyyMhyaS25)-(5 626211110001010nnnnnnnhyyyhMMyhyyhMM 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)M關(guān)系式的三種邊界條件（續(xù)1）nnnnnnncccccMMMMM1210121011221102202022可用追趕法求解這是三對(duì)角方程組其中對(duì)照,6,6, 1, 1),255(1110001000nnnnnnnhyyyhcyhyyhcnnyMyM 0 第第5章章 插值法插值法返回前進(jìn)M關(guān)系式的三種邊界條件 )()()()(bSaSbsaS)(62)(62),()()255(),()(,)()(11111010001000 nnnnnnnnnMMhhyyMhMMhhyyMhbSaSbSaSMMbSaS即利用而由由110011011101100111101010110011110010106)(266666266662nn