同濟(jì)大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)第三章第2講_傅立葉變換

1、 一個(gè)非周期信號(hào)，可以看作是重復(fù)周期一個(gè)非周期信號(hào)，可以看作是重復(fù)周期T為無窮大為無窮大的周期信號(hào)的周期信號(hào),當(dāng)當(dāng)T T時(shí)，以周期矩形脈沖為例時(shí)，以周期矩形脈沖為例周期信號(hào)就轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)周期信號(hào)就轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)譜線間隔譜線間隔 1=2 /T趨于無窮小。這時(shí)，離散頻譜就變趨于無窮小。這時(shí)，離散頻譜就變成了連續(xù)頻譜。成了連續(xù)頻譜。n 1 cn 01 2 4TE 2 3.4 非周期信號(hào)的頻譜分析非周期信號(hào)的頻譜分析傅立葉變換傅立葉變換譜線間隔譜線間隔 1=2 /T趨于無窮小。這時(shí)，離散頻譜就變趨于無窮小。這時(shí)，離散頻譜就變成了連續(xù)頻譜。成了連續(xù)頻譜。n 1 各個(gè)譜線的幅度譜也趨于無窮小，即各個(gè)

2、譜線的幅度譜也趨于無窮小，即F Fn n0 0無法用傅立葉級(jí)數(shù)描述非周期信號(hào)的頻域特性無法用傅立葉級(jí)數(shù)描述非周期信號(hào)的頻域特性,因此，因此，需要引入頻譜密度的概念需要引入頻譜密度的概念cn 01 2 4TE 2 非周期信號(hào)的頻譜分析非周期信號(hào)的頻譜分析傅立葉變換傅立葉變換一、頻譜密度函數(shù)的概念一、頻譜密度函數(shù)的概念周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)展開成指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)展開成指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)：221)(1)(11TTdtetfTnFtjn其復(fù)頻譜：其復(fù)頻譜：ntjnenFtf1)()(111)(2nF當(dāng)當(dāng)T時(shí)時(shí)0)(1nF 為有限值為有限值221)()(11TTdtetfTnFtjn即即可望為有限值，且變?yōu)?/p>

3、連續(xù)函數(shù)可望為有限值，且變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)引入引入F(F( )頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)TnFFT)()(1lim110)(2lim1nFF(F( )f(t)的的頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)具有單位頻帶的頻譜值，是具有單位頻帶的頻譜值，是 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)一、頻譜密度函數(shù)的概念一、頻譜密度函數(shù)的概念二、非周期信號(hào)的傅立葉變換二、非周期信號(hào)的傅立葉變換1 1、正變換、正變換滿足狄利克雷條件：滿足狄利克雷條件： dttf)(的信號(hào)的信號(hào)f(t)存在傅立葉變換。存在傅立葉變換。另外，狄利克雷條件是充分條件，而非必要條件另外，狄利克雷條件是充分條件，而非必要條件通過對周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)取極限的方法求頻譜密通

4、過對周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)取極限的方法求頻譜密度，即度，即 221)()(limTTdtetfFtjnT ,1 dT 1n 221)()(limTTdtetfFtjnT 由由 dtetfFtj )()(得：得：二、非周期信號(hào)的傅立葉變換二、非周期信號(hào)的傅立葉變換2 2、反變換、反變換tjnnenFtf1)()(1得：得：)()()(11111nenFtftjnn,)(1dnT12)()(,111nFnFn當(dāng)當(dāng)二、非周期信號(hào)的傅立葉變換二、非周期信號(hào)的傅立葉變換 deFtftj)(21)(即：即：二、非周期信號(hào)的傅立葉變換二、非周期信號(hào)的傅立葉變換 deFtftj)(21)( dtetfFtj )

5、()(傅立葉正變換傅立葉正變換傅立葉逆變換傅立葉逆變換3 3、頻譜密度函數(shù)、頻譜密度函數(shù)F( )通常是復(fù)函數(shù)，可寫成：通常是復(fù)函數(shù)，可寫成：)()()()()(jXReFFj其中：其中：是是)( F的幅度函數(shù)；的幅度函數(shù)；)( F是頻率的連續(xù)函數(shù)，且為是頻率的連續(xù)函數(shù)，且為 的的偶函數(shù)偶函數(shù)二、非周期信號(hào)的傅立葉變換二、非周期信號(hào)的傅立葉變換 )(F稱為信號(hào)的幅度頻譜稱為信號(hào)的幅度頻譜)()()( RXarctg 是是F( )的相位頻譜；的相位頻譜；是頻率的連續(xù)函數(shù)，且為奇函數(shù)；是頻率的連續(xù)函數(shù)，且為奇函數(shù)； )(稱為信號(hào)的相位頻譜稱為信號(hào)的相位頻譜代表信號(hào)中各頻率分量的相對大小。各頻率分量的

6、代表信號(hào)中各頻率分量的相對大小。各頻率分量的實(shí)際振幅為無窮小量實(shí)際振幅為無窮小量（一）、矩形脈沖信號(hào)（一）、矩形脈沖信號(hào) 0)(Etf2 t2 t)(tft2 2 E22)()(dtEedtetfFtjtj3.5 典型非周期信號(hào)的頻譜典型非周期信號(hào)的頻譜|22)(tjejEF 22 jjeejE 2sin2 E )2( SaE )( F)2( SaE即：即：矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖的幅度頻譜和相位頻譜為：矩形脈沖的幅度頻譜和相位頻譜為：)()()( jeFF )( F E 2 2 與周期矩形脈沖比較與周期矩形脈沖比較cn 01 2 4TE 2 不同：不同：1、 Fn的值比的值比F( )

7、的值多乘了系數(shù)的值多乘了系數(shù)T12、 Fn式中為不連續(xù)的變量式中為不連續(xù)的變量n 1 ,F( )為連續(xù)變量為連續(xù)變量 相同：相同：1、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜包絡(luò)線與非周期周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜包絡(luò)線與非周期 矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)曲線形狀相同矩形脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)曲線形狀相同2、頻譜都具有收斂性頻譜都具有收斂性3、占有頻帶寬度為、占有頻帶寬度為 0)()(tuetft)(tft10由傅立葉變換公式得由傅立葉變換公式得 dtetfFtj )()( 0dteetjt j 1單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)其幅度頻譜和相位頻譜分別為其幅度頻譜和相位頻譜分別為221)( F arctg )()( F 0 1

8、)( 2 2 2)()( tEetf E eE)(tft其頻譜函數(shù)為其頻譜函數(shù)為 dteEeFtjt 2)()(dteeeeEjjttj22222)()()( dteEejtj2222)()( 鐘形脈沖信號(hào)鐘形脈沖信號(hào)dteEeFjtj2222)()()( )2(2222)()( jtdeEejtj422 eE其幅度頻譜和相位頻譜為其幅度頻譜和相位頻譜為)()( FF 0)( 鐘形脈沖的頻譜函數(shù)也是鐘形鐘形脈沖的頻譜函數(shù)也是鐘形單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) (t)其傅立葉變換：其傅立葉變換： dtetFtj )()(1 相位：相位：0)( (1) (t)t1F( ) 單位沖激函數(shù)的頻譜在整個(gè)頻率范

9、圍內(nèi)均勻分布。單位沖激函數(shù)的頻譜在整個(gè)頻率范圍內(nèi)均勻分布。這種頻譜常稱作這種頻譜常稱作“均勻頻譜均勻頻譜”或或“白色頻譜白色頻譜”3.6 奇異函數(shù)的傅立葉變換奇異函數(shù)的傅立葉變換0)()(dtedtetuFtjtj當(dāng)當(dāng)T時(shí)，時(shí)，tje 不存在不存在，不能直接用傅立葉變換式，不能直接用傅立葉變換式改用間接法改用間接法u(t)可以看作單邊指數(shù)函數(shù)在可以看作單邊指數(shù)函數(shù)在0時(shí)的情況時(shí)的情況)()()(limlim00tuetftute 單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜：單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜：)()(1)(eeejXRjF單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)u(t)令令0，分別求上式中的實(shí)部和虛部的極限，分別求上式中的實(shí)部和虛部

10、的極限R( )和和X( )，即，即00lim)(lim)(2200eRR并且：并且：20)(1lim)(ddR|)(lim0arctg這說明這說明R( )是一個(gè)沖激函數(shù)，沖激點(diǎn)位于是一個(gè)沖激函數(shù)，沖激點(diǎn)位于 =0處，處， 沖激強(qiáng)度為沖激強(qiáng)度為 ，即，即)()(R又有：又有：1lim)(lim)(2200eXX所以，單位階躍函數(shù)的頻譜為：所以，單位階躍函數(shù)的頻譜為：jjXRF1)()()()(1)()(F2)( 0101)sgn(ttt或或)()()sgn(tutut 利用階躍函數(shù)的傅立葉變換思想利用階躍函數(shù)的傅立葉變換思想 000lim)(tjttjteeeeF jjj211lim0設(shè)設(shè))()

11、(lim)sgn(0tuetuettt符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)sgn(t) ttf1)(可以看作雙邊指數(shù)函數(shù)可以看作雙邊指數(shù)函數(shù)tetf )(1中中0的極限情況的極限情況)(2)( F)( F)2( )(tf1t可見：在時(shí)域是直流（直線），在頻域是沖激可見：在時(shí)域是直流（直線），在頻域是沖激對照沖激函數(shù)的傅立葉變換：在時(shí)域是沖激，在頻對照沖激函數(shù)的傅立葉變換：在時(shí)域是沖激，在頻域是直線域是直線直流信號(hào)直流信號(hào)（一）（一） 線性（齊次性和迭加性）線性（齊次性和迭加性）若若)()(11 Ftf)()(,22 Ftf則有則有)()()()(22112211 FaFatfatfa 3.7 傅立葉變換的性質(zhì)傅立

12、葉變換的性質(zhì)一般情況下一般情況下，F(xiàn)( )是復(fù)函數(shù)是復(fù)函數(shù)因此可以將因此可以將F( )分成模與相位或?qū)嵅颗c虛部兩部分，分成模與相位或?qū)嵅颗c虛部兩部分， dtetfFtj )()()()(jeF)()( jXR 無論無論f(t)f(t)是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，根據(jù)傅立葉變換可證明：是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，根據(jù)傅立葉變換可證明：)()()()()()(*FtfFtfFtf（二）（二） 奇偶虛實(shí)性奇偶虛實(shí)性1、f(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù)一般情況下，信號(hào)一般情況下，信號(hào)f(t)是實(shí)函數(shù)，是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)( )是復(fù)函數(shù)是復(fù)函數(shù),因此因此可以將可以將F( )分成模與相位或?qū)嵅颗c虛部兩部分，分成模與相位或?qū)嵅颗c虛部兩部分，)()

13、(sin)(cos)()sin)(cos()()(jXRtdttfjtdttfdttjttfdtetfFtj其中其中 tdttfR cos)()( tdttfX sin)()( )()()()()()( FFXXRR同時(shí)，可得如下關(guān)系式：同時(shí)，可得如下關(guān)系式： 的偶函數(shù)的偶函數(shù) 的奇函數(shù)的奇函數(shù)于是，于是，22)()()( XRF )()()( RXarctg 的偶函數(shù)的偶函數(shù) 的奇函數(shù)的奇函數(shù)（二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性即：即：f(t)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù))( F)( R和和是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù))( X是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)和和)( 2、f(t)是實(shí)偶函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)即即)()(tftf

14、 0sin)()( tdttfX 0cos)(2)()(tdttfRF f(t)是實(shí)偶函數(shù)，是實(shí)偶函數(shù)，F(xiàn)( )必為必為 的實(shí)偶函數(shù)的實(shí)偶函數(shù)0cos)()( tdttfR 3、f(t)是實(shí)奇函數(shù)是實(shí)奇函數(shù)即即)()(tftf 0sin)(2)()(tdttfjjXF f(t)是實(shí)奇函數(shù)，是實(shí)奇函數(shù)，F(xiàn)( )必為必為 的虛奇函數(shù)的虛奇函數(shù)（二）、奇偶虛實(shí)性（二）、奇偶虛實(shí)性4、f(t)是虛函數(shù)時(shí)，是虛函數(shù)時(shí)，此時(shí)此時(shí))()()()(XXRR設(shè)設(shè))()(tjgtf代入傅立葉變換式代入傅立葉變換式)( F是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù))( 是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)若若f(t)f(t)是虛奇函數(shù)，則是虛奇函數(shù)

15、，則若若)()( Ftf則則)()(00 Fettftj )()(00 Fettftj 可見：可見：信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸右移信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸右移t0 （延時(shí)（延時(shí)t0），等效），等效于在頻域中乘以因子于在頻域中乘以因子0tje 00)()()(tjtjeFFe （三）（三） 時(shí)移特性時(shí)移特性結(jié)論：結(jié)論：1 1、信號(hào)的幅度頻譜是由信號(hào)的波形形狀決定的，、信號(hào)的幅度頻譜是由信號(hào)的波形形狀決定的， 與信號(hào)在時(shí)間軸上出現(xiàn)的位置無關(guān)；與信號(hào)在時(shí)間軸上出現(xiàn)的位置無關(guān)；2、信號(hào)的相位頻譜則是由信號(hào)的波形形狀和在時(shí)、信號(hào)的相位頻譜則是由信號(hào)的波形形狀和在時(shí) 間軸上出現(xiàn)的位置共同決定的間軸上出現(xiàn)的位置共同決

16、定的 00)()()(tjtjeFFe 信號(hào)延時(shí)后，其幅度頻譜不變，相位頻譜產(chǎn)生附加信號(hào)延時(shí)后，其幅度頻譜不變，相位頻譜產(chǎn)生附加相位值相位值(- t0)例例已知矩形脈沖已知矩形脈沖f1(t)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù))2/()(1 SaEF 試畫出試畫出)2()(12 tftf的相位頻譜的相位頻譜解：根據(jù)時(shí)移特性，解：根據(jù)時(shí)移特性，212)()( jeFF 2)2( jeSaE )(1tft2 2 E)(2tft E可見，幅度頻譜不變，相位頻譜比原來滯后可見，幅度頻譜不變，相位頻譜比原來滯后2)(1tft2 2 E)(2tft E)(1 2 4 )(2 2 2)(2)2()( jeSaEF即即若若)

17、()( Ftf則則)()(00 Fetftj)()(00 Fetftj把時(shí)域信號(hào)把時(shí)域信號(hào)f(t)乘以因子乘以因子tje0 等效于頻譜等效于頻譜F( )沿沿頻率軸右移頻率軸右移 0這種技術(shù)稱頻譜搬移這種技術(shù)稱頻譜搬移課堂練習(xí)：求課堂練習(xí)：求tjce的傅立葉變換的傅立葉變換)(21)(21ctjce（四）（四） 頻移特性頻移特性將信號(hào)將信號(hào)f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 就可以就可以引起信號(hào)的頻譜搬移。這個(gè)過程如下：引起信號(hào)的頻譜搬移。這個(gè)過程如下：頻譜搬移也稱為信號(hào)的調(diào)制，廣泛應(yīng)用于通信技術(shù)中頻譜搬移也稱為信號(hào)的調(diào)制，廣泛應(yīng)用于通信技術(shù)中時(shí)域：時(shí)域：f(t)改變正弦（或余弦）信號(hào)的

18、幅度改變正弦（或余弦）信號(hào)的幅度頻域：頻域：f(t)的頻譜產(chǎn)生平移的頻譜產(chǎn)生平移調(diào)制調(diào)制)()(21cos)(000tjtjetfetfttf根據(jù)歐拉公式，有根據(jù)歐拉公式，有)()(21sin)(設(shè)設(shè)f(t)的頻譜為的頻譜為F( )，利用頻移特性可知，利用頻移特性可知)()(21cos)(000 FFttf)()(21sin)(000 FFjttf可見，將信號(hào)可見，將信號(hào)f(t)乘以乘以t0cos 或或t0sin 等效于等效于將將f(t)的頻譜為的頻譜為F( )一分為二，即幅度減小一半，沿一分為二，即幅度減小一半，沿頻率軸向左和向右各平移頻率軸向左和向右各平移 0。例例求矩形調(diào)幅信號(hào)求矩形調(diào)幅

19、信號(hào)ttGtf0cos)()( 的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù)解：已知門函數(shù)解：已知門函數(shù))(tG 的頻譜函數(shù)為的頻譜函數(shù)為)(tG t2 2 E)2()( SaEG 又有又有21)()(00tjtjeetGtf 根據(jù)頻移特性根據(jù)頻移特性)(21)(21)(00 GGF)(221)(22100 SaESaE)(tG t2 2 E)( G E 2 2 0)(tft2 2 E)( F 2 E00 0 若若)()( Ftf則則0)(1)( aaFaatf 特例：當(dāng)特例：當(dāng)a=-1時(shí)時(shí))()( Ftf結(jié)論：結(jié)論：、信號(hào)在時(shí)域中壓縮（、信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a1)，等效于在頻域中擴(kuò)展，等效于在頻域中擴(kuò)展、信號(hào)在時(shí)域中

20、擴(kuò)展（、信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（0a1)，等效于在頻域中壓縮，等效于在頻域中壓縮3、當(dāng)當(dāng)a=-1時(shí)，時(shí)，f(-t)F(- )，信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反褶，信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反褶，等效于在頻域中也沿縱軸反褶等效于在頻域中也沿縱軸反褶（五）（五） 尺度變換特性尺度變換特性dtetfFtj)()(deFtftj)(21)(dttfF)()0(dFf)(21)0(所以：所以：所以：所以：所覆蓋的面積等于所覆蓋的面積等于f(t)所覆蓋的面積等于所覆蓋的面積等于)(F)(F在零點(diǎn)的數(shù)值在零點(diǎn)的數(shù)值)(2tf在零點(diǎn)的數(shù)值在零點(diǎn)的數(shù)值如果f(0)與F(0)各各自等于f(t)與F()曲線的最大值，定義和B分別為f(t)與

21、F()的等效寬度，如下圖所示：可以寫出：2)0(2)0()0()0(BfBFFf可以看出：信號(hào)的等效脈沖寬度與等效帶寬成反比，要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則不得不以展寬頻帶為代價(jià)，因此在通信系統(tǒng)中，通信速度和占有頻帶寬度是一對矛盾。若若)()( Ftf則則)(2)( ftF若若 f(t)為偶函數(shù)，且為偶函數(shù)，且 )()( Ftf則則)(2)(ftF（六）（六） 對稱特性對稱特性證明：證明： deFtftj)(21)(于是可知于是可知 deFtftj)(21)( deFtftj)()(2將式中的變量將式中的變量t和和變量變量 互換，可以得到互換，可以得到 )(2 f dtetFtj )(即即F(t)的

22、傅立葉變換為的傅立葉變換為2 f(- )(2)( ftF若若f(t)為偶函數(shù)，且為偶函數(shù)，且)()( Ftf)(2)( ftF則則或或)()()21( ftF對稱特性表明：當(dāng)對稱特性表明：當(dāng)f(t)為偶函數(shù)，時(shí)域與頻域完全對稱為偶函數(shù)，時(shí)域與頻域完全對稱例：求抽樣函數(shù)例：求抽樣函數(shù)Sa(t)Sa(t)的頻譜的頻譜)(tft2 2 1)( F 2 2 0)2()( SaF )(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 )(tFt 2 2 0)2()(tSatF )(2 f 2 2 2當(dāng)當(dāng) =2，)(2)2()(tSatSatF)(tFt20)(2 f 11 2所以，所以，Sa(

23、t)的頻譜為的頻譜為、時(shí)域微分特性、時(shí)域微分特性若若)()( Ftf則則)()( Fjdttdf)()()( Fjdttfdnnn說明：在時(shí)域中說明：在時(shí)域中f(t)對對t取取n階導(dǎo)數(shù)，等效于在頻域中階導(dǎo)數(shù)，等效于在頻域中頻譜頻譜F( )乘以因子乘以因子(j )n （七）（七） 微分特性微分特性、頻域微分特性、頻域微分特性若若)()( Ftf則則)()()(tfjtddF )()()(tfjtdFdnnn 例求如圖所示梯形脈例求如圖所示梯形脈沖的傅立葉變換沖的傅立葉變換)(tftba Eab 解：解：f(t)的一次導(dǎo)數(shù)的一次導(dǎo)數(shù)f(t) 是幅值為是幅值為abE 的兩個(gè)脈沖的兩個(gè)脈沖其二階導(dǎo)數(shù)是四個(gè)正負(fù)其二階導(dǎo)數(shù)是四個(gè)正負(fù)沖激函數(shù)沖激函數(shù))(tf tba abE ab )(tf tba )(abE ab )(tf tba )(abE ab )()()()()(btatatbtabEtf )()()(2bjajajbjeeee