對流換熱—2章1

1、第二章 層流強(qiáng)制對流換熱2-1 2-1 層流對流換熱邊界層微分方程層流對流換熱邊界層微分方程及及物理數(shù)學(xué)性質(zhì)物理數(shù)學(xué)性質(zhì) 由于對流換熱基本方程組的非線性與耦合性，求解異常困難，由于對流換熱基本方程組的非線性與耦合性，求解異常困難，在在19世紀(jì)，對粘性流動與換熱進(jìn)行求解幾乎是不可能的。世紀(jì)，對粘性流動與換熱進(jìn)行求解幾乎是不可能的。 自從自從1904年德國的著名力學(xué)家年德國的著名力學(xué)家Prandtl提出邊界層理論后，借提出邊界層理論后，借助于該理論對助于該理論對N-S方程進(jìn)行簡化，在某些簡單的情況下可進(jìn)行理方程進(jìn)行簡化，在某些簡單的情況下可進(jìn)行理論求解，從而為現(xiàn)代流體力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也推

2、動論求解，從而為現(xiàn)代流體力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也推動了對流換熱理論的發(fā)展。了對流換熱理論的發(fā)展。 到目前為止，已獲得了十幾個(gè)層流對流換熱問題的分析解。到目前為止，已獲得了十幾個(gè)層流對流換熱問題的分析解。下面介紹邊界層理論的要點(diǎn)及邊界層微分方程的數(shù)理性質(zhì)。下面介紹邊界層理論的要點(diǎn)及邊界層微分方程的數(shù)理性質(zhì)。一、邊界層理論要點(diǎn) 1.流動邊界層 繞流固體壁面的流場可分為邊界層、主流（勢流區(qū)）邊界層、主流（勢流區(qū)）兩個(gè)特征不同的流動區(qū)域： 邊界層邊界層區(qū)區(qū)：壁面附近，速度在垂直于壁面方向變化劇烈，存在很大的速度梯度、粘性應(yīng)力起主要作用。速度分布速度分布、粘性粘性 主流區(qū)主流區(qū)：離壁面遠(yuǎn)處，法向速度

3、梯度很小，可忽略粘性應(yīng)力、視為理想流體的流動。忽略粘性忽略粘性 邊界層厚度 比流過距離L小得多，即 。尺度尺度 邊界層內(nèi)存在不同流態(tài)邊界層內(nèi)存在不同流態(tài)：層流、湍流、過渡流。流態(tài)流態(tài)L 2.熱邊界層 熱邊界層：熱邊界層：壁面附近、垂直于壁面方向，存在很大溫度梯度， 沿壁面法向的導(dǎo)熱起主要作用。溫度梯度、導(dǎo)熱 熱主流區(qū)：離壁面稍遠(yuǎn)處、流體混合劇烈，溫度梯度很小，可忽略導(dǎo)熱。忽略導(dǎo)熱 邊界層厚度 。 尺度 與與 的關(guān)系，的關(guān)系，取取決于流體物性。決于流體物性。( ( Pr Pr 數(shù)數(shù)) ) 尺度關(guān)系尺度關(guān)系 流動狀態(tài)流動狀態(tài)：對換熱起著決定性作用。對換熱起著決定性作用。過程關(guān)系過程關(guān)系tL 從物理

4、本質(zhì)上看：邊界層是擴(kuò)散效應(yīng)(微觀熱運(yùn)動)起主要作用的區(qū)域，或者說，邊界層是擴(kuò)散效應(yīng)的影響區(qū)域。 層流熱邊界層內(nèi)：沿壁面法向的熱傳遞方式主要是導(dǎo)熱。 湍流邊界層內(nèi)：粘性底層靠導(dǎo)熱，湍流核心區(qū)的脈動對流為主。t二、層流邊界層對流換熱的分析求解方法 層流邊界層對流換熱的分析求解方法層流邊界層對流換熱的分析求解方法，主要有兩種：主要有兩種：1、建立邊界層動量、能量積分方程 近似解法近似解法。2、建立邊界層微分方程 相似解法。邊界層積分方程：對包括整個(gè)邊界層厚度的有限控制體，建立守恒關(guān)系，不能保證邊界層內(nèi)任意小的微元體滿足守恒關(guān)系；同時(shí)，求解過程中需假定速度、溫度分布函數(shù)，我們稱其解為近似解。就方程本身

5、的性質(zhì)而言，在數(shù)學(xué)上其解稱為”弱解”。 邊界層微分方程：盡管比原始方程簡單，但還是針對邊界層內(nèi)任意小的微元體建立守恒關(guān)系，其解仍稱為精確解。因?yàn)?，一般情況下，體積力對強(qiáng)制流動速度場的影響較小，而當(dāng)Eckert數(shù) 時(shí)， 很小，可忽略。21()cpwuEcTT 如空氣，以速度 掠過平壁時(shí)，當(dāng)溫差 ，300/um s100wTTK ，時(shí) ，而一般工業(yè)上的流速遠(yuǎn)低于聲速。1 J/kg Kpck0.9cE 需要說明：對大多數(shù)層流強(qiáng)制對流換熱，往往忽略體積力和粘性耗散效應(yīng)。三、層流邊界層微分方程的數(shù)理性質(zhì)與邊界條件 1、控制方程與、控制方程與物理性質(zhì)物理性質(zhì)考慮常物性、不可壓縮牛頓流體考慮常物性、不可壓縮

6、牛頓流體，強(qiáng)制繞流等溫平壁的二維穩(wěn)態(tài)強(qiáng)制繞流等溫平壁的二維穩(wěn)態(tài)層流對流換熱，層流對流換熱，不考慮不考慮粘性耗散、內(nèi)熱源及輻射換熱粘性耗散、內(nèi)熱源及輻射換熱( (以下均以下均如此），如此），其控制方程組為：其控制方程組為： 0uxy2222()TTTTuaxyxy22221() uupuuuxyxxy22221() puxyyxy（2.1.1）應(yīng)用邊界層理論，借助于數(shù)量級分析簡化，可得到邊界層應(yīng)用邊界層理論，借助于數(shù)量級分析簡化，可得到邊界層對流換熱微分方程組：對流換熱微分方程組：0uxy221()uudpuuxydxy 22TTTuaxyy0（2.1.2）物理性質(zhì)分析物理性質(zhì)分析a a). .

7、動量方程：動量方程：x向動量方程中，向動量方程中， 而被忽略。而被忽略。 說明說明：在邊界層流動中，下流的速度變化對上游的速度分布在邊界層流動中，下流的速度變化對上游的速度分布沒有影響，沒有影響，也就是說也就是說，邊界層流動在主流方向上呈現(xiàn)出步進(jìn)性。邊界層流動在主流方向上呈現(xiàn)出步進(jìn)性。2222uuxyy向動量方程中向動量方程中：對流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)均比對流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)均比x向動量方程中的小得多向動量方程中的小得多，可可忽略忽略，即即y向的動量變化很小向的動量變化很小。此時(shí)邊界層方程簡化為：此時(shí)邊界層方程簡化為：0py這說明這說明：邊界層內(nèi)邊界層內(nèi)，壓力壓力P沿沿y方向幾乎無變化，而僅是方向幾乎無變化，

8、而僅是x的函數(shù)，的函數(shù)，在任何在任何x處截面上，各點(diǎn)壓力相等處截面上，各點(diǎn)壓力相等、等于邊界層外主流壓力。等于邊界層外主流壓力。b). 能量方程：能量方程：而被忽略，說明而被忽略，說明，在熱邊界層內(nèi)在熱邊界層內(nèi)y向向的導(dǎo)熱作用與對流作用的數(shù)量級相同，而的導(dǎo)熱作用與對流作用的數(shù)量級相同，而x向?qū)岷苄?，可忽略。向?qū)岷苄?，可忽略?222TTxy在主流區(qū)：在主流區(qū)： 、，又忽略粘性力，有，又忽略粘性力，有Bernoulli方程：方程：0uyuu1dudpudxdx （2.1.3）（2.1.4）由于邊界層對流換熱中，流體沿由于邊界層對流換熱中，流體沿x方向流動，下游的溫度變方向流動，下游的溫度變化

9、對上游的影響只能通過導(dǎo)熱（擴(kuò)散）來實(shí)現(xiàn)化對上游的影響只能通過導(dǎo)熱（擴(kuò)散）來實(shí)現(xiàn)。若若x方向?qū)峥珊雎?，那么下游溫度變化對上游無影響，就方向?qū)峥珊雎?，那么下游溫度變化對上游無影響，就象一個(gè)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題一樣。象一個(gè)一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題一樣。 x 坐標(biāo)與坐標(biāo)與 坐標(biāo)一樣成為單向坐標(biāo)坐標(biāo)一樣成為單向坐標(biāo) 單通道坐標(biāo)單通道坐標(biāo)： 擾動僅沿一個(gè)方向轉(zhuǎn)遞，該坐標(biāo)方向上任一點(diǎn)的物理量僅受擾動僅沿一個(gè)方向轉(zhuǎn)遞，該坐標(biāo)方向上任一點(diǎn)的物理量僅受其其上游一側(cè)的影響上游一側(cè)的影響。c). 概括評述概括評述 由于邊界層流動和換熱的特點(diǎn)，使動量方程和能量方程由原由于邊界層流動和換熱的特點(diǎn)，使動量方程和能量方程由原來的

10、來的平衡問題平衡問題或說或說穩(wěn)態(tài)問題穩(wěn)態(tài)問題描述形式描述形式，轉(zhuǎn)變?yōu)檗D(zhuǎn)變?yōu)椴竭M(jìn)問題步進(jìn)問題或說是或說是非非穩(wěn)態(tài)問題穩(wěn)態(tài)問題描述形式描述形式，而而沿主流流動方向的沿主流流動方向的坐標(biāo)坐標(biāo)x成為成為與時(shí)間坐標(biāo)與時(shí)間坐標(biāo) 類似的單向坐標(biāo)。類似的單向坐標(biāo)。2. 2. 數(shù)學(xué)性質(zhì)數(shù)學(xué)性質(zhì)從數(shù)學(xué)上看，邊界層動量方程與能量方程都從數(shù)學(xué)上看，邊界層動量方程與能量方程都由原來的橢圓型由原來的橢圓型方程轉(zhuǎn)化為拋物型方程方程轉(zhuǎn)化為拋物型方程，所描述問題，所描述問題由邊值問題轉(zhuǎn)化為初值問題由邊值問題轉(zhuǎn)化為初值問題。二元二階偏微分方程：二元二階偏微分方程：( , )xxxyyyxyABCDEFG x y 其中，其中， 均

11、為均為x、y的函數(shù)。的函數(shù)。 , , , ,A B C D E F G當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 為橢圓為橢圓型型方程方程 (無實(shí)的特征線無實(shí)的特征線)時(shí)時(shí) 為雙曲型方程為雙曲型方程 (有兩條實(shí)的特征線有兩條實(shí)的特征線)時(shí)時(shí) 為拋物型方程為拋物型方程 (有一條實(shí)的特征線有一條實(shí)的特征線)240BAC240BAC240BAC橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程橢圓型方程、拋物型方程、雙曲型方程各自各自代表一類物理問題。代表一類物理問題。橢圓型方程：橢圓型方程：代表物理上的代表物理上的平衡問題平衡問題，或，或穩(wěn)態(tài)問題穩(wěn)態(tài)問題，其物理其物理量是量是雙向坐標(biāo)變化雙向坐標(biāo)變化，數(shù)學(xué)上稱為數(shù)學(xué)上稱為邊值問題邊值問題。拋物型方

12、程：拋物型方程：代表的一類問題代表的一類問題，物理上稱為物理上稱為步進(jìn)問題步進(jìn)問題或或非穩(wěn)態(tài)問題非穩(wěn)態(tài)問題，其其物理量沿某個(gè)坐標(biāo)單向變化，數(shù)學(xué)上稱為物理量沿某個(gè)坐標(biāo)單向變化，數(shù)學(xué)上稱為初值問題初值問題。橢圓型方程中的自變量橢圓型方程中的自變量是雙向坐標(biāo)，是雙向坐標(biāo)，因變量的求解需在一個(gè)閉區(qū)域內(nèi)進(jìn)因變量的求解需在一個(gè)閉區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，并依賴于包圍求解區(qū)域的封閉邊界，稱為行，并依賴于包圍求解區(qū)域的封閉邊界，稱為依賴區(qū)依賴區(qū)。橢圓型方程求解域內(nèi)橢圓型方程求解域內(nèi)，每點(diǎn)的物理量變化對整個(gè)求解區(qū)域都有影響，即每點(diǎn)的物理量變化對整個(gè)求解區(qū)域都有影響，即任一點(diǎn)的影響區(qū)是整個(gè)求解域任一點(diǎn)的影響區(qū)是整個(gè)求解域。這樣

13、，這樣，求解域內(nèi)的各點(diǎn)是相互影響的，必須求解域內(nèi)的各點(diǎn)是相互影響的，必須對所有的點(diǎn)聯(lián)立求解，對所有的點(diǎn)聯(lián)立求解，所以橢圓型方程的求解較難。所以橢圓型方程的求解較難。拋物型方程的求解域拋物型方程的求解域，是從初值出發(fā)的是從初值出發(fā)的開區(qū)間開區(qū)間，求解域內(nèi)任一點(diǎn)，求解域內(nèi)任一點(diǎn)P P的的依依賴域賴域是該點(diǎn)上游的區(qū)域邊界是該點(diǎn)上游的區(qū)域邊界，影響區(qū)影響區(qū)是該點(diǎn)的下游區(qū)域，二者以特征線為界是該點(diǎn)的下游區(qū)域，二者以特征線為界截然分開，截然分開，求解域內(nèi)每點(diǎn)僅受其上游物理量變化的影響，可采用逐步向前推求解域內(nèi)每點(diǎn)僅受其上游物理量變化的影響，可采用逐步向前推進(jìn)的解法。進(jìn)的解法。拋物型方程拋物型方程初值問題橢

14、圓型型方程橢圓型型方程邊值問題邊值問題3、邊界條件邊界條件描述一般二維穩(wěn)態(tài)層流對流換熱的微分方程是橢圓型方程描述一般二維穩(wěn)態(tài)層流對流換熱的微分方程是橢圓型方程，其，其解的依賴域是整個(gè)求解域的封閉邊界，這意味著解的依賴域是整個(gè)求解域的封閉邊界，這意味著邊界條件須給出邊界條件須給出求解域四條邊界線上所有因變量的值、或分布函數(shù)、或?qū)?shù)。求解域四條邊界線上所有因變量的值、或分布函數(shù)、或?qū)?shù)。而描述二維層流邊界層穩(wěn)態(tài)對流換熱的微分方程是拋物型方而描述二維層流邊界層穩(wěn)態(tài)對流換熱的微分方程是拋物型方程程，不需給出下游邊界上的條件。不需給出下游邊界上的條件。如對繞流等溫平壁的二穩(wěn)態(tài)層流邊界層對流換熱：如對繞流等溫平壁的二穩(wěn)態(tài)層流邊界層對流換熱：0uxy22()uuuuxyy22TTTuaxyy相應(yīng)的邊界條件為：相應(yīng)的邊界條件為：00,0,( ),( )0,0,wyuu yTT yyxxuvTTyxxuuTT 0入口處：壁面處：主流：x=x（2.1.6）速度分量速度分量u （對照方程）（對照方程）：其對x的最高階導(dǎo)數(shù)為一階，所以x方向