易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計方案

1、信息1103班 龔麗娜試著去發(fā)現(xiàn)身邊的問題問題的探討：問題的探討：1.1.取一個飲料量為取一個飲料量為355355毫升的易拉罐，測量驗證模型所需要的毫升的易拉罐，測量驗證模型所需要的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)，并把數(shù)，并把數(shù)據(jù)列表加以說明據(jù)列表加以說明問題。問題。2.2.設易拉罐是一個設易拉罐是一個正圓柱體正圓柱體。什么是它的。什么是它的最優(yōu)設計最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地？其結果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸。說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸。3.3.設易拉罐的設易拉罐的中心縱斷面中心縱斷面的的上面部分上面部分是一個是一個正圓臺正圓臺，下面部分下面部分是一個是一個正圓柱正圓柱體體。什么是它的最優(yōu)

2、設計？其結果是否可以合理地說明。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明我們我們所測量的易拉罐所測量的易拉罐的形狀和尺寸。的形狀和尺寸。4.4.利用利用我們我們對所測量的易拉罐的對所測量的易拉罐的洞察和想象力洞察和想象力，做出關于易拉罐形狀和尺寸，做出關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計。的最優(yōu)設計。銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同銷量很大的飲料的飲料罐的形狀和尺寸幾乎相同，這是為什么呢？這是為什么呢？內容概要一、問題重述一、問題重述二、模型假設二、模型假設三、符號說明三、符號說明四、模型分析四、模型分析五、模型建立五、模型建立六、模型求解六、模型求解七七、模型評價與推廣、模型評價與推

3、廣一、問題重述一、問題重述問題一問題一：測量十種常見飲料的易拉罐的八項指標，測量十種常見飲料的易拉罐的八項指標，我們我們得到了比較精確的數(shù)據(jù)。得到了比較精確的數(shù)據(jù)。問題二問題二：將易拉罐分為將易拉罐分為各處壁厚相同、壁厚不同以及兼顧不同壁厚與焊接長度各處壁厚相同、壁厚不同以及兼顧不同壁厚與焊接長度三種情三種情形形，分別建立了以分別建立了以易拉罐表面積、材料體積易拉罐表面積、材料體積、材料體積和焊縫長度材料體積和焊縫長度為目標函數(shù)，為目標函數(shù)，容積容積一定一定為約束條件的非線性規(guī)劃模型為約束條件的非線性規(guī)劃模型，檢驗，檢驗實測數(shù)據(jù)與理論結果吻合效果較好。實測數(shù)據(jù)與理論結果吻合效果較好。問題三問題

4、三：分上述三種情形分別建立模型，再用拉格朗日乘數(shù)法求得解析解之后，用分上述三種情形分別建立模型，再用拉格朗日乘數(shù)法求得解析解之后，用Matlab 6.5編程求得結果，并用配對編程求得結果，并用配對樣本樣本T檢驗檢驗，說明實測數(shù)據(jù)與理論結果基本相符。，說明實測數(shù)據(jù)與理論結果基本相符。問題四問題四：引入引入黃金分割點黃金分割點，綜合考慮，綜合考慮壓強、環(huán)保壓強、環(huán)保及及材料最省材料最省，設計了一種，設計了一種集集各種優(yōu)點各種優(yōu)點的新型易拉罐的新型易拉罐。問題五問題五：對易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計對易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計綜合考慮綜合考慮了多方面的影響因素，并巧妙應用了多方面的影響因素，并巧妙應用

5、拉格朗日乘數(shù)法求出了最優(yōu)解析解，具有較強的拉格朗日乘數(shù)法求出了最優(yōu)解析解，具有較強的實用性和推廣性。實用性和推廣性。模型模型 四個假設四個假設1 1：易拉罐的易拉罐的容積是一定容積是一定的的；2 2：所有材料所有材料的的密度都相同密度都相同，材料的價格與材料的價格與其體積成正比；其體積成正比；4 4：易拉罐易拉罐圓圓臺部分頂蓋臺部分頂蓋到側面間的到側面間的坡度為坡度為0.30.311。3 3：拉環(huán)生產拉環(huán)生產成本固定成本固定，不受易拉罐不受易拉罐形狀和尺寸形狀和尺寸的影響的影響；二、模型假設二、模型假設三、符號說明三、符號說明規(guī)劃的目標函數(shù)；易拉罐的表面積；易拉罐的體積；正圓柱體形易拉罐底面的

6、半徑；圓臺上表面的半徑；圓臺下表面的半徑；易拉罐側面的高度；易拉罐上頂?shù)暮穸?；易拉罐圓臺部的厚度；易拉罐側面的厚度；易拉罐底面的厚度；MSVr1r2rhabcd；三、符號說明三、符號說明圓臺的母線長度；易拉罐焊縫的長度；易拉罐所用材料量；為各部分的系數(shù)；為各部分的系數(shù)；為各部分的系數(shù)；l易拉罐的各種壓強；易拉罐底的弧面面積；易拉罐底的搭接角；圓臺的高；易拉罐的美觀度；易拉罐底面的圓弧角ZYiiPimjP,3 ,2, 1i,3,2, 1i,3 ,2, 1i4,3 ,2, 1j4,3 ,2, 1j問題一問題一：測量十種常見飲料的易拉罐的八項指標，測量十種常見飲料的易拉罐的八項指標，我們我們得到了比

7、較精確的數(shù)據(jù)。得到了比較精確的數(shù)據(jù)。四、模型分析四、模型分析分析一分析一：可以借助：可以借助物理儀器物理儀器，如游標卡尺、螺旋測微儀測量易拉罐的，如游標卡尺、螺旋測微儀測量易拉罐的高度、直徑、頂高度、直徑、頂面、底面、圓臺側面、圓柱側面的厚度面、底面、圓臺側面、圓柱側面的厚度。問題二問題二：將易拉罐分為將易拉罐分為各處壁厚相同、壁厚不同以及兼顧不同壁厚與焊接長度各處壁厚相同、壁厚不同以及兼顧不同壁厚與焊接長度三種情三種情形形，分別建立了以分別建立了以易拉罐表面積、材料體積易拉罐表面積、材料體積、材料體積和焊縫長度材料體積和焊縫長度為目標函數(shù)，為目標函數(shù)，容積容積一定一定為約束條件的非線性規(guī)劃模

8、型為約束條件的非線性規(guī)劃模型，檢驗，檢驗實測數(shù)據(jù)與理論結果吻合效果較好。實測數(shù)據(jù)與理論結果吻合效果較好。問題三問題三：分上述三種情形分別建立模型，再用拉格朗日乘數(shù)法求得解析解之后，用分上述三種情形分別建立模型，再用拉格朗日乘數(shù)法求得解析解之后，用Matlab 6.5編程求得結果，并用配對編程求得結果，并用配對樣本樣本T檢驗檢驗，說明實測數(shù)據(jù)與理論結果基本相符。，說明實測數(shù)據(jù)與理論結果基本相符。分析分析三：易拉罐的縱斷面三：易拉罐的縱斷面上部是圓臺上部是圓臺，下部是正圓柱體下部是正圓柱體，逐步求解易拉罐的最優(yōu)尺寸，逐步求解易拉罐的最優(yōu)尺寸，建立模型四、五、六，同樣通過建立模型四、五、六，同樣通過

9、拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法求解。驗證結果，把實際數(shù)據(jù)代入模求解。驗證結果，把實際數(shù)據(jù)代入模型進行檢驗。型進行檢驗。問題四問題四：引入引入黃金分割點黃金分割點，綜合考慮，綜合考慮壓強、環(huán)保壓強、環(huán)保及及材料最省材料最省，設計了一種，設計了一種集集各種優(yōu)點各種優(yōu)點的新型易拉罐的新型易拉罐。問題五問題五：對易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計對易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計綜合考慮綜合考慮了多方面的影響因素，并巧妙應用了多方面的影響因素，并巧妙應用拉格朗日乘數(shù)法求出了最優(yōu)解析解，具有較強的拉格朗日乘數(shù)法求出了最優(yōu)解析解，具有較強的實用性和推廣性。實用性和推廣性。分析五：計算過程中的優(yōu)缺點以及最優(yōu)模型的應用與推廣

10、。分析五：計算過程中的優(yōu)缺點以及最優(yōu)模型的應用與推廣。分析分析二二： 對于一個對于一個體積給定體積給定的的正圓柱體正圓柱體，最優(yōu)考慮材料最省，求解其最優(yōu)設計：首先，最優(yōu)考慮材料最省，求解其最優(yōu)設計：首先，考慮最簡單的情況：考慮最簡單的情況： 易拉罐各點罐壁厚度相同易拉罐各點罐壁厚度相同，建立模型一建立模型一： 將將表面積的大小表面積的大小作為目標函數(shù)，求作為目標函數(shù)，求解該正圓柱體的解該正圓柱體的表面積最小時所對應的尺寸（半徑表面積最小時所對應的尺寸（半徑r r和高和高h h的比值）的比值）； 易拉罐各點罐壁厚度不同易拉罐各點罐壁厚度不同, ,建立模型二建立模型二：以用料最少作為目標函數(shù)，通過

11、以用料最少作為目標函數(shù)，通過拉格拉格朗日乘數(shù)法朗日乘數(shù)法求解易拉罐的最優(yōu)尺寸；求解易拉罐的最優(yōu)尺寸； 再進一步考慮易拉罐再進一步考慮易拉罐焊縫增加的工作量焊縫增加的工作量。在模型二的基礎上建立模型三。在模型二的基礎上建立模型三：將將焊縫的長短焊縫的長短也作為目標函數(shù)之一，同樣通過也作為目標函數(shù)之一，同樣通過拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法求解最優(yōu)尺寸；求解最優(yōu)尺寸； 最后，我們把問題一所得的數(shù)據(jù)代入最后，我們把問題一所得的數(shù)據(jù)代入進行檢驗進行檢驗，看理論值與實際值是否吻合，看理論值與實際值是否吻合，把它作為衡量模型求解結果好壞以及實際值是否合理的標準。把它作為衡量模型求解結果好壞以及實際值是否合理

12、的標準。分析分析四：日常生活中，消費者更青睞于美觀大方、安全方便的產品。因此，在滿足用四：日常生活中，消費者更青睞于美觀大方、安全方便的產品。因此，在滿足用料最省的前提下，引入料最省的前提下，引入黃金分割和壓強黃金分割和壓強，建立優(yōu)化模型。可以從以下幾個方面來考慮：，建立優(yōu)化模型?？梢詮囊韵聨讉€方面來考慮：（一）增加美觀度，引入（一）增加美觀度，引入黃金分割點黃金分割點來判斷，使得易拉罐的外形達到最優(yōu)。來判斷，使得易拉罐的外形達到最優(yōu)。（二）考慮（二）考慮壓強變化壓強變化所引起的所引起的底面弧度變化底面弧度變化，不僅不僅使用料最省，使用料最省，而且而且對于不同種類飲對于不同種類飲料，作出不同類

13、的易拉罐設計。料，作出不同類的易拉罐設計。（三）考慮改變（三）考慮改變易拉罐的材料易拉罐的材料，例如可以使用，例如可以使用紙質材料紙質材料，使得更環(huán)保，更安全。，使得更環(huán)保，更安全。 最終作出新型易拉罐的設計圖。最終作出新型易拉罐的設計圖。五、模型建立五、模型建立 問題二：問題二：正圓柱形正圓柱形易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型（1 1）易拉罐）易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形由圖的情形由圖1 1可知：可知： 容積容積為為 ： 表面積表面積為為 ： 模型一：模型一：hrV2圖1 各點罐壁厚度相同的圓柱形易拉罐模型一：模型一：0,.2min22hrhrVtsrhrSr

14、hrrrrhSM22222hrV2（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形的情形 易拉罐易拉罐各面各面厚度不同，用料量也不相同厚度不同，用料量也不相同，根據(jù)根據(jù)材料的用量與其體積成正比材料的用量與其體積成正比。 容積一定時，所用容積一定時，所用材料的體積最小時的尺材料的體積最小時的尺寸即易拉罐的最優(yōu)尺寸寸即易拉罐的最優(yōu)尺寸，所需要的材料為：所需要的材料為：圖2 有不同罐壁厚度的圓柱形易拉罐 dahcrhrY22 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts模型二：模型二：應使應使Y Y取最小值，取最小值，模型二：模型二：（3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度并考

15、慮焊縫長度不同罐壁厚度并考慮焊縫長度4的情形的情形 在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同在模型二的基礎上，考慮工作量（焊縫長度）的不同工作量有影響，使得易拉罐的工作量有影響，使得易拉罐的材料用量最省材料用量最省的同時，的同時，焊縫焊縫長度也盡量取到最小。長度也盡量取到最小。 根據(jù)模型分析，可得根據(jù)模型分析，可得焊縫長度焊縫長度： rZ2將焊縫的長度為將焊縫的長度為Z時的工作量轉化為時的工作量轉化為同等的材料體積同等的材料體積，從而可以從而可以將二者直接相加將二者直接相加。模型三模型三： rdahcrhrZYM2min222121（此模型即為求解問題二的完善模型） 0,. .212da

16、hcrVts問題三：圓柱體加圓臺形易拉罐尺寸的最優(yōu)設計模型21212111rrlrlrrlrShrS222223rS22221213212rhrrrlrSSSSlm2873.0（1）易拉罐）易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形的情形此時，以易拉罐此時，以易拉罐表面積的大小表面積的大小來衡量尺寸的優(yōu)劣來衡量尺寸的優(yōu)劣圖3 各點罐壁厚度相 同的含圓臺易拉罐圓柱側面的面積圓柱側面的面積為為：圓柱圓柱底面的面積為底面的面積為：易拉罐的表面積為：易拉罐的表面積為：由于圓臺的斜率為一定由于圓臺的斜率為一定0.31 模型四模型四: :由圖由圖3得得圓臺的上面、側面的面積為圓臺的上面、側面的面積為：1

17、2212122212222221210,2873. 03. .2minrrhlrrlmrrrrmhrVtsrhrrrlrSM模型四：模型四：（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情的情形形圖圖4有不同罐壁厚有不同罐壁厚度易拉罐的圓臺度易拉罐的圓臺模型五模型五:如圖，易拉罐所需材料如圖，易拉罐所需材料量為：量為： dhcrrrrrmhrYM22212221223mincrbrcrbram2122213 0,0,2873. 03. .122121222122dcbarrhlrrlmcrbrcrbramdhcrVt s crbrcrbramdhcrrrrrmhrY2122212221

18、2221223312 rZ dhcrrrrrmhrZYM22212221221213min12212221123rcrbrcrbram 0,0,2873. 03. .21122121222122rrhlrrlmcrbrcrbramdhcrVts（3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度并考慮并考慮焊縫長度焊縫長度的情形的情形綜合考慮兩方面因素，使得易拉罐綜合考慮兩方面因素，使得易拉罐用料最少用料最少時，焊縫時，焊縫長度也盡量取到最小。長度也盡量取到最小。由此可得由此可得模型六：模型六： （模型六為求解問題三的完善模型）焊縫長度：焊縫長度：問題四：自己設計易拉罐最優(yōu)形狀和尺寸模型321mi

19、nZYM dhcrrrrrmhr22212221221312212221123rcrbrcrbram618.03hd 0,0,2873. 03. .321122121222122rrhlrrlmcrbrcrbramdhcrVts（1）考慮美觀度的情形考慮美觀度的情形在在模型六模型六的基礎上引入的基礎上引入美美觀度觀度來描述易拉罐的外形是來描述易拉罐的外形是否美觀，考慮易拉罐的否美觀，考慮易拉罐的直徑直徑和高度和高度之比之比趨向于黃金分割趨向于黃金分割點點，即：，即：，取得最小值時即為最優(yōu)解取得最小值時即為最優(yōu)解由此可得由此可得模型七模型七：618. 0hd（2 2）考慮）考慮壓強壓強引起的引起

20、的底面弧度底面弧度變化變化上拱的底面上拱的底面, ,頂蓋實際上也不是平面的頂蓋實際上也不是平面的, ,略有略有上拱上拱, ,這些要求也許這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分保證了和飲料罐的薄的部分的焊接的焊接( (粘合粘合) )很牢固、耐壓很牢固、耐壓。對于對于上拱的底面上拱的底面，是為了，是為了耐壓耐壓，從物理角度，從物理角度分析曲面下的壓強，若液體表面為曲面，則表分析曲面下的壓強，若液體表面為曲面，則表面張力有面張力有拉平液面的拉平液面的趨勢，從而對液體產生趨勢，從而對液體產生附附加壓強加壓強。附加壓強的附加壓強的方向方向由由表面張力的方向表面張力的方向確定，確定，大大小小可以用液面內外的

21、壓強差來表示可以用液面內外的壓強差來表示33圖圖5 易拉罐的底面示意圖易拉罐的底面示意圖對于下表面而言，受到的壓力包括對于下表面而言，受到的壓力包括三部分三部分：一：一：通過小液塊的邊線作用在通過小液塊的邊線作用在液塊液塊上的上的向上的表面張力向上的表面張力；二二：液體內液體內氣體氣體產生的作用于產生的作用于液塊底面向下的壓力；液塊底面向下的壓力；三三：液體本身向下的液體本身向下的重力重力。 1，設球形液面半徑為設球形液面半徑為單位長度液體表面的張力為單位長度液體表面的張力為 T T（大小為液體的表面張力系數(shù)（大小為液體的表面張力系數(shù) ）則小液塊邊線所具有的則小液塊邊線所具有的總張力向下分量總

22、張力向下分量為：為：表示液體內外的壓強差，則小液塊所表示液體內外的壓強差，則小液塊所受的向上的張力為：受的向上的張力為：T233sin2sinsin2rTrP23sinrP3r這兩部分力方向相反，在平衡這兩部分力方向相反，在平衡時大小相等，所以時大小相等，所以2323sinsin2rPr23cos22rrP圖圖5 易拉罐的底面示意圖易拉罐的底面示意圖cos22rP brbrcrbrcrbramdhcrrrrrmhrYcos3322222122212221222122圖圖6 6 易拉罐的底面積示意圖易拉罐的底面積示意圖所用材料量為所用材料量為：底部的上拱必然會引起所用材料底部的上拱必然會引起所用

23、材料的增多的增多易拉罐的易拉罐的底面積底面積為：為：2，液體液體重力作用重力作用產生的產生的壓強壓強：3，易拉罐易拉罐內部氣體壓強內部氣體壓強為一定值為一定值：易拉罐易拉罐下表面所受到的壓強下表面所受到的壓強為為：ghP2323214cos2PrghPPPP3P47654minPZYM dhcrrrrrmhr222122212243 252222421222142cos3rbrrbcrbrcrbram3276cos2618.0Prghhd模型八：模型八： 20,0,2873. 037654122121222122rrhlrrlmcrbrcrbramdhcrV1. 問題一的求解 表1 101 1

24、0種355ml355ml易拉罐飲料的相關測量數(shù)據(jù)項項目目數(shù)數(shù)值值種種類類六、模型求解六、模型求解表2 GB2 GBT 9106T 910620012001中規(guī)定的罐體主要尺寸中規(guī)定的罐體主要尺寸(單位：毫米單位：毫米)5 VdahcrdahcrhrF222 0022202222222VdahcrFcrcrrhFdahcrdahcrrhrFcdarh62rh（2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形的情形，根據(jù)根據(jù)模型二模型二， 用用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法求解新的函數(shù)求解新的函數(shù)：然后分別對，解得：解得：即即 圓柱體的圓柱體的高與半徑高與半徑 之比為之比為6時時為最優(yōu)尺寸為最優(yōu)

25、尺寸 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts0,.2min22hrhrVtsrhrSS022222322rVrrrVr32Vr 5.6MatlabSrrVVVrVh22843322322（1）易拉罐）易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形的情形 根據(jù)根據(jù)模型一模型一知：知：取取最小值最小值時，必定有時，必定有， 圖7 體積一定時隨變化的曲線即易拉罐的即易拉罐的高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）高度為半徑的二倍（等邊圓柱形）時，所需材料最少時，所需材料最少。rh2:rh根據(jù)問題一中測得的實際數(shù)據(jù)可以得到根據(jù)問題一中測得的實際數(shù)據(jù)可以得到 表表3 檢驗數(shù)據(jù)表檢驗數(shù)據(jù)表由表由

26、表3可知：所有可知：所有均在此范圍內，在均在此范圍內，在1與與3之間必有一之間必有一個最優(yōu)值符合實際條件，從結果可大個最優(yōu)值符合實際條件，從結果可大致得出此致得出此最優(yōu)值應該在最優(yōu)值應該在1.5附近附近。因此，實際值是合理的，而因此，實際值是合理的，而的比例關系式也符合實際情況。的比例關系式也符合實際情況。rh2:215.05.11hccrdadahccr1215.05.1（3 3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形的情形對對模型三模型三用拉格朗日乘數(shù)法按（用拉格朗日乘數(shù)法按（2 2）的求解步驟求解得：）的求解步驟求解得：，此時的此時的r和和h關系即為

27、最優(yōu)關系即為最優(yōu)設計尺寸設計尺寸。 rdahcrhrZYM2min222121 0,. .212dahcrVts3 3問題三的求解問題三的求解(1) (1) 易拉罐易拉罐各點罐壁厚度相同各點罐壁厚度相同的情形的情形根據(jù)根據(jù)模型四模型四，通過，通過5 . 6matlab0l21rr 編程求解，得到要使得編程求解，得到要使得表面積最小表面積最小即圓柱體即圓柱體沒有頂部的圓臺沒有頂部的圓臺，這，這顯然與已知不符，因此，我們考慮顯然與已知不符，因此，我們考慮用用易拉罐所用材料最少為目標函數(shù)易拉罐所用材料最少為目標函數(shù)來求解。來求解。12212122212222221210,2873.03.2minrr

28、hlrrlmrrrrmhrVtsrhrrrlrSM， 03020302322202322223212221222222122212112222212122121rrrrlmhrMrrchMrrrrmrrblMrrlmhrrdchlbrMrrmhrbrcrcrrrmrM( (2 2）易拉罐）易拉罐有不同罐壁厚度有不同罐壁厚度的情形的情形 根據(jù)根據(jù)模型五模型五，用，用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法求解步驟求求解步驟求解解，先求偏導數(shù)先求偏導數(shù)，然后，然后令偏導數(shù)為令偏導數(shù)為0 0解最小值解最小值: : dhcrrrrrmhrYM22212221223mincrbrcrbram2122213從而可求得

29、從而可求得: :，四者之間的關系：四者之間的關系：1r2rlh2122212121122arrrrrrrbrrlbl211122arrrlbl212221212rrrrrrb令代入表代入表1的數(shù)值，結果見表的數(shù)值，結果見表42r2r1表4 數(shù)據(jù)表212檢驗2，結果如下：12t05.0055.0p2122212121122arrrrrrrbrrlbl1r2rl對表4中進行配對樣本由結果可知由結果可知，結果的差異性結果的差異性不顯著，不顯著，不存在顯著不存在顯著差異，差異，說明理論值與實際值相吻合說明理論值與實際值相吻合即，之間的關系滿足上述之間的關系滿足上述表達式時，表達式時，易拉罐的易拉罐的尺

30、寸最優(yōu)尺寸最優(yōu)。030033302322023222231221222222221221212221211122122121121211211rrrrmhrMrcrrhMrrrrrrblMrrlhrhclbrMrrmhrbrcrcrrrmrM212221211221112222rrrrrrbrrldrblar易拉罐有易拉罐有不同罐壁厚度并考慮焊縫長度不同罐壁厚度并考慮焊縫長度的情形的情形對模型六對模型六同樣用同樣用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法得：得：化簡可得化簡可得：因此，當因此，當，之間的關系滿足上述表之間的關系滿足上述表達式時，易拉罐的尺寸達式時，易拉罐的尺寸最優(yōu)。最優(yōu)。1r2rlhrVr

31、hrchrrrb22232212222121221r2rhhr:221r2rhl（1）考慮）考慮美觀度美觀度的情形的情形 模型七用模型七用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法得：得：的關系式，此時著重考慮的關系式，此時著重考慮接近于接近于0.618，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最優(yōu)尺，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最優(yōu)尺寸。寸。之間的關系式。之間的關系式。為為45，而市售的罐底的搭接角度，而市售的罐底的搭接角度4問題四的求解問題四的求解根據(jù)模型解出新的搭接角度根據(jù)模型解出新的搭接角度為為7790。（2）考慮）考慮壓強引起的底面弧度變化壓強引起的底面弧度變化的情形的情形 模型八模型

32、八用用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法理論上可算出給定壓強下的理論上可算出給定壓強下的（3）考慮）考慮環(huán)保環(huán)保的情形的情形表表5 鋁易拉罐和紙易拉罐比較表鋁易拉罐和紙易拉罐比較表由表可知，紙易拉罐由紙漿高壓壓鑄成形，造型美觀同鋁易拉由表可知，紙易拉罐由紙漿高壓壓鑄成形，造型美觀同鋁易拉罐，罐，不污染環(huán)境不污染環(huán)境，是國際推廣的最優(yōu)綠色包裝，它，是國際推廣的最優(yōu)綠色包裝，它使用安全衛(wèi)生使用安全衛(wèi)生，生產生產工藝簡單，投資少工藝簡單，投資少，尤其是，尤其是成本低的特點成本低的特點最突出最突出。 618.0:21hh618.0:21rr12618.0212hhr既既考慮美觀又兼顧消費者的滿意度考慮美觀又

33、兼顧消費者的滿意度，我們設計中部凹陷，可防滑，令我們設計中部凹陷，可防滑，令考慮考慮節(jié)約材料節(jié)約材料，則，則圖圖9 新型易拉罐的立體圖新型易拉罐的立體圖最終，得到新型易拉罐的設計圖如下：最終，得到新型易拉罐的設計圖如下：圖圖8 新型易拉罐剖面示意圖新型易拉罐剖面示意圖利用利用模型八模型八，求出不同體積下易，求出不同體積下易拉罐的最優(yōu)尺寸，具體數(shù)值如下表：拉罐的最優(yōu)尺寸，具體數(shù)值如下表：項目數(shù)值種類利用利用模型八模型八，求出不同體積下易拉罐的最優(yōu)尺寸，具體數(shù)值如下表：，求出不同體積下易拉罐的最優(yōu)尺寸，具體數(shù)值如下表：表表6 6 各種體積下的最優(yōu)尺寸各種體積下的最優(yōu)尺寸1r2r1h2hm優(yōu)點：優(yōu)點

34、： 1：逐步分析了逐步分析了表面積大小、用料多少、焊縫長短、是否美觀表面積大小、用料多少、焊縫長短、是否美觀等因素，等因素，綜合綜合考慮建考慮建立模型，具有立模型，具有較強的實用性較強的實用性。在模型求解上，利用在模型求解上，利用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法用程巧妙地求出函用程巧妙地求出函數(shù)的數(shù)的最優(yōu)解最優(yōu)解，并利用已測量的結果進行，并利用已測量的結果進行檢驗檢驗，驗證了實際值的合理性和模型的準確性。，驗證了實際值的合理性和模型的準確性。 2：分析了分析了底面對液體產生的附加壓強以及易拉罐材料的種類底面對液體產生的附加壓強以及易拉罐材料的種類，進一步對模型進行，進一步對模型進行優(yōu)化，并給出了優(yōu)化，并給出了不同體