物理學答案(第五版)--馬文蔚

1、1第一篇力學求解力學問題的基本思路和方法物理學是一門基礎(chǔ)學科,它研究物質(zhì)運動的各種基本規(guī)律由于不同運動形式具有不同的運動規(guī)律,從而要用不同的研究方法處理力學是研究物體機械運動規(guī)律的一門學科,而機械運動有各種運動形態(tài),每一種形態(tài)和物體受力情況以及初始狀態(tài)有密切關(guān)系掌握力的各種效應(yīng)和運動狀態(tài)改變之間的一系列規(guī)律是求解力學問題的重要基礎(chǔ)但僅僅記住一些公式是遠遠不夠的求解一個具體物理問題首先應(yīng)明確研究對象的運動性質(zhì)；選擇符合題意的恰當?shù)哪Ｐ?；透徹認清物體受力和運動過程的特點等等根據(jù)模型、條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系,運用科學合理的研究方法,進而選擇一個正確簡便的解題切入點,在這里思路和方法起著非常重要的作

2、用1正確選擇物理模型和認識運動過程力學中常有質(zhì)點、質(zhì)點系、剛體等模型每種模型都有特定的含義,適用范圍和物理規(guī)律采用何種模型既要考慮問題本身的限制,又要注意解決問題的需要例如,用動能定理來處理物體的運動時,可把物體抽象為質(zhì)點模型而用功能原理來處理時,就必須把物體與地球組成一個系統(tǒng)來處理再如對繞固定軸轉(zhuǎn)動的門或質(zhì)量和形狀不能不計的定滑輪來說,必須把它視為剛體,并用角量和相應(yīng)規(guī)律來進行討論在正確選擇了物理模型后,還必須對運動過程的性質(zhì)和特點有充分理解,如物體所受力(矩)是恒定的還是變化的；質(zhì)點作一般曲線運動,還是作圓周運動等等,以此決定解題時采用的解題方法和數(shù)學工具2.疊加法疊加原理是物理學中應(yīng)用非

3、常廣泛的一條重要原理,據(jù)此力學中任何復雜運動都可以被看成由幾個較為簡單運動疊加而成例如質(zhì)點作一般平面運動時,通?？梢钥闯墒怯蓛蓚€相互垂直的直線運動疊加而成,而對作圓周運動的質(zhì)點來說,其上的外力可按運動軌跡的切向和法向分解,其中切向力只改變速度的大小,而法向力只改變速度的方向?qū)傮w平面平行運動來說,可以理解為任一時刻它包含了兩個運動的疊加,一是質(zhì)心的平動,二是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動運動的獨立性和疊加性是疊加原理中的兩個重要原則,掌握若干基本的簡單運動的物理規(guī)律,再運用疊加法就可以使我們化“復雜”為“簡單”此外運用疊加法時要注意選擇合適的坐標系,選擇什么樣的坐標系就意味著運動將按相應(yīng)形式分解在力學中,對一般

4、平面曲線運動,多采用平面直角坐標系,平面圓周運動多采用自然坐標系,而對剛體繞定軸轉(zhuǎn)動則采用角坐標系等等疊加原理在諸如電磁學,振動、波動等其他領(lǐng)域內(nèi)都有廣泛應(yīng)用,是物理學研究物質(zhì)運動的一種基本思想和方法,需讀者在解題過程中不斷體會和領(lǐng)悟3.類比法有些不同性質(zhì)運動的規(guī)律具有某些相似性,理解這種相似性產(chǎn)生的條件和遵從的規(guī)律有利于發(fā)現(xiàn)和認識物質(zhì)運動的概括性和統(tǒng)一性而且還應(yīng)在學習中善于發(fā)現(xiàn)并充分利用這種相似性,以拓寬自己的知識面例如質(zhì)點的直線運動和剛體繞定軸轉(zhuǎn)動是兩類不同運動,但是運動規(guī)律卻有許多可類比和相似之處,如 與 與 其實它們之間只是用角量替換了相應(yīng)的線量而已,這就可由比較熟悉的公式聯(lián)想到不太熟

5、悉的公式這種類比不僅運動學有,動力學也有,如 與 與 與 可以看出兩類不同運動中各量的對應(yīng)關(guān)系十分明顯,使我們可以把對質(zhì)點運動的分析方法移植到剛體轉(zhuǎn)動問題的分析中去當然移植時必須注意兩種運動的區(qū)別,一個是平動一個是轉(zhuǎn)動,狀態(tài)變化的原因一個是力而另一個是力矩此外還有許多可以類比的實例,如萬有引力與庫侖力、靜電場與穩(wěn)恒磁場,電介質(zhì)的極化與磁介質(zhì)的磁化等等只要我們在物理學習中善于歸納類比,就可以溝通不同領(lǐng)域內(nèi)相似物理問題的研究思想和方法,并由此及彼,觸類旁通4微積分在力學解題中的運用微積分是大學物理學習中應(yīng)用很多的一種數(shù)學運算,在力學中較為突出,也是初學大學物理課程時遇到的一個困難要用好微積分這個數(shù)

6、學工具,首先應(yīng)在思想上認識到物體在運動過程中,反映其運動特征的物理量是隨時空的變化而變化的一般來說,它們是時空坐標的函數(shù)運用微積分可求得質(zhì)點的運動方程和運動狀態(tài)這是大學物理和中學物理最顯著的區(qū)別例如通過對質(zhì)點速度函數(shù)中的時間t 求一階導數(shù)就可得到質(zhì)點加速度函數(shù)另外對物理量數(shù)學表達式進行合理變形就可得出新的物理含義如由 ,借助積分求和運算可求得在t1 -t2 時間內(nèi)質(zhì)點速度的變化；同樣由 也可求得質(zhì)點的運動方程以質(zhì)點運動學為例,我們可用微積分把運動學問題歸納如下：第一類問題：已知運動方程求速度和加速度；第二類問題：已知質(zhì)點加速度以及在起始狀態(tài)時的位矢和速度,可求得質(zhì)點的運動方程在力學中還有很多這

7、樣的關(guān)系,讀者不妨自己歸納整理一下,從而學會自覺運用微積分來處理物理問題,運用時有以下幾個問題需要引起大家的關(guān)注：(1) 運用微積分的物理條件在力學學習中我們會發(fā)現(xiàn), 和 等描述質(zhì)點運動規(guī)律的公式,只是式 和式 在加速度 為恒矢量條件下積分后的結(jié)果此外,在高中物理中只討論了一些質(zhì)點在恒力作用下的力學規(guī)律和相關(guān)物理問題,而在大學物理中則主要研究在變力和變力矩作用下的力學問題,微積分將成為求解上述問題的主要數(shù)學工具(2) 如何對矢量函數(shù)進行微積分運算我們知道很多物理量都是矢量,如力學中的r、v、a、p 等物理量,矢量既有大小又有方向,從數(shù)學角度看它們都是“二元函數(shù)”,在大學物理學習中,通常結(jié)合疊加

8、法進行操作,如對一般平面曲線運動可先將矢量在固定直角坐標系中分解,分別對x、y 軸兩個固定方向的分量(可視為標量)進行微積分運算,最后再通過疊加法求得矢量的大小和方向；對平面圓周運動,則可按切向和法向分解,對切線方向上描述大小的物理量a、v、s 等進行微積分運算(3) 積分運算中的分離變量和變量代換問題以質(zhì)點在變力作用下作直線運動為例,如已知變力表達式和初始狀態(tài)求質(zhì)點的速率,求解本問題一條路徑是：由F m a 求得a的表達式,再由式dv adt 通過積分運算求得v,其中如果力為時間t 的顯函數(shù),則a a(t),此時可兩邊直接積分,即 ；但如果力是速率v 的顯函數(shù),則a a(v),此時應(yīng)先作分離

9、變量后再兩邊積分,即 ；又如力是位置x 的顯函數(shù),則aa(x),此時可利用 得 ,并取代原式中的dt,再分離變量后兩邊積分,即 , 用變量代換的方法可求得v(x)表達式,在以上積分中建議采用定積分,下限為與積分元對應(yīng)的初始條件,上限則為待求量5.求解力學問題的幾條路徑綜合力學中的定律,可歸結(jié)為三種基本路徑,即(1) 動力學方法：如問題涉及到加速度,此法應(yīng)首選運用牛頓定律、轉(zhuǎn)動定律以及運動學規(guī)律,可求得幾乎所有的基本力學量,求解對象廣泛,但由于涉及到較多的過程細節(jié),對變力(矩)問題,還將用到微積分運算,故計算量較大因而只要問題不涉及加速度,則應(yīng)首先考慮以下路徑(2) (角)動量方法：如問題不涉及

10、加速度,但涉及時間,此法可首選(3) 能量方法：如問題既不涉及加速度,又不涉及時間,則應(yīng)首先考慮用動能定理或功能原理處理問題當然對復雜問題,幾種方法應(yīng)同時考慮此外,三個守恒定律(動量守恒、能量守恒、角動量守恒定律)能否成立往往是求解力學問題首先應(yīng)考慮的問題總之應(yīng)學會從不同角度分析與探討問題以上只是原則上給出求解力學問題一些基本思想與方法,其實求解具體力學問題并無固定模式,有時全靠“悟性”但這種“悟性”產(chǎn)生于對物理基本規(guī)律的深入理解與物理學方法掌握之中,要學會在解題過程中不斷總結(jié)與思考,從而使自己分析問題的能力不斷增強 第一章質(zhì)點運動學1 -1質(zhì)點作曲線運動,在時刻t 質(zhì)點的位矢為r,速度為v

11、,速率為v,t 至(t t)時間內(nèi)的位移為r, 路程為s, 位矢大小的變化量為r ( 或稱r),平均速度為 ,平均速率為 (1) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) r= s = r(B) r s r,當t0 時有dr= ds dr(C) r r s,當t0 時有dr= dr ds(D) r s r,當t0 時有dr= dr = ds(2) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) = , = (B) , (C) = , (D) , = 分析與解(1) 質(zhì)點在t 至(t t)時間內(nèi)沿曲線從P 點運動到P點,各量關(guān)系如圖所示, 其中路程s PP, 位移大小rPP,而r r-r表示質(zhì)點位矢大小的變化量,三個量的

12、物理含義不同,在曲線運動中大小也不相等(注：在直線運動中有相等的可能)但當t0 時,點P無限趨近P點,則有drds,但卻不等于dr故選(B)(2) 由于r s,故 ,即 但由于drds,故 ,即 由此可見,應(yīng)選(C)1 -2一運動質(zhì)點在某瞬時位于位矢r(x,y)的端點處,對其速度的大小有四種意見,即(1) ；(2) ；(3) ；(4) 下述判斷正確的是()(A) 只有(1)(2)正確 (B) 只有(2)正確(C) 只有(2)(3)正確 (D) 只有(3)(4)正確分析與解 表示質(zhì)點到坐標原點的距離隨時間的變化率,在極坐標系中叫徑向速率通常用符號vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個分量； 表

13、示速度矢量；在自然坐標系中速度大小可用公式 計算,在直角坐標系中則可由公式 求解故選(D)1 -3質(zhì)點作曲線運動,r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度對下列表達式,即(1)d v /dt a；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判斷正確的是()(A) 只有(1)、(4)是對的 (B) 只有(2)、(4)是對的(C) 只有(2)是對的 (D) 只有(3)是對的分析與解 表示切向加速度a,它表示速度大小隨時間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個分量,起改變速度大小的作用； 在極坐標系中表示徑向速率vr(如題1 -2 所述

14、)； 在自然坐標系中表示質(zhì)點的速率v；而 表示加速度的大小而不是切向加速度a因此只有(3) 式表達是正確的故選(D)1 -4一個質(zhì)點在做圓周運動時,則有()(A) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(D) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量a起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用質(zhì)點作圓周運動時,由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變,則要視質(zhì)點的速率情況而定質(zhì)點作勻速率圓周運動時, a恒為零；質(zhì)點作勻變速

15、率圓周運動時, a為一不為零的恒量,當a改變時,質(zhì)點則作一般的變速率圓周運動由此可見,應(yīng)選(B) *1 -5如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運動設(shè)該人以勻速率v0 收繩,繩不伸長且湖水靜止,小船的速率為v,則小船作()(A) 勻加速運動, (B) 勻減速運動, (C) 變加速運動, (D) 變減速運動, (E) 勻速直線運動, 分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達式,進而判斷運動性質(zhì)為此建立如圖所示坐標系,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t 時刻定滑輪距小船的繩長為l,則小船的運動方程為 ,其中繩長l 隨時間t 而變化小船速度 ,式中 表示繩長l 隨時間的變化

16、率,其大小即為v0,代入整理后為 ,方向沿x 軸負向由速度表達式,可判斷小船作變加速運動故選(C)討論有人會將繩子速率v0按x、y 兩個方向分解,則小船速度 ,這樣做對嗎？1 -6已知質(zhì)點沿x 軸作直線運動,其運動方程為 ,式中x 的單位為m,t 的單位為 s求：(1) 質(zhì)點在運動開始后4.0 s內(nèi)的位移的大??；(2) 質(zhì)點在該時間內(nèi)所通過的路程；(3) t4 s時質(zhì)點的速度和加速度分析位移和路程是兩個完全不同的概念只有當質(zhì)點作直線運動且運動方向不改變時,位移的大小才會與路程相等質(zhì)點在t 時間內(nèi)的位移x 的大小可直接由運動方程得到： ,而在求路程時,就必須注意到質(zhì)點在運動過程中可能改變運動方向

17、,此時,位移的大小和路程就不同了為此,需根據(jù) 來確定其運動方向改變的時刻tp ,求出0tp 和tpt 內(nèi)的位移大小x1 、x2 ,則t 時間內(nèi)的路程 ,如圖所示,至于t 4.0 s 時質(zhì)點速度和加速度可用 和 兩式計算解(1) 質(zhì)點在4.0 s內(nèi)位移的大小 (2) 由 得知質(zhì)點的換向時刻為 (t0不合題意)則 所以,質(zhì)點在4.0 s時間間隔內(nèi)的路程為 (3) t4.0 s時 1 -7一質(zhì)點沿x 軸方向作直線運動,其速度與時間的關(guān)系如圖(a)所示設(shè)t0 時,x0試根據(jù)已知的v-t 圖,畫出a-t 圖以及x -t 圖 分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運動中v-t曲線的斜率為加速度的大小(圖中AB、

18、CD 段斜率為定值,即勻變速直線運動；而線段BC 的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運動)加速度為恒量,在a-t 圖上是平行于t 軸的直線,由v-t 圖中求出各段的斜率,即可作出a-t 圖線又由速度的定義可知,x-t 曲線的斜率為速度的大小因此,勻速直線運動所對應(yīng)的x -t 圖應(yīng)是一直線,而勻變速直線運動所對應(yīng)的xt 圖為t 的二次曲線根據(jù)各段時間內(nèi)的運動方程xx(t),求出不同時刻t 的位置x,采用描數(shù)據(jù)點的方法,可作出x-t 圖解將曲線分為AB、BC、CD 三個過程,它們對應(yīng)的加速度值分別為 (勻加速直線運動) (勻速直線運動) (勻減速直線運動)根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點的a-t 圖圖(B

19、)在勻變速直線運動中,有 由此,可計算在02和46時間間隔內(nèi)各時刻的位置分別為 用描數(shù)據(jù)點的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作02和46時間內(nèi)的x -t 圖在24時間內(nèi), 質(zhì)點是作 的勻速直線運動, 其x -t 圖是斜率k20的一段直線圖(c)1 -8已知質(zhì)點的運動方程為 ,式中r 的單位為m,t 的單位為求：(1) 質(zhì)點的運動軌跡；(2) t 0 及t 2時,質(zhì)點的位矢；(3) 由t 0 到t 2內(nèi)質(zhì)點的位移r 和徑向增量r； *(4) 2 內(nèi)質(zhì)點所走過的路程s分析質(zhì)點的軌跡方程為y f(x),可由運動方程的兩個分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到對于r、r、r、s 來說,物理含義不同,可根據(jù)其

20、定義計算其中對s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則 ,最后用 積分求解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質(zhì)點軌跡方程為 這是一個拋物線方程,軌跡如圖(a)所示(2) 將t 0和t 2分別代入運動方程,可得相應(yīng)位矢分別為 , 圖(a)中的P、Q 兩點,即為t 0和t 2時質(zhì)點所在位置(3) 由位移表達式,得 其中位移大小 而徑向增量 *(4) 如圖(B)所示,所求s 即為圖中PQ段長度,先在其間任意處取AB 微元ds,則 ,由軌道方程可得 ,代入ds,則2內(nèi)路程為 1 -9質(zhì)點的運動方程為 式中x,y 的單位為m,t 的單位為試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速

21、度的大小和方向分析由運動方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運動合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為 當t 0 時, vox -10 m?-1 , voy 15 m?-1 ,則初速度大小為 設(shè)vo與x 軸的夾角為,則 12341(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為 設(shè)a 與x 軸的夾角為,則 -3341(或32619)1 -10一升降機以加速度1.22 m?-2上升,當上升速度為2.44 m?-1時,有一螺絲自升降機的天花板上松脫,天花板與升降機的底面相距2.74 m計算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時間；(2)螺絲相對升降機外固定柱子的下降距離分

22、析在升降機與螺絲之間有相對運動的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機豎直向上的勻加速度運動和初速不為零的螺絲的自由落體運動,列出這兩種運動在同一坐標系中的運動方程y1 y1(t)和y2 y2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種方法是取升降機(或螺絲)為參考系,這時,螺絲(或升降機)相對它作勻加速運動,但是,此加速度應(yīng)該是相對加速度升降機廂的高度就是螺絲(或升降機)運動的路程解1(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標系,升降機與螺絲的運動方程分別為 當螺絲落至底面時,有y1 y2 ,即 (2) 螺絲相對升降機外固定柱子下降的距離為 解2(1)以升降機為

23、參考系,此時,螺絲相對它的加速度大小ag a,螺絲落至底面時,有 (2) 由于升降機在t 時間內(nèi)上升的高度為 則 1 -11一質(zhì)點P 沿半徑R 3.0 m的圓周作勻速率運動,運動一周所需時間為20.0,設(shè)t 0 時,質(zhì)點位于O 點按(a)圖中所示Oxy 坐標系,求(1) 質(zhì)點P 在任意時刻的位矢；(2)5時的速度和加速度分析該題屬于運動學的第一類問題,即已知運動方程r r(t)求質(zhì)點運動的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)在確定運動方程時,若取以點(0,3)為原點的Oxy坐標系,并采用參數(shù)方程xx(t)和yy(t)來表示圓周運動是比較方便的然后,運用坐標變換x x0 x和y y0 y,

24、將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy 坐標系中,即得Oxy 坐標系中質(zhì)點P 在任意時刻的位矢采用對運動方程求導的方法可得速度和加速度解(1) 如圖(B)所示,在Oxy坐標系中,因 ,則質(zhì)點P 的參數(shù)方程為 , 坐標變換后,在Oxy 坐標系中有 , 則質(zhì)點P 的位矢方程為 (2) 5時的速度和加速度分別為 1 -12地面上垂直豎立一高20.0 m 的旗桿,已知正午時分太陽在旗桿的正上方,求在下午200 時,桿頂在地面上的影子的速度的大小在何時刻桿影伸展至20.0 m？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長與時間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點的位矢方程根據(jù)幾何關(guān)系,影長可通過太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度求得由

25、于運動的相對性,太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度這樣,影子端點的位矢方程和速度均可求得解設(shè)太陽光線對地轉(zhuǎn)動的角速度為,從正午時分開始計時,則桿的影長為shtgt,下午200 時,桿頂在地面上影子的速度大小為 當桿長等于影長時,即s h,則 即為下午300 時1 -13質(zhì)點沿直線運動,加速度a4 -t2 ,式中a的單位為m?-2 ,t的單位為如果當t 3時,x9 m,v 2 m?-1 ,求質(zhì)點的運動方程分析本題屬于運動學第二類問題,即已知加速度求速度和運動方程,必須在給定條件下用積分方法解決由 和 可得 和 如aa(t)或v v(t),則可兩邊直接積分如果a 或v不是時間t 的顯函

26、數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學操作后再做積分解由分析知,應(yīng)有 得 (1)由 得 (2)將t3時,x9 m,v2 m?-1代入(1) (2)得v0-1 m?-1,x00.75 m于是可得質(zhì)點運動方程為 1 -14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運動,現(xiàn)測得其加速度aA -Bv,式中A、B 為正恒量,求石子下落的速度和運動方程分析本題亦屬于運動學第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為 后再兩邊積分解選取石子下落方向為y 軸正向,下落起點為坐標原點(1) 由題意知 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式

27、(2)兩邊積分并考慮初始條件,有 得石子速度 由此可知當,t時, 為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由 并考慮初始條件有 得石子運動方程 1 -15一質(zhì)點具有恒定加速度a 6i 4j,式中a的單位為m?-2 在t0時,其速度為零,位置矢量r0 10 mi求：(1) 在任意時刻的速度和位置矢量；(2) 質(zhì)點在Oxy 平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖 分析與上兩題不同處在于質(zhì)點作平面曲線運動,根據(jù)疊加原理,求解時需根據(jù)加速度的兩個分量ax 和ay分別積分,從而得到運動方程r的兩個分量式x(t)和y(t)由于本題中質(zhì)點加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運動方程為固定形式,即 和 ,兩個

28、分運動均為勻變速直線運動讀者不妨自己驗證一下解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 0時v0 0,積分可得 又由 及初始條件t0 時,r0(10 m)i,積分可得 由上述結(jié)果可得質(zhì)點運動方程的分量式,即x 103t2y 2t2消去參數(shù)t,可得運動的軌跡方程3y 2x -20 m這是一個直線方程直線斜率 ,3341軌跡如圖所示1 -16一質(zhì)點在半徑為R 的圓周上以恒定的速率運動,質(zhì)點由位置A 運動到位置B,OA 和OB 所對的圓心角為(1) 試證位置A 和B 之間的平均加速度為 ；(2) 當分別等于90、30、10和1時,平均加速度各為多少？ 并對結(jié)果加以討論 分析瞬時加速度和平均加速度的物理含義不

29、同,它們分別表示為 和 在勻速率圓周運動中,它們的大小分別為 , ,式中v可由圖(B)中的幾何關(guān)系得到,而t 可由轉(zhuǎn)過的角度 求出由計算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時加速度是平均加速度在t0 時的極限值解(1) 由圖(b)可看到v v2 -v1 ,故 而 所以 (2) 將90,30,10,1分別代入上式,得 , , 以上結(jié)果表明,當0 時,勻速率圓周運動的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度 1 -17質(zhì)點在Oxy 平面內(nèi)運動,其運動方程為r2.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中r 的單位為m,t的單位為s求：(1)質(zhì)點的軌跡方程；(2) 在t11.0s 到t2 2.

30、0s 時間內(nèi)的平均速度；(3) t1 1.0時的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時質(zhì)點所在處軌道的曲率半徑分析根據(jù)運動方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t),從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點的軌跡方程平均速度是反映質(zhì)點在一段時間內(nèi)位置的變化率,即 ,它與時間間隔t 的大小有關(guān),當t0 時,平均速度的極限即瞬時速度 切向和法向加速度是指在自然坐標下的分矢量a 和an ,前者只反映質(zhì)點在切線方向速度大小的變化率,即 ,后者只反映質(zhì)點速度方向的變化,它可由總加速度a 和a 得到在求得t1 時刻質(zhì)點的速度和法向加速度的大小后,可由公式 求解(1) 由參數(shù)方程x 2.0t,y 19.0-

31、2.0t2消去t 得質(zhì)點的軌跡方程：y 19.0 -0.50x2 (2) 在t1 1.00 到t2 2.0時間內(nèi)的平均速度 (3) 質(zhì)點在任意時刻的速度和加速度分別為 則t1 1.00時的速度v(t)t 12.0i -4.0j切向和法向加速度分別為 (4) t 1.0質(zhì)點的速度大小為 則 1 -18飛機以100 m?-1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時,駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標處,問：(1) 此時目標在飛機正下方位置的前面多遠？ (2) 投放物品時,駕駛員看目標的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？ 分析物品空投后作平

32、拋運動忽略空氣阻力的條件下,由運動獨立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運動,在豎直方向作自由落體運動到達地面目標時,兩方向上運動時間是相同的因此,分別列出其運動方程,運用時間相等的條件,即可求解此外,平拋物體在運動過程中只存在豎直向下的重力加速度為求特定時刻t時物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時刻它們與重力加速度之間的夾角或由圖可知,在特定時刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角,可由此時刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得解(1) 取如圖所示的坐標,物品下落時在水平和豎直方向的運動方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機水平飛行

33、速度v100 m?s-1 ,飛機離地面的高度y100 m,由上述兩式可得目標在飛機正下方前的距離 (2) 視線和水平線的夾角為 (3) 在任意時刻物品的速度與水平軸的夾角為 取自然坐標,物品在拋出2s 時,重力加速度的切向分量與法向分量分別為 1 -19如圖(a)所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O 處,已知斜坡傾角為,炮身與斜坡的夾角為,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力求：(1)炮彈落地點P 與點O 的距離OP；(2) 欲使炮彈能垂直擊中坡面證明和必須滿足 并與v0 無關(guān)分析這是一個斜上拋運動,看似簡單,但針對題目所問,如不能靈活運用疊加原理,建立一個恰當?shù)淖鴺讼?將運動分解的話,求解起

34、來并不容易現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標系,則炮彈在x 和y 兩個方向的分運動均為勻減速直線運動,其初速度分別為v0cos和v0sin,其加速度分別為gsin和gcos在此坐標系中炮彈落地時,應(yīng)有y 0,則x OP如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx 0,直接列出有關(guān)運動方程和速度方程,即可求解由于本題中加速度g 為恒矢量故第一問也可由運動方程的矢量式計算,即 ,做出炮彈落地時的矢量圖如圖(B)所示,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得 (即圖中的r 矢量) (1)解1由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標系中兩個分運動方程為 (1) (2)令y 0 求得時間t 后再代入式(1)得 解2做出炮彈的運動矢量圖,如圖(

35、b)所示,并利用正弦定理,有 從中消去t 后也可得到同樣結(jié)果(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y 0 和vx 0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得 由此可知只要角和滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無關(guān)討論如將炮彈的運動按水平和豎直兩個方向分解,求解本題將會比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗一下1 -20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,(1) 當傘繞傘柄以勻角速旋轉(zhuǎn)時,求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為 的圓周上；(2) 讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？ 分析選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對象,當傘以角速度

36、旋轉(zhuǎn)時,雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運動建立如圖(a)所示坐標系,列出雨滴的運動方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證由此可以想像如果讓水從一個旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮解(1) 如圖(a)所示坐標系中,雨滴落地的運動方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為 (2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(0 45)其上有大量小孔噴頭旋轉(zhuǎn)時,水滴以初速度v0 從各個小孔中噴出,并作斜上拋運動,通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面

37、上則以角噴射的水柱射程為 為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計中的一個關(guān)鍵問題1 -21一足球運動員在正對球門前25.0 m 處以20.0 m?-1 的初速率罰任意球,已知球門高為3.44 m若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進球門,問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？ (足球可視為質(zhì)點) 分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運動,其軌跡方程可由質(zhì)點在豎直平面內(nèi)的運動方程得到由于水平距離x 已知,球門高度又限定了在y 方向的范圍,故只需將x、y 值代入即可求出解取圖示坐標系Oxy,由運動方程 , 消去t 得軌跡方程 以x 25.0 m

38、,v 20.0 m?-1 及3.44 my0 代入后,可解得71111 699227922 1889如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對應(yīng)有兩個不同的投射傾角(如圖所示)如果以7111或 18.89踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制, 角也并非能取71.11與18.89之間的任何值當傾角取值為27.92 6992時,踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時球也不能射入球門因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果1 -22一質(zhì)點沿半徑為R 的圓周按規(guī)律 運動,v0 、b 都是常量(1) 求t 時刻質(zhì)點的總加速度；(2) t 為何值時總加速度在數(shù)

39、值上等于b？(3) 當加速度達到b 時,質(zhì)點已沿圓周運行了多少圈？分析在自然坐標中,s 表示圓周上從某一點開始的曲線坐標由給定的運動方程s s(t),對時間t 求一階、二階導數(shù),即是沿曲線運動的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量為anv2 /R這樣,總加速度為a aeanen至于質(zhì)點在t 時間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標的改變量sst -s0因圓周長為2R,質(zhì)點所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得解(1) 質(zhì)點作圓周運動的速率為 其加速度的切向分量和法向分量分別為 , 故加速度的大小為 其方向與切線之間的夾角為 (2) 要使ab,由 可得 (3) 從t0 開始到tv0 /b 時,質(zhì)點經(jīng)過的路程為

40、 因此質(zhì)點運行的圈數(shù)為 1 -23一半徑為0.50 m 的飛輪在啟動時的短時間內(nèi),其角速度與時間的平方成正比在t2.0 時測得輪緣一點的速度值為4.0 m?-1求：(1) 該輪在t0.5的角速度,輪緣一點的切向加速度和總加速度；(2)該點在2.0內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系kt2依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,(t)確定后,注意到運動的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運動學中兩類問題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時刻的角加速度、切向加速度和角位移解因R v,由題意t2 得比例系數(shù) 所以 則t0.5 時的角速度、角加

41、速度和切向加速度分別為 總加速度 在2.0內(nèi)該點所轉(zhuǎn)過的角度 1 -24一質(zhì)點在半徑為0.10 m的圓周上運動,其角位置為 ,式中 的單位為rad,t 的單位為(1) 求在t 2.0時質(zhì)點的法向加速度和切向加速度(2) 當切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時, 值為多少？(3) t 為多少時,法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運動學求解的方法即可得到解(1) 由于 ,則角速度 在t 2 時,法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為 (2) 當 時,有 ,即 得 此時刻的角位置為 (3) 要使 ,則有 t 0.551 -25一無風的下雨天,一

42、列火車以v120.0 m?-1 的速度勻速前進,在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降求雨滴下落的速度v2 (設(shè)下降的雨滴作勻速運動) 分析這是一個相對運動的問題設(shè)雨滴為研究對象,地面為靜止參考系,火車為動參考系v1 為相對 的速度,v2 為雨滴相對的速度,利用相對運動速度的關(guān)系即可解解以地面為參考系,火車相對地面運動的速度為v1 ,雨滴相對地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2為相對速度,它們之間的關(guān)系為 (如圖所示),于是可得 1 -26如圖(a)所示,一汽車在雨中沿直線行駛,其速率為v1 ,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前 角,速率為v2,若車后有一長方形物體

43、,問車速v1為多大時,此物體正好不會被雨水淋濕？分析這也是一個相對運動的問題可視雨點為研究對象,地面為靜參考系,汽車為動參考系如圖(a)所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點下落的方向(即雨點相對于汽車的運動速度v2的方向)應(yīng)滿足 再由相對速度的矢量關(guān)系 ,即可求出所需車速v1 解由 圖(b),有 而要使 ,則 1 -27一人能在靜水中以1.10 m?-1 的速度劃船前進今欲橫渡一寬為1.00 103 m、水流速度為0.55 m?-1 的大河(1) 他若要從出發(fā)點橫渡該河而到達正對岸的一點,那么應(yīng)如何確定劃行方向？ 到達正對岸需多少時間？ (2)如果希望用最短的時間過河,應(yīng)如何確定劃行方向？

44、船到達對岸的位置在什么地方？分析船到達對岸所需時間是由船相對于岸的速度v 決定的由于水流速度u的存在, v與船在靜水中劃行的速度v之間有vu v(如圖所示)若要使船到達正對岸,則必須使v沿正對岸方向；在劃速一定的條件下,若要用最短時間過河,則必須使v 有極大值 解(1) 由vu v可知 ,則船到達正對岸所需時間為 (2) 由于 ,在劃速v一定的條件下,只有當0 時, v 最大(即vv),此時,船過河時間td /v,船到達距正對岸為l 的下游處,且有 1 -28 一質(zhì)點相對觀察者O 運動, 在任意時刻t , 其位置為x vt , ygt2 /2,質(zhì)點運動的軌跡為拋物線若另一觀察者O以速率v 沿x

45、 軸正向相對于O 運動試問質(zhì)點相對O的軌跡和加速度如何？ 分析該問題涉及到運動的相對性如何將已知質(zhì)點相對于觀察者O 的運動轉(zhuǎn)換到相對于觀察者O的運動中去,其實質(zhì)就是進行坐標變換,將系O 中一動點(x,y)變換至系O中的點(x,y)由于觀察者O相對于觀察者O 作勻速運動,因此,該坐標變換是線性的解取Oxy 和Oxy分別為觀察者O 和觀察者O所在的坐標系,且使Ox 和Ox兩軸平行在t 0 時,兩坐標原點重合由坐標變換得xx - v t v t - v t 0yy 1/2 gt2加速度 由此可見,動點相對于系O是在y 方向作勻變速直線運動動點在兩坐標系中加速度相同,這也正是伽利略變換的必然結(jié)果 第二

46、章牛頓定律2 -1如圖(a)所示,質(zhì)量為m 的物體用平行于斜面的細線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運動,當物體剛脫離斜面時,它的加速度的大小為()(A) gsin (B) gcos (C) gtan (D) gcot 分析與解當物體離開斜面瞬間,斜面對物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力F (其方向仍可認為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcot ,故選(D)求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征 2 -2用水平力FN把一個物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當FN逐漸增大時,物體所受的靜摩擦力Ff的大

47、小()(A) 不為零,但保持不變(B) 隨FN成正比地增大(C) 開始隨FN增大,達到某一最大值后,就保持不變(D) 無法確定分析與解與滑動摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值FN范圍內(nèi)取值當FN增加時,靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運動狀態(tài)由題意知,物體一直保持靜止狀態(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(A)2 -3一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率()(A) 不得小于 (B) 必須等于 (C) 不得大于 (D) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解由題意知,

48、汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動,為保證汽車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為FN由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為vRg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時的實際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑應(yīng)選(C)2 -4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中,則()(A) 它的加速度方向永遠指向圓心,其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化,方向永遠指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加 分析與解由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合

49、外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)重力的切向分量(m gcos ) 使物體的速率將會不斷增加(由機械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運動的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動力學方程 可判斷,隨 角的不斷增大過程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可見應(yīng)選(B)2 -5圖(a)示系統(tǒng)置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降機內(nèi),A、B 兩物體質(zhì)量相同均為m,A 所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計,若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計空氣阻力,則繩中張力為()(A) 58 mg(B) 12 mg(C) mg(D) 2mg分析與解本題可考慮對A、B 兩物體加

50、上慣性力后,以電梯這個非慣性參考系進行求解此時A、B 兩物體受力情況如圖(b)所示,圖中a為A、B 兩物體相對電梯的加速度,ma為慣性力對A、B 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得F 5/8 mg故選(A) 討論對于習題2 -5 這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運動圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學問題時,必須對物體加上一個虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA 和aB 均應(yīng)對地而言,本題中aA 和aB的大小與方向均不相同其中aA 應(yīng)斜向上對aA 、aB 、a 和a之間還要用到相對運動規(guī)律,求解過程較繁有興趣的讀

51、者不妨自己嘗試一下2 -6圖示一斜面,傾角為,底邊AB 長為l 2.1 m,質(zhì)量為m 的物體從題2 -6 圖斜面頂端由靜止開始向下滑動,斜面的摩擦因數(shù)為0.14試問,當為何值時,物體在斜面上下滑的時間最短？ 其數(shù)值為多少？ 分析動力學問題一般分為兩類：(1) 已知物體受力求其運動情況；(2) 已知物體的運動情況來分析其所受的力當然,在一個具體題目中,這兩類問題并無截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動力學方程和運動學規(guī)律聯(lián)系起來本題關(guān)鍵在列出動力學和運動學方程后,解出傾角與時間的函數(shù)關(guān)系f(t),然后運用對t 求極值的方法即可得出數(shù)值來解取沿斜面為坐標軸Ox,原點O 位于斜面頂點,則由牛頓第二定律有 (1)又物體在斜面上作勻變速直線運動,故有 則 (2)為使下滑的時間最短,可令 ,由式(2)有 則可得 , 此時 2 -7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預制板吊起送至高空甲塊質(zhì)量為m1 2.00 102 kg,乙塊質(zhì)量為m2 1.00 102 kg設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計試求下述兩種情況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對甲塊的作用力：(1) 兩物塊以10.0 m?-2 的加速度上升；(2) 兩物塊以1.0 m?-2 的加速度上升從本題的結(jié)果,你能體會到起吊重物時必須緩慢加速的道理嗎？