彈性力學(xué)簡明教程課后答案徐芝綸第四版略改動

1、第一章錯 爸本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)點(diǎn)-、彈性力學(xué)的內(nèi)容:邨性力學(xué)的妍究對象、內(nèi)容和柜刪注總勺戕它力學(xué)任任 務(wù)研究對象和研究方法匕的相同點(diǎn)及不同點(diǎn).二弾性力學(xué)的基本假定、基本凰和坐標(biāo)系1. 為簡化計(jì)算弾性力學(xué)假定所研究的翎休處于連續(xù)的完全彈性的、均勻的各向崗性的、小變形的狀態(tài).2. 各種基本聯(lián)的正負(fù)號規(guī)定注意彈性力學(xué)中應(yīng)力分St的正負(fù)號規(guī)定與材料 力學(xué)中的正負(fù)號規(guī)定有何相同點(diǎn)和不同點(diǎn)外力體力，面力均以沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎Φ恼?fù)特與所處的面無關(guān)（只 與坐標(biāo)系有垃）.注意與應(yīng)力分貳正面正向、負(fù)面負(fù)向約宦的區(qū)別-3. 五個幕本假定在漣立號力力學(xué)科本方程時(shí)的用途難點(diǎn)建立正面負(fù)面的概念確立彈性力學(xué)中應(yīng)力分16

2、的正負(fù)號規(guī)定.典型例題講解例*八 試分別根據(jù)在材料力學(xué)中和牀性力學(xué)中符號的規(guī)定確定圖中所示 的切應(yīng)力Ti »r3 .rj.ri的符可thmi ira（MSI （l）ft材料力學(xué)中規(guī)癥凡企圖使觸元成典財(cái)祁順時(shí)社轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力 為正反之為負(fù).所以為正$"口為負(fù).4）在彈性力學(xué)中規(guī)宦，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以正坐標(biāo)軸方向?yàn)檎?用于負(fù)坐懷面L的切應(yīng)力以負(fù)坐標(biāo)軸方向?yàn)檎喾吹姆较蚓鶠樨?fù).所以“珂, T"i «T4均為負(fù).習(xí)題全解11試舉例說明什么是均勻的各向斥性體，什久墾非均勻的備向同杵體，什 么捲轉(zhuǎn)均勻的特向舁性體.【解？?】 木材、竹材定均勻的孑向舁性體X泯

3、合材料通富稱為非均勻的各向同 性律如沙石混凝土構(gòu)件為非均勻的各向同性體；有生物級斌如長骨.為非均勻的 各向異性體.1-2 股的混凝土構(gòu)件和鋼筋混匿上構(gòu)件能否作為理想彈性體？ 一般的巖 質(zhì)地基利上質(zhì)地基能否作為理想彈性體？解?H 般的混凝土構(gòu)件可臥作為理想的彈性休而鋼筋混凝土構(gòu)件不可 以作為理想的禪性體I-敘的獸值地堪不可以作為理想養(yǎng)性體，而土質(zhì)地基可比作 為理想的彈性休.1 3五個旅本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用逢？【解答】（】連續(xù)性假定引用這一俶宦以后物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位降等物 理虞就可看成是連續(xù)的因此，建立豹性力學(xué)的基本方稈時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)噸 敢來表示它們的變化規(guī)律.（2）完

4、全彈性假定：引用這一完全彈性的假進(jìn)還包含形變號形變引起的正應(yīng)力成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，服從胡克宦律，從而使物理方程成為線性 的方程.«3）的勻性假定：在該假崖所硏究的物怵內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相 同的&因此反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性稅就E和泊松比“等）就不隨 位置坐標(biāo)而變化.5各向同性個定価謂-各向同性'暹捋物休的物理性庾從各個方向上都艇相 同的.進(jìn)一步地說就楚物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化.（5）小變形假定我們研究掬體受力后的平衡冋題時(shí)不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算同時(shí)住研究物體的變形和位移時(shí).可以將它們的二次幫或乘

5、稅略左不計(jì)，使得弾性力學(xué)中的微分方段都簡化為線性 啟分方程.在上述這些假定下彈性力學(xué)何題都化為線性問題從而可以應(yīng)用獨(dú)加原理 14應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試分別畫岀正面和負(fù)面匕的正的應(yīng)力和正的面力的方向.it【解答】應(yīng)力的符號規(guī)起是：當(dāng)作用潮的外法線指向坐杯抽的止為向時(shí)（即正 面時(shí)這個面匕的應(yīng)如不論址止應(yīng)力或切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)輛的止方向?yàn)檎刈?標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù).與此相反嚴(yán)作用血的外法線指向坐標(biāo)鈾的負(fù)方向時(shí)（即負(fù)血 時(shí)這亍面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù).面力的符號規(guī)進(jìn)是：當(dāng)面力的捋向沿坐標(biāo)軸的正方向時(shí)為正沿坐:標(biāo)軸的負(fù)方 向時(shí)為負(fù).1-5試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中

6、關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)崖.【解答】理弾性力學(xué)利材料力學(xué)中切應(yīng)力的符號規(guī)定不盡相同t材料力學(xué)中 規(guī)定凡企圖使徴段順時(shí)甘轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為誑干在彈性力學(xué)中規(guī)定作用于正坐標(biāo) 面上的切應(yīng)力以沿坐擁軸正方向?yàn)檎?，作用尸?fù)坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù) 方向?yàn)檎喾吹姆较蚓鶠樨?fù)試舉例說明iE的應(yīng)力肘應(yīng)于正的形變那【解善】如樂受拉伸時(shí)其形狀發(fā)比故變正的應(yīng)力（拉 應(yīng)力對應(yīng)于正的形變.17 試畫01題1 -7圖中的矩形薄板的正的體力面力 和應(yīng)力的方向.注*：U）無論玄哪-個位置的體力住哪一個邊界面上 的血力，均以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎粗疄樨?fù).（2邊界面1： 的應(yīng)力應(yīng)是以在正坐標(biāo)面上方向沿坐標(biāo)軸iE方向?yàn)檎磸椻盍W(xué)簡駟4M

7、JU甲三程金楓爭學(xué)獲號邀金*M 1-7 圖 “）萍力和Ifc力Mb）協(xié)力和應(yīng)力 之為負(fù)I在負(fù)坐標(biāo)面上方向沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，反之為?fù) 18試倆出題I 8田屮的三角形薄板的正的面力和體力的方向./(hO:解】8圖題 I -Sffl第二* 年而問廳的生漳理槍本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)點(diǎn)一，兩類平面問曲的概念名稱平面應(yīng)力何邀平面應(yīng)變問題未知董已知量未知宦已知貸位移U wVu »vw =0應(yīng)變< J »6 y »yy” qy” =°E,=尸匕+。 i * v »/rr=5 -“ 0應(yīng)力O4y T5 =r j« =6 二Cd八0y 5口5=0，6

8、 =嚴(yán)匕 +cTy)外力體力.面力的作用面平行于工$平 面外力沿板厚均勻分布.休力面力的作用面平行于文y平 面，外力沿壬軸無變化形狀物體在一個方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于 其它兩個方向的幾何尺寸（零辱度 障板兒沿一個方向（通常取為畫軸很氏的 等截面棱柱體（尊載面氏柱體）.二、平面問題的基本方程平面問題的越本方穆共冇八個見卜我JC中+E屮&分別晁彈性模雖、泊松 比和切變模皿是八.名稱堆本方程表達(dá)式應(yīng)用基本假定平衡微 分方程蹩七a莞+書十幾f連續(xù)性，小變 形均勻性幾何 方程.一西 r =西 y =屯+西連續(xù)性小變 形均勻性弾性刀孝蘭叭戟uu篥厶版）會枚琴悌艮習(xí)反金站名稱棊本方程表達(dá)武應(yīng)用華本假定1

9、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題連續(xù)性小變物理JE 0_嚴(yán)丿形均勻性方程< 丫Fr)*L j仁完全彈性，S E 口 16”1各向同性1 y砒r忑T M 9三平面問題的邊界條件強(qiáng)性力學(xué)平面問題的邊界條件右三類如下表-英中$,$分別表示面力、位移已知的邊界M和加則是邊界面的方向余弦.位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊界條件!r±"s 上1 V =t/o嚴(yán)上U =U rV v9 Sy 上 嚴(yán)+叫=了飛上 Ur +w, /y.四平面問艙的兩條求解途徑h處理平面問題時(shí)粘用按位移求解和按應(yīng)力求解這嗚條途住在滿足相應(yīng) 的求解方程和邊界條件之后前著5t求出位移再用幾何方程、物理方甩分別求出應(yīng) 變

10、和應(yīng)力；后者先求出應(yīng)力再由物理方程、幾何方程分別求出應(yīng)變和位移2. 按位移求解平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件F,求解以位移表示的平衡微 分方程（平面應(yīng)力情況A（工4色+上2£乜+也亙1L）= q,1 一尸鞏十 2孑護(hù) 2 紅小I芒?（薛+ * 諮+ 中黑）=。3. 按應(yīng)力求解平面何題除運(yùn)用平備微分方程外，還需補(bǔ)充應(yīng)變相容方程該 方程可用應(yīng)變或應(yīng)力分址袤示.用應(yīng)力表示的相容方程；-股悄況下：Ba +s）=（1 +“（警 +警汴平面應(yīng)力何題%亠小=一（占）空驚）。平面應(yīng)變問題琳w 平直問鹿的鼻論常體力悄況門*6 + Q =0、用應(yīng)變表示的相容方程* 也+比=壟dy7 dxz djrdy&q

11、uot;按應(yīng)力求斛常體力情況下的兩類平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下，求解如 下的偏微分方程紐若暑多連通（開孔）物體相應(yīng)的位移分量需満足位移單值條件:警+箸+力“邀惡aW（6 +"） = o*五關(guān)于位移解法、應(yīng)力解法及應(yīng)變川容方程1.禪性力學(xué)何題按位移求解（或按位漢應(yīng)變應(yīng)力同時(shí)求解）時(shí)應(yīng)變相容方 程能自行潢足：按應(yīng)力求解時(shí)為保證從幾何方程求得連絨的位移分址，需補(bǔ)充應(yīng)變相容方程墾保證物體（單連體）連續(xù)的充分和必要鏑件.對于多連體只有在加 匕位移單値殺件才能使物體變形后仍保持為連續(xù)體.2按位肪求解時(shí)需聯(lián)“求解二階偏誡分方用雖在理論上講適用于各類邊界條件,但實(shí)際運(yùn)用時(shí)較難徘到梢確滿足位棒邊界

12、條件的解析解因此使其在誹找 構(gòu)確解時(shí)受到了限制熾而這-方£血數(shù)們鱗法屮褐到了廣泛應(yīng)用*/應(yīng)力解法通常適用于應(yīng)力邊界條件或僅在局部紛定位移的混合邊弄兼件. 由于可引入應(yīng)力西數(shù)求解故在尋找平血問題的解析解時(shí).用此法求解比按位移求 解容易.4在按應(yīng)力解醫(yī)求解的方程姐中井不隱含彈性常數(shù)因此按應(yīng)力求解單連通 平面彈性體的應(yīng)力邊界何題時(shí)其應(yīng)力解答與E屮,G無關(guān)（但應(yīng)變、位移分世與弾 性常數(shù)有關(guān)即應(yīng)力與材料性質(zhì)無關(guān).這意味著不同彈性材料的物體（不論址眉 于平面應(yīng)力問題還是屬子平面應(yīng)變問題）.只要在乜 平面內(nèi)AWfflfpJ的形狀、約 束KI何載，那么6 2八的分布悄況就相同不考鍛體力幾 可以證明對

13、于參連 通開孔物體若作用在閭邊界匕外力的主矢為零上述結(jié)論也成立.隼點(diǎn)一 阿類平面何題的舁同點(diǎn).二圣維南原理的適用范因，對其定義的把握。隹利用圣維南匝理在小邊界 （次要邊界）上局部放松便應(yīng)力邊界條件近似滿足時(shí)注意主矢（主矩）的正負(fù)號規(guī) 定：應(yīng)力合成的主先（主矩）號外力主矢（主矩）方向"致時(shí)取正號反之取負(fù)號.三、列出應(yīng)力邊界樂件.皐二隼 *茴間H的鼻*儀諭9典型例題講解W2-I已知薄板有F列形變關(guān)系心二人工丿心二勵.” = C-D幾式中 A.B.C.D皆為熔數(shù)試檢査在形變過程中是否符合連續(xù)條件若満足并列出應(yīng)力 分矗表達(dá)式.【解】（】相容條件：將形變分議代人形變協(xié)調(diào)方程（相容方稈）護(hù)“丄滬

14、J 一臚5By!3工"一 Ojt考，其中靜"等"絲"所以満足相容方程，符合連續(xù)性條件.（2）在平面應(yīng)力何題中用形變分雖表示的應(yīng)力分量為e = . © +嚴(yán)=；-E- 71 Axy +汕$ > J一#I ptf, =（ r +眶，> =/ （Mxy 卜 By' >tJ 卩i prr7 = G/x, = G<CD>* ）*3）平衡鍛分方風(fēng)薯+警+幾"驚+警+幾=0"我中= 0 »= - 2GDy .若満足平衡微分方程必殖商 曲了 y 2GDy +/, =0* 芒7畑+昨）十人=0,

15、分析:用形變分鈦衣示的應(yīng)力分址，滿足了相容方 程和平衡徽分方程條件若要求出常數(shù)A,B.C,D還 需應(yīng)力邊界條件.例2 2 如圖所示為一矩形截面水壩，其右側(cè)面 愛衿水壓力（水的密度為卩八頂部受集中力P作用.試寫出;*壩的應(yīng)力邊界殺件.【解】根據(jù)崔邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系左側(cè)面心丄i =7r<y>0,<r« t -a =/；0> =0；右*1面心 h-* =了心、h -pa （r）4 = -A =7J>=0上下端面為小邊異面應(yīng)用圣堆南原理可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件.上 端面的面力向就面形心O簡化得而力的主矢fit和主矩分別為FiFM。Fy = Psino.

16、Fx = Pco耳 a.二 穿算 in a.v-0坐標(biāo)面.應(yīng)力主矢ift符號與面力生矢城符號相反；應(yīng)力主距與面力主矩的轉(zhuǎn) 向相反.所以咕! <ay）rws<tx = Fn h Pjsina.J -A "TT Ph a I 卜（r> lysdr =耳=Pcosa*下端面的面力向栽面形心D簡化礙到主矢雖和主矩為= P/oosa 學(xué) sin a gpRy=f坐標(biāo)血應(yīng)力主矢fit 主矩的符號與面力主矢It 主矩的符號相同.所以2丫片工,山=F> = Pstn a»<ax ) *.u：<lx = P/cosa *"""

17、*Ph sin a百 p耳gjdjuFs =Pco$ci-0DR.分析；（1）與坐標(biāo)軸1F行的主要邊界只能建立兩個籌式而且與邊界平行的應(yīng) 力分fit不會岀現(xiàn).如在左、右眉面不褻加人（叭打7二0或3丄-、二0.（2）ft大邊界上必須梢確滿足應(yīng)力邊界條件當(dāng)在小邊界（次要邊界）上無法梢 純骼促時(shí)町以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似構(gòu)足，使問題的求解大為簡 化應(yīng)力合成的主矢（主矩）符號的取法亦可用外力主矢（主距）的方向判斷二者 方向一致時(shí)取正號反之取負(fù)號.習(xí)題全解2-1如果某一問題中6二F“二只存在平面應(yīng)力分就6 2八."且它們不沿z方向變化，僅為z小的函數(shù)試垮慮此何題是否就是平面應(yīng)力何題?

18、弾lx力供制陰墨悝CJF三程)仝植召伊尿勺璉介刼【解答】平而應(yīng)力問題戟尼作用祀物體上的外力約柬沿盂向溝不變化只血平面應(yīng)力分如6叫)且僅為 7 的蹟數(shù)的彈性力學(xué)冋題所以此冋題圮平面應(yīng)力問Z-2如果菜一問題中二兒亠兒v =0, Hff在平面應(yīng)變分18弋八 y十且它們不沿壬方向變化儀為，.v的函數(shù)試考慮此間題是否就是半匣應(yīng) 變問題？【解答】 平面應(yīng)變問趙就是物體載面形狀依力J甸力及約東沿I向均不變.只冇平面應(yīng)變僅為工的西數(shù)的彈件力學(xué)問聽所以此河 證平面應(yīng)變問2-3試分折說明在不受任何面力作川的空間體稅面附近的薄層中題2：«圖其應(yīng)力狀怒接近于平面應(yīng)力的悄況竹【解答】鋰不受任何而力作用的空何體

19、表面附近的薄層中可以認(rèn)為在該薄 屋的上F我面都無面力且在薄屈內(nèi)所有齊點(diǎn)郁有叭=J =5 =0只存在平面 應(yīng)力分鳳叭叭5 且它們不沿乙向變化僅為上的函數(shù).時(shí)認(rèn)定此問題是平 面應(yīng)力問題.2-4試分折說明在板血上處處受法向約束凡不受切向面力作用的等厚世薄 板中題2 *圖，當(dāng)板上只受向的面力或約柬且不沿厚度變化時(shí)其城力狀 態(tài)接近干平面應(yīng)變的情況.ng 23圖is.廳2 4圖【解答】 板上處處受法向約束時(shí)且不受切向面力作用則=J =0f相應(yīng)J卄板邊上只受向的面力或約束所以僅存在一心“且不沿厚度變化所以其應(yīng)變狀態(tài)接近于平血應(yīng)變的情況.2 - 5圖的徹分休屮若將對形心的力矩平衡條件工皿 =0改為對弟二* 平

20、而冏地的姜*鴉論11仰點(diǎn)的力矩平術(shù)條件試何將導(dǎo)出什么形犬的方程?O- +【解】將對形心的力矩平衡條件£W=0改為分別對四個角點(diǎn)A.B.D.E 的平衡條件，為計(jì)算方便在z方向的尺寸取為一個雉位.工Ma=OtTydjr X 1 X號 + (“ +) iiy X 1 X萼(丁齊 +(tr )dy X1 X drdj? Jdx X1 X 一 s dy X1 X 警+ftdrdy X1 X 警/7drdy X1 X 0.嚴(yán) 0,dx X 】X dy +(?r +dx)4y X1 Xy + (r (叭 +蒙dy)【lr XI X rody X 1 Xdr X1 X字fr.dz XI X+/rd.

21、rdvX l +/dzdy XI X 2JiW：J 0,(s + 警dy)心 XI X爭 ijdy XI xdr +ef.d X 1 X窖 I ty, dli XI Xdv Ct, (Lr X I(“+cLr )dy X 1 只寄一f t Ax Ay XI ><¥ + 人 <1 若 dy X1 X羋=0tXjMk =0,(6 4-yd> j dr X 1 X寺 + 6X 1 X 4-r, dr X 1 X dy +(y,dz X 1 X 豊(o +dr )d> X 1 X 號一 (r* +-dr )dy X I X <lr /Fird<y X

22、 1 X(d)穿 +幾drdy X 1 X (J.略去式(b) .(b).(c)和式W)中三階小til亦即 g如&cby都于峯)井將各式部邊界上應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件f(皿rnnTnT<r'，F(xiàn)n(aJr>IfWdo. DomiJilUj lT都除以drdj后合井同類項(xiàng)，分別得到2-6在題2 5圖的微分體中若考慮毎一面上的應(yīng)力分扯不是均勻分布的. 試何舞辱0J什么形式的平衡橄分方程？【解】 嫩分單元體ABCD的邊K<lr.dv都足做竄因此可以假設(shè)莊單元體各 面上所受的應(yīng)力如圖3)示忽略了二階以上的髙階微雖，而看作足線性分布的如 圖(b)示.為

23、計(jì)算方便單元體在工方向的尺寸取為一個單位.各點(diǎn)正應(yīng)力：i (ftk tTnJc <ak解2-6圖黑二* 平屆堪的鼻本AE論由做分單元體的平衡條件£兒F得卜寺S+Gr +鶯dy）M +傳（鬲卄蹩山）+ 仏十警肛 + 簫dy）jdy 甘“ + （% + 答dr）»dr + 傳（” + 翳血）+ （5 *猙血 + 欝2）隔 +/,drd> =Ot卜寺。+（"+；?.）聲 +*（"+誇心）+ （町+詹血+券dv）dr-牯j +（5 I "；嚴(yán)）曲 + I ?L（r-十守業(yè)）十（"+箸牡十警血）廟十幾業(yè)如=0.以上二式分別展幵并約簡

24、再分別除以山旳.就爵到平面問眩中的平衡微分 方程蹩+警a箸+蒙+幾=匕2-7在#出平面問題的三套基本方程時(shí)分別應(yīng)用了嘟些基本假定？這些方 程的適用條件是什么？【解答】（1、在導(dǎo)岀平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的堆本假定 是,物體的連續(xù)性小変形和均勻性在兩種平面冋題C平面應(yīng)力，平面應(yīng)變何題中平衡微分方段和幾何方疑都 適用.在診出平而問懸的物理方穆時(shí)應(yīng)用的荃車假定懇：物體的連續(xù)性完全彈 性均勻性小變形和各向同性即物體為小變形的頊想彈性體.在炳種平面問題（平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題）中的物理方理不一樣如果獰平而 應(yīng)力砒的物理方程中的E換為羔嚴(yán)換為芒就卿平面應(yīng)變問題的物理 方程.2-8試列岀題Z

25、3圖（小題2-8®（b）所示問題的全部邊界條件在其端KMJ（I）對于圖5）的何uji14強(qiáng):仕刀甲藺吶找UU卑昱版）仝準(zhǔn)后挙從習(xí)蜒金舸任主邊界JT-OMf 上應(yīng)輔確洲足下列邊界條件:u = 郵$",>）" = 0：= 一 p*y、<rrr ）,-* =°。九小邊界（次要邊界）.V -0 I.能韜確滿足F列邊界條件:J（叭人-嚴(yán)M ? 在小邊界（次要邊界b三Cr>）=0.上，冇位移邊界條件：5人巳 =0,5兒=0。這曲個位捋邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理改用三個枳分的應(yīng)力邊界條件來代替, 當(dāng)板耳6 = 1時(shí).邊界條件町以改用三亍枳分的應(yīng)力邊界

26、條件來代替題28圖&對于圖（b）所示何題隹主要邊界.v=±A/2 k.版新確滿足下列邊界條件（<Jfc >F = 0廠2）$機(jī)肯=71 *二q、< rM >» f t 0B在次要邊界J" 匕應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件當(dāng)板厚在次契邊界丁 一/上有位移邊界條件：3 -O. （v>r 0。這兩個位移16彈惶力學(xué)閒¥14k UU律三版丿化甘L尋申從習(xí)此金M <5 打dy = _ qf F.2-9試應(yīng)用圣堆南原理列岀題29圖所示的兩個問題中（尿辺的三個積分 的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否辭力等效？衍K

27、 4“1hILoA ' *yy*rrh 冷 11 (4越29圖應(yīng)用圣維南原理列出三MI H）對于圖（Q上靖面的面力向戟面形心簡化得主矢和主矩分別為 凡=/2,Fs =0,M =罟（魯 r ）業(yè)=-昴八2° 個積分的應(yīng)力邊界條件巧板哼<5二】時(shí).J Whidr 訕.ZJr （"）»/山2對于圖（h人應(yīng)用圣堆南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件當(dāng)板庫* = 1時(shí).(厲九“工dr =的/1200。聽為卿力等效的.210楡臉¥而何瞎中的位移分曲堆否為正確僻答的條件是ft么?【解】（1用位移表示的平衡除分方程牛（券諾+中磊）+幾0.用位移喪加的應(yīng)力邊界條

28、件Y廠2?"誥+產(chǎn)鵡）+ J予（樂+警）1 = 了八畑 t） 寺"僚+墻W中僥+知汀 ' 3垃移邊界條件S）, = a, W = v.（在獨(dú)上）2H 檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分fit是否為正確解答的條件足什么？ 【解】1平衡做分方程（2）相容方程定全部為應(yīng)力邊界條件汕（3應(yīng)力邊界條件（叭+曲.二兀“.寧（在占=片上1 < rnar +心人=7, *“）若為多連體，還須滿足位移單值條件.1-12檢驗(yàn)平血問題中的應(yīng)力函數(shù)0是否為正確解笄的條件是什么?【解】應(yīng)力雷數(shù)筑1M匯以下條件（“相容方程V*0 = D.（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力訓(xùn)界條件$=$.）（3）若為

29、多連體還須満足位移單值條件. 求出應(yīng)力函數(shù)后.可以按下式求岀應(yīng)力分議,18彈牡力拳蔔吶踐疲1慕三艇）金柱&學(xué)及習(xí)迎全2-13檢驗(yàn)F列應(yīng)力分試是否是圖示冋題的解答:<a）fl 2 13 圖（a）ttf,=希"，=.=6（“題213圖（b）由材料力學(xué)公式s = %：=守I取梁的厚度A-D.猬出所示問題的解答工6二一觀気F =一篇«護(hù)-心7又根據(jù)平衡懺分方程和邊界條件得岀試導(dǎo)岀上述公式并檢臉解答的正確性.«1按應(yīng)力求解時(shí)（本題體力不計(jì)）在球連體中應(yīng)力分ft必須満足平衡徽分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件C假設(shè)$=$.）（1）81 2 * 13 EB（a）=器？

30、“ =匕仃=0. 相容條件:將應(yīng)力分撤代人相容方程教材屮式（2 23）（務(wù)+務(wù)心+巾>=許工山不満足相容方程. 平綺條件:將應(yīng)力分fit代人平衡徽分方程顯然満足.應(yīng)力邊界條件:在工J 土4邊界上在=士"邊界上申満足應(yīng)力邊界策件.（2）®2-13ffl（h）.由材料力學(xué)公式5二芋y f二薯（取梁的厚度A = D. 礙出所示問題的解答= 帶仃，丁一罟洛（滬4/）,又根據(jù)平衞微分 方程和邊界條件得出ff,=普器2q :* 盞.試導(dǎo)出上述公式井檢驗(yàn)解答的 正確性.遞2 13圖推導(dǎo)公式：在分布荷戟的作用下*梁發(fā)牛彎曲變形梁橫戡面足寬度為1高為A的軌形. 其對屋軸（中性軸）的慣性

31、矩為匚=害應(yīng)用截面法町求出任意載血的彎矩方程和 剪力方程分別為MS 二一養(yǎng)八F$S = -魯所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為疔_ 也一一缶心3F<Cr)2Mi°一人一 3加=弓計(jì)"一 4，？）,根據(jù)平衡徽分方程的第二式（體力不計(jì)得到根據(jù)邊界條件（6九=0.得2-汗所以6函語勺豁-豁. 相容條件：將應(yīng)力分雖代入相容方程（誥 十務(wù)）"'+2=一工° 不満足相容方程. 平衡條件*將應(yīng)力分址代人平衡誡分方槿顯然満足. 應(yīng)力邊界條件：在主要邊界y = ±M/Z上，應(yīng)帝確満足B列邊界條件七'T“打7堆<Jy ) y 2 =

32、 0匕1戸二2 0.自然滿足。在工=0的次要邊界上外力的主矢歌，主矩都為零.有三個枳分的應(yīng)力邊界 條件暑= Or= (h丿mJ f空在r=l次要邊界上.<«).«/=0.這兩個位移邊界條件可以改用二個積分的應(yīng)力邊界條件來代替-2q=0,r*27燈(Jr)r-/dV = J7繹所以滿足應(yīng)力的邊界條件.雖然上購圖中的應(yīng)力分fit都満足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件但都不満足相容方程，所以兩題的解答都不是問題的解2-14試證明:在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上正應(yīng)力的數(shù)值都尊于兩個主 應(yīng)力的平均ffL【證陰】任意斜截面上的切應(yīng)力為J =加(66)其中E6為兩個主 應(yīng)力.用關(guān)系式+&

33、quot;?=】消玄血得r< 士 f JI 尸 5 6=± _尸 5 6 )二士 J+ (舟F ) 5 6)*由上式可見，當(dāng)寺一廠=0時(shí),一為最人和最小于是得I 土 Jf fl ff,=廠5 6 > +fft 得到6 =匹寺丑a2-15設(shè)已求得一點(diǎn)處的應(yīng)力分量+試求們5口 L:(8)tfr = 100. ffr =50,r4, =10 Tso I(b)陽=200>6 =0. Tiy = 400$20沁*力審簡帕敷檄（篥厶版）金機(jī)尊榊及習(xí)題會解匕=一2000, a, =】0W ro = -400i (d)“ =1000» 0 = 500. :r” =500.

34、【解】根18教材中式（2刁6）和tano）=6二空可分別求出主應(yīng)力和主應(yīng)力的方向：（a>50,= 10 -/5O ；： =型產(chǎn)土 j（吏/y +仃。履）r(b)“ 6150 100 a 冇"a = 丄札= =r* = 0. 707,510/506 = 150 6 := 0%d * = 2001 o9 0t=35'16 o = 400$弩衛(wèi)士彳型尹+_400尸，tan a i 邂謬=-o很37*5?；一 400 >(j 512一 0j 312« a l:卜叭=2000,6 = 1000# 丫巧二?嚀宓土彳三駕沁y + -如,tana i1052 + 200

35、0 吁 g一 400=_73&(T| = 1052, g =2052. aj =一82*32*.= -1000.“ =-1500、 r = 500；補(bǔ)=m吟!型土 J（二1駕±1空。兒tana |空二 一 69L+1P2Q = °, 618.500r»tfj = 6&L c =）809. a-1 = 31°43設(shè)有任意形狀的第厚度薄板,體力可以不計(jì)在全部邊界上（包括孔口 邊界匕）受有均勻壓力7.試證叭 F = r 及心=0能満足平衡微分方程、相容 方程和應(yīng)力邊界條件也能満足位移單值條件，因而就屋正確的解答.2-16牛面冋題的鼻本理論21解

36、216圖證朋】 門將應(yīng)力分雖叭冃6 = 95 =0和幾-A= 0分別代人平衡 微分方程、相容方程+影+C"+警+人“+ 壽)<ffz +<Ty > = <1 +/4)+4右見齊不百,2 ? /|0.(b)扯燃式5)、(b)是満足的.2對于微小的二角板A .dr.dy祁為正值斜邊上的方向余張Im COS (n t j )中將 a二=ayCOSV.ro= 0代人平面何題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式 (匕 +a(O(>Wy +D = /"則冇<Tj cos I pi 工=geos (m Tjr )tTyCOs <n > 二一 ycos &

37、lt; 幵牛y ) 所以 e 二q、s = q.對于單連體上述條件就址確定應(yīng)力的全部條件.心對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足d該題為平面應(yīng)力的情況肯先將應(yīng)力分晁5口 一席及r ° =0代人物理方程救材中式(2 - 12)得形變分fit然后將式(出的形變分然代人幾何方程教材中式(2亠8)>W du 5 1ap 5 一 1)氏.Au齊=一T-" 齊打丨齊.<d)0.前二式的枳分得到v+ C J ) It中的和人分別和彳的待罡闌數(shù)可以通過兒何方榨的第三式求出. 將式代人式3）的第三式鬧d/ ly ） cl/2 （x ）<lydx等式左邊只是>的西數(shù)而

38、等式右邊H是疋的兩數(shù).丙此只可能兩邊鄙辱十 同Ww干是冇d/i3d/. C?）. = a u （Usdy（Lr段分以后陽/i <y > = i uD» f：（> u cur I va, 代人式（f>得位移分就u =Q.r uav -r ua.+ 0.v =© +«r +卍4其中磯心。w為我示剛體位移凰的常數(shù)須由約束條件求臥從式5町見.位移是坐標(biāo)的皿值連絨旳數(shù)滿足位移小值條件因而應(yīng)力分 量是止晞的解檸.2-1?設(shè)冇矩形截面的惡臂梁莊白由斕受仃集中尙載F如題2 17圖所示.體力可以不計(jì).試根據(jù)材料力學(xué)公式寫出彎應(yīng)力e和切應(yīng)力的農(nóng)達(dá)式井取 擠醫(yī)應(yīng)

39、力"=0,魅黔證明這些表達(dá)式満足平衝微分方程和相容方稈，再說明這 些表達(dá)式是否就裊示正確的解答.【解】U）矩陪懸臂梁發(fā)生彎曲浚形任意橫截面上的彎矩方稈為Mt.r）- -m橫截ift對鏗軸（中性軸）的慣性矩為L二令我據(jù)材料力學(xué)公式彎應(yīng)力課亠* 平齒顱妥的冀*儀詫23出¥ > v-半占）戰(zhàn)般血上的列力為八（才）二一F期應(yīng)力”=號耳嚴(yán)¥*） =（牛-$ ）$井取擠壓應(yīng)力叭=0.*2）經(jīng)驗(yàn)證.述表達(dá)式能滿足平衡徴分方稈F才+ 3卜尹I麗.I- n石+龍十人=°也能溝足Hl容方程（君+卷）5十叭=一（1+屮（警+制=0.評考察邊界條件：在y二±/i

40、 P的I段邊界上應(yīng)侑確滿足力邊界條件:（叭人i, r =0. 仆和兒二屮=（）;（“）嚴(yán) T ：=仆.*C F A.-J =0.能滿星.在次要邊界r-0匕列出三個枳分的應(yīng)力邊界條件:Q滿足應(yīng)力邊界條件.在次旻邊界上列出三個積分的應(yīng)力邊界條件* 匚宀心T：誓/皿" ：匕，_,.vdy =-匸：誓新=FI.二心一廣1?件刃=一£.7 3J n 1 i'滿足應(yīng)力邊界條件.硯此，它們是後問題的止確解答.218試證明知架體力雖然不是常hf 但卻是有弊的力即休力分械町以盂 示為/» =dV f av一錄門改+ V其中蘭是第函數(shù)則應(yīng)力分甜亦可以表示為學(xué)+匕24弭13LR

41、甥初梢栽奴跖三版）金恨爭申艮習(xí)II金解試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方桂.(a>【解】（1將A.A代人平衡澈分方程，鞍材中式（22貓 盞匕B+第-P， 呀sv+警=。護(hù)©Sxy 護(hù)4>令 xdy *為了溝足式5幾可以取v 0V _ 厲e一¥ =齊、6-"-疋 r護(hù)e ,讓e 乜F+w叭討w r（2對體力、應(yīng)力分僦5求備導(dǎo)效.得” JlV ” _ 護(hù)V3t 占f By 野*J啦=衛(wèi)隹+巴勉=乜+哄 歸'十歸.J 2川八護(hù)"礦 avI而=而十左a>2 収 Jys 卩6 護(hù)® .礦V I SSSZ 1 1百o*3y2 3xyl 帀f將式（

42、b）代人教材中式劄）得平面應(yīng)力情況下的相容方程*誥+御嵋-7 G（諾+甥）V'0 =- （I -嚴(yán)冷匕將式（h）代人敎材中式（22Z）簡平面應(yīng)變情況下的相容方程：詳一（巳）（箏+軌(b)(c>(d)注:將式5）中的4替換為總也可以導(dǎo)出式.2 沙 成證明教材§ 2T中所述的剛休位移分鑿叭,及個實(shí)際上就楚彈 性體中坐標(biāo)原點(diǎn)的位移分緒和轉(zhuǎn)動角度.【證明】 報(bào)據(jù)敎材中式（2 9） 礙任一點(diǎn)P（x.jr>的位肄分捷表達(dá)式為U =«0 砂 V Vo 十注.將原點(diǎn)的坐標(biāo)X =0,.v =0代人上武得（M 打 aQ.j = “= <4有 （?。?所以剛體位移分蛍是

43、彈性體中坐標(biāo)原點(diǎn)的位務(wù)分址圖中，p為F點(diǎn)至z軸的垂直距離合成位移呻的方向與徑向線段OP垂直 也就足沿者切向 OP線上的所有各點(diǎn)移動的方向都遷沿著切向而且移動的距離 第二卓平面問卓理論25等于徑向館離p乘以3心代友物體繞注軸的剛體轉(zhuǎn)動，各點(diǎn)轉(zhuǎn)動的m度相同，所以 也是卑標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動角度.解2,9圖第昱JL 豐i»咸題的及甜酈菩27本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)一按應(yīng)力函數(shù)e(.d球解平血洞題用應(yīng)力函垃表示的應(yīng)力分iitifi解，序。r護(hù) *_ 川彷-丁喬一一畑一吋同時(shí)應(yīng)力函數(shù)敘w需満肚収調(diào)和方程即相容方程：二、逆解法半逆僧法的尊本步驟L逆無法：首先設(shè)宦各沖形式的應(yīng)力函數(shù)如，$幾便之滿足相容方稅：燃后

44、. 再求出應(yīng)力分笊：駅后來爭察這筆應(yīng)力分笊適用于何種邊界何越，從而得知該應(yīng)力 闇數(shù)旎解決什么問址.逆解法的站一種含義層通過材料力學(xué)戒其它途艮陽知集眇 問聽的可能解答，然后檢査它是否満足全部方程和邊界條件2 半逆解法，報(bào)據(jù)彈性力學(xué)的具體幾何形狀和受力特征或某種問題的解答湊 出應(yīng)力函數(shù)(P(jr.V)的形式，然后再根愜展本方程和邊界條件魏宦該曲數(shù)若不能 満足或出現(xiàn)矛盾則須修改試選的函散并亞新檢亶直到滿足為止.三、多項(xiàng)式解答1.亠次式(j：)Mm+Air+<y.不論系數(shù)取任何值相容方程總能滿足，且對應(yīng)的應(yīng)力均為零.線性應(yīng)力函數(shù) 時(shí)應(yīng)于無而力，無燉力狀石卩婁項(xiàng)式的應(yīng)力萌數(shù)加上說域去一個線杵應(yīng)力函

45、數(shù)不 影響應(yīng)力的大小.2.二次式叭二心* +處y+<rF.上式也能滿足相容方程且可得到。=26 =2°""=占這一結(jié)杲代左 均勻應(yīng)力狀態(tài).3三次式祝-r、y) =flj +kr：y -f-rry2 +</>' 上式悔能満足相容方程且可得到*6 = 2cx += 6or +2by. rIT _ 2Uu +)這是 個境雜應(yīng)力狀態(tài)又能由桂加原理分解為簡單應(yīng)力狀態(tài).若a=0d #0則es =6Mya, =丫 =0能飆決矩形戲面梁的燉彎曲問題仃I意坐標(biāo)系変換，所能林決的阿題也零變化.I. 餌次或四次以上的多煩武.H各項(xiàng)系數(shù)之間盂涵足一宦的關(guān)系時(shí)才能

46、滿足相容方程,各項(xiàng)代表的應(yīng)力分 布呈一種油線分布.四設(shè)置應(yīng)力函數(shù)1. 由多項(xiàng)式直加湊出.當(dāng)物體哽力悄況井不災(zāi)雜時(shí)可用此迭.2. 從靈綱分析法得出此法適用于攢形體三角形懸臂歿等以無駅綱的角度 來描述兒何形狀的物體.3由材料力學(xué)解祥導(dǎo)出 此法可適用于已知該物體的材料力學(xué)解善的情況. 但用此方注側(cè)到的應(yīng)力函敖往往不能満足収調(diào)介方程必須加以修BE才得以瀟足. ft時(shí)需經(jīng)過多次述算才能便應(yīng)力函數(shù)宦型.4.根據(jù)邊界上的受力性質(zhì)推得解題所用應(yīng)力函數(shù).難點(diǎn)一應(yīng)用逆制法、半逆解法求解平面問題.二&如何設(shè)S?應(yīng)力函散"典型例題講解例如圖示矩形支梁畳三角形分布荷戟作用試取應(yīng)力菌數(shù)e土 ArJyJ

47、+Bry +'* + »屮卜Er“+尺ry 求簡支渠的應(yīng)力分址（體力不計(jì)）.一nWn 伽wa-ira【解】H）相容簫件:£0 .、e .£08 亦：W 心、代人應(yīng)力畫數(shù)得72Ary + UOB.ry = 0山此用A =-¥d于是應(yīng)力曲教可以改場為二一尋&+ fJ.ry3 + C.rJy + Djiy1 + Kt1 4 Fj：y 煜）應(yīng)力分軾農(nóng)達(dá)式疔_紋 _収=-10BC +20 民T +66$.35 - lOBxy1 十 6Czy +6£r J. T'n単-r. 15IjLi :yl 513頁 3Cjt2 3/J>

48、: F. 弧ay'丿G）考廡功界條件:確定應(yīng)力分廉中的各系數(shù)（f >， T/l s=S 得（3C-芋加）才 +（磊BH+#M+F）N（h （b）（0y），Ef=¥才 得扌 BA' 3Cfr + 6E =J#$5）得-予即34 +6E = （hy -M n °Cr 片=z 工 0.得（3C pBA- ）x2 十（磊隔_ + 扌DA： + F）= 0。（d） 若式仆恒成立.必須構(gòu)足3C 加-0；（e>4電陽 +42 十 F =0.<010 4聯(lián)立求解以上各式得A s=也一 H 二. C =衛(wèi)邑 F =3h'T5沁4 叢12（*再根據(jù)簡支

49、槃的端面條件確定常數(shù)Df由圣維南原理得fk/Ij燉=°町得D = -僉+骼再代人式（倆尸=-磐+韻.（4）應(yīng)力分益表達(dá)式6 =魯Q（珊一” +廠_咅護(hù)），° =（3屮，4j? h' 人r° =箭'一小（3云_護(hù)_廠+備）.分析：在工=0處0能精確搆足由此可得叭在簡支架左瑙為精確解;應(yīng)力函 數(shù)含有四階或四階以上的頊時(shí)，耍讖足相容方程是有條件的如式例3-2圏示懸御梁弟的檯載面為矩形其寬度取為】，右瑞固定左端自由. 荷St分布在自右圏上其合力為P（不計(jì)體力）求製的應(yīng)力分it.博三倉 半面冏題的整角主標(biāo)解蕃29y例3 - 2圖【解】這是一個半面應(yīng)力問題,采

50、用半逆解法求解.（1）選取應(yīng)力險(xiǎn)數(shù)0.由材料力學(xué)可知懸臂梁任一栽面上的彎矩方程M（才）與 截面位置坐標(biāo)龍成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo).y成正比，因此 可設(shè)a, =式中的5為待定常數(shù)°將式（G對，積分兩次得e = *卻+”】（工+人m ©式中的門（工）?！埃楣さ拇ê瘮?shù)可由相容方程確定將式（b）代入相 容方程v*<p =o匕式是y的次方程梁內(nèi)所冇的y值郁應(yīng)満足它，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)郝 必須為零即dr10.d*/2 (ar)dr*=0»積分上二式第得/3 （x > = <Zi-r5 +fljjr24-aj»->+

51、a?s +afcur 4-a>.式中a2為待定的積分常數(shù).將/i（x> ,/2 （工代人式（b）得應(yīng)力函數(shù)為0 = ¥才/* + (a” +口“： +&“ +ai>> +<j?2 + 血広 +町>.(C)（2）應(yīng)力分St的表達(dá)式i&r =叭砂切 =6"廿+a« ）/ + 2如丁 +如幾Try = yoiy 一3砒乂 一25工一a 考察應(yīng)力邊界條件以確定各系數(shù)，白由端無水平力；上.下部無荷瓠自由 瑞的剪力之和為F 得邊界條件（>,-=0,自然滿足,±* =山 得atA2/2 3atjr? 2aajr

52、 <2. = 0<上式對的任何值均應(yīng)滿足因此須如0F/S g -（）即c叭片一廿=0, 得（5心才+2心=0$ r取任何值均迸滿足，兇此得g =x =譏j。（5>_心=L （一*心 j® =_戶：將式3代入上式積分得（a （£gV*川）dv = P.汁算得叭 j翡 =£ 尙 二一寺尙h：匸+七人其中/. T X（2A屮./】2=2於/3,橫戲面對£軸的慣性鉅. 展后得應(yīng)力分51為| j =- gj- S y1 兒分析：（Dt逆解法是針對實(shí)際問題來求榊的根據(jù)那性休受力悄況和邊界條 件假設(shè)應(yīng)力分駅的函數(shù)形武古由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)的形式.本1B

53、中心池g 為應(yīng)力雷敷中線件壩的條數(shù)，對應(yīng)龍?bào)w力無面幾無燉力 的狀態(tài)所以對應(yīng)力的分布沒有影響.不需求岀。習(xí)題全解31試時(shí)察應(yīng)力函數(shù)往融3 1圖所示的矩形扳和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)）8£ 3 圖W3 - 1 圖慕三JL平面同踰的真處主禰斛苦31【解1 (1)相容條件：不論系數(shù)u取何値應(yīng)力屈數(shù)Q =令 總能滿足相容 方程.(2)當(dāng)休力不計(jì)時(shí)將<P代人應(yīng)力分當(dāng)公武得乎“>0時(shí)考察左右轉(zhuǎn)端的叭什布情況，厶觀(Jj, ) M B> | (J > CT，<» fid/? r r, ® r » 三 U*疝縮(6), . =0. Q

54、j)山 7 =6ah, "Jm0.應(yīng)力分布如解3 I圖("所示嚴(yán)燉 時(shí)應(yīng)用圣維附匣理町以解決各種假心 拉仲的問縣.18為在人點(diǎn)的應(yīng)力為零陸板寬為6毎中荷載P的備心便為e56 戯"所以.=占/6,如解3- 1圖所示.同理町知，當(dāng)N <0時(shí)可以解決偏心壓縮問題©3-2取滿足相野方鬼的應(yīng)力函數(shù)為：(1 )0 =ax.(2)0.(3)0試求出應(yīng)力分曲不汁沐力幾幽岀題32圖所示彈性體邊界匕的面力分布并在次 要邊界上表示出而力的卞矢域和主矩.解32圖【解】 應(yīng)力函數(shù)。=站匕，綺應(yīng)力分越農(nóng)達(dá)戌ff4 0.叭=2ay r期tyr 2oj »在主要邊界，=±A/2上期上、卜邊，面力為C(Jr J f *-t* ： =土 ei/i (T