青島版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)1.2證明相似

1、1. 成比例的項(xiàng)：成比例的項(xiàng)：叫做叫做成比例的項(xiàng)。成比例的項(xiàng)。那么或若,:cbaddcbadcba=, ,其中其中 ：a、b、c、d 叫做組成比例的叫做組成比例的項(xiàng)項(xiàng)，線段線段 a、d 叫做比例叫做比例外項(xiàng)外項(xiàng)，線段線段 b、c 叫做比例叫做比例內(nèi)項(xiàng)內(nèi)項(xiàng)， 若若 四條線段四條線段 a、b、c、d 中，如果中，如果 （或（或a：b=c：d），那么這四條線段那么這四條線段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的成比例的線段線段，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱比例線段比例線段.a cb d = 比例的性質(zhì)：比例的性質(zhì)：bcaddcba= = =;1.若若a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那

2、么那么d= 62、下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（、下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（ ）A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 mn m= n56已知 ,求 的值.解:方法(1)由對(duì)調(diào)比例式的兩內(nèi)項(xiàng)比例式仍成立得：mn 65=方法(2)因?yàn)?,所以5m=6n m6 n5= 6mn=所以53、4、已知、已知 1) x：(x+1)=(1x)：3，求，求x。(2)若若 ， 求求 。(3) 若若 ，求，求 ，.= =-2x3y+ yx12yxa+bb= =65aba-bb(),_,_.xyzx

3、yzyxyzxyz-+=+-+1則3793441-197( )(): ,_ .xxyyxyyxy-+=+2222232 已知，43 則51156 已知已知1, 2, 3三個(gè)數(shù)，請(qǐng)你再添上一個(gè)三個(gè)數(shù)，請(qǐng)你再添上一個(gè)數(shù)，寫出一個(gè)比例式。數(shù)，寫出一個(gè)比例式。2.比例中項(xiàng)：比例中項(xiàng)：_.(),()_.cmcm+-+-23， 23兩數(shù)的比例中項(xiàng)是兩線段 2323的比例中項(xiàng)是 1cm1當(dāng)兩個(gè)當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等比例內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，時(shí)， 即即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么線段那么線段 b 叫做線段叫做線段 a 和和 c 的的比例中項(xiàng)比例中項(xiàng).2acb= =即：即：3.黃金分割：黃金分割：線段黃

4、金分割。把這條）的比例中項(xiàng)，就叫做）與較短線段（原線段（）是中較長(zhǎng)線段（）分成兩條線段，使其把一條線段（BCABACAB,ACAB BC ACAB-=251即：2ACB(),_.CABACAB=-=是線段的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)線段251 則41.相似三角形的定義：相似三角形的定義：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。21 ABCA/B/C/,如果如果BC=3,B/C/=1.5,那么那么A/B/C/與與ABC的相似比為的相似比

5、為_.3.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法預(yù)備定理預(yù)備定理:相似三角形的傳遞性相似三角形的傳遞性.ABCDEDEABC判定定理判定定理1,2,3.1 22 3或或2 31 3DEBC, ADEABC.直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定.DCBA求證：求證：ACDABCCBD.已知：已知：ACB=Rt,CDAB于于D相似三角形基本圖形的回顧：相似三角形基本圖形的回顧：現(xiàn)在給你一個(gè)銳角三形現(xiàn)在給你一個(gè)銳角三形ABC和一條直線和一條直線MN 問題：?jiǎn)栴}：請(qǐng)同學(xué)們利用直線請(qǐng)同學(xué)們利用直線MN 在在ABC上或在邊的延上或在邊的延 長(zhǎng)線作出一個(gè)三角形與長(zhǎng)線作出一個(gè)三角形與 ABC相似，并請(qǐng)同

6、學(xué)相似，并請(qǐng)同學(xué) 們說明理由們說明理由ABCMN第一種作法：第一種作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第二種作法：第二種作法： 理由：理由： （1） ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：AC AEBCDADEBCM 第三種作法：第三種作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第四種作法：第四種作法： 理由：理由： （1） ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：ACABCEDABCEDMNMN第五種作法：第五種作法： 理由：理由： （1）DE

7、BC （2）ADE=ABC 或或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC 第六種作法：第六種作法： 理由：理由： （1） ADE=ACB 或或AED=ABC （2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN 第七種作法第七種作法：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：ABABD CMNADEBACBABCDADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)DCADEBCABCDEBCADE點(diǎn)E移到與C點(diǎn)重合ACB=RtCDAB相似三角形基本圖形的回顧：相似三角形基本圖形的回顧：二二.知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用:1.找一找找一找:(1) 如圖如圖1,已知已知:DEBC,EF AB,則圖中共有則圖中共有_對(duì)

8、三角形相似對(duì)三角形相似.(2) 如圖如圖2,已知已知:ABC中中, ACB=Rt ,CD AB于于D,DEBC于于E,則圖中共有則圖中共有_個(gè)三角形和個(gè)三角形和ABC相似相似.ABCDEF如圖如圖(1)3EABCD如圖如圖(2)4(3)(3)如圖如圖3 3，1= 2= 3,則圖中相似三角形的組數(shù)為則圖中相似三角形的組數(shù)為_.ADBEC132如圖如圖(3)(3)4(4)已知已知:四邊形四邊形ABCD內(nèi)接于內(nèi)接于 O,連結(jié)連結(jié)AC和和BD交交于點(diǎn)于點(diǎn)E,則圖中共有則圖中共有_對(duì)三角形相似對(duì)三角形相似.ABCDEO(5)已知已知:四邊形四邊形ABCD內(nèi)接于內(nèi)接于 O,連結(jié)連結(jié)AC和和BD交交于點(diǎn)于點(diǎn)

9、E,且且AC平分平分BAD,則圖中共有則圖中共有_對(duì)三對(duì)三角形相似角形相似.ABCDEO123462AEDBECAEBDECAEDBECAEBDECABCBECABCAEDCEDCDABEACDA5.練一練練一練:1.將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺放成如圖所示將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺放成如圖所示的樣子的樣子,假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)假設(shè)圖形中的所有點(diǎn),線都在同一平面內(nèi)線都在同一平面內(nèi),試寫試寫出一對(duì)相似三角形出一對(duì)相似三角形(不全等不全等)_.GABCDEF1 (3).(3).如圖如圖,P,P是是ABCABC中中ABAB邊上的一點(diǎn)邊上的一點(diǎn), ,要使要使ACPACP和和ABCABC相似相似

10、, ,則需添加一個(gè)條件則需添加一個(gè)條件: :_ 。 AB CPACP=B;或或APC=ACB;或或AP:AC=AC:AB即即AC2=APAB2.畫一畫畫一畫:如圖如圖, ,在在ABCABC和和DEFDEF中中, A=D=70, A=D=700 0, B=50, B=500 0, , E=30E=300 0, ,畫畫直線直線a,a,把把ABCABC分成兩個(gè)三角形分成兩個(gè)三角形, ,畫畫直線直線b b ,把把DEFDEF分成兩個(gè)三角形分成兩個(gè)三角形, ,使使ABCABC分成的兩個(gè)三分成的兩個(gè)三角形和角形和DEFDEF分成的兩個(gè)三角形分別相似分成的兩個(gè)三角形分別相似.(.(要求標(biāo)要求標(biāo)注數(shù)據(jù)注數(shù)據(jù))

11、 )300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200 證明：證明：CDAB， E為為AC的中點(diǎn)的中點(diǎn) DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD FDB=FCD FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例例1 如圖，如圖，CD是是RtABC斜邊上的高，斜邊上的高，E為為AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， ED交交CB的延長(zhǎng)線于的延長(zhǎng)線于F。CEADFB這個(gè)圖形中有幾個(gè)相似三角形的基本圖形這個(gè)圖形中有幾個(gè)相似三角形的基本圖形求證：求證：BDCF=CDDF如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)C,D在線段在線段AB上上, PC

12、D是等邊三角形是等邊三角形.(1)當(dāng)當(dāng)AC,CD,DB滿足什么關(guān)系時(shí)滿足什么關(guān)系時(shí), ACP PBD.(2)當(dāng)當(dāng)ACP PBD時(shí)時(shí),求求APB的度數(shù)的度數(shù).4.想一想想一想:ABCDP挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 如圖，如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？NMQPEDCBA解：解：設(shè)正方形設(shè)正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC

13、的高的高AD與與PN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E。設(shè)正方形。設(shè)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為x毫米。毫米。因?yàn)橐驗(yàn)镻NBC，所以，所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。80 x80=x12010.10.（1010分）分）( (探究創(chuàng)新題探究創(chuàng)新題) )一塊直角三角形木板的一條直角一塊直角三角形木板的一條直角邊邊ABAB長(zhǎng)為長(zhǎng)為1.5 m,1.5 m,面積為面積為1.5 m1.5 m2 2, ,工人師傅要把它加工成一個(gè)工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方面積最大的正方形桌面，請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加

14、工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖案，甲設(shè)計(jì)方案如圖1 1，乙設(shè)計(jì)方案如圖，乙設(shè)計(jì)方案如圖2.2.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好? ?試說明理由試說明理由.(.(加工損耗忽加工損耗忽略不計(jì)略不計(jì), ,計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)) )【解析】【解析】由由AB=1.5 m,SAB=1.5 m,SABCABC=1.5 m=1.5 m2 2, ,可得可得BC=2 m.BC=2 m.由圖由圖1 1，若設(shè)甲設(shè)計(jì)的正方形桌面邊長(zhǎng)為，若設(shè)甲設(shè)計(jì)的正方形桌面邊長(zhǎng)為x m,x m,由由DEAB,DEAB,得得RtRtCDERtCDERtCBA,CBA,(2).已知已知,如圖如圖,梯形梯

15、形ABCD中中,ADBC, A=900,對(duì)角對(duì)角線線BDCD求證求證:(1) ABDDCB;(2)BD2=ADBCABCDABCDEF頂角為頂角為36的等腰三角形的等腰三角形叫做黃金三角形叫做黃金三角形ABCDEFGHNM找出圖中線段的黃金分割點(diǎn)？找出圖中線段的黃金分割點(diǎn)？把線段把線段AC黃金分割黃金分割,分割點(diǎn)為分割點(diǎn)為B,則以則以AB、BC為鄰邊的矩形為鄰邊的矩形ABCD叫做黃叫做黃金矩形金矩形,即黃金矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)度即黃金矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)度的比值約為的比值約為0.618.ABDCFE若在黃金矩形若在黃金矩形ABCD中畫出正方中畫出正方形形ABEF,則得到黃則得到黃金矩形金矩形ECDF如此繼續(xù)下去如此繼續(xù)下去 可得到一連串的可得到一連串的 黃金矩形黃金矩形OP1P2D1D2c1c2b1b2桌面桌面(1).如圖如圖,在水平桌面上的兩個(gè)在水平桌面上的兩個(gè)“E”,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P1,P2,O在一在一條直線上時(shí)條直線上時(shí),在點(diǎn)在點(diǎn)O處用號(hào)處用號(hào)“E”測(cè)得的視力與用測(cè)得的視力與用號(hào)號(hào)“E”測(cè)得的視力相同測(cè)得的視力相同.圖中圖中b1,b2,c1,c2應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系?若若b1=3.2cm,b2=2cm, 號(hào)號(hào)“E”測(cè)試的距離測(cè)試的距離c1=8m,要使測(cè)得的視力相同要使測(cè)得的視力相同, 號(hào)號(hào)“E”測(cè)試的距離測(cè)試的距離c