第1章：流體力學(xué)基本概念

1、第一章 流體力學(xué)基本概念1.1 連續(xù)介質(zhì)假說連續(xù)介質(zhì)假說 推導(dǎo)流體力學(xué)基本方程的兩條途徑推導(dǎo)流體力學(xué)基本方程的兩條途徑統(tǒng)計(jì)方法把流體看作由運(yùn)動(dòng)的分子組成，認(rèn)為宏觀現(xiàn)象起源于分子運(yùn)動(dòng)，采用統(tǒng)計(jì)平均的方法建立宏觀物理量滿足的方程，并確定流體的性質(zhì)。對(duì)于偏離平衡態(tài)不遠(yuǎn)的流體可推導(dǎo)出質(zhì)量、動(dòng)量和能量方程，給出輸運(yùn)系數(shù)（，）的表達(dá)式。對(duì)于單原子氣體已有成熟理論，對(duì)多原子氣體和液體理論尚不完整。連續(xù)介質(zhì)方法把流體看作連續(xù)介質(zhì)，認(rèn)為流體是由質(zhì)點(diǎn)組成的，質(zhì)點(diǎn)是由分子組成的，質(zhì)點(diǎn)在微觀上充分大，在宏觀上充分小。假設(shè)場(chǎng)變量（速度、密度、壓強(qiáng)等）在連續(xù)介質(zhì)的每一點(diǎn)都有唯一確定的值，連續(xù)介質(zhì)遵守質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定

2、律。從而推導(dǎo)出場(chǎng)變量的微分方程組。流體力學(xué)采用連續(xù)介質(zhì)的方法。lim ()VmV lim ()Vv mum 連續(xù)介質(zhì)方法連續(xù)介質(zhì)方法當(dāng)流體分子的平均自由程遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于流場(chǎng)的最小宏觀尺度時(shí)，可用統(tǒng)計(jì)平場(chǎng)的方法定義場(chǎng)變量如下： 在微觀上充分大，宏觀上充分小。1.1 連續(xù)介質(zhì)假說連續(xù)介質(zhì)假說31Ln連續(xù)介質(zhì)方法的適用條件連續(xù)介質(zhì)方法的適用條件n為單位體積的分子數(shù)（特征微觀尺度是分子自由程），L為最小宏觀尺度。在通常溫度和壓強(qiáng)下，邊長(zhǎng)2微米的立方體中大約包含2108個(gè)氣體分子或21011液體分子；在日常生活和工程中，絕大多數(shù)場(chǎng)合均滿足上述條件，連續(xù)介質(zhì)方法無(wú)論對(duì)氣體和液體都適用。1.1 連續(xù)介質(zhì)假說連續(xù)介

3、質(zhì)假說導(dǎo)彈和衛(wèi)星在高空的稀薄氣體中飛行，此時(shí)微觀特征尺度接近宏觀特征尺度；研究激波結(jié)構(gòu)，此時(shí)宏觀特征尺度接近微觀特征尺度。 連續(xù)介質(zhì)方法失效場(chǎng)合連續(xù)介質(zhì)方法失效場(chǎng)合1.1 連續(xù)介質(zhì)假說連續(xù)介質(zhì)假說 流體質(zhì)點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)是流體力學(xué)研究的最小單元。當(dāng)討論流體速度、密度等變量時(shí)，實(shí)際上是指流體質(zhì)點(diǎn)的速度和密度。由確定流體分子組成的流體團(tuán)，流體由流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)無(wú)間隙地組成，流體質(zhì)點(diǎn)的體積在微觀上充分大，在宏觀上充分小。 1.1 連續(xù)介質(zhì)假說連續(xù)介質(zhì)假說 ( , , , )uu x y z t( , , , )x y z t歐拉參考系歐拉參考系當(dāng)采用歐拉參考系時(shí)，定義了空間的場(chǎng)。著眼于空間點(diǎn)，在空間的

4、每一點(diǎn)上描述流體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化。獨(dú)立變量x, y, z, t1.2 歐拉和拉格朗日參考系歐拉和拉格朗日參考系000(, )rr xyz t拉格朗日參考系拉格朗日參考系著眼于每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)，描述每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過程，即它們的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律，式中x0, y0, z0 是 t =t 0 時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)空間位置的坐標(biāo)。可以是曲線坐標(biāo)，也可以是直角坐標(biāo)，是流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)號(hào)。獨(dú)立變量x0, y0, z0, t。x, y, z 不再是獨(dú)立變量，x - x0 = u ( t - t0), y - y0 = v (t - t0), z - z0 = w (t - t0), T =T(x0, y0,

5、z0, t), =(x0, y0, z0, t)。用x0, y0, z0來(lái)區(qū)分不同的流體質(zhì)點(diǎn)，而用t來(lái)確定流體質(zhì)點(diǎn)的不同空間位置。1.2 歐拉和拉格朗日參考系歐拉和拉格朗日參考系通常力學(xué)和熱力學(xué)定律都是針對(duì)系統(tǒng)的，于是需要在拉格朗日參考系下推導(dǎo)基本守恒方程，而絕大多數(shù)流體力學(xué)問題又是在歐拉參考系下求解的，因此需要尋求聯(lián)系兩種參考系下場(chǎng)變量及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式系統(tǒng)系統(tǒng)某一確定流體質(zhì)點(diǎn)集合的總體。隨時(shí)間改變其空間位置、大小和形狀；系統(tǒng)邊界上沒有質(zhì)量交換；始終由同一些流體質(zhì)點(diǎn)組成。在拉格朗日參考系中，通常把注意力集中在流動(dòng)的系統(tǒng)上，應(yīng)用質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律于系統(tǒng)，即可得到拉格朗日參考系中的基本方程組

6、控制體控制體流場(chǎng)中某一確定的空間區(qū)域，其邊界稱控制面。流體可以通過控制面流進(jìn)流出控制體，占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化。為了在歐拉參考系中推導(dǎo)控制方程，通常把注意力集中在通過控制體的流體上，應(yīng)用質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律于這些流體，即可得到歐拉參考系中的基本方程組。系統(tǒng)和控制體系統(tǒng)和控制體1.2 歐拉和拉格朗日參考系歐拉和拉格朗日參考系),(tzyxuuzyxtu,),(000tzyxuu000,zyxtuDtuD歐拉和拉格朗日參考系中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)歐拉和拉格朗日參考系中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)歐拉參考系：某一空間點(diǎn)上的流體速度變化，稱當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)或局部導(dǎo)數(shù)。拉格朗日參考系：在歐拉參考系下用 表示流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化。

7、流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化，即加速度。1.2 歐拉和拉格朗日參考系歐拉和拉格朗日參考系DtDDtD隨體導(dǎo)數(shù)隨體導(dǎo)數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)攜帶的物理量隨時(shí)間的變化率稱為質(zhì)點(diǎn)的隨體倒數(shù)。隨體導(dǎo)數(shù)又稱質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。設(shè)場(chǎng)變量 ，則 表示某一流體質(zhì)點(diǎn)的 隨時(shí)間的變化，即一個(gè)觀察者隨同流體一起運(yùn)動(dòng)，并且一直盯著某一特定流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)所看到的 隨時(shí)間的變化。 是拉格朗日參考系下的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。t),(tzyxtt),(ttzzyyxx(,)( , , , )xx yy zz ttx y z ttxyztxyz001lim(,)( , , , )limttDxx yy zz ttx y z tDttxyzttxtytzuvwtxyz

8、DtD在歐拉參考系下的表達(dá)式（在歐拉參考系下的表達(dá)式（在歐拉參考系下推導(dǎo)在歐拉參考系下推導(dǎo)）時(shí)刻，時(shí)刻，泰勒級(jí)數(shù)展開，DtD),(000tzyxxx ),(000tzyxyy ),(000tzyxzz zyx,tzyx,000ttzyxztzyxytzyxxtzyx),(),(),(),(000000000000000000000, , , , ,xyzx y zy z txyzxyzx y txyzx z tDxxyzDtttxtytztuvwtxyz在歐拉參考系下的表達(dá)式在歐拉參考系下的表達(dá)式（在拉格朗日參考系下推導(dǎo)在拉格朗日參考系下推導(dǎo)）此時(shí) 不再是獨(dú)立變量，而是 的函數(shù)kkxutxux

9、uxutDtD332211utDtDzwyvxuzkyjxikwjviuu DtDt kkxu上式把拉格朗日導(dǎo)數(shù)和歐拉參考系中的就地導(dǎo)數(shù)和對(duì)流導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)。稱對(duì)流導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，流體物性隨空間坐標(biāo)變化而變化，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)空間位置隨時(shí)間變化時(shí)，在流動(dòng)過程中會(huì)取不同的 值，因此也會(huì)引起 的改變。歐拉時(shí)間導(dǎo)數(shù)，稱局部導(dǎo)數(shù)或就地導(dǎo)數(shù)，表示空間某一點(diǎn)流體物理量隨時(shí)間的變化；隨體導(dǎo)數(shù)；矢量和張量形式的隨體導(dǎo)數(shù)矢量和張量形式的隨體導(dǎo)數(shù)dtkdFVkudvVDFudvDtVDNDdvDtDt1.41.4雷諾輸運(yùn)定理雷諾輸運(yùn)定理對(duì)系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)對(duì)系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)通常的力學(xué)和熱力學(xué)定理都是應(yīng)用于系統(tǒng)的，于

10、是就會(huì)遇到求對(duì)系統(tǒng)體積分的隨體導(dǎo)數(shù)。( , )r tVNdv設(shè) 是單位體積流體的物理分布函數(shù)，而 是系統(tǒng)體積內(nèi)包含的總物理量，則動(dòng)量定理221 , , , 2uuNMMUMU 11取， 則 為 , 22舉例，tttNtttNttNttNttNttNttNttNttNttNDtDNIIItItCVCVtCVIIIICVtsyssyst)(lim)(lim)()(lim)()()()(lim)()(lim00000DtDNdDtD系統(tǒng)和CV 在初始時(shí)刻重合，CV固定不動(dòng)公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)IIIIIICSICSIIInn1dA3dAtttuu0()00011()( )lim()11limlimlimC

11、VCVCVCVtII ttCSCStttNttNtNdtttN ttdu ndA tu ndAttt 011()limtIIICSIIICVCSCSIIIIIICVCSNttu ndAtDNdu ndAu ndADttCSCSCSDNdu ndADtt 公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)IIIIIICSICSIIInn1dA3dAtttuuDtDNCSu ndA CVdt系統(tǒng)中的變量N對(duì)時(shí)間的變化率固定控制體內(nèi)的變量N對(duì)時(shí)間的變化率，由 的不定常性引起 N 流出控制體的凈流率，由于系統(tǒng)的空間位置和體積隨時(shí)間改變引起 CVCSDNdu ndADtt 物理意義物理意義高斯公式，(), )kVVVVkDDdvu dv

12、dvudvDttDttx（IIIIIICSICSIIInn1dA3dAtttuu1.51.5流線、跡線和脈線流線、跡線和脈線1流線流線某一時(shí)刻，由許多流體質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成流場(chǎng)中的一條空間曲線，曲線上各點(diǎn)的速度矢量方向和曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。定常流動(dòng)用一幅流線圖就可表示出流場(chǎng)全貌；非定流動(dòng)中，通過空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度大小和方向隨時(shí)間而變化，此時(shí)談到流線是指某一給定瞬時(shí)的流線。).(),(),(0tzyxwdztzyxvdytzyxudxwvudzdydxkjiVl dkwj vi uVkdzjdyidxl d把時(shí)間當(dāng)作常數(shù)積分以上方程組，即可得流線方程。電力線，磁力線，用于理論分析。lV微分方程微

13、分方程流線的性質(zhì)v1v2折點(diǎn)sv1v2s1s2交點(diǎn)（4 4）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過，流線充滿整個(gè)流場(chǎng)，）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過，流線充滿整個(gè)流場(chǎng)，這些流線構(gòu)成某一時(shí)刻流場(chǎng)內(nèi)的流譜。這些流線構(gòu)成某一時(shí)刻流場(chǎng)內(nèi)的流譜。（5 5）對(duì)于不可壓縮流體，流線簇的疏密程度反應(yīng)了該時(shí)）對(duì)于不可壓縮流體，流線簇的疏密程度反應(yīng)了該時(shí)刻流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小，流線密的位置速度大，流線疏刻流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小，流線密的位置速度大，流線疏的位置速度小。的位置速度小。流線的性質(zhì)dswdzvdyudx)(sxx )(syy )(szz s),(000zyx0s0 xx 0yy 0zz 參數(shù)方程參數(shù)方程選用 作為參變量，積

14、分上式可得到流線參數(shù)方程，,則參數(shù)方程的初始條件可定為，若已知流線經(jīng)過點(diǎn)消去 s 即可得到流線方程。在參考點(diǎn)s為零，沿流線其值增加。 (12 ), , 0uxtvy w )21 ( ydsdytxdsdx 2)21(1sstecyecx0s1 yx121 cc )21(ssteyexstyx21解：積分以上方程得，由條件 時(shí)， ，可解出，消去 得，例.設(shè)兩維流動(dòng)，求通過（1，1）點(diǎn)的流線。由以方程可以看出，通過（1，1）點(diǎn)的流線隨時(shí)間變化而變化。若求 時(shí)通過（1，1）點(diǎn)的流線，讓以上方程中，0t0tsseyexxy 2 2跡線跡線流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻進(jìn)行空間運(yùn)動(dòng)時(shí)描繪出來(lái)的曲線。在定常流動(dòng)情況下

15、，任何一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的跡線，同時(shí)也是一條流線，即質(zhì)點(diǎn)沿不隨時(shí)間變化的流線運(yùn)動(dòng)。跡線的微分方程組跡線的微分方程組dtwdzvdyudxt),(),( ),(000000000tzyxzztzyxyytzyxxxt請(qǐng)注意在以上方程組中 是自變量。 是流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)，因此都是 的函數(shù)。初始條件：, , x y z0 , , oootx= xyyzz時(shí)， (12 ), , 0uxtvy w (12 ) dxxtdtdyydt0t 1 yx121 cct解：積分以上方程得，由條件 時(shí)， ，可解出，消去 得，例.設(shè)兩維流動(dòng)，求 通過（1，1）點(diǎn)的跡線。0t 2)1(1tttecyecx )1(tttey

16、exyyxln13脈線脈線從流場(chǎng)中的一個(gè)固定點(diǎn)向流場(chǎng)中連續(xù)地注入與流體密度相同的染色液，該染色液形成一條纖細(xì)色線，稱為脈線?；蛄矶x如下，把相繼經(jīng)過流場(chǎng)同一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)連接起來(lái)得到的一條線。脈線又稱煙線，染色線。脈線本質(zhì)上是流體質(zhì)點(diǎn)的跡線，所以可通過求解跡線方程而得到。dtwdzvdyudx跡線的微分方程組跡線的微分方程組初始條件：0 , , ootxxyyzz時(shí)，積分以上方程組得， ),( ),( ),(000000000tzyxzztzyxyytzyxxx上述方程即 時(shí)刻從點(diǎn) 進(jìn)入流場(chǎng)的流體質(zhì)點(diǎn)的跡線方程。000,xyz事實(shí)上當(dāng) 固定，而讓 變化（ ）時(shí)，上述表達(dá)式給出了 時(shí)刻

17、由點(diǎn) 注入流場(chǎng)的一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的跡線；而當(dāng)固定 而讓 變化（ ）時(shí)，上述表達(dá)式則給出了在 時(shí)刻前經(jīng)由 點(diǎn)注入流場(chǎng)的不同流體質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)刻的不同空間位置，即脈線。 tt),(000zyxttt),(000zyxt ),( ),( ),(000000000tzyxzztzyxyytzyxxx當(dāng) 取 的值時(shí)，上述方程即給出 t 時(shí)刻的脈線。 t (12 ), , 0uxtvy w (12 ) dxxtdtdyydt1 yx解：積分以上方程得，由條件 時(shí)， ，可解出，例.設(shè)兩維流動(dòng)，求通過（1，1）點(diǎn)的脈線。 2)1(1tttecyecxt)1(1 ec ec2 )1()1(ttteyex以上即通過（1，

18、1）點(diǎn)的脈線參數(shù)方程。顯然在不同時(shí)刻（ 取不同值時(shí)）脈線形狀也不同。t0t )1(eyexyyxln1在 時(shí)刻，消去 得， )1()1(ttteyex以上例題中 時(shí)刻經(jīng)過（1，1）點(diǎn)的流線、跡線和脈線如圖示。可以看出，在非定常流動(dòng)條件下，三種曲線一般是不重合的。在定常流動(dòng)條件下，三種曲線合而為一。0t在流場(chǎng)內(nèi)作一非流線且不自相交的封閉曲線，在某一瞬時(shí)通過該曲線上各點(diǎn)的流線構(gòu)成一個(gè)管狀表面，稱流管。若流管的橫截面無(wú)限小，則稱元流。所有的元流之和，稱為總流。流管表面由流線組成，所以流體不能穿過流管側(cè)面流進(jìn)流出，而只能從流管一端流入，而從另一端流出。流管流管 為流體中一流體質(zhì)點(diǎn)， 為 點(diǎn)鄰域內(nèi)另一任

19、意流體質(zhì)點(diǎn)，如果速度場(chǎng)已知，則同一瞬時(shí)上述 點(diǎn)對(duì)于 點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可計(jì)算如下：MMM uuuuxyzu iv jw kxyzuuuzzwyywxxwwzzvyyvxxvvzzuyyuxxuu1.61.6 速度分解定理速度分解定理速度梯度張量速度梯度張量MM式中寫成分量形式zyxzwywxwzvyvxvzuyuxuwvu jjiixxuujixuzwywxwzvyvxvzuyuxu u上式用矩陣表示為，一個(gè)標(biāo)量的梯度是一個(gè)矢量，而一個(gè)矢量的梯度則是一個(gè)二階張量。是一個(gè)二階張量，稱為速度梯度張量?；蛩俣忍荻葟埩恳部杀硎境苫騴zwyywxxwwzzvyyvxxvvzzuyyuxxuu速度梯度張量分

20、解為兩個(gè)張量速度梯度張量分解為兩個(gè)張量 1122jjiiiijijjjijiuuuuusaxxxxxzwzvywzuxwywzvyvyuxvxwzuxvyuxusij21 2121212121ijsjiijss 只有6個(gè)獨(dú)立分量，除對(duì)角線元素外，非對(duì)角線元素兩兩對(duì)應(yīng)相等，可表示為 ，是一個(gè)對(duì)稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的變形運(yùn)動(dòng)，稱應(yīng)變率張量。 0 212121 0 212121 0zvywzuxwywzvyuxvxwzuxvyuaij 只有3個(gè)獨(dú)立分量，對(duì)角線元素為零，非對(duì)角線元素兩兩互為負(fù)數(shù)，可表示為 ，是一個(gè)反對(duì)稱張量。該張量描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，稱旋轉(zhuǎn)張量。ijajiijaa12jii

21、jjiuuaxx旋轉(zhuǎn)張量旋轉(zhuǎn)張量反對(duì)稱張量只有三個(gè)獨(dú)立量，可看作一個(gè)矢量的三個(gè)分量，0 0 0121323ijazvyw211xwzu212yuxv21321u21這三個(gè)分量正好構(gòu)成速度旋度的123a231a123a kijkija0 0 0121323ija以 間的位移 和旋轉(zhuǎn)張量 相乘， MMra1rot 2raxxrurijjijkj k a在剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中，如果角速度為 ，則距定點(diǎn)距離 處的旋轉(zhuǎn)速度為 ， 比較知，rru21速度的旋度是流體微團(tuán)繞其內(nèi)部一瞬時(shí)軸的旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。ksjtktjsistijkktijtijk2ktktktkjjtktjjijtijk2362kkijki

22、jk0ijijkijk置換符號(hào)置換符號(hào) 110ijki、j、k 偶排列，123，231，312i、j、k 中有兩個(gè)以上指標(biāo)相同時(shí)i, j, k 奇排列 ，213，321，132有以下重要性質(zhì)： ijk 表示由于流體微團(tuán)繞瞬時(shí)軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的 點(diǎn)相對(duì)于M 點(diǎn)的速度變化。11221rot 2jjiiiijjjjijiijjijjuuuuuuxxxxxxxsxaxrur sRDuuuruD sM1rot 2Ruur速度分解定理速度分解定理上式以矢量形式可寫為， 表示由于流體微團(tuán)變形而產(chǎn)生的 點(diǎn)相對(duì)于M點(diǎn)的速度變化。M取一由流體質(zhì)點(diǎn)組成的線段元，r1.71.7應(yīng)變率張量應(yīng)變率張量正應(yīng)變率分量正應(yīng)變率分量

23、rrr()ddrrruuuatatuuuxyzxyzr () rx iduuvwrxx ix jx kdtxxxx2)()(xxuxdtdxrdtdr)(1xdtdxxu1()1()vdyyy dtwdzzz dt設(shè)某瞬時(shí) 與x軸重合，則應(yīng)變率張量對(duì)角線分量分別是x，y，z軸線上的線段元 的相對(duì)伸長(zhǎng)率，稱正應(yīng)變率分量。同理, , xyz2r1r12121221 , , (), ()(), ()dudurx iry jrxrydtxdtydudvrrx yrrx ydtydtx 剪切應(yīng)變率分量剪切應(yīng)變率分量取流體質(zhì)點(diǎn)組成的線元 、 ，設(shè)在某一瞬時(shí) 與x軸重合，而 與y軸重合，于是，1r2r 12

24、coscossinxyxyxyxyxyvuddx yrrx yxydtdtdddx yx yx ydtatat xy90 , cos0, sin1xyxyxydtdyuxvxy2121式中 是 x 軸與 y 軸之間的夾角， ， 于是，應(yīng)變率張量非角線分量分別是平行于 x 與 y 軸，z 與 x 軸，y 與z 軸的物質(zhì)線段元之間夾角隨時(shí)間變化率一半的負(fù)值，稱剪切應(yīng)變率分量。dtdxwzuzx2121dtdzvywzy2121同理得，iisdiv iiuvwsuxyzv體積應(yīng)變率體積應(yīng)變率應(yīng)變率張量對(duì)角線分量之和 是一個(gè)標(biāo)量，取一流體團(tuán)，體積為 ，外表面為 S，體積 的變化率等于通過封閉曲面 S

25、的速度通量，vSdsunvdtd )( vvSvvdvuvdsunvvdtdv 0 00 div1lim1lim1limuuvvv div div 1lim0iis應(yīng)變率張量三個(gè)對(duì)角線分量之和 或速度的散度表示流體微元的相對(duì)體積膨脹率。Ll du 1.81.8速度環(huán)量和渦量速度環(huán)量和渦量速度環(huán)量速度環(huán)量速度環(huán)量是流體繞封閉曲線旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的度量，線積分沿逆時(shí)針方向進(jìn)行。uikjjkkjijkiexuxuxu20u0 u渦量渦量 渦量是流體微團(tuán)繞其內(nèi)部一瞬時(shí)軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度的二倍， 渦量與流體微團(tuán)自身的旋轉(zhuǎn)角速度成正比，而與流體微團(tuán)重心圍繞某一參考中心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度無(wú)關(guān)。流動(dòng)是否有旋與流體質(zhì)

26、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)。一個(gè)作圓周運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)可能渦量為零。 流場(chǎng)內(nèi)處處 的流動(dòng)稱無(wú)旋流，或稱勢(shì)流。 的流動(dòng)則稱有旋流動(dòng)。SSdsndsnu )(LSl dudsn Stokes定理定理渦通量：Stokes定理：1.91.9渦旋的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性渦旋的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性渦管和微元渦管渦管和微元渦管渦線，流場(chǎng)中的一條曲線，曲線上各點(diǎn)的渦量矢量方向和曲線在該點(diǎn)的切線方向相同。渦管，在流場(chǎng)內(nèi)作一非渦線且不自相交的封閉曲線，在某瞬時(shí)通過該曲線上各點(diǎn)的渦線組成一管狀表面，稱渦管。渦管橫截面無(wú)限小時(shí)稱渦管元。0)(u渦旋場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)渦旋場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)矢量恒等式，渦旋場(chǎng)內(nèi)無(wú)源無(wú)匯。012 SSndsnds渦管的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性渦管的運(yùn)動(dòng)

27、學(xué)特性推論：對(duì)一個(gè)確定的渦管，它的任一橫截面上的渦通量是一個(gè)常數(shù)。該常數(shù)稱為渦管強(qiáng)度。 由 ，對(duì)圖示渦管，1 1 Sdsn2 2 Sdsn21推論：沿渦管每一橫截面的包圍曲線的速度環(huán)量相等。 由Stokes定理1S2S02121 SSSSVdsndsndsndv由于渦旋場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，可以推斷，渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷。如果發(fā)生中斷，則在中斷處取封閉曲面，通過封閉曲面的渦通量將不為零，與無(wú)源場(chǎng)事實(shí)相矛盾。渦線和渦管只能在流體中自行封閉，形成渦環(huán)，或?qū)⑵漕^尾搭在固壁或自由面，或延伸至無(wú)窮遠(yuǎn)。渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷渦線和渦管都不能在流體內(nèi)部中斷下標(biāo) 表示面元 的法線方向。0limnAFp

28、A nAnnppnpnp1.101.10應(yīng)力張量應(yīng)力張量應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量，正側(cè)流體對(duì)負(fù)側(cè)流體的作用應(yīng)力；，負(fù)側(cè)流體對(duì)正側(cè)流體的作用應(yīng)力。nnnnp,npnnn22nnnnpnznynxnp , , xzxyxxxp , , 應(yīng)力矢量的投影應(yīng)力矢量的投影應(yīng)力的雙下標(biāo)表示法：第 1 個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力所在平面的法線方向，第 2 個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力投影方向。n),(tnrppnn一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在運(yùn)動(dòng)的粘性流體中，表面應(yīng)力的方向和大小一般來(lái)說與其作用面的方位有關(guān)（表面應(yīng)力方向與法向 并不一致），因此描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)似乎就需要無(wú)限多個(gè)矢量。下面將證明過空間一點(diǎn)的三個(gè)相互垂直平面（可取三個(gè)坐標(biāo)平面

29、）上的應(yīng)力矢量或它們的九個(gè)分量完全描寫了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。取四面體流體元，應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量sABCsnsOBCxxsnsOACyyzzOABsns),cos(),cos(),cos(),(znynxnnnnnzyx慣性力，重力，表面力，va vg spnxxspyyspzzsp0v應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量達(dá)朗貝爾原理：作用于四面體上的質(zhì)量力（重力），表面力和慣性力及其力矩應(yīng)該平衡。當(dāng) ，重力、慣性力為三階無(wú)窮小量，表面力為二階無(wú)窮小量，因此僅需考慮表面力作用，忽略慣性力和重力影響。0F0zzyyxxnspspspspzzyyxxpppppp,zzyyxxnnpnp

30、nppzzzyyzxxznzzzyyyyxxynyzzxyyxxxxnxnnnnnnnnnzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxnznynxnnn ),(jijnin npn應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量應(yīng)力矢量與應(yīng)力張量ijzzzyzxyzyyyxxzxyxx jiijn應(yīng)力張量應(yīng)力張量或稱應(yīng)力張量應(yīng)力張量的對(duì)角線元素為法向應(yīng)力分量，非對(duì)角線元素為切向應(yīng)力分量。用四面體上的表面力的合力矩為零可以證明應(yīng)力張量是對(duì)稱張量，只有6個(gè)獨(dú)立分量，其非對(duì)角線分量?jī)蓛蓪?duì)應(yīng)相等，應(yīng)力張量 不再與 有關(guān)，而只是空間點(diǎn)位置和時(shí)間的函數(shù)，由九個(gè)分量（6個(gè)獨(dú)立分量）組成的應(yīng)力張量完全表達(dá)了給定時(shí)刻一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。jjini

31、nnxxxxnyyyynzzzznnnnpnnnznnnzynnnyxnnnxnnn1.111.11理想流體與靜止流體的應(yīng)力張量理想流體與靜止流體的應(yīng)力張量一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在理想流體或靜止流體中切應(yīng)力為零pnnzzyyxxnpp由于 是任選的，上式表明同一點(diǎn)各個(gè)不同方向上的法向應(yīng)力是相等的。取 是強(qiáng)調(diào)壓強(qiáng)與作用面的法線方向是相反的，由此可見在理想流體或靜止流體中，只要用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)即壓力函數(shù) 便完全地描述了一點(diǎn)上的應(yīng)力狀態(tài)。比較上 2 式得，000010101nnijnnnnijppppp 應(yīng)力張量應(yīng)力張量1.121.12本構(gòu)方程本構(gòu)方程應(yīng)力和應(yīng)變率之間的關(guān)系，或者說應(yīng)力張量和應(yīng)變率張量之間的關(guān)系稱本構(gòu)方程。ijijijpijpijijpijij三點(diǎn)假設(shè)之一三點(diǎn)假設(shè)之一運(yùn)動(dòng)流體的應(yīng)力張量在運(yùn)動(dòng)停止后應(yīng)趨于靜止流體的應(yīng)力張量，流體壓強(qiáng)此時(shí)即為靜力學(xué)壓強(qiáng)，據(jù)此應(yīng)力張量可表示為，應(yīng)力張量熱力學(xué)壓強(qiáng)剪切應(yīng)力張量或偏應(yīng)力張量。 由于流體運(yùn)動(dòng)而引起，當(dāng)運(yùn)動(dòng)消失時(shí)趨于零， 也趨于靜力學(xué)壓強(qiáng)。由于 ， 均是對(duì)稱張量，因此偏應(yīng)力張量 也是對(duì)稱張量。ij三點(diǎn)假設(shè)之二三點(diǎn)假設(shè)之二ijjixu偏應(yīng)力張量 的各分量是局部速度梯度張量 各分量的線