概率論第六章課件ppt

1、計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 王艷娥王艷娥第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布n引言引言n隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本n抽樣分布抽樣分布本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)引言引言是以概率論是以概率論的理論為基礎(chǔ)、通過試驗(yàn)的理論為基礎(chǔ)、通過試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用廣所得數(shù)據(jù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用廣泛，內(nèi)容豐富。泛，內(nèi)容豐富。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ), ,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用。率論的重要應(yīng)用。 從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，

2、說明人錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作們很早就開始了統(tǒng)計(jì)的工作 . 但是當(dāng)時的統(tǒng)計(jì)，但是當(dāng)時的統(tǒng)計(jì)，只是對有關(guān)事實(shí)的簡單記錄和整理，而沒有在只是對有關(guān)事實(shí)的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷外的推斷. 到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門學(xué)科這門學(xué)科. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科. 它它是研究怎樣以是研究怎樣以有效的方式有效的方式

3、收集、收集、 整理和分析整理和分析帶帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推，以便對所考察的問題作出推斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議依據(jù)和建議. 在在概率論中所研究的隨機(jī)變量，它的分布都概率論中所研究的隨機(jī)變量，它的分布都是假設(shè)已知的是假設(shè)已知的, ,在這一前提下去研究它的性質(zhì)、在這一前提下去研究它的性質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律性特點(diǎn)和規(guī)律性, ,例如求出它的數(shù)字特征例如求出它的數(shù)字特征, ,討論隨機(jī)討論隨機(jī)變量函數(shù)的分布變量函數(shù)的分布, ,介紹常用的各種分布等。介紹常用的各種分布等。 而在而在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)變量，它的分布是未數(shù)

4、理統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)變量，它的分布是未知的，或者不完全知道知的，或者不完全知道，人們通過對所研究的隨，人們通過對所研究的隨機(jī)變量進(jìn)行重復(fù)、獨(dú)立的觀察，得到許多觀察值機(jī)變量進(jìn)行重復(fù)、獨(dú)立的觀察，得到許多觀察值，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而對隨機(jī)變量的分布，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而對隨機(jī)變量的分布作出種種判斷。作出種種判斷。 現(xiàn)實(shí)世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù)現(xiàn)實(shí)世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù), ,分析這些分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法. . 因此因此, ,數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的方法和支持這些方法的相數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的. .概括起來可以歸納成兩大類概括

5、起來可以歸納成兩大類: : 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)根據(jù)數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù), ,用一些方法對分布的用一些方法對分布的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì). . 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù), ,用一些方法對分布的用一些方法對分布的未知參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)未知參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn). . 它們構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式它們構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式. .這兩種這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的每個分支推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的每個分支.6.1 6.1 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本總體和樣本總體和樣本 數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)

6、行資料的收集、整理和分析整理和分析. 由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而因而從理論上講從理論上講，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來呈現(xiàn)出來. 但客觀上只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行但客觀上只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，也就是說次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，也就是說, 我們獲得的只我們獲得的只是局部觀察資料是局部觀察資料. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對所研究的對象全體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對所研究的對象全體 (稱稱為為總體總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的

7、部分進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為稱為樣本樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)(抽樣抽樣)，并通過這些數(shù)據(jù)對總體，并通過這些數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行推斷進(jìn)行推斷.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體部分推斷整體”的特征的特征 . 實(shí)際上實(shí)際上, ,我們真正關(guān)心的并不是研究對象本身我們真正關(guān)心的并不是研究對象本身, ,而是其某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)而是其某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo). 比如某家工廠的一種產(chǎn)品的使用壽命這樣一比如某家工廠的一種產(chǎn)品的使用壽命這樣一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)項(xiàng)數(shù)量指標(biāo). .1.1.總體總體某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命該批燈泡壽命的全該批燈泡壽命的全體就是總體體就是總體國產(chǎn)轎車每公里國產(chǎn)轎車每公里的耗油量的

8、耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量國產(chǎn)轎車每公里耗油量的全體就是總體的全體就是總體 對研究對象上的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行觀察。對研究對象上的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行觀察。 試驗(yàn)的全部可能的觀察值稱為試驗(yàn)的全部可能的觀察值稱為總體總體. . 這些值不一定各不相同這些值不一定各不相同( (可能重復(fù)可能重復(fù)) )，數(shù)目上，數(shù)目上也不一定有限也不一定有限. . 每一個可能的觀察值稱為每一個可能的觀察值稱為個體個體. . 總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量容量.總體總體有限總體有限總體無限總體無限總體 例例1 研究某地區(qū)研究某地區(qū)N個農(nóng)戶的年收人個農(nóng)戶的年收人.總體指他們的年收入的總體指

9、他們的年收入的N個數(shù)字個數(shù)字.例例2 用一把尺子去量一個物體的長度用一把尺子去量一個物體的長度. .總體應(yīng)該理解為一切所有可能的測量值的全體總體應(yīng)該理解為一切所有可能的測量值的全體. .一般一般, 我們所研究的總體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)我們所研究的總體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)X是一個是一個隨機(jī)變量隨機(jī)變量, 其取值在客觀上有一定的分布其取值在客觀上有一定的分布. 因此因此, 對對總體的研究總體的研究,就是對相應(yīng)的隨機(jī)變量就是對相應(yīng)的隨機(jī)變量X的研究。的研究。 今后今后, 我們稱我們稱X的分布函數(shù)和數(shù)字特征分別為總的分布函數(shù)和數(shù)字特征分別為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征體的分布函數(shù)和數(shù)字特征, 并不再區(qū)分總體與相應(yīng)并不

10、再區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量X. 對總體的稱呼對總體的稱呼: 2 2、總體的分布、總體的分布 例例l中，若農(nóng)戶年收入以萬元計(jì)中，若農(nóng)戶年收入以萬元計(jì), 假定假定N戶中收入戶中收入X為以下幾種取值為以下幾種取值: 0.5, 0.8, l, 1.2和和1.5. 取這些值的農(nóng)戶個數(shù)分別為：取這些值的農(nóng)戶個數(shù)分別為：n1, n2, n3, n4, n5,(這里這里n1+n2+n3+n4+n5=N).例例3 (例例l續(xù)續(xù)) 則總體則總體X的分布為離散型分布的分布為離散型分布, 其分布律為其分布律為: 例如例如:研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量指研究某批燈泡的壽命時，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，

11、此總體就可以用隨機(jī)變量標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量X表示，或用其分布函數(shù)表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示表示 . 壽命壽命 X 可用指數(shù)分布可用指數(shù)分布來刻劃來刻劃 鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號鑒于此，常用隨機(jī)變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體或用其分布函數(shù)表示總體. 如說總體如說總體X或總體或總體F(x) .某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命總總體體 壽命總體是指數(shù)分布總體壽命總體是指數(shù)分布總體 類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時類似地，在研究某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時 ，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，我們用X 和和Y 分別表示身高和體重，那么此總體就

12、可用二維隨分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機(jī)變量機(jī)變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)或其聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)來表示來表示. 總體分布一般是未知總體分布一般是未知, 或只知道是包含未知參或只知道是包含未知參數(shù)的分布數(shù)的分布, 為推斷總體分布及各種特征為推斷總體分布及各種特征, 按一定規(guī)按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗(yàn)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗(yàn), 以獲得有以獲得有關(guān)總體的信息關(guān)總體的信息 , 這一抽取過程稱為這一抽取過程稱為 “抽樣抽樣”, 所抽所抽取的部分個體稱為取的部分個體稱為樣本樣本. 樣本中所包含的個體數(shù)目樣本中所包含的個體數(shù)目稱為稱為樣本容量樣本容量.3.

13、樣本樣本從國產(chǎn)轎車中抽從國產(chǎn)轎車中抽5輛輛進(jìn)行耗油量試驗(yàn)進(jìn)行耗油量試驗(yàn)樣本容量為樣本容量為5當(dāng)當(dāng)n次觀察一經(jīng)完成次觀察一經(jīng)完成, 得到得到n個具體的數(shù)個具體的數(shù) x1, x2, xn , 稱為樣本稱為樣本X1, , Xn的一次觀察值的一次觀察值, 簡稱簡稱樣本值樣本值 .1. 代表性代表性： X1, X2, Xn中每一個與所考察的總體有中每一個與所考察的總體有 相同的分布相同的分布.2. 獨(dú)立性獨(dú)立性： X1, X2, Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量. 對總體對總體X在相同的條件下在相同的條件下, 進(jìn)行進(jìn)行n次重復(fù)、獨(dú)立次重復(fù)、獨(dú)立觀察觀察, 其結(jié)果依次記為其結(jié)果依次記為X1,

14、X2, , Xn, 這樣得到的隨這樣得到的隨機(jī)變量機(jī)變量X1, X2, , Xn是來自總體是來自總體X的一個的一個簡單隨機(jī)樣簡單隨機(jī)樣本本, 與總體隨機(jī)變量具有相同的分布與總體隨機(jī)變量具有相同的分布. n是樣本的容是樣本的容量量. 這種抽樣這種抽樣, 叫作叫作“簡單隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣”, 其特點(diǎn)：其特點(diǎn)： 對對有限總體有限總體, 采用放回抽樣可得簡單隨機(jī)樣本采用放回抽樣可得簡單隨機(jī)樣本, 但放回抽樣使用起來不方便但放回抽樣使用起來不方便, 當(dāng)個體總數(shù)當(dāng)個體總數(shù)N比要得比要得到的樣本的容量到的樣本的容量n大得多時大得多時, 在實(shí)際中可將不放回抽在實(shí)際中可將不放回抽樣近似當(dāng)作放回抽樣來處理樣近似

15、當(dāng)作放回抽樣來處理. 對對無限總體無限總體, 因抽取一個個體不影響它的分布因抽取一個個體不影響它的分布,所以總是采用不放回抽樣所以總是采用不放回抽樣.定義：定義： 設(shè)設(shè)X是具有分布函數(shù)是具有分布函數(shù)F的隨機(jī)變量，若的隨機(jī)變量，若X1, X2, , Xn是具有同一分布函數(shù)的、相互獨(dú)立的隨機(jī)是具有同一分布函數(shù)的、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱變量，則稱X1, X2, , Xn為從分布函數(shù)為從分布函數(shù)F(或總體或總體F、或總體或總體X) 得到的容量為得到的容量為n的的簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本，簡稱，簡稱樣樣本本，它們的觀察值，它們的觀察值x1, x2, xn稱為稱為樣本值樣本值，又稱為，又稱為X的的n個獨(dú)

16、立的觀察值個獨(dú)立的觀察值. 簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到當(dāng)說到“X1, X2, Xn是取自某總體的樣本是取自某總體的樣本”時，時，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本. 既然樣本既然樣本 X1,X2 , ,Xn 被看作隨機(jī)變量被看作隨機(jī)變量,自然就需自然就需要研究它們的分布要研究它們的分布4. 4. 樣本的分布樣本的分布=F(x1) F(x2) F(xn) 若總體的分布函數(shù)為若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為、概率密度函數(shù)為f(x), 則其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為則其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為),(

17、2*nxxxF其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其簡單隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為),(2*nxxxf=f(x1) f(x2) f(xn) 假設(shè)某大城市居民的收入服從正態(tài)分布假設(shè)某大城市居民的收入服從正態(tài)分布 N( , 2), 其概率密度函數(shù)為其概率密度函數(shù)為: : 例例5 5設(shè)設(shè)X1,X2 , , Xn是來自總體的一個樣本是來自總體的一個樣本. 則則 Xi N( , 2), i1, 2, n.于是樣本于是樣本 X1, X2 , , Xn的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度為22()21()2xfxexR 2211()212/ 21(,)(2)niixnnnfxxxe 總總 體體 X樣本樣本X1,X2

18、,Xn樣本值樣本值x1,x2,xn隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣 獲得樣本獲得樣本完成試驗(yàn)完成試驗(yàn) 獲得數(shù)據(jù)獲得數(shù)據(jù)整理加工整理加工 統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì) 工作工作4. 總體、樣本、樣本值的關(guān)系總體、樣本、樣本值的關(guān)系 事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確事實(shí)上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值定的值. 如我們從某班大學(xué)生中抽取如我們從某班大學(xué)生中抽取10人測量身高人測量身高,得到得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本. 我我們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量們只能觀察到隨機(jī)變量取的值而見不到隨機(jī)變量.總體（理論分布）總體（理論分布） ？ 樣本樣本

19、 樣本值樣本值 統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料樣本值，去推斷樣本值，去推斷總體的情況總體的情況-總體分布總體分布F(x)的性質(zhì)的性質(zhì). 總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體總體. 樣本是聯(lián)系二者的橋梁樣本是聯(lián)系二者的橋梁休息片刻繼續(xù)下一講休息片刻繼續(xù)下一講6.2 6.2 抽樣分布抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布正態(tài)總體的樣本均值正態(tài)總體的樣本均值 和樣本方差的分布和樣本方差的分布課堂練習(xí)課堂練習(xí)布置

20、作業(yè)布置作業(yè) 由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行行“加工加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.1. 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量計(jì)量. 它是完全由樣本決定的量它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)一、統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)定義：定義：設(shè)設(shè)X1, , Xn 是來自總體是來自總體X的一個樣本的一個樣本, g(X1, , Xn )是是X1, , Xn的函數(shù)的函數(shù), 若若g中不

21、含未知參中不含未知參數(shù)數(shù), 則稱則稱g(X1, ,Xn )是總體是總體X的一個的一個統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量. 設(shè)設(shè)x1, , xn 是樣本是樣本X1, , Xn的一個觀察值的一個觀察值, 則則g(x1, , xn ) 是是統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量g(X1, ,Xn )的觀察值的觀察值. 例：設(shè)例：設(shè)X1, , Xn 是總體是總體X的一個樣本的一個樣本, XN( , , 2), 令令T=X1- , 若若 為已知的為已知的, 則則T為統(tǒng)計(jì)為統(tǒng)計(jì)量量; 若若 未知未知, T就不是統(tǒng)計(jì)量就不是統(tǒng)計(jì)量.幾個常用的統(tǒng)計(jì)量及其觀察值幾個常用的統(tǒng)計(jì)量及其觀察值 ： 11,niiXXn 1.1.樣本均值樣本均值 22221111()

22、()11nniiiiSXXXnXnn 2.2.樣本方差樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 2,SS 它反映了它反映了總體均值總體均值的信息的信息它反映了總體它反映了總體方差的信息方差的信息11,1,2,nkkiiAXkn 3.3.樣本樣本k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩11() ,2,3,nkkiiBXXkn 4.4.樣本樣本k階中心矩階中心矩它反映了總體它反映了總體k 階矩的信息階矩的信息它反映了總體它反映了總體k 階階中心矩的信息中心矩的信息統(tǒng)計(jì)量的觀察值統(tǒng)計(jì)量的觀察值122121111;1()11() ;111,2,1()2,3,niiniiniinkkiinkkiixxnsxxnsxxnxknbxxkn

23、 結(jié)論結(jié)論: 若總體若總體X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩()kkE X 存在存在, 由辛欽大數(shù)定理由辛欽大數(shù)定理, 當(dāng)當(dāng)n趨于趨于時時11,1,2,.nPkkikiAXkn 證明證明: 辛欽定理辛欽定理 及依概率收斂的序列的性質(zhì)及依概率收斂的序列的性質(zhì) .第七章矩估計(jì)法的理論根據(jù)第七章矩估計(jì)法的理論根據(jù)1212(,.,)(,.,).Pkkg A AAg 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)是與總體是與總體X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)相應(yīng)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量. 設(shè)設(shè)X1, X2, Xn, 是總體是總體F的一個樣本的一個樣本, 令令S(x)表表示示X1, X2, Xn中不大于中不大于x的隨機(jī)變量的個數(shù)的隨機(jī)變量的

24、個數(shù). 定義定義經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)為：為：1( )( ),.nFxS xxn 對于一個樣本值對于一個樣本值 x1, x2, xn, 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)的觀察值仍記為的觀察值仍記為Fn(x). 2. 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)例例1：設(shè)總體：設(shè)總體F具有一個樣本值具有一個樣本值1, 2, 3, 則經(jīng)驗(yàn)分布則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)函數(shù)F3(x)的觀察值為的觀察值為30,1,1/3, 12( )2/3, 231,3xxF xxx 例例2：若樣本值為：若樣本值為1, 1, 2, 則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F3(x)的觀的觀察值為察值為30,1( )2/3, 121,2xF xxx

25、 一般地一般地,設(shè)設(shè)x1, x2, xn, 是總體是總體F的一個容量為的一個容量為n的樣本值的樣本值, 要求經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的觀察值要求經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的觀察值. 首先將首先將 x1, x2, xn, 按由小到大的順序排列按由小到大的順序排列, 并重新編號并重新編號, 設(shè)設(shè)為為x(1)x(2) x(n) , 則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn (x)的觀察值的觀察值為為,(1)( )(1)( )0,/ ,( )1,kknnxxk nxxxFxxx 對不同的樣本值對不同的樣本值, 得得到的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)不同到的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)不同.但當(dāng)樣本容量較大時但當(dāng)樣本容量較大時, 經(jīng)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)是總體

26、是總體分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的良好近的良好近似似.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到來自正態(tài)總體的三個分布： 2 2分布、 t t 分布和F F分布。 1. 定義定義: 設(shè)設(shè)X1, X2, Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 都服從正態(tài)分布都服從正態(tài)分布N(0,1), 則稱隨機(jī)變量：則稱隨機(jī)變量： 所服從的分布為所服從的分布為自由度為自由度為 n 的的2分布分布. 二、三大抽樣分布二、三大抽樣分布22( )n 記為記為2 分布分布222212nXXX 2. 2 分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù) f(y) 曲線曲線/ 211222( /2),0( )0,0nnynyeyf yy 2( )n 3. 分位

27、點(diǎn)分位點(diǎn) 設(shè)設(shè)X 2(n)，若對于，若對于 ：0 34.382的值的值; 2)若若 P 2b=0.975, 求求b的值的值.b. 分布可加性分布可加性 若若X 2(n1), Y 2(n2 ), X,Y相互獨(dú)相互獨(dú)立立, 則則 X + Y 2(n1+n2 ).c. 期望與方差期望與方差 若若X 2(n)，則，則E(X)= n，D(X)=2n.d若若X 2(n)，則當(dāng)，則當(dāng)n充分大時充分大時,的的分分布布nnX2 近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布N(0,1).定義定義 若若XN(0, 1), Y 2(n), X與與Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則 ( )./Xtt nY n t(n) 稱為自由度為稱為自由度為n的的t

28、分布分布.t 分布分布t(n) 的概率密度為的概率密度為1221()2( )(1),( )2nnth ttnnn )2()2()(, 0)(),(. 1 nnntDtEntttn與與方方差差為為：其其數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望分分布布的的具具有有自自由由度度為為.21)(lim,.0. 222tnethntt 函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)有有由由再再分分布布概概率率密密度度的的圖圖形形，其其圖圖形形近近似似于于標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)充充分分大大時時當(dāng)當(dāng)對對稱稱分分布布的的密密度度函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于).1 , 0(Ntn近近似似足足夠夠大大時時，即即當(dāng)當(dāng)2. 性質(zhì)性質(zhì)分位點(diǎn)分位點(diǎn) 設(shè)設(shè)tt(n), 若對若對 :0 0,

29、滿足滿足Pt t (n)= ，則稱，則稱t (n)為為 t(n)的上的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn).)(nt 注注: :1( )( )tntn 1( )tn ( )tn 0.025( )(15)2.1315.ttnt 分分布布的的上上 分分位位點(diǎn)點(diǎn)可可查查表表求求得得，例例 zntn)(45的的值值，可可用用正正態(tài)態(tài)近近似似時時，對對于于常常用用的的當(dāng)當(dāng)定義定義 若若U 2(n1)， V 2(n2)，U，V獨(dú)立，則獨(dú)立，則1122/(,)./U nFF nnV n 稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為第二自由度為n2的的F分布分布。F 分布分布注注: 若若FF(n1, n2), 則則1/F

30、F(n2, n1).F分布的概率密度函數(shù)分布的概率密度函數(shù)111121/212212()/22122()(/)2,0( )( ) ()(1)20,0nnnnnnnnnyynnyyny 若若FF(n1,n2)， F的概率密度為的概率密度為2. F分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)對于對于 ：0 0，滿足滿足PFF (n1, n2)= , 則稱則稱F (n1, n2)為為F(n1, n2) 的上的上 分位點(diǎn)；分位點(diǎn)；12(,)Fn n 112211(,)(,)Fn nFn n 注：注：0.95(12,9).F例例，求求0.950.0511(12,9)0.357(9,12)2.80FF (),E X 22()E S 設(shè)總體設(shè)總體X的均值為的均值為 , 方差為方差為 2, X1, X2, Xn 是來自總體是來自總體X的一個樣本的一個樣本, 則樣本均值則樣本均值 X 和樣本方和樣本方差差S2 有下面結(jié)論成立有下面結(jié)論成立,2(),D Xn 三、正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的分布三、正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的分布 定理定理 1 1 ( (樣本均值的分布樣本均值的分布) )設(shè)設(shè)X1, X2, Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體2( ,