大學物理機械振動課件

1、 8.1 8.1 簡諧振動簡諧振動 8.2 8.2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 8.3 8.3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振* *8.4 8.4 振動的分解振動的分解* *8.5 8.5 非線性振動簡介非線性振動簡介廣義振動廣義振動：任一物理量：任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數(shù)值附近反復(fù)變化。數(shù)值附近反復(fù)變化。 振動分類振動分類非線性振動非線性振動線性振動線性振動受迫振動受迫振動自由振動自由振動機械振動機械振動：物體在其平衡位置附近作來回往復(fù)的運動。：物體在其平衡位置附近作來回往復(fù)的運動。8-1 簡諧振動簡諧振動最簡單最基本的線性振動。最簡單

2、最基本的線性振動。簡諧振動簡諧振動：一個作往復(fù)運動的物體，如果其偏離：一個作往復(fù)運動的物體，如果其偏離平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）隨時間）隨時間t按余弦按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動。（或正弦）規(guī)律變化的振動。)tcos(Ax0 一、簡諧振動的運動學方程一、簡諧振動的運動學方程彈簧振子彈簧振子：彈簧：彈簧物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕輕彈簧彈簧質(zhì)量忽略不計，形變滿足胡克定律質(zhì)量忽略不計，形變滿足胡克定律 物體物體可看作質(zhì)點可看作質(zhì)點 kxOmkxF 22dtxdmkx mk 2 簡諧振動簡諧振動微分方程微分方

3、程0222 xdtxd 其通解為：其通解為：)tcos(Ax0 簡諧振動的微分方程簡諧振動的微分方程簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程)tsin()tcos(200 20 )sin( tAx0222 xdtxd 二、二、描述簡諧振動的特征量描述簡諧振動的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 簡諧振動物體離開平衡位置的最大位簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。移（或角位移）的絕對值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始條件初始條件00 cosAx 00 sinAv 2020)v(xA 000tanx 頻率頻率 單位時間內(nèi)振動的次數(shù)。單位時間內(nèi)振動

4、的次數(shù)。2、周期周期 、頻率、角（圓）頻率頻率、角（圓）頻率對彈簧振子對彈簧振子 21 T角頻率角頻率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有頻率、固有角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率周期周期T 物體完成一次全振動所需時間。物體完成一次全振動所需時間。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T)sin(0 tA 0 是是t =0時刻的位相時刻的位相初位相初位相3、位相和初位相位相和初位相)tcos(Ax0 位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)0 t位相差位相差 兩振動位相之差。兩振動位相之差。12 當當=2k ,k=0,1,2,兩振動步調(diào)相同兩振動

5、步調(diào)相同, ,稱稱同相同相當當 = (2k+1) , k=0,1,2.兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反, ,稱稱反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滯后于滯后于 2 位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落 三、簡諧振動的三、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )2cos()sin(00 ttAm諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系

6、諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系toTa xax, T/4T/4 )2cos( tmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由圖可見：由圖可見：2 超前超前a2 x超前超前x t+ o Am ma 090090單擺單擺0222 dtd結(jié)論結(jié)論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率角頻率, ,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glTlg 220 當當 時時 sin sinmglM 四、簡諧振動的實例四、簡諧振動的實例gmfTCO mgldtdml 22擺球?qū)[球?qū)點的力矩點的力矩 mglM l/g 2 復(fù)擺復(fù)擺：繞不過質(zhì)心的水平固

7、定軸轉(zhuǎn)動的剛體：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體0222 dtd結(jié)論結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動振動是簡諧振動。復(fù)擺的小角度擺動振動是簡諧振動。 sin當當 時時gmhCO22dtdJmgh Jmgh 2 解以鉛直線解以鉛直線OO為參考軸線，當桿為參考軸線，當桿在某一時刻處于角坐標在某一時刻處于角坐標(很小很小)處時，處時，重力重力mg對對O軸的力矩為軸的力矩為1sin22lMmgmgl 例例8-3如圖如圖8-7所示，長為所示，長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均質(zhì)細桿一端懸掛在水平軸的均質(zhì)細桿一端懸掛在水平軸O上，桿上，桿可在豎直面內(nèi)自由擺動，當擺幅很小時，可在豎直面內(nèi)自由擺動，當擺幅很小時，證明桿的運動

8、為簡諧振動，并求其周期證明桿的運動為簡諧振動，并求其周期. 式中負號表示力矩與角坐標反向式中負號表示力矩與角坐標反向.22mglJ22222ddmglMJdtdtJ 若令若令 ，則上式可改寫為，則上式可改寫為2220ddt 因此，當桿在豎直面內(nèi)作小角度擺動時，桿的運動因此，當桿在豎直面內(nèi)作小角度擺動時，桿的運動是簡諧振動，其周期為是簡諧振動，其周期為222JTmgl2223lTg213Jml以彈簧振子為例以彈簧振子為例諧振動系統(tǒng)的能量諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的系統(tǒng)的動能動能Ek+系統(tǒng)的系統(tǒng)的勢能勢能Ep某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速度為v，位移為位移為x)sin(0 tA)tcos(A

9、x0 221 mEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)五五 簡諧振動的能量簡諧振動的能量動動能能221 mEk )t(sinkA02221 勢勢能能221kxEp )t(coskA02221 情況同動能。情況同動能。pppEEE,minmax0min kE2max21kAEk 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒xtTEEpoEtEk由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 一、同方向、同頻率諧振動的合成一、同方向、同頻

10、率諧振動的合成合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, , 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221 AAAAA112201122sinsintancoscosAAAA)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx質(zhì)點同時參與同方向同頻率質(zhì)點同時參與同方向同頻率的諧振動的諧振動 : :合振動合振動 : :8-2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成2A1AA1 2 1x2xx1M2MM如如 A1=A2 , , 則則 A=0, 2 , 1 , 0212 kk 兩分振動相互加強兩分振動相互加強21AAA , 2 , 1 , 0)12(12 kk 兩分振動相互減

11、弱兩分振動相互減弱21AAA 分析分析若兩分振動同相：若兩分振動同相：若兩分振動反相若兩分振動反相: :)cos(212212221 AAAAA例例8-5已知兩個同方向同頻率簡諧振動的振動方已知兩個同方向同頻率簡諧振動的振動方程分別為程分別為1230.05cos(10)()510.06cos(10)()5xtmxtm(1) 求其合振動的振幅及初相位；求其合振動的振幅及初相位；(2) 設(shè)另一同方向同頻率簡諧振動的振動方程為設(shè)另一同方向同頻率簡諧振動的振動方程為 ，問，問 為何值時為何值時x1x3的振的振幅最大？幅最大？ 為何值時為何值時x1x3的振幅最?。康恼穹钚?？330.07 cos(10)

12、 ()xtm33解解(1) 由題意知由題意知 將上述各值代入將上述各值代入(8-12)式，得合振動的振幅式，得合振動的振幅1122310.05,0.06,55AmAm221212212222cos()20.050.0620.050.06cos()58.92 10()AAAA Am合振動的初相位為合振動的初相位為 11221122sinsinarctancoscos30.05sin0.06sin55arctan30.05cos0.06cos55681224812AAAA或24812位于第三象限不合題意，故知合振動的初位于第三象限不合題意，故知合振動的初相位相位6812. 當當 時，時，(x1x3

13、)的振幅最的振幅最大，得大，得 313325k 332(0,1,2,)5kk當當 時，時，(x2x3)的振的振幅最大，得幅最大，得 3131(21)5k 3(21)(0,1,2,)5kk合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動式中式中tAtA22cos2)(12 隨隨t 緩變緩變tt22cos2cos12 隨隨t 快變快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二二. . 同方向不同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成分振動分振動tAtAx1112coscos tAtAx2222coscos 合振動合振動ttAx22cos22cos21212 21xxx 當當 時時,

14、 ,ttAx 2cos)( 則則：1212 12 拍拍 合振動忽強忽弱的現(xiàn)象合振動忽強忽弱的現(xiàn)象拍頻拍頻 : : 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù) =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：三、兩個相互垂直的簡諧振動的合成：同頻率三、兩個相互垂直的簡諧振動的合成：同頻率合振動合振動)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振動分振動)cos(11 tAx)cos(22 tAy0(1)12 0221 )AyAx(xAAy12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內(nèi)的直線在第一、第三象限內(nèi)的直線12

15、AA斜斜率率質(zhì)點離開平衡位置的位移質(zhì)點離開平衡位置的位移討論討論yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 12(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內(nèi)的直線在第二、第四象限內(nèi)的直線12AA 斜斜率率質(zhì)點離開平衡位置的位移質(zhì)點離開平衡位置的位移yx)tcos(AAyxS 222122)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx2(3)12 12212 AyAx合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)cos(1

16、1 tAx質(zhì)點沿橢圓的運動方向是順時針的。質(zhì)點沿橢圓的運動方向是順時針的。yx)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx2(4)12 合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)cos(11 tAx質(zhì)點沿橢圓的運動方向是逆時針的。質(zhì)點沿橢圓的運動方向是逆時針的。)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 時，逆時針方向轉(zhuǎn)動。時，逆時針方向轉(zhuǎn)動。 0時，順時針方向轉(zhuǎn)動。時

17、，順時針方向轉(zhuǎn)動。三、兩個相互垂直的簡諧振動的合成：不同頻率三、兩個相互垂直的簡諧振動的合成：不同頻率可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1隨隨t 緩慢變化合運動緩慢變化合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。 軌跡稱為軌跡稱為李薩如圖形李薩如圖形yxA1A2o o- -A2- -A1簡諧振動的合成簡諧振動的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:兩分振動頻率相差很小兩分振動頻率相差很小兩振動的頻率成兩振動的頻率成整數(shù)比整數(shù)比李薩如圖形李薩如圖形21:31:32 :一、一、 阻尼振動阻尼振動阻阻尼尼振振動動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。能量隨時間

18、減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動以波的形式向外傳播振動以波的形式向外傳播，使振動能量使振動能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。8-3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振阻尼振動的振動方程阻尼振動的振動方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動力學方程振子動力學方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxF 022022 xdtdxdtxd mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m

19、2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運動速度較低時，弱介質(zhì)阻力是指振子運動速度較低時，介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比 阻力系數(shù)阻力系數(shù)t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動。周期越接近于諧振動。0 )cos(0 teAxt220 0220222 T阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動的準周期阻尼振動的準周期臨界阻尼臨界阻尼t(yī))(tx臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是較快地系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是較快地回到平衡位置并停下來回到平衡位

20、置并停下來0 過阻尼過阻尼t(yī))(tx過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是非常緩系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是非常緩慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 二、二、 受迫振動受迫振動受迫振動受迫振動 振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程ptHtddxkxtdxdmcos22 tphxtddxtdxdcos22022 令令0,2kHhmmm周期性外力周期性外力策動力策動力ptcosFF0 穩(wěn)定解穩(wěn)定解)ptcos(Ax (1)頻率頻率: : 等于策動力的頻率等于策動力的頻率 (2)振幅振幅

21、: :2/12222204)(pphA (3)初相初相: :2202tanpp 特點特點: :穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化)cos()(cos0 ptAteAxt阻尼振動阻尼振動簡諧振動簡諧振動三、三、共振共振在一定條件下在一定條件下, , 振幅出現(xiàn)極大值振幅出現(xiàn)極大值, , 振動劇烈的現(xiàn)象。振動劇烈的現(xiàn)象。1 1、位移共振、位移共振(1)共振頻率共振頻率 : :2202 p(2)共振振幅共振振幅 : :2202 hA*8-4、振動的分解、振動的分解振動的分解振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: : 0、2 0、3 0( (基頻基頻 , , 二次諧頻二次諧頻 , , 三次諧頻三次諧頻 , , ) )按傅里葉級數(shù)展開按傅里葉級數(shù)展開)()(tfTtf 10cos2)(nnnt