數(shù)學(xué)分析第二章

1、第二章第二章 數(shù)列極限數(shù)列極限2.1 數(shù)列極限的概念2.2 收斂數(shù)列的性質(zhì)2.3 數(shù)列極限存在的條件2.1 數(shù)列極限的概念一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列的極限四 、應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用漸近的方法求圓的面積S？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1 A2 A3 A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積, , . 顯然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考慮當(dāng)n時(shí), An的變化趨勢(shì). 2 2、截丈問(wèn)題：、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不

2、竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”;211 X第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 X為為第第二二天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)總總和和為為第第nnX211 1二、數(shù)列的定義例如例如;,2,8 ,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1) n;,)1(,34,21, 21nnn )

3、1(1nnn , 333, 33, 3 數(shù)列極限來(lái)自實(shí)踐，它有豐富的實(shí)數(shù)列極限來(lái)自實(shí)踐，它有豐富的實(shí)際背景際背景. .我們的祖我們的祖 先很早就對(duì)數(shù)列先很早就對(duì)數(shù)列進(jìn)行了研究，早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就有了進(jìn)行了研究，早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就有了極限的概念極限的概念 例例1 戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的莊子莊子.天下篇天下篇引用引用過(guò)一句話：過(guò)一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！币惨簿褪钦f(shuō)一根一尺就是說(shuō)一根一尺 長(zhǎng)的木棒，每天截去一半，這樣的過(guò)長(zhǎng)的木棒，每天截去一半，這樣的過(guò)程可以一直無(wú)限制的進(jìn)行下去。將每天截后的木棒排程可以一直無(wú)限制的進(jìn)行下去。將每天截后的

4、木棒排成一列成一列, 如圖所示如圖所示, 三、數(shù)列的極限（c11(k)c11(k)） 其長(zhǎng)度組成的數(shù)列為其長(zhǎng)度組成的數(shù)列為 n21, 024681000.20.40.60.81隨著隨著n 無(wú)限的增加無(wú)限的增加, 木棒的長(zhǎng)度無(wú)限的趨近于零。木棒的長(zhǎng)度無(wú)限的趨近于零。 1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11nnxOnnxOnxnnxnnx) 1(nO10111213141516171819202120212223242526272829303130313233343536

5、3738394041n11目標(biāo)不惟一！.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的

6、變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限.)1(11時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1

7、(1,1無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近無(wú)限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察: 例如 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), 如果數(shù)列xn的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a, 則常數(shù)a稱為數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a, 記為axnnlim. v數(shù)列極限的通俗定義021limnn1) 1(lim1nnnn021limnn, 1) 1(lim1nnnn. 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn無(wú)限接近于a . 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), |xna|無(wú)限接近于0 . 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), |xna|可以任意小, 要多小就能

8、有多小. 當(dāng)n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先給定的任意小的正數(shù).分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先給定的任意小的正數(shù), 則當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), xn無(wú)限接近于常數(shù)a. 當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), 如果數(shù)列xn的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a, 則數(shù)列xn收斂a. 下頁(yè)v數(shù)列極限的精確定義 設(shè)xn為一數(shù)列, 如果存在常數(shù)a, 對(duì)于任意給定的正數(shù)e , 總存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 不等式 |xna |NeAAnxn目的：eeeAxANnNAxnnn ,0lim時(shí)，有使得自然數(shù)要找到一個(gè)NeAeAAe 越來(lái)越小，N越來(lái)越大！nxn例例1. 1)1(lim1 nnnn

9、證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 e e任給任給,1e e nx要要,1e e n只要只要,1e e n或或所以所以,1e e N取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn e e 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即分析: 例1例 1. 證明1) 1(lim1nnnn. 證明 |xn1|ennnn1| 1) 1(|1, 所以1) 1(lim1nnnn. 下頁(yè)證證明明 因?yàn)閑 0, 證證明明 因?yàn)閑 0, 1eNN, 當(dāng) nN 時(shí), 有 N, 當(dāng) nN 時(shí), 有 axnnlime 0, NN, 當(dāng)nN時(shí), 有|xna|e . 對(duì)于e 0, 要使|xn1|e , 只要|xn1

10、|nnnn1| 1) 1(|1. e 0, 要使|xn1|e , 只要en1, 即e1n. 利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限，有時(shí)遇到的不等式利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限，有時(shí)遇到的不等式|xna|不易考慮，往往采用把不易考慮，往往采用把|xna|放大的方法。放大的方法。若能放大到較簡(jiǎn)單的式子，就較容易從一個(gè)比較簡(jiǎn)單若能放大到較簡(jiǎn)單的式子，就較容易從一個(gè)比較簡(jiǎn)單的不等式去尋找項(xiàng)數(shù)指標(biāo)的不等式去尋找項(xiàng)數(shù)指標(biāo)N放大的原則：放大的原則： 放大后的式子較簡(jiǎn)單放大后的式子較簡(jiǎn)單 放大后的式子以放大后的式子以0為極限為極限例例 2 證明證明1lim22 nann證明證明1|1|22 nanxn)(222nanna nan21

11、 )1(22 naan則則若若0 e e故故21max,Nae 則當(dāng)則當(dāng)n N時(shí)，有時(shí)，有nannan22211 e e n11lim22 nann例例3. 證證明明 分析，要使分析，要使 （為簡(jiǎn)為簡(jiǎn)化，限定化，限定 n只要只要 證證. 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)有時(shí)有由定由定義義 適當(dāng)予先限定適當(dāng)予先限定 nn。是允。是允許許的！但最后取的！但最后取 N 時(shí)時(shí)要保要保證證nn。343lim22nnnennnn12412343222e12n33,12max, 0eeN取ennnn12412343222343lim22nnn. 例例4.證證明明 （K為為正正實(shí)實(shí)數(shù)）數(shù)）證證：由于：由于 所以對(duì)任意所以對(duì)任

12、意0，取，取N= , 當(dāng)當(dāng) nN時(shí)時(shí), 便有便有 01limknnkknn101k11ee 01kn01limknn例例5.lim),(CxCCxnnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cxn CC ,成成立立e e ,0 e e任任給給所以所以,0 ,n對(duì)于一切自然數(shù)對(duì)于一切自然數(shù).limCxnn 說(shuō)明說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié)小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時(shí)用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給關(guān)鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 e e例例6. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 e e任給任給,0e e nn

13、qx,lnlne e qn,lnlnqNe e 取取,時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng)Nn ,0e e nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqne e 例例7.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求求證證且且設(shè)設(shè)證證, 0 e e任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,nNnNxaae使得當(dāng)時(shí)恒有axaxaxnnn 從從而而有有aaxn aaee e 數(shù)列極限的等價(jià)定數(shù)列極限的等價(jià)定義義: ) 0( , , , , 0 :1kkaaNnNneeD :2D對(duì)對(duì)0, ce 3:D 對(duì)對(duì)任正整數(shù)任正整數(shù).1 , , ,maaNnNmn , , , nNn Naae 四四 收斂的否定收斂的否定: aannlim數(shù)列 na發(fā)散 000,0,naNaaee 0nN,有0000,nNaaee 0nN , 有P26 例7五、五、 無(wú)窮小數(shù)列無(wú)窮小數(shù)列: v定義 極限為0的數(shù)列稱為無(wú)窮小量（無(wú)窮小量是指一個(gè)極限概念，趨向常數(shù)0）v nxnxn命題1. 的極限為n 是無(wú)窮小量. 0axyaxnnn)(nnyaxaa變量有極限的充要條件為它可分解為加一個(gè)無(wú)窮小量