新題庫--第08節(jié)球

1、1 題型1 球中的有關(guān)計算 1. 正三棱錐的底面邊長是 2cm，側(cè)棱不底面成 60角，求它的外接球的表面積. 解：如圖，PD 是三棱錐的高，則 D 是 ABC 的中心，延長 PD 交球于 E,則 PE 就是外接球的直徑。 AD = -AB = - ,3 , / PAD = 60 , / PD = AD-tan60 = 2,PA = 4 - 3 3 3 3 2 PA2 = PD- PE = PA = 8 , R = 4 ,. S 球=-64 n (cmf. PD 3 3 9 2. 在球心同側(cè)在相距 9cm 的兩個平行截面，它們的面積分別為 49n cm2和 400n cm2.求球的表面積. 解：

2、如圖 9-8-12 為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知， AO/ BO2，且若 0“。2分別為兩截面圓的圓 心，則 OO1 丄 AO1, OO2丄 OB2. 設(shè)球的半徑為 R . nQB2=49n , O2B=7(cm)。同理 冗0小2=400 冗. 01A=20(cm). 設(shè) OO1=xcm，貝V OO2=(x+9)cm.。在 Rt OO1A 中，R2=x2+202, 在 Rt OO2Bk ,R2=(x+9) 2+72, x2+20 2=72+(x+9) 2,解得 x=15 . R2=x2+20 2=25 2. R=25. S 球=4nR 2=2500n (cm2), 球的表面積為 25000

3、n cm2. 3. 如圖 8 12，球面上有四個點(diǎn) P、A、B、C,如果 PA , PB , PC 兩兩互相垂直，且 求這個球的表面積。 解：如圖 8 12，設(shè)過 A、B、C 三點(diǎn)的球的截面圓半徑為 r,圓心為 O, 球心到該圓面的距離為 d。 在三棱錐 P ABC 中，T PA, PB , PC 兩兩互相垂直，且 PA=PB=PC= a, O共線，球的半徑 R= . r2 d2 OO =R .3 a=d= -R2 - r2 ,(R 3a)2=R2 3 -（于$,解得 R= 3 2 2 a, S 球=4 nR =3 na 。 4. 把地球當(dāng)做半徑為 R 的球，地球上的兩點(diǎn) A、B 的緯度都是北

4、緯 45 A、B 兩點(diǎn)間的球面距離 為壬只,A 在東經(jīng) 20處，求 B 點(diǎn)的位置. 3 解：如圖 9-8-7，因為 A、B 的球面距離是指過 A、B 的大圓的劣弧長， 所以/ AOB= n，因此 AB=R。 3 過 A、B 分別向赤道平面作垂線， 垂足為 A , B , AB =AB , O A =OA- cos45 , J2 J 2 圖 9-8-12 PA=PB=PC= a, 圖 8-12 。又 PO = PA2 - r2 = a, 3 圖 9-8-7 2 AB=BC=CA= J2a,且 P 在厶 ABC 內(nèi)的射影即是 ABC 的中心 O。由正弦定理, 得 2a =2r, r=a。又根據(jù)球的

5、截面的性質(zhì)，有 OO 丄平面 ABC，而 PO 丄平面 ABC , P、O、 sin 60 33 此鏡面的表面積和體積 解：軸截面如圖，設(shè) O2C = x,貝U C0i = 21-x, / AB 丄 O1O2, AO22-O2C2= AOi2-COi2，即 102-x2 = 172-(21-x) 2,解得 x= 6,C0 1 = 15。 / A 在東經(jīng) 20處， B 點(diǎn)的位置在 20 90處，即在北緯 45、東經(jīng) 110或北緯 45西經(jīng) 70處. 5. 設(shè)地球的半徑為 R，在北緯 45圈上有兩個點(diǎn) A、B , A 在西經(jīng) 40 B 在東經(jīng) 50求 A、B 兩點(diǎn) 間緯線圈的弧長及 A、B 兩點(diǎn)間

6、的球面距離. 解：如圖 9-8-8，設(shè) 45緯度圈中心為 0 仆地球中心為 O,則/ A01 B=40 +50 =90。又T 00圓 Oi所在平面， 00OlA , OOl丄 OlB .又 A、B 在北緯 45圈上， .2 / 0B0! = / OAOi=45. 0iA=0iB=0 i0=0A cos45 = R. 2 在直角 AOiB 中， A0i=B0i，二 AB= . 2 AOi=R . /. AOB 為等邊三角形. / AOB= n.在 45緯線圈上，AB 弧長為nA0i= n 丄2 R=二 nR.(此時是 在球面上，A、 B 兩點(diǎn)的球面距離為 AB 弧長=| a | - AOSR .

7、（此時是大圓上一段劣弧長）， A、B 兩 3 點(diǎn)間緯線圈的弧長為 .； 2 n nR, A、B兩點(diǎn)間的球面距離為 一R. 7.在桌面上有三個球兩兩相切，且半徑都為 i,在桌面不三球間放置一個小球，使它不三個球相切 求此 小球半徑 解：球 0 為放置在桌面上不已知三球相切的半徑為 r 的小球，過 0 作 OiO2O3平面的垂線，垂足為 H , 它一定是 山心?。的中心，連接 OH , OO。 在 RtAOiOH 中, OiH = 2 2 2 OH = i-r,00 i = i+r, 001 = OiH +0H , 即(1+r)2=(寫)5, &地球半徑為 R，在北緯 45圈上有 A、B

8、兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度差為 解：本題關(guān)鍵是求出/ AOB 的大小，（如圖 1）。將這個球的截 面問題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的長方體問題 如圖 2，以 0i0, OiA, OiB 為三條相互垂直的棱， 可構(gòu)造一個長方體，問題轉(zhuǎn)化為長方體截面 ABO 內(nèi)求/ BOA 的問題 / 0i0A = =Z 0i0B ,0A = 0B = R , 00i = 0iA= OiB 4 AB2= OiA2+OiB2= R A AOB 為等邊 A, AOB A、B 間的球面距離為一 R. 3 3 9.兩面都是凸形鏡中，它的面都是球冠形，球半徑分別為 10cm 和 17cm，兩球心間的距離為 21cm，求 6 求證：過球 0 內(nèi)一

9、定點(diǎn) P 的諸弦，被點(diǎn) P 分成的兩線段之積是一個定值. 證：設(shè)過點(diǎn) P 的任意一弦為 AB （AB 丌是直徑），過點(diǎn) P 的直徑為 MN，且 MN=2R , OP=d .在 MN、 2 2 2 2 AB 所在的大圓截面中，由相交弦定理，APPN=（R+d） （R-d）=R -d 當(dāng) AB 為直徑時也成立， APPB=R -d 為一定值. ，求球面上 A、B 兩點(diǎn)間球面距離 2 肌 4 又設(shè)左邊球缺的高為 h 1,右邊的球缺高為 h2，貝U h1 = 17-15 = 2, h2= 10-6 = 4。5 2 1 2 2 S 表=2n (17 2+104)148n (cm) ,V = n2(3 1

10、0-2)+4 (3 17-4): 3 =288n (cm3). 10 .湖結(jié)冰時，一個球漂在其上，取出后 (未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為 24cm,深為 8cm 的空穴, 求該球的半徑. 解：設(shè)球的半徑為 R，依題意知截面圓的半徑 r = 12,球心不截面的距離為 d = R-8，由截面性質(zhì)得： r2+d2= R2,即 122+(R-8) 2 = R2.解得 R = 13。該球半徑為 13cm. 11 .在有陽光時，一根長為 3 米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為 3 米，同時將一個半徑為 3 米的球 放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積 (結(jié)果用無理數(shù)表示). 解：由題意

11、知，光線不地面成 60角，設(shè)球的陰影部分面積為 S，垂直于 光線的大圓面積為 S,則 Scos30 = S并且 S = 9n, 所以 S = 63 n 米 2) R 12 .地球半徑為 R , A、B 兩地都在北緯 45線上，且 A、B 的球面距離為，求 A、B 兩地經(jīng)度的差 3 是北緯 45。圈的中心，/ A、B 都在此圈上，O1A = O1B= 2 R. / A、B 的球面距離為 2 二 R 2 2 1 2 1 亠 = , AOB 為等邊三角形.AB = R，在 AO1B 中，T 0 小2+0 汩2= R2 + R 3 2 2 AO1B= 90. A、B 兩地的經(jīng)度差是 90. 題型2 球

12、中的線面關(guān)系 13 .球 O 的截面 BCD 到球心的距離等于球的半徑的一半， BC 是截面圓的直徑，D 是圓周上的一點(diǎn)，CA 是球 O 的直徑。 (1) 求證：平面 ABD 丄平面 ADC ; (2) 如果 BD : DC= ,3 : 2，求二面角 B-AC-D 的大小。 解：(1)如圖，設(shè)截面圓 BCD 的圓心為 O1,則 OO1丄面 BCD。因為 AC 為大圓直徑，所以 AB 丄 BC , 又 001丄 BC , AB / OO1OA AB 丄面 BCD , AB 丄 CD。又 BC 是O O1 直徑， CD 丄 BD。二 CD 丄面 ABD，面 ABD 丄面 ADC。 (2)由(1)知

13、，AB 丄面 BCD ,所以面 BCD 丄面 ABC。作 DE 丄 BC 于 E，則 DE 丄面 ABC。作 EF 丄 AC 于 F，連 DE。由三垂線定理知 DF 丄 AC,所以/ DFE 是二面角 B-AC-D 的平面角。 設(shè)球的半徑為 2，則 OO1=1 , AB=2，/ ACB=30 , BC=2 J3。在 Rt BCD 中，由 BD : CD= : 2 DE tan / DEF= 3，所以/ DFE=60 解：設(shè)。1 AOB = R =22R2 及勾股定理，得 BD= ,CD= 3，所以 DE= 12 , CE= 83 EF= 1 CE= 2 ，所以 6 EF 題型3 不球有關(guān)的組合

14、體 14 .設(shè)棱錐 M ABCD 的底面是正方形，且 MA = MD , MA 丄 AB ,如果 AMD 的面積為 1 ,試求能夠放7 入這個棱錐的最大球的半徑 解：/ AB 丄 AD , AB 丄 MA ,二 AB 丄平面 MAD，由此，面 MAD 丄面 AC. 記 E 是 AD的中點(diǎn)，從而 ME 丄 AD. / ME 丄平面 AC , ME 丄 EF 設(shè)球 0 是不平面 MAD、AC、平面 MBC 都相切的球丌妨設(shè) 0 平面 MEF , 于是 0 是 MEF 的內(nèi)心設(shè)球 0 的半徑為r,貝 U r= 設(shè) AD = EF = a, T S AMD= 1.ME = 2 .MF = J a2 +

15、 (2)2 ,r = a . a n =_ 2 -1。當(dāng)且僅當(dāng) a =，即 a = i 2時，等號成立.當(dāng) AD = ME = , 2 時，滿足條件的球最大。 a 15 .已知圓錐的母線長為 I,母線對圓錐底面的傾角為 0,在這個圓錐內(nèi)有一內(nèi)切球, 正方體，求這個內(nèi)接正方體的體積 . 解：設(shè)球半徑為 R，以內(nèi)接正方體對角面為軸截面，如圖 .連接 0A , / Q 0 0 / 0AD = , R = 0D = AD- tan ,VA = I,AD = Icos 0.；. R = Icos 0 ta。 2 2 2 又設(shè)正方體棱長為 x,則 3x2 = EG2 = 4R2,X = - . 3R. 2

16、SAMEF 2 2 - w 2 2 /2、2 2 2 2 a亠一亠，a () a t a M A B 8 3 V正方體=口 (lcos 9 0 tan)3. 2 16 .求棱長為 a 的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑 6 解：如圖，作 AH 丄底面 BCD 于 H,貝 U AH = a，設(shè)內(nèi)切球的球心為 0,半徑為 r。0 點(diǎn)不 A、B、 C、D 相連，得四個錐體，設(shè)底面為 r = 1 AH = a。 4 12 S，則每個側(cè)面積為 S，有 4 丄 Sr = 1 SAH , 3 3 設(shè)外接球心為 0,半徑 R，過 A 點(diǎn)作球的半徑交底面 CD 于 H，則 H 為 c 1 a a * a 圓 BC

17、D 的圓心，求得 BH = - a,AH = a,由相交弦定理得 6 aX(2R- 6 a)=( 3 3 3 3 3 壬） 2.解得 R =. _ 16 r = - a。 題型4 球中的綜合問題 17 .如圖，過半徑為 R 的球面上一點(diǎn) P 作三條兩兩垂直的弦 PA、PB、PC。 （1）求證：PA2+PB2+PC2為定值； （2）求三棱錐 P ABC 的體積的最大值. 解：（1）設(shè)過 PA、PB 的平面截球得O 01,T PA 丄 PB , AB 是O 01的直徑， 連 P01并延長交O 01于 D，貝 U PADB 是矩形，PD2= PA2+PB 2. 設(shè) 0 為球心，則 001丄平面O 0

18、1，: PC 丄O 01平面， 00, PC,因此過 球內(nèi)又有一個內(nèi)接的 3 9 故 PA2+PB2+PC2 = PD2+PC2= CD2 = 4R2 定值. 1 2 (2)設(shè) PA、PB、PC 的長分別為 x、y、z ,則 三棱錐 PABC 的體積 V = xyz , V = 6 18 .同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于半徑為 R 的球，它們的側(cè)面不底面所成的角分別為 ： 1- 2.求: （1）側(cè)面積的比； （2）體積的比； （3）角”.二2的最大值. 解：（1）設(shè) 0 為球心，01為正三棱錐底面 ABC 所在圓的圓心，兩個三棱錐的頂點(diǎn)分別為 P,Q, 取 BC 的中點(diǎn) D,則PD _ BC, AD _ BC, PDO1是側(cè)面不底面所成二面角的平面角。 二 PDO1 =，同理 NQDO1 t2。二 PD QD cos% cosa2 SP 公BC側(cè)： SQ 公BC側(cè)=COS -：2 : COS -：1 . （2） PO1 -DO1 tan1,QO1二DO1 tan2,這兩個三棱錐的底都是三角 ABC , VP _ABC : VQ _ABC 二 PO1 : QO1 - tan : tan -遼. (3)設(shè):ABC 邊長為 a, OO1 = h，則 tan1 = P DO1 平面 ABC 通過