復(fù)變函數(shù)第8-11講

1、13.1 復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 3.2 冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 3.3 泰泰 勒勒 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 3.4 洛洛 朗朗 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)第三章第三章 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)21、 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限3 3.1 復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)數(shù)列與復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)111222,.,.nnnaibaibaib 復(fù)數(shù)數(shù)列復(fù)數(shù)數(shù)列一列無窮多個(gè)有序的復(fù)數(shù)一列無窮多個(gè)有序的復(fù)數(shù).n 稱稱為為一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)列列，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列，記記為為3定義定義 1.1,),2 , 1(nnnniban 其其中中為為一一復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列設(shè)設(shè)00若若當(dāng)當(dāng)恒恒 有有，,nNnN 記記作作.為為一一復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)iba 不收斂的數(shù)列

2、稱為發(fā)散數(shù)列不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.那那么么 稱稱為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限，nn 此此時(shí)時(shí)，也也稱稱復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于.n 或或 ，li,m()nnnn 4例例求求1lim21.nni ,021lim, 12221 nnii所所以以分分析析：因因?yàn)闉?021lim nni于于是是當(dāng)當(dāng)110,0,()022nniiNnN limlim, lim4.1 .nnnnnnaabb 定定理理1.1522()()()(),lim, lim.nnnnnnnnnnnnnaai bbaabbaabbaabb 故故lim, lim,nnnnaabb “”已已知知即即證明證明lim,0,0,.n

3、nnNnN “”已已知知即即當(dāng)當(dāng)恒恒有有0,0,22nnNnNaabb 當(dāng)當(dāng)恒恒有有，()(),lim.nnnnnnnaai bbaabb 故故6該定理說明該定理說明: : 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性. .可以證明，兩個(gè)收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商可以證明，兩個(gè)收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。課堂練習(xí)課堂練習(xí): :下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.

4、1)3(2innenz 72 2、 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) nnn 211 niinns121 級(jí)數(shù)前級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和-無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)定義定義1.2), 2 , 1( nibannn 設(shè)復(fù)數(shù)列設(shè)復(fù)數(shù)列l(wèi)im4.3nnnsss 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列收收斂斂，則則稱稱此此級(jí)級(jí)定定數(shù)數(shù)收收斂斂，并并稱稱極極限限義義為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和，1kks 記記作作. .否否則則稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散. .定義定義1.31.38說明說明: 與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同, 判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是性的基本方法是:.lim ssnn 利利

5、用用極極限限:,0 nnz級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例如如1-21nnzzzs ,1時(shí)時(shí)由于當(dāng)由于當(dāng) z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂所所以以當(dāng)當(dāng) z9 根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的有關(guān)結(jié)論，可以得出判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的簡(jiǎn)單方法出判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的簡(jiǎn)單方法.111nnnnkkkkkkSaib 事實(shí)上，由于事實(shí)上，由于判斷級(jí)數(shù)是否收斂，實(shí)際上比較困難判斷級(jí)數(shù)是否收斂，實(shí)際上比較困難. .111都都收收斂斂和和收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnnnba定理定理1.21.210 )1(1 1是否收斂？是否收斂？級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnin解解;

6、 1 11發(fā)發(fā)散散因因?yàn)闉?nnnna . 1121收斂收斂 nnnnb所以原級(jí)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散數(shù)發(fā)散. . 課堂練習(xí)課堂練習(xí)11(2)(1)ninn 2 2級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 是是否否收收斂斂？ 2111;nnnan 因因?yàn)闉?收收斂斂111.nnnbn 3 3 收收斂斂 所以原級(jí)所以原級(jí)數(shù)收斂數(shù)收斂. . 11常見實(shí)級(jí)數(shù)斂散性判別法：常見實(shí)級(jí)數(shù)斂散性判別法：1 1）比較法；）比較法；2 2）比值法；）比值法；3 3）根值法；）根值法；4 4）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法）交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法. .啟示啟示: 判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn

7、如果如果級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷應(yīng)進(jìn)一步判斷., 0lim nn 14.3 :lim0.nnnn 定定理理級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件定理定理1.31.3121144,.nnnn 定定理理 . . 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂證明證明2222,(*)nnnnnnnnnnnaibabababab 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，再再由由比比較較法法知知 11,nnnnba.,111也也收收斂斂收收斂斂，從從而而于于是是 nnnnnnba定理定理3.43.41144,.nnnn 定定理理 . . 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂定理定理1.41.41114.

8、5 .nnnnnnab 定定理理級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂和和都都收收斂斂定理定理1.51.513定義定義1.411nnnn 若若收收斂斂絕絕，則則稱稱為為對(duì)對(duì)收收斂斂；111.nnnnnn 若若發(fā)發(fā)散散，而而收收斂斂，則則稱稱為為條條件件收收斂斂11(1)nnnn 斂斂，一一定定斂斂嗎嗎？若若收收 收收1112( )()nnnnnnn 斂斂，發(fā)發(fā)散散， 問問斂斂嗎嗎？若若收收 收收1113( )()nnnnnnn 和和都都發(fā)發(fā)散散， 問問斂斂嗎嗎？若若 收收思考思考14判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法：判斷復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法：1limnn ( ( ) ) 判判斷斷是是否否為為零零。112.nnnnab( )

9、 ( ) 判判斷斷和和的的斂斂散散性性1(3) nn 判判斷斷收收斂斂正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1(4) nn 判判斷斷發(fā)發(fā)散散交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)(5) 定義定義(6) (6) 其他方法其他方法15解解.)21(211)1(111發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnnninn例例2否否絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 11;)2();21()1(nnnnniin 01.!)8()4(;2) 1()3(nnnnnniin.1)2(11不不絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂發(fā)發(fā)散散， nnnnin16.2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn.)1(1原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

10、非非絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn.!)8(!8!8)4(000絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂， nnnnnnninni)7151311()614121(1 ininn由由于于 1.nnni條條件件收收斂斂于于是是17)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn定義定義1設(shè)復(fù)變函數(shù)列：設(shè)復(fù)變函數(shù)列：, 2 , 1,)( nDzzfn-稱為稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)前級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的部分和；部分和；1819(1),(1)( ).lim( )( ).nnDDzDs zszs z 如如果果級(jí)級(jí)

11、數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)處處處處收收斂斂，則則對(duì)對(duì)于于 內(nèi)內(nèi)的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和就就是是 內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)函函稱稱為為它它的的數(shù)數(shù)，記記為為，和和函函數(shù)數(shù)即即.)()1()()(lim00000稱稱為為它它的的和和處處收收斂斂，在在則則稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)存存在在，內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，如如果果為為設(shè)設(shè)zszzszsDznn 20均均有有對(duì)對(duì)一一切切的的當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)存存在在正正整整使使得得對(duì)對(duì)任任意意給給定定的的數(shù)數(shù)上上有有一一個(gè)個(gè)函函），如如果果在在對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)（定定義義, , ),( , 0),(1 DzNnNNzsD ( ),ns zsz . 1zsD上一致收斂于上一致收斂于在在則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù)一致收斂的

12、級(jí)數(shù)有一些很好的性質(zhì)一致收斂的級(jí)數(shù)有一些很好的性質(zhì)。21定理定理2.22.2 設(shè)在曲線設(shè)在曲線 C 上上 fn(z) (n=1,2,) 連續(xù)連續(xù),1( )(.)nCCnf z dzs z dz并且級(jí)數(shù)并且級(jí)數(shù) 在在C上一致收斂于上一致收斂于 ，那么那么)(zfn并且級(jí)數(shù)并且級(jí)數(shù) 在在 上一致收斂于上一致收斂于 ，那么那么 在在 上連續(xù)上連續(xù).)(zfnD定理定理2.12.1 設(shè)在設(shè)在 上上 fn(z) (n=1,2,) 連續(xù)連續(xù)，DD zs zs zs22和實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，我們也有相應(yīng)的柯西一致和實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，我們也有相應(yīng)的柯西一致收斂原理：收斂原理：)(zfnD.| )(.)()(

13、|21zfzfzfpnnn定理定理2.32.3 ( (一致收斂柯西準(zhǔn)則一致收斂柯西準(zhǔn)則) ) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在在 上一致收斂的充要條件是：上一致收斂的充要條件是：任給任給 存在只與存在只與 有關(guān)的正整數(shù)有關(guān)的正整數(shù) 使得當(dāng)使得當(dāng) 時(shí)，對(duì)任意時(shí)，對(duì)任意 p 和和任意任意 有有0,),(NN nN,zD23優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則: : 設(shè)設(shè).21naaa,.),2 , 1( | )(|nazfnn是一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)且在是一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)且在 上，若上，若D)( zfn 那么級(jí)數(shù)那么級(jí)數(shù) 在在 上一致收斂上一致收斂. .D24內(nèi)閉一致收斂?jī)?nèi)閉一致收斂：設(shè)函數(shù)序列設(shè)函數(shù)序列,.)2 , 1)

14、(nzfn在復(fù)平面在復(fù)平面 C 上的區(qū)域上的區(qū)域 D 內(nèi)解析內(nèi)解析. .如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù))(zfn在在 D 內(nèi)任一有界閉區(qū)域上一致收斂于內(nèi)任一有界閉區(qū)域上一致收斂于 ，那么我們說此級(jí)數(shù)在那么我們說此級(jí)數(shù)在 D 中內(nèi)閉一致收斂于中內(nèi)閉一致收斂于 . zs zs25定理定理2.42.4（魏爾斯特拉斯定理）（魏爾斯特拉斯定理）設(shè)函數(shù)列設(shè)函數(shù)列( )nfz 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，并且函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)內(nèi)解析，并且函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(zfn 在在 D 內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù) ，那么那么 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，并且在內(nèi)解析，并且在 D 內(nèi)內(nèi)()()1( )( ).kknnszfz zs zs

15、262、 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 20120()()()nnnczacc zacza 的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), ,其中其中 c0,c1,c2 ,a都是復(fù)常數(shù)都是復(fù)常數(shù). .20120.nnnc zcc zc z 冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), ,為了搞清為了搞清楚它的斂散性楚它的斂散性, ,先建立以下的先建立以下的阿貝爾阿貝爾( (Abel) )定理定理. .形如形如若令若令zz-a,則以上冪級(jí)數(shù)還可以寫成如下形式則以上冪級(jí)數(shù)還可以寫成如下形式27非凡的數(shù)學(xué)家非凡的數(shù)學(xué)家阿貝爾阿貝爾Abel,Niels Henrik,1802-1829挪威數(shù)學(xué)家

16、挪威數(shù)學(xué)家18241824年，他解決了用根式求年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題解五次方程的不可能性問題18251825年建議克萊爾創(chuàng)辦了年建議克萊爾創(chuàng)辦了純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志18231823年，發(fā)表了關(guān)于用積分年，發(fā)表了關(guān)于用積分方程求解古老的方程求解古老的“等時(shí)線等時(shí)線”問題的論文。問題的論文。28如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的一一切切 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂0000(0).nnnc zzzzzzz 定理定理2.5（阿貝爾定理阿貝爾定理) ：z0 收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)0.xyz0發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn)0.yx如如果果在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的

17、 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散00.zzzzz29(?),2,1 ,0,00 nMzcMnn使使得得于于是是，存存在在常常數(shù)數(shù)證明證明. 0lim,)1(000 nnnnnnzczc則則收收斂斂, 1|,00 qzzzz所所以以因因?yàn)闉?00nnnnnnMqzzzczc ,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc.0絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 nnnzc30(2)(2)用反證法用反證法，收收斂斂，若若存存在在 01011,nnnzczzz.)1(00收收斂斂與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾，得得證證知知由由 nnnzc對(duì)于冪級(jí)數(shù)（對(duì)于冪級(jí)數(shù)（1），請(qǐng)寫出相應(yīng)的阿貝爾定理），請(qǐng)寫出相應(yīng)的

18、阿貝爾定理.的的逆逆否否命命題題呢呢？是是否否可可以以作作為為定定理理中中的的)1()2(Abel處處發(fā)發(fā)散散？而而在在處處收收斂斂，能能否否在在思思考考題題：30)2()1(0 zzzcnnn.!)2(0的斂散性的斂散性討論討論 nnnz3132非凡的數(shù)學(xué)家非凡的數(shù)學(xué)家阿貝爾阿貝爾阿貝爾（阿貝爾（Abel,Niels Henrik,1802-1829Abel,Niels Henrik,1802-1829）挪威數(shù)學(xué)）挪威數(shù)學(xué)家。家。18021802年年8 8月月5 5日生于芬島，日生于芬島，18291829年年4 4月月6 6日卒于日卒于弗魯蘭。是克里斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教弗魯蘭。是克里

19、斯蒂安尼亞（現(xiàn)在的奧斯陸）教區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父區(qū)窮牧師的六個(gè)孩子之一。盡管家里很貧困，父親還是在親還是在18151815年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的年把阿貝爾送進(jìn)克里斯蒂安尼亞的一所中學(xué)里讀書，一所中學(xué)里讀書，1515歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡歲時(shí)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師洪堡（Bernt Michael Holmbo 1795-1850Bernt Michael Holmbo 1795-1850）發(fā)現(xiàn)了阿）發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)貝爾的數(shù)學(xué)天才，對(duì)他給予指導(dǎo)。使阿貝爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。1616歲時(shí)阿貝爾寫了一篇解歲時(shí)阿貝爾寫了一篇

20、解方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根（方程的論文。丹麥數(shù)學(xué)家戴根（Carl Ferdinand Carl Ferdinand Degen 1766-1825Degen 1766-1825）看過這篇論文后，為阿貝爾的）看過這篇論文后，為阿貝爾的33數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的數(shù)學(xué)才華而驚嘆，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界正興起對(duì)橢圓積分的研究，于是他給阿貝爾回信寫到：研究，于是他給阿貝爾回信寫到：“.“.與其著手解決與其著手解決被認(rèn)為非常難解的方程問題，不如把精力和時(shí)間投被認(rèn)為非常難解的方程問題，不如把精力和時(shí)間投入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就入到對(duì)解析學(xué)和力學(xué)的研究上。例如，橢圓積分就是很好

21、的題目，相信你會(huì)取得成功是很好的題目，相信你會(huì)取得成功.”.”。于是阿貝爾。于是阿貝爾開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。開始轉(zhuǎn)向?qū)E圓函數(shù)的研究。阿貝爾阿貝爾1818歲時(shí)，父親去世了，這使生活變得更歲時(shí)，父親去世了，這使生活變得更加貧困。加貧困。18211821年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克年在洪堡老師的幫助下，阿貝爾進(jìn)入克里斯蒂安尼亞大學(xué)。里斯蒂安尼亞大學(xué)。18231823年，他發(fā)表了第一篇論文，年，他發(fā)表了第一篇論文，是關(guān)于用積分方程求解古老的是關(guān)于用積分方程求解古老的“等時(shí)線等時(shí)線”問題的。問題的。這是對(duì)這類方程的第一個(gè)解法，開了研究積分方程這是對(duì)這類方程的第一個(gè)解法，開了研究積分方程的先河

22、。的先河。18241824年，他解決了用根式求解五次方程的不年，他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但可能性問題。這一論文也寄給了格丁根的高斯，但是高斯連信都未開封。是高斯連信都未開封。 341825年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者克萊爾年，他去柏林，結(jié)識(shí)了業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者克萊爾（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他與斯坦納）。他與斯坦納建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)建議克萊爾創(chuàng)辦了著名數(shù)學(xué)刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾雜志。這個(gè)雜志頭三卷發(fā)表了阿貝爾22篇包括方篇包括方程論、無窮級(jí)數(shù)、橢圓函

23、數(shù)論等方面的論文。程論、無窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等方面的論文。1826年，阿貝爾來到巴黎，他會(huì)見了柯西、勒年，阿貝爾來到巴黎，他會(huì)見了柯西、勒讓德、狄利赫萊和其他人，但這些會(huì)面也是虛應(yīng)故讓德、狄利赫萊和其他人，但這些會(huì)面也是虛應(yīng)故事，人們并沒有真正認(rèn)識(shí)到他的天才。阿貝爾又太事，人們并沒有真正認(rèn)識(shí)到他的天才。阿貝爾又太靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然靦腆，不好意思在陌生人面前談?wù)撍睦碚?。雖然沒有像克萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的沒有像克萊爾那樣的熱心人，但他仍然堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的研究工作。撰寫了研究工作。撰寫了“關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的關(guān)于一類極廣泛的超越函數(shù)的一一般性質(zhì)般性質(zhì)”的論文

24、，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給的論文，提交給巴黎科學(xué)院。阿貝爾在給洪洪堡的信中，非常自信地說：堡的信中，非常自信地說：“.已確定在下個(gè)月的科已確定在下個(gè)月的科學(xué)院例會(huì)上宣讀我的論文學(xué)院例會(huì)上宣讀我的論文,由柯西審閱由柯西審閱,恐怕還沒有來恐怕還沒有來35得及過目。不過，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值的工得及過目。不過，我認(rèn)為這是一件非常有價(jià)值的工作，我很想能盡快聽到科學(xué)院權(quán)威人士的意見，現(xiàn)作，我很想能盡快聽到科學(xué)院權(quán)威人士的意見，現(xiàn)在正昂首以待在正昂首以待.?！?可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論文放進(jìn)抽屜可是，負(fù)責(zé)給阿貝爾審稿的柯西把論文放進(jìn)抽屜里，一放了之。（這篇論文原稿于里，一放了之。（這篇論文

25、原稿于1952年在佛羅倫年在佛羅倫薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無音信。一氣之薩重新發(fā)現(xiàn)）阿貝爾等到年末，了無音信。一氣之下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于下離開了巴黎，在柏林作短暫停留之后于1827年年5月月20日回到了挪威。由于過渡疲勞和營(yíng)養(yǎng)不良，在日回到了挪威。由于過渡疲勞和營(yíng)養(yǎng)不良，在旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)時(shí)是不治之癥。當(dāng)阿旅途上感染了肺結(jié)核。這在當(dāng)時(shí)是不治之癥。當(dāng)阿貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（貝爾去弗魯蘭與女朋友肯普（Christine Kemp）歡）歡度圣誕節(jié)時(shí)，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗度圣誕節(jié)時(shí)，身體非常虛弱，但他一邊與病魔作斗爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。爭(zhēng)一邊繼續(xù)進(jìn)行數(shù)

26、學(xué)研究。他原希望回國(guó)后能被聘為大學(xué)教授，但是他的他原希望回國(guó)后能被聘為大學(xué)教授，但是他的這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度這一希望又一次落空。他靠給私人補(bǔ)課謀生，一度36當(dāng)過代課教師。阿貝爾和雅可比（當(dāng)過代課教師。阿貝爾和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始）是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的創(chuàng)始人。這是作為橢圓積分的反函數(shù)而為他所發(fā)現(xiàn)人。這是作為橢圓積分的反函數(shù)而為他所發(fā)現(xiàn)的。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要的。這一理論很快就成為十九世紀(jì)分析中的重要領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有領(lǐng)域之一，他對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)物理以及代數(shù)幾何有許多

27、應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、許多應(yīng)用。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性。此外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)的嚴(yán)格理雙周期性。此外，在交換群、二項(xiàng)級(jí)數(shù)的嚴(yán)格理論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作論、級(jí)數(shù)求和等方面都有巨大的貢獻(xiàn)。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動(dòng)者。在這個(gè)時(shí)候，使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動(dòng)者。在這個(gè)時(shí)候，阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍阿貝爾的名聲隨著克萊爾雜志的廣泛發(fā)行而傳遍了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見這篇橢圓函了歐洲的所有數(shù)學(xué)中心。雅可比看見這篇橢圓函數(shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之?dāng)?shù)的論文，而且知道了巴黎科學(xué)院所作的蠢事之后，非常吃驚，在

28、后，非常吃驚，在1829年年3月月14日寫信給巴黎科學(xué)日寫信給巴黎科學(xué)37院表示抗議：院表示抗議：“.這在我們生活的這個(gè)世紀(jì)中，恐這在我們生活的這個(gè)世紀(jì)中，恐怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向怕是數(shù)學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)，雖然向老爺們老爺們的的研研究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒有得到諸究院提交此論文達(dá)兩年之久，但一直沒有得到諸位先生的注意，這是為什么呢？位先生的注意，這是為什么呢？.”。而由于阿貝。而由于阿貝爾身處孤陋寡聞之地，對(duì)于這一切一無所知。阿爾身處孤陋寡聞之地，對(duì)于這一切一無所知。阿貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無策了貝爾的病情不斷發(fā)展，甚至連醫(yī)生也束手無策了 1829年年4月月5日夜

29、間，阿貝爾的病情急劇惡日夜間，阿貝爾的病情急劇惡化，于化，于4月月6日上午日上午11點(diǎn)去世。作為命運(yùn)捉弄人的點(diǎn)去世。作為命運(yùn)捉弄人的是，在他死后的第二天，克萊爾寫信給阿貝爾是，在他死后的第二天，克萊爾寫信給阿貝爾“.我國(guó)教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授我國(guó)教育部決定招聘您為柏林大學(xué)教授.，一個(gè)，一個(gè)月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書月之內(nèi)就能發(fā)出招聘書.?！边@封信還提到，希望這封信還提到，希望阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費(fèi)用阿貝爾能盡量用最好的藥物治療，不要考慮費(fèi)用支出。他的親人們聽到這一消息，禁不住淚流滿支出。他的親人們聽到這一消息，禁不住淚流滿面。面。38000000(0).nnnc zzzzz

30、zzzzzzz 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的一一切切 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 如如果果在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，則則對(duì)對(duì)滿滿足足的的 ，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散定理定理2.5（阿貝爾定理阿貝爾定理) ：0()nnncza 0| |zaza 0| |zaza 39(1) 對(duì)所有的復(fù)數(shù)對(duì)所有的復(fù)數(shù)z都收斂都收斂.由阿貝爾定理知由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂. .收斂半徑為收斂半徑為例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnzzz2221對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的z, 從某個(gè)從某個(gè)n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的故該

31、級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂均收斂.3 3、冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑、冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑(2) 除除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.收斂半徑為零。收斂半徑為零。例如例如,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnznzz2221, 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z故級(jí)數(shù)發(fā)散故級(jí)數(shù)發(fā)散.通項(xiàng)不趨于零通項(xiàng)不趨于零, 40.,)0()3(020121發(fā)發(fā)散散收收斂斂使使得得和和存存在在點(diǎn)點(diǎn) nnnnnnzczczz顯然，顯然， .否則，級(jí)數(shù)將在否則，級(jí)數(shù)將在 處發(fā)散處發(fā)散.12:|( |):|( |)AbelCzzCzz 由由定定理理，在在圓圓周周內(nèi)內(nèi)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂；在在圓圓周周外外

32、，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。,.zzz 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn) 沿沿著著正正實(shí)實(shí)軸軸由由點(diǎn)點(diǎn)向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí) 必必定定先先經(jīng)經(jīng)過過使使級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的點(diǎn)點(diǎn)，然然后后到到達(dá)達(dá)使使級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散的的點(diǎn)點(diǎn) 410,nnRnc zC 事事實(shí)實(shí)上上， 對(duì)對(duì)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)總總存存在在一一個(gè)個(gè)圓圓使得該級(jí)數(shù)在圓內(nèi)絕對(duì)收斂，而在圓的外部發(fā)散。使得該級(jí)數(shù)在圓內(nèi)絕對(duì)收斂，而在圓的外部發(fā)散。xyo1z.2z.R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑收斂圓周收斂圓周|zR |zR R冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)0()nnncza 的收斂范圍是以的收斂范圍是以a點(diǎn)為中心的圓域點(diǎn)為中心的圓域.42 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不

33、能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意注意問題問題2: 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù):1, 1 zR收收斂斂圓圓周周均均為為收斂圓周上無收斂點(diǎn)收斂圓周上無收斂點(diǎn);,1在在其其它它點(diǎn)點(diǎn)都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點(diǎn)點(diǎn) z在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂.0020nnnnnnzznzn 43 如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑呢如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑呢? ?我們先我們先討論下面的一個(gè)定理討論下面的一個(gè)定理: :00|.nnnnnnc zcz 定定理理4 4. .6 6 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與有有相相同同的的收收斂斂半

34、半徑徑.|2100RRzczcnnnnnn和和收收斂斂半半徑徑分分別別為為的的和和設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)證證明明： 因因?yàn)闉槭帐諗繑浚?|nnncz 12.RR 所所以以則則收收斂斂，0nnnc z 1RxyO2R2.600|.nnnnnnc zcz 定定理理4 4. .6 6 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與有有相相同同的的收收斂斂半半徑徑2.6441RxyO2R如如 果果則則 說說 明明存存 在在 這這 樣樣 的的 點(diǎn)點(diǎn)：位位 于于收收 斂斂 圓圓 內(nèi)內(nèi) ， 但但 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 在在處處 不不 絕絕 對(duì)對(duì) 收收 斂斂 ， 這這 與與定定 理理 不不 符符 ， 從從 而而12*12,.RRzzzAbelRR 因因?yàn)闉闉闉閷?shí)

35、實(shí)的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，注注意意到到定定理理4 4. .6 6，則則求求復(fù)復(fù)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑可可以以轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求實(shí)實(shí)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂半半徑徑 聯(lián)聯(lián)系系在在高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)中中已已經(jīng)經(jīng)學(xué)學(xué)過過求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂半半徑徑的的方方法法，我我們們有有0|.nnncz *z45limn1nncc l limnnncl R 1l0,ll 0l ( 0l ( (達(dá)朗貝爾）達(dá)朗貝爾） 柯西柯西定理定理2.72.71nnnc z nc合于合于的系數(shù)的系數(shù)如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù))()()(比值法比值法)(根值法根值法)46例例1.120的的收收斂斂范范圍圍及及和和函函數(shù)數(shù)求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

36、nnnzzzz121 nnzzzs又又),1(11 zzzn解解; 11lim1 Rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng).,0lim1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnzz 所以所以且且的的收收斂斂范范圍圍是是, 1|0 zznn47201111(| |).nnnzzzzzz .1,;1,11,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且和和函函數(shù)數(shù)為為收收斂斂zzzznn2461.zzz 求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂范范圍圍及及和和函函數(shù)數(shù)思考題:提示提示: :本題不能直接利用定理本題不能直接利用定理2.72.7（為什么？）（為什么？）. .綜上綜上48例例2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂

37、半徑：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：解解 (1); )0() 1 (1 npnpnz;)1()2(1 nnnz.!)3(1 nnnnznnnncc1lim , 1)1(lim pnnn; 1 R. 1| z收收斂斂圓圓nnncc1lim)2( , 11lim nnn; 1 R. 1|1| z收收斂斂圓圓也可以利用絕對(duì)收斂比值判別法的思想，直接計(jì)算。也可以利用絕對(duì)收斂比值判別法的思想，直接計(jì)算。49nnncc1lim)3( 1(1)lim(1)!nnnnnnn .1eR .)ln(1的的收收斂斂半半徑徑思思考考題題：求求nninz ，提提示示：根根據(jù)據(jù)0lim nnnc. R.!)3(1 nnnnzn

38、1lim 1,nnen 504 4、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)0000101( )() () ();nnnnnnnnnfzczzczznczz 00( )( )2(nnnf zczz 在在其其收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)可可以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)和和冪冪逐逐級(jí)級(jí)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)積積分分，即即-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算004.8 (1)( )()nnnf zczz 在在其其收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)定定理理冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和是是一一個(gè)個(gè)解解函函數(shù)數(shù)析析函函數(shù)數(shù)。2.851.)()()()2(0000zdzzcdzzzcdzzfncnncnnnc ,1)()(0100 nnnzznzzcdf或或

39、-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算 實(shí)際上，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)實(shí)際上，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階導(dǎo)數(shù)至任意階導(dǎo)數(shù).注：定理注：定理2.8為今后將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)提供了極為今后將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)提供了極大的方便大的方便.525 5、 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與實(shí)冪級(jí)數(shù)一樣，復(fù)冪級(jí)數(shù)也可以進(jìn)行與實(shí)冪級(jí)數(shù)一樣，復(fù)冪級(jí)數(shù)也可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算.|),(,|),(2010rzzgzbrzzfzannnnnn 設(shè)設(shè),),()()(000Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn ).,min(21rrR 其其中中-冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算則則53).,min

40、(21rrR 其其中中,),()()(0022110Rzzgzfzbabababannnnnn -冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算（即用第一個(gè)冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)乘第二個(gè)級(jí)數(shù)，然后（即用第一個(gè)冪級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)乘第二個(gè)級(jí)數(shù)，然后合并同次冪系數(shù)合并同次冪系數(shù).） 303122130202112001100000)()()()()(zbabababazbababazbababazbzannnnnn對(duì)角線法對(duì)角線法540a1a00a b0b2a2b1b22a b2 1a b20a b12a b1 1a b10a b02a b0 1a b對(duì)角線法則對(duì)角線法則55在函數(shù)展在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中成冪級(jí)數(shù)中很有用很有用注

41、：上面的運(yùn)算在兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成注：上面的運(yùn)算在兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立立. 但這并不意味著運(yùn)算后級(jí)數(shù)的收斂半徑就是上但這并不意味著運(yùn)算后級(jí)數(shù)的收斂半徑就是上面兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小一個(gè)收斂半徑面兩個(gè)級(jí)數(shù)中的較小一個(gè)收斂半徑.設(shè)設(shè)0(),nnnfar .)()(0Rzzgazgfnnn ，則則-冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運(yùn)算運(yùn)算在在內(nèi)內(nèi)解解析析，且且( )|( ),g zzRg zr 56例例3.,)(10baazcbznnn 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)表表成成形形如如把把解：注意到解：注意到.)()(11abazbz 211( ) ( ) ( ),( ( )1)1( )ng zg

42、zg zg zg z 所以所以 abzgabazabbz1)(111111代換代換展開展開11z 1,( )1g z 57223111111()1( )()11()()()() .nnzazbbag zbabazazababazaR 21,.nzazazazabaRbababa 還原還原58本講小結(jié)本講小結(jié)1 1、級(jí)數(shù)收斂的定義和性質(zhì)、級(jí)數(shù)收斂的定義和性質(zhì)2 2、AbelAbel定理定理3 3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑4 4、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)59 我們知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓我們知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)，現(xiàn)在我們考慮與此相反的問題：內(nèi)是解析函

43、數(shù)，現(xiàn)在我們考慮與此相反的問題：一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來表示？一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來表示？1 1、泰勒展開定理、泰勒展開定理 對(duì)實(shí)函數(shù)而言，一個(gè)關(guān)鍵性條件是：對(duì)實(shí)函數(shù)而言，一個(gè)關(guān)鍵性條件是：應(yīng)在展開應(yīng)在展開點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù)點(diǎn)處具有任意階導(dǎo)數(shù). 對(duì)于復(fù)變函數(shù)來說，由于解析函數(shù)具有任意階對(duì)于復(fù)變函數(shù)來說，由于解析函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，所以這一條件是滿足的的導(dǎo)數(shù)，所以這一條件是滿足的.60預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)2）公式）公式 011nnuu ( 1 )u(z D) 3) (解析函數(shù)的無窮可微性解析函數(shù)的無窮可微性) 010!2nncfnfzdiz 柯柯西西積積分分公公式式 設(shè)設(shè)在在簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單(

44、(或或復(fù)復(fù)合合) )閉閉曲曲線線上上及及所所圍圍區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)解解析析 則則對(duì)對(duì)任任意意皆皆有有1) ()( ),f zCDzD 1( )( ).2Cff zdiz 610( )f zzTaylor在在 點(diǎn)點(diǎn)的的展展開開定理定理1（Taylor定理）定理）.,2 , 1 ,0),(!1)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)200000( )00()( )()()()()2!() ()!nnfzf zf zfzzzzzfzzzn 即即62Dk0z

45、證明：證明：.|0任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)為為設(shè)設(shè)Rzzz ,100 qzzz1( )( ),(*)2kff zdiz 由柯西積分公式由柯西積分公式000001111,()1zzzzzzzz 注注意意到到200001000000()111()().()nnnnzzzzzzzzzzzzzz 0:.kzrR 取取.z63Dk0zz把上面的式子代入把上面的式子代入( (* *),),01001( )( )() 2()nnknff zzzdiz 01001( )()2()nnknfzzdiz ( )000()()!nnnfzzzn 00()nnnczz 0000(1),( ).zrzrkrkDf zzTayl

46、orzD 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂范范圍圍是是以以為為中中心心， 為為半半徑徑的的圓圓域域圓圓的的半半徑徑可可以以任任意意增增大大 只只要要圓圓及及其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含在在 內(nèi)內(nèi)即即可可 故故在在解解析析點(diǎn)點(diǎn)處處的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑至至少少等等于于從從到到 的的邊邊界界上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距離離6400( )()nnnf zczz 0( )f zz在在 的的泰泰勒勒展展式式0( )f zz在在 的的泰泰勒勒展展開開0( )f zz在在 的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展式式0( )f zz在在 展展成成泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)( )00(0)0nnnfzzn 特特別別的

47、的當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為麥麥克克勞勞林林級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .！651010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事實(shí)上事實(shí)上，設(shè)，設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù):導(dǎo)導(dǎo)性性質(zhì)質(zhì)得得，再再由由冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求則則00)(azf , 2 , 1 , 0),(!1,0)( nzfnann依依此此類類推推得得，.)(0是是唯唯一一的的在在注注展展開開式式的的( (2 2) )Taylorzzf由此可見，解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)就是它的由此可見，解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)就是它的Taylor級(jí)數(shù)，

48、因而是唯一的級(jí)數(shù)，因而是唯一的. .注注(1) 若若f (z)有奇點(diǎn)，那么有奇點(diǎn)，那么f (z)在解析點(diǎn)在解析點(diǎn) 的的Taylor展開式的收斂半徑展開式的收斂半徑R等于點(diǎn)等于點(diǎn) 到到f (z)的最近的的最近的一個(gè)奇點(diǎn)一個(gè)奇點(diǎn) 之間的距離，即之間的距離，即0z0z 0|Rz 660( )f zz注注在在一一點(diǎn)點(diǎn)解解析析的的五五種種等等價(jià)價(jià)說說法法：( (3 3) )0(1)( )()f zz在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo) 定定義義 ；0(5) ( ).f zz在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可展展成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)0(4) ( )0;f zz在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且

49、且沿沿鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任一一條條正正向向封封閉閉路路線線的的積積分分為為0(2) ( ),;f zuiv uvzCR 和和 在在點(diǎn)點(diǎn) 的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且滿滿足足方方程程0(3) ( ),;f zuiv uvzCR 和和 在在點(diǎn)點(diǎn) 可可微微，且且滿滿足足方方程程67(1)直接法直接法-利用公式利用公式;(2)間接法間接法-由由已知函數(shù)的展開式，已知函數(shù)的展開式，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、代換、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法來展開運(yùn)算、代換、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法來展開.函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的方法：級(jí)數(shù)的方法：.,2, 1 ,0),(!1,)()

50、(0)(00 nzfnczzczfnnnnn其其中中即即例如例如. 1,1112 zzzzzn68()00()1,(0,1,2,).znzzzeen 2 2、 幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒展開式幾個(gè)初等函數(shù)的泰勒展開式.0)(展展開開式式的的在在求求Taylorzezfz 例例1 解解:展展開開式式？的的在在如如何何求求Taylorzezfz0)(2 思考題思考題: 23011.2!3!nznnzzzezznn ,ze在在復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析.R 該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑69sinzcos(sin)zz 又又 Rzz它們的半徑它們的半徑在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin,)!12

51、()1(012 nnnnz;!7!5!3sin753 zzzzz001( )()22!iziznnnneeiziziinn 2421( 1),2!4!(2 )!nnzzzn 70例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù):).1ln()()2(;)1(1)()1(2zzfzzf 解解. 1,111)1(2 zzzzzn. 1,) 1(1)(1111 zzzzznn211()(1)1zz 211123( 1),1.nnzznzz 71:,1逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得內(nèi)內(nèi)任任意意取取一一條條路路徑徑在在收收斂斂圓圓cz . 1,1) 1(312)1ln(132 znzzzzznn,)

52、1(10000 znnzzzdzzzdzdzzdz(2)因因ln(1+z)在從在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析，解析， ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,所以它的展開式的收斂范圍為所以它的展開式的收斂范圍為z1.（逐項(xiàng)積分、求導(dǎo)，收斂半徑不變）（逐項(xiàng)積分、求導(dǎo)，收斂半徑不變）72一些常用展開式一些常用展開式211,1;1nzzzzz 11( 1),1;1nnzzzz 35721sin( 1)|;3!5!7!nnzzzzzzzn 242cos1( 1),|;2!4!(2 )!nnzzzzzn 231,|;2!3!nzzzzezzn 7

53、3231ln (1)2( 1),| 1,23 0, 1, 2,.nnkzzzzk izznk 2(1)(1)12!zzz (1)(1),| 1;!nnzzn 2310ln (1)( 1),| | 1;23nnzzzzzzn 74例例3 .)1()2(1)()2(2的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展成成將將 zzzf解解. 1,111)1(2 zzzzzn.)1(521151)1(251231 zzz.3)1(1 191)1(31)2(1)()2(222 zzzzf;)1(231)()1(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展成成將將 zzzf75泰勒泰勒 (1685 1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家，早期牛頓派英國(guó)數(shù)學(xué)家，早期牛頓派最優(yōu)

54、秀的代表人物之一。最優(yōu)秀的代表人物之一。正的和反的增量方法正的和反的增量方法(1715)(1715) 線性透視論線性透視論(1719)(1719) 他在他在1712 1712 年就得到了現(xiàn)代形式年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式的泰勒公式 . .他是有限差分理論的奠基人他是有限差分理論的奠基人 . .76:10 內(nèi)內(nèi)在在圓圓環(huán)環(huán)域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是解析的內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn,111zz 所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf

55、10 z內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù)內(nèi)可以展開成級(jí)數(shù).4 4 洛朗洛朗( (Laurent) )級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)77內(nèi)內(nèi)，在在圓圓環(huán)環(huán)域域110 z也可以展開成級(jí)數(shù)：也可以展開成級(jí)數(shù)：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想由此推想，若，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內(nèi)解析內(nèi)解析, , f (z) 可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng)可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即即781 1、 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù) -含有正負(fù)冪項(xiàng)的

56、級(jí)數(shù)含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義定義 具有如下形式的級(jí)數(shù)具有如下形式的級(jí)數(shù)10010()()()nnnnnczzczzczz 稱為稱為雙邊冪級(jí)數(shù)，雙邊冪級(jí)數(shù)，正冪項(xiàng)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng)包括常數(shù)項(xiàng))部分部分：)2( ,)()()(001000 nnnnnzzczzcczzc.), 2, 1, 0(0都是常數(shù)都是常數(shù)及及其中其中 nczn負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分：)3.()()()(010110 nnnnnzzczzczzc0100()()(1)nncc zzczz 790雙雙邊邊冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)()nnnczz 同時(shí)收斂同時(shí)收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 f2(z)f (z)

57、解析部分解析部分非負(fù)冪項(xiàng)部分非負(fù)冪項(xiàng)部分f1(z)主要部分主要部分負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分收斂收斂80nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑1,R 時(shí)時(shí) 收收斂斂011zzrR 收斂域收斂域收斂收斂半徑半徑R0zzR 收斂域收斂域1若若 ( ):rR 兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,2( ):rR 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分H:0.rzzR R1aRrH12( )( )( )f zf zfz 0z81結(jié)論結(jié)論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域?yàn)闉殡p雙邊邊冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓圓環(huán)環(huán)域域1R2R.0z常見的特殊圓

58、環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z82.)()2(00和和逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)而而且且可可以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積和和函函數(shù)數(shù)是是解解析析的的, ,內(nèi)內(nèi)的的在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)分分Rzzrzzcnnn 現(xiàn)在我們考慮相反的問題：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)現(xiàn)在我們考慮相反的問題：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)能否展開成一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù)呢？這也是本節(jié)開始提出能否展開成一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù)呢？這也是本節(jié)開始提出的問題的問題. . 關(guān)于這個(gè)問題的答案是肯定的，這就是下面關(guān)于這個(gè)問題的答案是肯定的，這就是下面要討論的洛朗定理要討論的洛朗定理. .。，發(fā)發(fā)散散處處處處稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnzzcRR)(

59、)1(02183定理定理0 ( ) f zrzzR 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù). ( )f z則則一一定定能能在在此此圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)展展開開成成洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)2. 函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)84說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). nnnzzczf)()(0 1) ( )0( )00()!( )()nnnfzcnzf zfz2) 2) 洛洛朗朗展展開開式式中中的的 不不能能寫寫成成，這這是是因因?yàn)闉槿缛绻?是是函函數(shù)數(shù)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，不不存存在在。故故需需注注意意洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開系系數(shù)數(shù)與與泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開系系數(shù)數(shù)在在寫寫法法上上的的區(qū)區(qū)別別。853) 一個(gè)函數(shù)可以在幾個(gè)圓環(huán)內(nèi)解析，在不一個(gè)函數(shù)可以在幾個(gè)圓環(huán)內(nèi)解析，在不同的圓環(huán)內(nèi)洛朗展開式是不同的，但在同一圓環(huán)域內(nèi)，同的圓環(huán)內(nèi)洛朗展開式是不同的，但在同一圓環(huán)域內(nèi)，不論用何種方法展開，所得的洛朗展開式唯一。不論用何種方法展開，所得的洛朗展開式唯一。0( )|f zrzzR 假假定