全等三角形知識點梳理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十二章全等三角形2018.9 楊1全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊對應(yīng)邊相等。2全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角對應(yīng)角相等。證明三角形全等基本思路：三角形全等的判定(1)三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成邊邊邊或SSS 1.如圖，ABAD，CBCD，求證：(1)ABCADC；(2)BD.證明：(1)連接AC，在ABC與ADC中， ABCADC(SSS)(2)ABCADC，BD. 2.已知在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,求證AD/BC A D 做輔助線，連接AC，利用SSS證明全等， 得到DAC=A

2、CB ，從而證明平行B C三角形全等的判定(2)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”)兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等. 1.如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三點共線，ABCB，EBDB，ABCEBD90°)，連接AE，CD，試確定AE與CD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：結(jié)論：AECD，AECD.F證明：延長AE交CD于F，在ABE與CBD中 ， ABECBD(SAS)，AECD，EABDCB，DCBCDB90°，EABCDB90°，AFD90°，AECD.2.在ABC和CDE中，

3、CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=90°，AE與BD交與點F（1）求證：ACEBCD（2）求證：AEBD1,利用SAS證明全等，AC=BC DC=EC BCD=ACE2，全等得到角相等 CAE=DCBCAB+EAB+ABC=90°DCBEAB+ABC=90°三角形全等的判定(3)兩角和它們的夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡稱角邊角或ASA兩個角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等，簡稱角角邊或AAS求證：三角形一邊的兩端點到這邊的中線或中線延長線的距離相等如圖，AD為ABC的中線，且CFAD于點F，BEAD，交AD的延長線于點E，求證：BECF.證

4、法1：AD為ABC的中線，BDCD.BEAD，CFAD，BEDCFD90°.在BED與CFD中BEDCFD(AAS)，BECF.證法2：SABDAD·BE，SACDAD·CF，且SABDSACD(等底同高的兩個三角形面積相等)，AD·BEAD·CF，BECF.三角形全等的判定(4)斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”如圖，E，F(xiàn)分別為線段AC上的兩點，且DEAC于點E，BFAC于點F，若ABCD，AECF，BD交AC于點M. 求證：BMDM，MEMF.證明：AECF，AEEFCFEFAFCE.在RtA

5、BF與RtCDE中RtABFRtCDE(HL)，BFDE.DEAC，BFAC，DEMBFM90°.在BFM與DEM中BFMDEM(AAS)，BMDM，MEMF.角的平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等文字命題的證明方法：a.明確命題中的已知和求證；b.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；c.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程 方法總結(jié)：（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的另一途徑（2）在已知角平分線的條件下，也可想到翻折構(gòu)造全等的方法角平分線的性質(zhì)是證線段相等的常用方法之一，角平分線的性質(zhì)與判定通常是交叉使用，作角的平分線或

6、過角的平分線上一點作角兩邊的垂線段是常用的輔助線1.在ABC中，AD是ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是AB，AC上一點，并且有EDFEAF180°.試判斷DE和DF的大小關(guān)系并說明理由解：結(jié)論：DEDF.證明：過點D作DGAB于點G，作DHAC于點C，AD是ABC的角平分線，DGDH.DGADHA90°，GDHBAC180°，EDFEAF180°，GDHEDF，GDHEDHEDFEDH，GDEFDH.在DGE與DHF中，DGEDHF(ASA)，DEDF2.如圖，在ABC中，D是BC邊上一點，連接AD，過點B作BEAD于點E，過點C作CFAD交AD的延長線于

7、點F，且BECF.2求證：AD是ABC的中線利用AAS證明全等BDE=F BDE=CDF BE=CF 利用全等證明垂直此類題目中必有垂直，利用垂直角度和是90°，再根據(jù)全等轉(zhuǎn)換一個角，達(dá)到另外的兩個角度和是90°，得到第三個角是90°，進(jìn)一步證明線的垂直關(guān)系。1. 將兩塊全等的直角三角形如圖1擺放，其中DCE=ACB=90°D=A.(1)求證:ABDE;(2)將圖中的ADCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45得到圖2,AB.CD交于點N,DE,BC交于M.求證:CM=CN第一問中延長AB交DE于F，已經(jīng)知道全等，知道垂直，就可以將 D+E=90°轉(zhuǎn)化為A+E

8、=90°得到AFE=90° 進(jìn)而證明了垂直第二問中，利用ASA證明相等旋轉(zhuǎn)角度是45°MCD=DCA=45°A=D CD=CA得到CMDCNA(ASA)從而證明CM=CN2.如圖，已知等腰RtOABC和等腰RtACDE,AC=BC,CD=CE,M,N分別為AE,BD的中點(1)判斷CM與CN的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系:(2)若CDE繞C旋轉(zhuǎn)任意角度，其他條件不變，則(1)的結(jié)論是否仍成立?試證明， 幾何證明中常見的“添輔助線”方法一. 連結(jié):構(gòu)造全等三角形或等腰三角形1:如圖,AB=AD,BC=DC,求證:B=D.1.連結(jié)AC構(gòu)造全等三角形2.連結(jié)BD構(gòu)造兩個

9、等腰三角形 2:如圖,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,求證:點M是CD的中點.連結(jié)AC、AD構(gòu)造全等三角形3:如圖,AB=AC,BD=CD, M、N分別是BD、CD的中點，求證：AMB ANC連結(jié)AD構(gòu)造全等三角形二. 角平分線上點向兩邊作垂線段:構(gòu)造直角三角形,得到距離相等1:如圖,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求點D到AB的距離.過點D作DEAB構(gòu)造全等的直角三角形且距離相等2:如圖,ABC中, C =90o,AC=BC,AD平分BAC,求證:AB=AC+DC過點D作DEAB構(gòu)造了全等的直角三角形且距離相等3:如圖,梯形中, A= D =90

10、o,BE、CE均是角平分線,求證:BC=AB+CD.過點E作EFBC構(gòu)造全等的直角三角形且距離相等三. 垂直平分線上點向兩端連線段構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等ABC中,ABAC ，A的平分線與BC的垂直平分線DM相交于D，過D作DE AB于E，作DFAC于F。求證：BE=CF連接DB,DC垂直平分線上點向兩端連線段四. 倍長中線：中線延長一倍構(gòu)造直角三角形,得到斜邊相等AD是ABC的中線，求證 延長AD到點E，使DE=AD，連結(jié)CE.如圖，在ABC中，D為BC的中點(1)求證：ABAC>2AD； (2)若AB5，AC3，求AD的取值范圍五. 截長補短 1.已知在ABC中，C=2B, 1=2求證:AB=AC+CD在AB上取點E使得AE=AC，連接DE在AC的延長線上取點F使得CF=CD，連接DF2.如圖所示，已知ADBC，1=2，3=4，直線DC經(jīng)過點E交AD于點D，交BC于點C。求證：AD+BC=AB在AB上取點F使得AF=AD,連接EF3.如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD120°，BADC90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)