物理學畢業(yè)論文-彈簧振子振動的研究

1、 學 院 本科畢業(yè)論文（設計）題題 目目 彈簧振子振動的研究 院院 系系 物理與電子工程學院 專專 業(yè)業(yè) 物理學 姓姓 名名 學學 號號 學習年限學習年限 2007 年 9 月至 2011 年 7 月指導教師指導教師 申請學位申請學位 理學 學士學位 二 O 一一年五月二十三日 彈簧振子振動的研究 摘 要: 我們對存在恒定大小滑動摩擦阻力時彈簧振子的運動規(guī)律做了深入的研究. 對在粗糙水平面上作振動的彈簧振子通過解析計算分析及數(shù)值計算方法, 從能量的角度計算了存在滑動摩擦阻力時彈簧振子最后停止的準確位置, 并且精確計算出彈簧振子的振動總次數(shù). 對彈簧振子停止的成因給出了動力學解釋, 詳細分析了振

2、動次數(shù)與停止點的關(guān)系. 從能量角度計算出每次振動振幅衰減的準確值, 并且給出了位移及速度隨時間變化的關(guān)系曲線; 能量隨時間及能量隨位移變化的關(guān)系曲線.關(guān)鍵詞: 彈簧振子; 滑動摩擦力; 數(shù)值計算 Research on vibration of Spring vibrator ABSTRACT: We exist constant sliding friction resistance, the size of the motion law of spring vibrator made a in-depth research. In the rough level surface and t

3、he spring vibrator for vibration by analytic calculation analysis and numerical calculation method, calculated from the Angle of energy when sliding friction resistance there last spring vibrator, and stop exact location precisely calculate spring vibrator vibration total number of spring vibrator s

4、top. The cause of the dynamic interpretation are analyzed in detail, vibration frequency and stop some relationship. From the Angle of energy each vibration amplitude attenuation calculated accurate values, and gives the displacement and speed changing with time relationship curves; Energy on time a

5、nd energy with the relation curves of displacement variation. KEYWORDS: Spring vibrator; Sliding friction; Numerical calculation 目 錄引 言.11 滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子.21.1 滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型 .21.2 受恒定大小滑動摩擦力作用的彈簧振子的運動方程 .22 滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子變量的計算.42.1 振動周期的計算 .42.2 振子的停滯區(qū) .52.3 振子的振幅、周期與停止點 .63 滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子變量關(guān)系的分析

6、.93.1 質(zhì)點的振幅與振動次數(shù)的線性關(guān)系 .93.2 質(zhì)點的速度與時間關(guān)系 .113.3 質(zhì)點的動量與位移關(guān)系 .143.4 能量時間關(guān)系及能量位移關(guān)系 .15總 結(jié).21致 謝.21參考文獻.21 1引引 言言振動在物理學中占有相當重要的位置, 簡諧振動作為所有研究振動的基礎其運動規(guī)律已為人們所熟知, 對于存在摩擦阻力時的振動的研究還存在有待深入的探討的問題. 而這一類振動在現(xiàn)實中是非常常見的. 最近關(guān)于這類問題的研究引起人們關(guān)注, 1 5對這一問題的研究給出對在粗糙水平面上作振動的彈簧振子最后停止的位置, 估算了彈簧振子的振動總次數(shù), 得出彈簧振子的相軌跡. 我們在此基礎上, 從初始能量

7、的1減少等于克服阻力做功的觀點, 精確計算出存在滑動摩擦阻力時彈簧振子最后停止的準確位置, 以及彈簧振子具有一定初始勢能時所能夠進行的振動次數(shù). 在停滯區(qū)域彈簧振子為什么停止及停止后彈簧振子系統(tǒng)是否仍具有勢能存儲于系統(tǒng)中, 給出了明確的分析結(jié)果, 并且詳細分析了初始振幅與振動次數(shù)及停止點的關(guān)系. 由每次振動摩擦阻力所做的功得出每次振動振幅衰減的精確值, 從而得出振動峰值與振動次數(shù)的關(guān)系曲線, 并且通過數(shù)值計算給出了位移及速度隨時間變化曲線, 直接驗證了解析結(jié)果; 并討論了能量隨時間的變化規(guī)律及特性及能量隨位移變化的特性. 21 滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子1.1 滑

8、動摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型在粗糙水平面上的一個彈簧振子, 如圖 1.1 所示, 物體質(zhì)量為, 彈簧的勁度系數(shù)m為, 忽略其質(zhì)量, 物體和水平表面之間的摩擦因數(shù)為. 假設物體沿一條直線運動,k其位置坐標為(當時, 彈簧沒有伸縮), 且靜摩擦因數(shù)和滑動摩擦因數(shù)相等. 起始x0 x 時物體的位置坐標為(), 且速度0 xA00A 為 0. 此為滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子的模型. 對于此模型, 振子在運動過程中速度、振幅隨振動次數(shù)的變化, 動量與速度的關(guān)系, 能量與位移、能量與速度的關(guān)系變化以及振子最終停止的地點. 本文將作出討論并得出相應的結(jié)論.1.2 受恒

9、定大小滑動摩擦力作用的彈簧振子的運動方程受恒定大小滑動摩擦力作用的彈簧振子的運動方程受恒定大小滑動摩擦力的彈簧振子在運動過程中: 由于滑動摩擦力的大小與物體的運動速率無關(guān), 但其作用的方向和物體的運動方向即速度方向始終相反, 因此彈簧振子的運動方程式必須依其速度方向而定.參照簡諧振動的分析過程, 質(zhì)點在線性回復力作用下圍繞平衡位置的運動叫做 2簡諧振動. 無滑動摩擦力的彈簧振子是簡諧振動的典型例子.將振子視作質(zhì)點, 彈簧自由伸展時質(zhì)點的位置是平衡位置, 以此為坐標原點建立坐標系, 表示質(zhì)點的位置坐標, 又等于相對于原點的位移, 也是彈簧的伸長(壓縮)Oxx量. 很小時, 力與之間成線性關(guān)系,

10、即, 是彈簧的勁度系數(shù). 彈簧彈性xxFxxFkx k力是彈簧振子做簡諧振動的線性回復力.以表示滑塊質(zhì)量, 根據(jù)牛頓第二定律m (1.1)22d xmkxdt 用除上式兩端, 并令, 上式可寫作m20km圖 1.1 粗糙水平面上受恒定大小滑動摩擦力的彈簧振子mx0AO 3 (1.2)2202d xxdt 式中的決定于彈簧的勁度系數(shù)和滑塊的質(zhì)量, 從而可知簡諧振動中質(zhì)點運動的動力0學方程式為: (1.3)22020d xxdt同理, 當振子受恒定大小的滑動摩擦力時, 設軸沿著物體的運動方向, 當x時,彈簧無伸縮, 在無摩擦的情況下, 原點為一平衡點. 物體的運動方程式可寫為:0 x 當時 (1.

11、4)20fFxxm 0 x 當時 (1.5)20fFxxm0 x 其中為振子的質(zhì)量, 為滑動摩擦系數(shù), , , 為重力加速mfFmg0k mg度. 為該彈簧系統(tǒng)在無摩擦情況下的振動角頻率.0為了統(tǒng)一兩種運動的運動方程形式定義新變量, . 則式120fFxxm220fFxxm(1.4)和式(1.5)可改寫為: (1.6)21010 xx (1.7)22020 xx這兩式相當于在無摩擦情況下的簡諧運動方程式, 換句話說, 滑動摩擦力對質(zhì)點振動的影響可簡化為造成平衡點的遷移:當時, 平衡點由無摩擦情況下的平衡點移至 0 x 0 x 2200fxFmg (或).10 x 當時, 平衡點由無摩擦情況下的

12、平衡點移至 0 x 0 x 2200fxFmg(或).20 x 42 滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子變量的計算滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子變量的計算2.1 振動周期的計算振動周期的計算彈簧振子在運動過程中, 受恒定大小的滑動摩擦力的作用, 因而其運動振幅fF(最大位移)隨著時間的延伸而不斷減小. 如果初始時振動速度為0, 位移為, 從能量0A守恒的觀點考慮振動的振幅衰減即為彈簧勢能的減少應等于滑動摩擦力所作的功, 所以根據(jù)功能關(guān)系當振子從運動到第一個負最大振幅時, 滿足: 0A1maxx1maxx (2.1)2201max01max1122fkAkxFAx (2.2)01max01max01ma

13、x2fFAxAxAxk (2.3)01max2fFAxk由此解得: (2.4)1max02fFxAk當振子從運動到第一個正最大振幅時, 滿足:1maxx1maxx1maxx (2.5)221max1max1max1max1122fkxkxFxx (2.6)221max1max1max1max2fFxxxxk (2.7)1max1max2fFxxk 由此解得: (2.8)1max00242fffFFFxAAkkk 這說明在第一次振動完成后, 振幅減小. 同樣當振動從到時, 滿足如4fFk1maxx2maxx下關(guān)系: (2.9)221max2max1max2max1122fkxkxFxx (2.1

14、0)221max2max1max2max2fFxxxxk (2.11)1max2max2fFxxk由此得到: 5 (2.12)2max1max2fFxxk而從到的振動滿足如下關(guān)系: 2maxx2maxx (2.13)222max2max2max2max1122fkxkxFxx (2.14)222max2max2max2max2fFxxxxk (2.15)2max2max2fFxxk 由此得到: (2.16)2max2max1max0022222442fffffffFFFxxxkkkFFFAkkkFAk 從此可以看出: 當完成第二次振動時, 振幅減小. 從而我們得到振動次后42fFkn的振幅為

15、(2.17)max04fnFxnAk 而能夠完成的總振動次數(shù)應為 (2.18)04fANFk2.2 振子的停滯區(qū)振子的停滯區(qū)振子在單向運動一次時, 振幅減小, 可推出振子完全振動一次時, 振幅減小202g. 即: 設振子初始振幅為, 單向運動一次至反方向最大位移處振子振幅為204g0A. 振子在運動過程中受滑動摩擦力的作用, 克服摩擦力而做功, 從而使系統(tǒng)0202 gA能量轉(zhuǎn)化為耗散功. 而當振子振幅小于時, 彈簧振子系統(tǒng)提供的恢復力不能克服20g摩擦力而繼續(xù)運動, 即振子不能再向前運動, 停止于到的區(qū)間.20g20g當彈簧振子的振幅小于時, 彈簧振子便會停止于到區(qū)間. 從而可知 20g20g

16、20g 6彈簧振子的停滯區(qū)為.220022fxxFmg2.3 振子的振幅、周期與停止點振子的振幅、周期與停止點振子振動的周期數(shù)由初始振幅決定, 且滿足公式. 假定彈簧振子滿足: 0A2004ANg, 因此, . 則有恒定大小滑動摩擦力的 1,1mTkgs102s222kkgs彈簧振子運動過程中:計算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);A0=1.01321;v0=0;f=2.0;N=A0*omega02*m/(4*f)即N=5.0000位移時間圖的運行程序:t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f

17、);plot(t,x(:,1),-k,t,f/m/omega02,:k,t,-f/m/omega02,:k,LineWidth,2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant, Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanx, Color,k)grid on函數(shù)程序:function Q=funerxx(t,x,omega0,f) %x有兩個元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);程序中的取不同值時, 周期數(shù)不同并且最后停止點也不同. 可知, 取不同振幅0A

18、時, 周期及停止點的規(guī)律:, , 振子停止于原點; , , 振子停止于大00.4053Am2N 00.4559Am2.25N 于零的區(qū)域; , , 振子停止于等于零處; , , 00.5066Am2.5N 00.5573Am2.75N 7振子停止于小于零的區(qū)域; , , 振子停止于小于零的區(qū)域; 00.3546Am1.75N , , 振子停止于等于零的區(qū)域; , , 振子停于00.3040Am1.5N 0.2533Am1.25N 大于零的區(qū)域.00.511.522.53-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5tx圖 2.1 時,位移時00.4053Am2N 間關(guān)系曲線,

19、振子最終停止于原點00.511.522.53-0.4-0.200.20.40.6tx圖 2.2 時,位移00.5066Am2.5N 時間關(guān)系曲線,振子最終停止于原點00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4tx圖 2.3 時,位移時00.3040Am1.5N 間關(guān)系曲線,振子最終停止于原點00.511.522.53-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5tx圖 2.4 時,位移00.4559Am2.25N 時間關(guān)系曲線,振子停止于大于零區(qū)域00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.2-0.1

20、5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3tx圖 2.5 時,位移00.2533Am1.25N 時間關(guān)系曲線,振子停止于大于零區(qū)域00.511.522.53-0.4-0.200.20.40.6tx圖 2.6 時,位移00.5573Am2.75N 時間關(guān)系曲線,振子停止于小于零區(qū)域 8即當周期為整數(shù)、半整數(shù)N時, 振子最終停止于原點; 當周0.5N 期為時, 振子最終停止于大于0.25N 零的區(qū)域處; 當周期為大于, xxN小于并且不等于時, 振5 . 0N25. 0N子最終停止于的區(qū)域; 當周期0 xx為時, 振子最終停止于小于零75. 0N的區(qū)域處; 當周期大于, xx

21、5 . 0N小于并且不等于時, 振子1N75. 0N最終停止于的區(qū)域.0 xx00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4tx圖 2.7 時,位移00.3546Am1.75N 時間曲線,振子停止于小于零的區(qū)域 93 滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子變量關(guān)系的分析滑動摩擦力大小恒定的彈簧振子變量關(guān)系的分析3.1 質(zhì)點的振幅與振動次數(shù)的線性關(guān)系質(zhì)點的振幅與振動次數(shù)的線性關(guān)系質(zhì)點在每次振動完成后振幅減小相同, 均為, 所以振幅的衰減與振動次數(shù)4fFk成正比. 所以在圖中每次振動的頂點相連成一直線, 對于的峰值的連線方ntx0 x 程為: (3.

22、1)004xAnf k而對于的峰值的連線方程為:0 x (3.2)004xAnf k 假定: , 因此, . 1,1mTkgs102s222kkgs圖3.1圖3.8給出了取不同值時, 直線、直線與曲線相交的情況.0A0 x0 xtx計算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=5.0 %N=5.0, 5.125, 5.25, 5.375, 5.5, 5.625, 5.75, 5.875n=0:0.1:ceil(N);A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0

23、 v0,omega0,f);plot(t,x(:,1),-k,n,(A0-n*4*f/k),:k,n,-(A0-n*4*f/k),-.k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanx(m), Color,k)set(gca,XTick,0:0.5:ceil(N) %給定x軸的刻度0.5set(gca,YTick,-1.25:0.25:1.25)legend(x, x_0,x_0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0圖

24、 3.8 取,則01.1905Am時峰值與直線相交的情況. 5.875N 實線為位移曲線,點線為,點劃線為0 x.0 x 12綜上可知, 在第一個整周期中, 振子的速度變化曲線為類余弦曲線. 它是從開0始, 逐漸增大到負的最大值而后又減小到; 繼續(xù)運動又逐漸增大到正的最大位移0(此最大值小于上次負最大值的絕對值)后, 又減小到, 整個變化曲線為類余弦曲線.0之后的每個振動過程中速度時間圖亦為此規(guī)律.3.2.2 速度折點處與周期的關(guān)系速度折點處與周期的關(guān)系由于質(zhì)點在通過 的峰值時, 由于摩擦阻力與速度方向相反, 所以在速度改變方x向時摩擦阻力的方向就要隨之改變, 這將使得在這一點上速度的導數(shù)(加

25、速度)不連續(xù),從而導致速度曲線將不再是一條光滑的曲線. 不過其不光滑的程度應該與此時的 的x峰值大小有關(guān), 因為 (3.3)2000ffFxmxxFxm 如果在速度改變時, 如果和屬同數(shù)量級時, 速度曲線的不光滑就會非常明20 xfFm顯.如圖3.11取,在第一次速度方向改變時 01.1652 ,1Am N1max02fxAFk, , 此時的阻力, 速度曲線在此處不光滑非常明顯. 0.1013m 1max4kxN2fFN如圖3.12取, 在第一次速度方向改變時 00.6079 ,3Am N1max02fxAFk, , 此時的阻力, 速度曲線在此處不光滑并不明0.506m 1max20kxN2f

26、FN顯. 但在第五次速度改變方向時, 此時振幅為第三次振動的負極大, , 此時的阻力仍為, 速度曲線3max020.1013fxAFkm 3max4kxN2fFN在此處不光滑非常明顯.00.20.40.60.811.21.41.61.82-2-1.5-1-0.500.51tv圖 3.9 時，速度00.3040 ,1.5Am N時間關(guān)系圖00.511.522.53-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52tv圖 3.10 時，速度00.4053 ,2Am N時間關(guān)系圖 13計算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=1.0

27、 %N=1.0, 3.0n=0:0.1:ceil(N);A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f);plot(t,x(:,2),-k,t,x(:,1),:k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanv(m/s), Color,k)legend(v,x)grid onbox on函數(shù)程序:function Q=funerxx(t

28、,x,omega0,f) %x有兩個元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4t(s)v(m/s)vx圖 3.11 取時速度01.1652 ,1Am N曲線(實線)在第一個位移曲線(點線)負極大時曲線不光滑的情況非常明顯.00.511.522.53-4-3-2-10123t(s)v(m/s)vx圖 3.12 取時速00.6079 ,3Am N度曲線(實線)光滑的情況. 顯然在振幅(點線)減小時不光滑變得更加明顯. 143.3 質(zhì)點的動量與位

29、移關(guān)系質(zhì)點的動量與位移關(guān)系以, 和, 為示例討論動量位移關(guān)系, 利用5 . 1N00.3040Am2N00.4053AmMATLAB 做出圖形, 并作出分析:主要運行程序:t,x=ode45(funerxx,0:0.001:ceil(N),A0 v0,omega0,f);plot(x(:,1),m*x(:,2),-k,f/m/omega02,-max(abs(x(:,2)-1:0.001:max(abs(x(:,2)+1,-k,-f/m/omega02,-max(abs(x(:,2)-1:0.001:max(abs(x(:,2)+1,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsi

30、ze16fontnameTime New Romanx, Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New Romanp, Color,k)grid on -0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52xp圖 3.13 時, 動量00.3040 ,1.5Am N與位移的關(guān)系曲線-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-3-2-10123xp圖 3.14 時, 動量00.4053 ,2Am N與位移的關(guān)系曲線-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25

31、0.3-1.5-1-0.500.511.5xp圖3.15 , 動量00.2533 ,1.25Am N與位移的關(guān)系曲線-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4-2-1.5-1-0.500.511.52xp圖3.16 , 動量00.3546 ,1.75Am N與位移的關(guān)系曲線 15根據(jù)及相軌跡圖形, 可知動量位移圖亦為類橢圓形狀. 該彈簧振子受恒定mvp 大小的滑動摩擦力, 因而振幅不斷減小. 初始時刻, 振子處于正的最大位移即處, 0A此時速度為零, 動量亦為零, 可知起始點為處.0 ,0A第一次單向運動中, 振子向左運動, 當位移為零時, 速度達負的最大值, 此時動量亦為負的最大值;

32、 振子繼續(xù)向左運動, 直至達到負的最大位移即處, 但其絕對值1A小于初始最大位移, 并且差值為, 此時速度減小到零, 動量亦為零, 可知坐202 gA標為.0202,0gA在第二次單向運動中, 振子向右運動,當位移為零時, 速度達正的最大值, 此時動量亦為正的最大值; 振子繼續(xù)向右運動,直到達到正的最大位移即處,而又知2A, 并且差值亦為, 此時速度又減小到零, 動量亦為零, 可知在圖210AAA202gA 中坐標為.0 ,4200gA同理, 之后每一次單向運動或每一個整周期運動, 動量位移變化規(guī)律與此相同.對照位移時間圖及簡諧振動的相軌跡, 可知當時, 振子的動量變化三個半周期后5 . 1N

33、最終停止在原點即處; 當時, 振子的動量變化二個周期后最終停止在原點0 , 02N即處. 且每個半周期的曲線為類橢圓的上半邊或下半邊, 并且相鄰半周期的曲線0 , 0交匯于處.0p從圖3.133.16上同樣看到在為整數(shù)或半整數(shù)時, 振動停止于零點, 此時系統(tǒng)的N全部初始勢能用來克服阻力做功; 而在時振動分別停止在右和左停1.25,1.75NN止線, 此時系統(tǒng)的初始勢能的一部分存儲于系統(tǒng)中, 振動停止時系統(tǒng)的能量并不為零.3.4 能量時間關(guān)系及能量位移關(guān)系能量時間關(guān)系及能量位移關(guān)系 3.4.1 能量與時間的曲線及其凹向能量與時間的曲線及其凹向該系統(tǒng)的能量為: (3.4) 221122Ekxmvt

34、能量對時間的一階導數(shù)為: (3.5) 20signfFdEtkxxmxxkxvmvakxvvxvdtm其中 16 (3.6) 10sign10vvv在速度變號處, 不光滑從而不存在. 為簡單起見, 我們就時的情況dE dt22d E dt1N 繪制出能量與時間的曲線、能量的一階導數(shù)與時間的關(guān)系及能量對時間的二階導數(shù)與時間關(guān)系曲線對能量隨時間的變化進行分析.計算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v0=0;f=2.0;N=1.0 %N=1.0, 3.0dt=0.0001;A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0

35、:dt:ceil(N),A0 v0,omega0,f);E=0.5*k*x(:,1).2+0.5*m*x(:,2).2;dEdt=diff(E)/dt;ddEdt=diff(dEdt)/dt;plot(t,E,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %給定x軸的刻度0.125set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,

36、3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)grid onbox onfigureplot(t(1:ceil(N)/0.0001),dEdt,-k,LineWidth, 2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J/s), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %給定x軸的刻度0.125 17set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)

37、grid onbox onfigureplot(t(1:ceil(N)/0.0001-1),ddEdt,-k,LineWidth, 2)xlabel(fontsize16fontnameTime New Romant(s), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J/s2), Color,k)set(gca,XTick,0:0.125:ceil(N) %給定x軸的刻度0.125set(gca,XTickLabel,0,T/8,T/4,3T/8,T/2,5T/8,3T/4,7T/8,T)grid on函數(shù)程序:function Q=fu

38、nerxx(t,x,omega0,f) %x有兩個元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);從圖3.17能量與時間的關(guān)系曲線可以看出, 能量隨時間的變化不是線性的. 在開始時, 速度較慢, 阻力做的功在單位時間里比較小, 所以能量下降也比較緩慢. 隨著時間增加, 接近速度變快, 單位4T時間阻力做的功增加, 此時能量下降變的比較快. 然后又隨著時間接近速度逐2T漸變慢而變緩. 然后又逐漸加快, 到時能量下降的比較快, 然后在接近34T0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T00.10.20.30.40.50.60.70.80.9t(

39、s)E(J)圖 3.17 時能量與00.2026 ,1Am N時間的關(guān)系曲線0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20t(s)E(J/s)圖 3.18 時能量對00.2026 ,1Am N時間的導數(shù)與時間的關(guān)系曲線0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T-15-10-5051015t(s)E(J/s2)圖 3.19 時能量對00.2026 ,1Am N時間的二階導與時間的關(guān)系曲線 18時又逐漸變緩. 實際在每一次完成全部振動的過程中, 在起始點、和振動結(jié)束T2T的時間點, 能量隨時間的變化率為零

40、. 在和振子位于平衡點時, 振子速度最4T34T快能量下降也最快. 由能量對時間的一階導數(shù)曲線圖3.18和二階導數(shù)曲線圖3.19, 可以看出能量隨時間的變化曲線在每次振動起始到, 在這一段時間中能量與時間的關(guān)4T系曲線為上凸(能量對時間的二階導數(shù)小于零), 從到, 此段時間中能量與時4T2T間的關(guān)系曲線為下凹(能量對時間的二階導數(shù)大于零). 從到位曲線為上凸2T34T(能量對時間的二階導數(shù)小于零), 從到的時間段為下凹(能量對時間的二階導34TT數(shù)大于零). 并且由于在每次振動起始時刻、及結(jié)束時刻, 由于阻力方向突然變化, 2T使得能量對時間的導數(shù)在這些時刻不光滑, 從而能量對時間的二階導數(shù)在

41、這些時刻不存在.3.4.2 能量與位移的曲線能量與位移的曲線振子系統(tǒng)的能量為 (3.7)221122Epkxm下面我們繪制能量與坐標的關(guān)系曲線. 在能量與坐標的關(guān)系曲線中, 當初始振幅取值使得為整數(shù)或半整數(shù)時, 振子停止于坐標零點, 此時初始時的勢能完全用來克N服阻力做了功; 如果初始振幅取值使得不是整數(shù)或半整數(shù), 則振子停止于停止區(qū)內(nèi)N除零點以外的任一點, 這時雖然振動停止, 但系統(tǒng)中仍存儲有一定的勢能, 即初始時的一部分勢能并沒有用來克服阻力做功. 下面我們用幾個特殊的值來說明這一情況.N能量與位移關(guān)系的計算主程序:clearm=1;k=(2*pi)2;omega0=sqrt(k/m);v

42、0=0;f=2.0;N=1.0 %N=1.0, 1.25, 1.5, 1.75dt=0.0001;A0=N*(4*f)/(omega02*m)t,x=ode45(funerxx,0:dt:ceil(N),A0 v0,omega0,f);E=0.5*k*x(:,1).2+0.5*m*x(:,2).2; plot(x(:,1),E,-k,f/m/omega02,0:0.001:0.9,-k,- 19f/m/omega02,0:0.001:0.9,-k,LineWidth, 2) xlabel(fontsize16fontnameTime New Romanx(m), Color,k)ylabel(fontsize16fontnameTime New RomanE(J), Color,k)grid onaxis(-0.25 0.25 0 0.9)函數(shù)程序:function Q=funerxx(t,x,omega0,f) %x有兩個元素x(1)和x(2)Q=x(2);-omega02*x(1)-f.*sign(x(2);我們分別采用繪制圖3.20, 繪制圖3.21, 00.2026 ,1Am N00.2533 ,1.25Am N 繪制圖3.22, 繪制圖3.23. 在圖中的兩條00.3040 ,Am1.5N 00.3546