第四章拉普拉斯變換

1、1第四章第四章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 本章要點(diǎn)本章要點(diǎn)拉氏變換的定義拉氏變換的定義從傅立葉變換到拉氏從傅立葉變換到拉氏變換變換拉氏變換的性質(zhì)，收斂域拉氏變換的性質(zhì)，收斂域卷積定理卷積定理(S域域)周期和抽樣信號的拉氏變換周期和抽樣信號的拉氏變換系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng)拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系2拉氏變換的定義拉氏變換的定義從傅氏變換到拉從傅氏變換到拉氏變換氏變換有幾種情況不滿足狄里赫利條件： u(t) 增長信號 周期信號) 0( aeat 若乘一衰減因子 為任意實(shí)數(shù)，則 收斂，于滿足狄里赫利條件tetetf).(tetu)()(.aeetattet

2、1cost1cos3tetftf)()(1dtetfFtj0)(1)()(因果0)()(dtetfsFstjs象函數(shù)正LTdsesFjtfjjst)(21)(原函數(shù)逆LTFT: 實(shí)頻率 是振蕩頻率LT: 復(fù)頻率S 是振蕩頻率， 控制衰減速度4拉氏變換已考慮了初始條件拉氏變換已考慮了初始條件)()()()()(ofsSFdttdfLTsFtfLT)()0()()()()(000sSFfefdtetfetfdtetfsststst終值初值，若有跳變則為 )(of5)(0)(lim0ttetf收斂域 有始有終信號和能量有限信號 或等幅振蕩信號和增長信號 不收斂信號除非00a0a0)0(,22 tte

3、ettjj整個平面以 為界0)0(Tt 6常用信號的拉氏變換)(tuS1tatu)(as 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste7拉氏變換的基本性質(zhì)（1）線性)(1tfkinii)(.1tfLTkniidttdf)(微分)0()( fsSF積分tdf)(sfssF)0()(時移)()(00ttuttf)(0sFest頻移atetf)()(asF8拉氏變換的基本性質(zhì)（2）尺度變換)(atfasFa1)(lim)0()(lim0sSFftfst終值定理)(lim)()(lim0sSFftfst卷積定理)(*)(21tftf)().(21sFsF初值定理)().(21tftf)(*)(2121

4、sFsFj9例：周期信號的拉氏變換)()(11sFtfLT)()(11sFenTtfsnTLTSTnSnTLTnesFesFnTtf1)()()(1010第一周期的拉氏變換利用時移特性利用無窮級數(shù)求和10例：例： 單邊正弦、余弦信號的拉氏變換單邊正弦、余弦信號的拉氏變換2)()(tjtjeetutf2221)11()(SSjSjSSFjeetutftjtj2)()(2221)11()(SjjSjSSFttucos)(ttusin)(11例：衰減余弦的拉氏變換例：衰減余弦的拉氏變換cos)()(ttuetft220cos)()(SSttuLTSF22)()(SSSF頻移特性12矩形周期信號拉氏變

5、換矩形周期信號拉氏變換)2()()(1tututf)1(11)()(21STSSTeSeesFsF)1 (1)(21SeSsF第一周期的信號第一周期的拉氏變換利用時移特性利用無窮技術(shù)求和1314例2)(tf 單對稱方波 周期對稱方波 乘衰減指數(shù))21 (12sseesssees2211)1 (1包絡(luò)函數(shù)te12) 2() 1(2)(tututu)1 ()1 () 1(1) 1() 1(SSees15抽樣信號的拉氏變換0)()(nTnTttSTnSnTTees11)(0)()()(ttftfTs00.0)()()()(nSnTnSTTsenTfdtenTtnTfsF抽樣序列抽樣序列的拉氏變換時域

6、抽樣信號抽樣信號的拉氏變換16雙邊拉氏變換收斂域)()()(tuetutft0)1 (0)()()(dtetudtetudtetfttt01sstfLT111)(0110j)( tuet)(tu0110001171)()()(2tuetutftsssstfLT111111)(20)()()(3tuetutftsssstfLT111111)(3不同原函數(shù)，收斂域不同，也可得到相同的象函數(shù)。18)()()(tuetuetfbtat0)(0)()(dtedtedtetftatbtbabaab,ab收斂，存在雙邊拉氏變換沒有收斂域。不存在雙邊拉氏變換19拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系

7、dtetftj)(因果 0乘衰減因子tedtetftj0)()(js0)(dtetfstdtetfst)(jsdtetftj)()(00)(0tft20從單邊拉氏變換到傅氏變換從單邊拉氏變換到傅氏變換有始信號有始信號0)(0tft)(tueataat)(tf0) 1 (0assF1)(傅氏變換不存在，拉氏變換存在j21從單邊拉氏變換到傅氏變換從單邊拉氏變換到傅氏變換有始信號有始信號0)(0tft0)2(0)(tft)(tueataajassF1)(ajjF1)(js 22從單邊拉氏變換到傅氏變換從單邊拉氏變換到傅氏變換有始信號有始信號0)(0tft0)3(0存在傅氏變換，但收斂于虛軸，不能簡單

8、用 ，要包含奇異函數(shù)項(xiàng)。)(tussF1)()(1)(jjFnnnjsksFjF)()()(js K1=123從 的單邊拉氏變換求它的傅氏變換)(.sin0tut)(.sin)(0tuttfLT2020)(ssFnnnjsksFjF)()()(00202022)(jsjjsjssF)()(2)(002200jjF2020)()(jjFK2K124系統(tǒng)的時域特征系統(tǒng)的時域特征 以單位沖激信號以單位沖激信號 作為激勵時，系統(tǒng)作為激勵時，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，記作產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，記作 。 任意時域信號激勵時系統(tǒng)的響應(yīng)任意時域信號激勵時系統(tǒng)的響應(yīng))(t)(th)(t)(th)(*)()(thttr)

9、(th)(te)(*)()(thtetr25求求 的經(jīng)典方法和步驟的經(jīng)典方法和步驟 列系統(tǒng)微分方程 求微分方程的特征根 得齊次解 求各階導(dǎo)數(shù) 代入微分方程 兩邊奇異函數(shù)的系數(shù)平衡，可求出系數(shù))(thi)()(11tueAthnitiiA26系統(tǒng)的復(fù)頻域特征系統(tǒng)的復(fù)頻域特征系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 是 的拉氏變換 是系統(tǒng)輸出和輸入各自拉氏變換的比)(sH)(sH)(th)()()(sEsRsH)(te)(sE)(tr)(sR)(th)(sH)(sHLTLTLT27 系統(tǒng)函數(shù) 的定義： 定義：系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比叫系統(tǒng)函數(shù)或網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。)(sH)()()(sEsRsH28本章作業(yè) 4-1(4),(8),(12),(16), 4-1(20)*,(24)*,